10. 진동자 모형

천체물리학 I 2.2절과 같이 보기

(1)
\begin{matrix} 물질 & ㅡ & 원자 & ㅡ & 전자 & ㅡ & 진동자 \\ \updownarrow & & & & \updownarrow & & \\ 빛 & ㅡ & 전자기파 & ㅡ & 전기장 & ㅡ & 파동 \end{matrix}

진동자 모형은 선복사를 설명하는 고전적 방법. 광자 하나하나를 양자화시키지 않고 연속적 파동으로 이해.

osc1.png

이 원자들은 다 똑같다(고 가정). 빛과 상호작용하는 원자의 고전적 기술

원자는 자연조화진동자(natural harmonic oscillator)
진동한다는 것은 변한다는 것이다. 무엇이? 전자의 (1차원적) 위치

전자가 진동하는 자연조화진동자(원자)의

(2)
\begin{align} 가속도\ \vec{a} & = - {\omega_0}^2 \vec{\xi} \\ 힘\ m_e \vec{a} & = - m_e {\omega_0}^2 \vec{\xi} \end{align}

빛을 흡수할 경우, 그것은 진동자에 외력이 가해진 것이라고 생각, 입사된 빛의 진동수 $\nu_0$가 원자 고유진동수와 아다리가 맞을 경우 그 빛이 일을 해주어 에너지 증가: 강제조화진동자(forced harmonic oscillator)

(3)
\begin{align} m_e \vec{a} = - m_e {\omega_0}^2 \vec{\xi} - e \vec{E} \end{align}

빛을 방출할 경우 — 에너지 감소. 진동자의 감쇠. 강제감쇠조화진동자(forced damping harmonic oscillator)

(4)
\begin{align} m_e \vec{a} = - m_e { \omega_0}^2 \vec{\xi} - e \vec{E} - m_e \gamma \vec{v}_e \end{align}
  • 이 때 $\gamma$는 항력(drag force). 마찰 같은 것. 차원은 시간의 역수. 한 번 충돌하는 데 걸리는 시간이 $1 / \gamma$

정리: ($\vec{a} = \ddot{\vec{\xi}}$)

(5)
\begin{align} {{ \partial^2 \vec{\xi} } \over {\partial t^2 }} + \gamma {{\partial \vec{\xi} } \over {\partial t}} + { \omega_0}^2 \vec{\xi} = - {e \over m_e } \vec{E} \end{align}

빛의 전파: 전기장의 시간적 공간적 변화를 기술하는 것이 맥스웰 방정식

전기장에 대한 파동방정식은

(6)
\begin{align} \nabla^2 \vec{E} = & - {1 \over c^2 } {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial t^2 }} = 0 \qquad (진공) \\ {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial x^2 }} & - {1 \over c^2} { { \partial \vec{E} } \over {\partial t^2}} = 0 \qquad (1차원) \end{align}

진공이 아닐 경우 우변에 0 대신 원천항이 들어간다.

(7)
\begin{align} \nabla^2 \vec{E} = - {1 \over c^2 } {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial t^2 }} = {{4 \pi} \over c^2 } {{\partial \vec{j} } \over {\partial t}} \end{align}
  • 이 때 $\vec{j}$는 총 전류(거시적 + 미시적 모두)
  • 미시적 전류와 전자운동을 연결시키는 것이다
(8)
\begin{align} \vec{j} & = \rho_c \vec{v}_e \\ & = - N e \vec{v}_e \\ & = - N e {{\partial \vec{\xi} } \over {\partial t}} \end{align}
(9)
\begin{align} \nabla^2 \vec{E} - {1 \over c^2 } {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial t^2 }} = {{4 \pi} \over c^2 } {{\partial \vec{j} } \over {\partial t}} = - {{4 \pi N e} \over c^2 } {{\partial^2 \vec{\xi} } \over {\partial t^2 }} \end{align}

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위 그림을 다시 들고와서, 전기장의 방향을 $s$ 방향이라고 한다면

(10)
\begin{align} \vec{E} & = \hat{s} E_0 \exp [ i \omega t - i ks ] \\ \vec{\xi} & = \hat{s} \xi_0 \exp [ i \omega t - iks] \\ & \implies \begin{cases} {\partial \over {\partial t}} & = 1 \omega \\ \vec{\nabla} & = - i k \hat{s} \end{cases} \\ & \therefore\ { \partial^2 \over {\partial t^2 }} = - \omega^2, \quad \nabla^2 = - k^2 \end{align}
  • 이 때 $k$는 파수(wave number)

다 1차원이므로 벡터를 빼버리면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(11)
\begin{align} & - \omega^2 \xi_0 + i \gamma \omega \xi_0 + { \omega_0}^2 \xi = - {e \over m_e } E_0 \\ & - k^2 E_0 + { \omega^2 \over c^2 } E_0 = 4 \pi N e { \omega^2 \over c^2 } \xi_0 \end{align}
  • 이 때 $N$은 자유전자 밀도가 아니라 빛에 반응하는 원자(흡수체)의 개수밀도

이 두 식에서 얻을 수 있는 정보:

