11. 강한선과 약한선

선이 강하다/약하다의 개념

  • 강한선은 선중앙이 깊다 — 더 바깥쪽을 본다. 면적이 넓은 바 선의 형성범위가 넓다.
  • 약한선은 반대. 형성범위가 좁다.

흡수로 인해 어두워질 수 있는 데도 한계가 있음. 온도적으로는 경계온도 $T_0$, 형성높이적으로는 광구의 바깥쪽 경계.
한계에 도달했는데도 흡수물질이 아직도 많으면, 선의 core가 더 깊어지지 못하는 대신 wing이 두터워져 폭이 넓어진다.

선의 강하고 약함은 면적(적분)으로 판단한다.

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(1)
\begin{align} 빗금친\ 면적\ W & = \int {{F_c - F_\lambda } \over F_c } d \lambda = \int \left( 1 - { F_\lambda \over F_c } \right) d \lambda \quad [ \mathrm{cm} ] \end{align}
  • 등가폭(EW): 적분값을 선 높이로 나눈 것. 선 세기의 척도가 됨.

형성높이(formation height)

(2)
\begin{align} F_\nu \simeq \pi B_\nu \left( T \left( \tau_\nu = {2 \over 3} \right) \right) \end{align}
  • 기준파장의 광학적 깊이 $\tau_0$가 낮으면 형성높이는 높다
(3)
\begin{align} \tau_0 & = \int_0^{\tau_1} {{d \tau_0 } \over {d \tau_\nu}} d \tau_\nu = \int_0^{\tau_1} { \kappa_0 \over \kappa_\nu } d \tau_\nu \\ & = { \kappa_0 \over \kappa_\nu } \tau_1 = {2 \over 3} { \kappa_0 \over \kappa_\nu } \end{align}
formation-height.png
(4)
\begin{align} \Delta \lambda < \Delta \lambda_1 < \Delta \lambda_2 < \Delta \lambda_3 \\ \kappa_0 > \kappa_1 > \kappa_2 > \kappa_3 \\ \tau_{0,0} < \tau_{0,1} < \tau_{0,2} < \tau_{0,3} \\ h_0 > h_1 > h_2 > h_3 \end{align}

일반적으로는

(5)
\begin{align} F_\nu = \int_0^\infty 2 \pi B_\nu ( T ( t_\nu )) E_2 (t_\nu )\ d t_\nu \end{align}
(6)
\begin{align} I_\nu (0) & \simeq B_\nu ( T ( \tau_\nu = 1 )) \\ & = \int_0^\infty B_\nu (T ( t_\nu )) \exp [ - t_\nu ] d t_\nu \\ & \qquad \left( d t_\nu = {{ \kappa_{\nu,l} + \kappa_{\nu,c} } \over \kappa_{\nu, c} } { t_0 \over { \log e }} d \log t_0 \right) \\ & = \int B_\nu \exp [ - t_\nu ] {{ \kappa_{\nu,l} + \kappa_{\nu, c} } \over \kappa_{\nu,c} } d \log t_0 \\ & = \int C_\nu ( \log t_0 ) d \log t_0 \end{align}
  • $C_\nu :$ 기여함수(contribution function) — 이것의 peak가 에딩턴-바비어 관계의 형성높이
(7)
\begin{align} F_\nu = \int C_\nu (\log t_0 ) d \log t \end{align}
  • 선속의 기여함수는 세기의 기여함수와 같지 않음
(8)
\begin{align} \kappa_\nu & = \kappa_c + \kappa_l ( \Delta \nu ) \\ & = \kappa_c \left( 1 + { { \kappa_l ( \Delta \nu ) } \over \kappa_c} \right) \\ & = \kappa_c ( 1 + \eta \phi_0 ( \Delta \nu) ) \\ & \qquad \phi_0 ( \Delta \nu = 0 ) = 1, \\ & \qquad \eta \equiv {{ \kappa_l ( \Delta \nu = 0) } \over \kappa_c } \end{align}
  • $\eta, \phi_0$는 깊이에 따라 변하지만 단순성을 위해 일정하다고 가정한다.

대기모형

(9)
\begin{align} T = T( \tau_c ) \iff B_\nu (T) = B ( \tau_c ) \end{align}

를 안다고 가정,

(10)
\begin{align} B_\nu \left( \tau_c = \tau_1 = {2 \over 3} \right) & \simeq B ( t_1 ) + {{dB } \over {d \tau_c }} ( \tau_c - \tau_1 ) \qquad (테일러\ 전개) \\ & = B ( \tau_1 ) \left( 1 + {1 \over {B(\tau_1)}} {{ dB} \over {d \tau_c }} ( \tau_c - \tau_1 ) \right) \\ & = B( \tau_1 ) \left( 1 + \left( {{d \ln B} \over {d \tau_c }} \right)_{\tau_1} ( \tau_c - \tau_1 ) \right) \end{align}
(11)
\begin{align} F_\nu & = \pi B_\nu ( T ( \tau_c ( \tau_\nu = \tau_1 ) )) \\ \kappa_\nu & = \kappa_c ( 1 + \eta \phi_0 )) \\ \tau_\nu & = \tau_c ( 1 + \eta \phi_0 ) = \int \kappa_\nu\ dz \\ \tau_c & = { \tau_\nu \over { 1 + \eta \phi_0 }} = \int \kappa_c\ dz \\ {{d \tau_\nu } \over {d \tau_c}} & = { \kappa_\nu \over \kappa_c } \\ \int d \tau_\nu & = \int { \kappa_\nu \over \kappa_c } d \tau_c \\ \tau_\nu & = { \kappa_\nu \over \kappa_c} \tau_c \end{align}
(12)
\begin{align} \therefore\ F_\nu & = \pi B_\nu \left( \tau_c = { \tau_1 \over { 1 + \eta \phi_0 ( \Delta \nu ) }} \right) \\ & = \pi B_\nu ( \tau_1 ) \left( 1 + \left( {{d \ln B} \over { d \tau_c }} \right)_{\tau_1 } \left( - {{ \tau_1 \eta \phi_0} \over { 1 + \eta \phi_0 }} \right) \right) \\ & = F_c \left( 1 \pm \tau_1 {{ d \ln B } \over { d \tau_c }} {{ \eta \phi_0 } \over { 1 + \eta \phi_0 }} \right) \end{align}
  • 우변 괄호 속 제1항 $1$$F_c$이 곱해져서 연속복사 선속이 됨.
  • 괄호 속 제2항은 선복사 선속($\pm$$-$이면 흡수선, $+$이면 방출선)

잔여선속윤곽(Residual flux profile)

(13)
\begin{align} R_\nu & = {{ F_c - F_\nu } \over F_c} = 1 - { F_\nu \over F_c } = \tau_1 {{d \ln B} \over {d \tau_c }} {{ \eta \phi_0 } \over {1 + \eta \phi_0 }} \end{align}
  • $\tau_1 = 1$이면 세기윤곽이 됨

$\eta$가 크다는 것은 흡수할 물질이 많다는 뜻, 등가폭 EW가 크다는 것은 선이 강하다는 뜻. 상호 관계.