8. 사하-볼츠만 방정식
(1)
\begin{align} F_\nu \approx \pi B_\nu \left( \tau_c = {2 \over 3} { \kappa_c \over \kappa_\nu } \right) \end{align}

회색대기의 경우 $\tau = 2/3$인 온도가 유효온도 $T_\mathrm{eff}$

하지만 실제 항성대기는 회색이 아니다 — 흡수계수가 일정하지 않음

  • 흡수계수 감소 → 바깥쪽을 보는 것 → 바깥쪽은 온도가 낮음 → 작은 원천함수 → 낮은 밝기
vega.png
  • 예컨대 오른쪽 그래프는 베가성의 파장 대 선속 그래프(로그 스케일)인데, 불연속(3647 Å) 왼쪽과 오른쪽은 같은 깊이를 보고 있는 것이 아님
  • 왼쪽 그래프는 태양인데, 불연속이 흐리멍텅함
  • 왜 이런 불연속이 발생하는지, 파장의 흡수계수와 그 파장을 흡수할 수 있는 물질의 밀도, 온도, 밀도(압력)의 관계에 관해 이야기할 것

흡수계수

(2)
\begin{align} \kappa_\nu & = \sum_p \kappa_{\nu , p } \qquad ( p는\ \mathrm{process}를\ 의미) \\ \kappa_{\nu , p} & = \alpha_p ( \nu ) \times N_\mathrm{abs, p} ( \nu ) \end{align}
  • 흡수계수의 차원은 cm-1
  • $\alpha_p$는 단면적. 차원 cm2 (변화폭 작다)
  • $N_\mathrm{abs, p}$는 개수밀도. 차원 cm-3 (변화폭 크다) — 즉 밀도의 변화가 중요함

흡수체의 개수(number of absorbers)

(3)
\begin{align} N_\mathrm{abs} ( \nu ) = N_{ijk} f( v)\ dv \end{align}

이 식에는 네 가지 독립변수가 있다.

  • $i:$ element index. 어떤 원소냐
  • $j:$ ionization index. 중성이냐 이온이냐
  • $k:$ excitation index. 전자 에너지 준위
  • $f(v)dv :$ 시선방향 속도. 도플러 선폭증가. 적분하면 1됨
(4)
\begin{align} N_\mathrm{abs} ( \nu ) & = N_\mathrm{H} \times {N_i \over N_\mathrm{H} } \times { N_{ij} \over N_i } \times { N_{ijk} \over N_{ij} } \times f(v)\ dv \end{align}
  • 제1계수 수소의 개수밀도는 $\rho = 1.4 m_\mathrm{H} N_\mathrm{H}$로 구하고
  • 제2계수는 수소에 대한 함량비. $N_i / N_\mathrm{H} = A_i$. e.g. 수소의 경우 1, 헬륨의 경우 0.1
  • 제3, 4, 5계수를 서술하는 것이 순서대로 사하, 볼츠만, 맥스웰 방정식이고 이 방정식들이 성립함이 LTE의 조건

볼츠만 방정식 (같은 것)

고에너지 입자와 저에너지 입자가 충돌하면서 운동량과 에너지를 교환, 거듭 거듭하면 모든 입자의 에너지가 (확률적으로) 같아짐
하지만 에너지가 실제 물리적으로 다 같을 수는 없고, 그 확률분포를 서술하는 것이 볼츠만 인자

(5)
\begin{align} 볼츠만\ 인자: \exp \left[ - {E \over {kT}} \right] \end{align}
  • 즉 볼츠만 분포를 따를 때, 높은 에너지를 가질 확률은 기하급수적으로 감소한다
  • 에너지는 높은 데서 낮은 데로 이동하므로 당연

중력위치에너지에 대한 볼츠만은 이렇고

(6)
\begin{align} E_g = mgz \implies & \exp \left[ - {{mgz} \over {kT}} \right] \\ \rho \propto & \exp \left[ - {{mgz} \over {kT}} \right] \end{align}
  • 밀도가 이 볼츠만에 비례함 (확률은 개수. 개수는 밀도. 중력을 거스르고 위로 올라갈수록 희박해진다)