  • input 은 $\omega_0, \omega$, output은 $k$
(12)
\begin{align} - \omega^2 { \xi_0 \over E_0 } & + i \gamma \omega { \xi_0 \over E_0 } + {\omega_0}^2 { \xi_0 \over E_0 } = - {e \over m_e } \\ - k^2 & + {\omega^2 \over c^2 } = 4 \pi N e {\omega^2 \over c^2 } {\xi_0 \over E_0} \\ \implies k^2 & = {\omega^2 \over c^2 } - 4 \pi N e {\omega^2 \over c^2 } {\xi_0 \over E_0} \\ & = {\omega^2 \over c^2 } - 4 \pi N e \times { \omega^2 \over c^2 } \\ & = { \omega^2 \over c^2 } + 4 \pi N e \times {{ e/ m_e } \over { {\omega_0}^2 - \omega + i \omega \gamma }} \\ & = { \omega^2 \over c^2 } \left( 1 + {{ 4 \pi N e^2 } \over m_e } {1 \over { {\omega_0}^2 - \omega^2 + i \omega \gamma }} \right) \end{align}
(13)
\begin{align} k & \approx { \omega \over c} \left( 1 + {1 \over 2} {{4 \pi N e^2 } \over m} {1 \over { {\omega_0 }^2 - \omega^2 + i \omega \gamma } } \right) \\ & = {\omega \over c} \left( 1 + {{2 \pi N e^2 } \over m } { { {\omega_0}^2 - \omega^2 } \over { ({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + \omega^2 \gamma^2 }} \right. \\ & \qquad \left. - i {{2 \pi N e^2 } \over m } { { \omega \gamma } \over { ({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + \omega^2 \gamma^2 } } \right) \\ & = k_R + ik_I \end{align}
(14)
\begin{align} k_R & = { \omega \over c} \left( 1 + {{2 \pi N e^2 } \over m} {{ {\omega_0}^2 - \omega^2 } \over { ({\omega_0}^2 - \omega^2)^2 + \omega^2 \gamma^2}} \right) \\ k_I & = - {\omega \over c} \left( {{2 \pi N e^2 } \over m} {{ \omega \gamma } \over { ( {\omega_0}^2 - \omega^2 )^2 + \omega^2 \gamma^2 }} \right) \\ \vec{E} & = \vec{E}_0 \exp [ i ( \omega t - ks ) ] \\ & = \vec{E}_0 \exp [ i ( \omega t - k_R s) ] \cdot \exp [ k_I s ] \end{align}
  • 파수의 실수부 $k_R$은 빛의 분산(진동수에 따른 파속의 변화)를 의미. 전파천문학의 관심사 (당장 우리 알 바 아님)
  • 허수부 $k_I$는 흡수(진폭의 감소)를 의미. 허수부는 언제나 음수임에 유의. 흡수가 일어나면 항상 빛은 줄어들기 때문 (우리의 관심사)

왜 정확한 진동수 밖에서도 진동이 일어날까?

  • 빛에 의해 진동자 자체가 변형되기 때문. 가장 큰 원인은 항력 $\gamma$
  • 일종의 불확정성 원리. 진동자를 건드리는 순간 진동수가 변해버림
(15)
\begin{align} 고유세기\ I & \propto | \vec{E} |^2 \\ \vec{E} & = \vec{E}_0 \exp [i \omega t - i k_R s ] \times \exp [ k_I s] \\ I & = I_0 \exp [ 2 k_I s ] = I_0 \exp [ - \kappa s] \\ & \implies 흡수계수\ \kappa = - 2 k_I \end{align}
(16)
\begin{align} \kappa & = - 2 k_I = 2 | k_I | \qquad ( \because\ k_I < 0 ) \\ & = { \omega \over c} {{ 4 \pi N e^2 } \over m} {{ \omega \gamma } \over { ( {\omega_0}^2 - \omega^2 )^2 + \omega^2 \gamma^2 }} \\ \alpha & = { \kappa \over N} = {{4 \pi e^2 } \over {mc}} {{ \omega^2 \gamma } \over { ( {\omega_0}^2 - \omega^2 )^2 + \omega^2 \gamma^2 }} \end{align}
  • 원자흡수계수 $\alpha$는 원자 하나당 흡수계수
  • 이것은 원자 흡수 단면적을 고전적으로 유도한 것.
  • 근데 이게 최종 형태는 아님. 로런츠 함수가 아니자너 (원자 진동으로 인한 흡수선 가변 함수는 로런츠 함수 형태임을 우리는 앞에서 이미 배움)
(17)
\begin{align} \omega^2 - { \omega_0}^2 & = ( \omega - \omega_0 )( \omega + \omega_0 ) \\ & \simeq \Delta \omega \times 2 \omega_0 \\ \end{align}

를 사용하면

(18)
\begin{align} \alpha & \simeq {{ 4 \pi e^2 } \over {mc }} {{ {\omega_0}^2 \gamma} \over { 4 {\omega_0}^2 \times \Delta \omega^2 + {\omega_0}^2 \gamma^2 }} \\ & = {{ 4 \pi e^2 } \over {mc}} {{ \gamma / 4 } \over { \Delta \omega^2 + \gamma^2 / 4 }} : 로런츠\ 함수 \end{align}
  • 이 로런츠 함수는 $\omega_0$에서 최대값이고, 반치전폭은 $\gamma$이다.

$\gamma$는 고전적으로 감쇠값이 있지만 관측값과 안 맞음.
그래서 양자 효과를 고려함. 그래도 안 맞음.
로런츠 함수에는 원자 진동으로 인한 것 뿐 아니라 충돌로 인한 선폭증가도 포함되는 것이라는 결론

(19)
\begin{align} \alpha ( \omega \gg \omega_0 ) & = 1 / \omega^2 \\ \alpha ( \omega \ll \omega_0 ) & = { \omega^2 \over {\omega_0}^4 } \propto \omega^2 \end{align}
  • 진동수가 매우 작을 때: 진동수가 작을수록 흡수가 잘 된다 (물질과 반응이 잘 일어난다) — 지구 대기의 산란을 흡수하는 모형 (레일리 산란)
  • 진동수가 매우 클 때: 진동수가 클수록 흡수가 잘 된다 — (톰슨 산란)
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