모든 개수밀도, 모든 에너지에 대해 일반화해보자면

(7)
\begin{align} N_{ijk} \propto \exp \left[ - { E_{ijk} \over {kT}} \right] \end{align}
  • 그런데 에너지가 같아도 방이 다를 수 있다(양자적 개념). 그 방의 개수가 통계가중치 $g_{ijk}$
(8)
\begin{align} N_{ijk} & \propto g_{ijk} \cdot \exp \left[ - { E_{ijk} \over {kT}} \right] \\ N_{ijk} & = \alpha (T) g_{ijk} \cdot \exp \left[ - {E_{ijk} \over {kT}} \right] \end{align}
  • $\sum_k N_{ijk} = N_{ij}$ 인데 이것을 알면 $\alpha$를 알 수 있음
(9)
\begin{align} \alpha & (T) \sum_k g_{ijk} \cdot \exp \left[ - { E_{ijk} \over {kt} } \right] = N_{ij} \\ \alpha (t) & = { N_{ij} \over { \sum_k g_{ijk} \cdot \exp \left[ - E_{ijk} / kT \right] }} \\ { N_{ijk} \over N_{ij} } & = {{ g_{ijk} \cdot \exp \left[ - E_{ijk} / kT \right] } \over { \sum_k g_{ijl} \cdot \exp \left[ - E_{ijl} / kT \right] }} \\ & = {{ g_{ijk} \cdot \exp \left[ - E_{ijk} / kT \right] } \over { u_{ij} (T) }} \end{align}
  • 이 때 좌변의 분모는 온도, 원소 종류, 전리여부의 함수
  • 우변 마지막 결과물의 분모 $u_{ij} (T)$분배함수(partition function)

사실 이건 볼츠만 방정식이 아니다?

  • 진짜 볼츠만은 분포함수 $f ( \vec{r} , \vec{v} )$의 시간변화를 기술하는 것
  • 버뜨 그러나 천문학에서 굴리고 있는 것이 사하-볼츠만 방정식이므로 편의상 여기선 볼츠만 인자를 볼츠만 방정식으로 부르겠음
(10)
\begin{align} E_{ij1} & = 0 \quad (바닥상태) \\ u_{ij} (T) & = g_{ij1} \cdot \exp \left[ - { 0 \over {kT}} \right] + g_{ij2} \cdot \exp \left[ - {E_2 \over {kT}} \right] + g_{ij3} \cdot \exp \left[ - { E_3 \over {kT}} \right] + \cdots \\ & \approx g_{ij1} \end{align}
  • 바닥상태의 분배함수는 바닥상태의 통계가중치와 근사적으로 같다.
(11)
\begin{align} { N_{iju} \over N_{ijl} } & = {{ g_{iju} \cdot \exp [ - E_u / kT ] } \over { g_{ijl} \cdot \exp [ - E_l / kT ] }} \\ & = { g_{iju} \over g_{ijl} } \times \exp \left[ - {{ E_u - E_l } \over {kT}} \right] \\ & = { g_{iju} \over g_{ijl} } \times \exp \left[ - {{ \Delta E } \over {kT}} \right] \end{align}

이것들은 모두 TE 상태에서 성립. 천문학에는 TE 없음. 하지만 이 식들은 성립했으면 좋겠어 ← 그럴 때 나오는 LTE

(12)
\begin{align} \exp \left[ - { { \Delta E } \over {kT} } \right] < 1 \end{align}
  • 언제나 위 준위 에너지가 크기 때문에 이러하다.
    • 아닌 경우: 유도천이, 레이저 등 — 식 성립 안함

통계가중치 $g_{ijk}$란? 원자 고유값. 화학자들이 경험적으로 알아낸 거 빌어다 쓰는 거

사하 방정식

사하와 볼츠만을 조합하면 분광이 이해가능해짐 (왜 H-α 선이 10000 켈빈에서 가장 밝으냐 등)

(13)
\begin{align} { N_{ij} \over N_{i, j-1} } & = { N_{ij1} \over N_{i, j-1, 1} } \times { N_{ij} \over N_{ij1} } \times { N_{i, j-1, 1} \over N_{i, j-1} } \\ & = { N_{ij1} \over N_{i, j-1, 1} } \times { {u_{ij} (T) } \over g_{ij1} } \times { g_{i, j-1,1} \over { u_{i, j-1} (T) }} \\ & = {{ u_{ij} (T) } \over { u_{i,j-1} (T) }} \times { g_{i,j-1,1} \over g_{ij1} } \times { N_{ij1} \over N_{i,j-1,1} } \end{align}
  • 이 때 마지막 줄 마지막 계수는 뭐지?

헬륨을 예로 들어보자

helium1.png helium2.png
$N_{\mathrm{He}, j-1, 1}$ $N_{\mathrm{He},j, 1}$
$E_{\mathrm{He} , j-1, 1} = 0$ $E_{\mathrm{He}, j, 1} = 0$
  • 같은 바닥상태지만 차이가 있다 — 오른쪽은 이온+자유전자계 라서 계 전체의 위치에너지가 크다. 거기에 전자의 운동에너지도 있음
(14)
\begin{align} \therefore\ & E_{i, j-1, 1} = 0, \\ & E_{i,j,1} = I + {1 \over 2} m_2 {v_2}^2 \qquad (0 \le v_e \le \infty ) \end{align}
(15)
\begin{align} \int d N_{i,j,1} (v_e) & = \int {{d N_{i,j,1} } \over {d v_e }} d v_e \equiv N_{i,j,1} \\ {{ \int d N_{i,j,1} (v_e)} \over N_{i, j-1, 1}} & = {{ g_{i,j,1} g_\mathrm{free} } \over { g_{i,j-1,1} }} \exp \left[ - {{ I + {1 \over 2} m_e {v_e}^2} \over {kT}} \right] \end{align}
(16)
\begin{align} 자유전자의\ 통계가중치\ g_\mathrm{free} & = 2 {{ \delta x \delta p_x } \over h} { {\delta y \delta p_y } \over h } {{ \delta z \delta p_z } \over h} \\ & \qquad \qquad \delta x\ \delta y\ \delta z = \delta V = {1 \over n_e}: 단전자\ 부피 \\ & = {2 \over n_e} {1 \over h^3} \times \delta p_x \delta p_y \delta p_z \\ & = 2 { {m_e}^3 \over {n_e h^3 }} \times \delta v_x \delta v_y \delta v_z \longleftarrow (p_x = m_e v_x, \cdots ) \\ & = {{8 \pi {m_e}^3 } \over {n_e h^3 }} \times {v_e}^2 d v_e \end{align}
  • 셋째 줄에서 넷째 줄로 넘어간 것은 $\delta v_x \delta v_y \delta v_z$를 확률분포가 등방할 때 구면좌표계로 $4 \pi {v_e}^2 d v_e$
    • 전자(들)이 무작위하게 움직이므로 평균적 움직임은 등방하다
  • 마지막 식은 무차원. 속도가 큰 만큼 통계가중치는 커진다 i.e. 방이 많아진다.

방이란?

  • 방의 개수는 상태의 개수. 그럼 상태란?
    1. 입자가 가질 수 있는 위치의 범위 (밀도에 의존적)
    2. 입자가 가질 수 있는 속도의 범위 → $v_e \pm d v_e$
  • 방이 많아지려면 밀도는 낮고 속도는 높아야 함
  • 백색왜성은 밀도가 높기 때문에 방이 적음. 방을 확보하려면 전자의 속도(무작위적 방향)가 매우 높아야 하고 그로 인한 압력이 축퇴압
(17)
\begin{align} { N_{i,j,1} \over N_{i,j-1,1} } & = { g_{i,j,1} \over g_{i,j-1,1} } \exp \left[ - { I \over {kT}} \right] \times \int g_\mathrm{free} \exp \left[ - {{ m_e {v_e}^2 } \over {2kT}} \right] \\ & = {g_{i,j,1} \over g_{i,j-1,1} } { { 8 \pi {m_e}^3 } \over { n_e h^3 }} \exp \left[ - {I \over {kT}} \right] \int \exp \left[ - {{ m_e {v_e}^2 } \over {2 kT}} \right] v_e\ d v_e \quad \end{align}

두 번째 줄의 적분을 풀면 다음과 같다.

(18)
\begin{align} \left( {{2kT} \over m_e } \right)^{3/2} \int \exp \left[ - x^2 \right] x^2\ dx \end{align}
(19)
\begin{align} & = { g_{i,j,1} \over g_{i,j-1,1} } {{ 2^{5/2} \times \pi^{3/2} \times {m_e}^{3/2} } \over {n_e h^3}} (kT)^{3/2} \exp \left[ - {I \over {kT}} \right] \\ & = { g_{i,j,1} \over g_{i,j-1,1} } \times { \mathrm{const.} \over n_e} ( kT)^{3/2} \exp \left[ - {I \over {kT}} \right] \\ & = {g_{i,j,1} \over g_{i,j-1,1} } \times { \mathrm{const.} \over P_e } ( kT)^{5/2} \exp \left[ - {I \over {kT}} \right] \end{align}
  • 전리 정도는 전자압(~ 밀도)에 반비례한다.
  • 전자밀도가 낮을수록 전리가 잘 된다 — 거성에서 전리가 더 잘 됨
(20)
\begin{align} { N_{i,j} \over N_{i, j-1} } = {{ u_{i,j} (T) } \over { u_{i,j-1} (T) }} {{ 2^{5/2} \pi^{3/2} {m_e}^{3/2} } \over { P_e h^3 }} \left( {k \over T} \right)^{5/2} \exp \left[ - {I \over {kT}} \right] \end{align}

정신건강을 위해 로그로 단순화시키자

(21)
\begin{cases} 볼츠만: \log { N_{i,j,k} \over N_{i,j} } & = - \theta \chi_{i,j,k} + \log { g_{i,j,k} \over { u_{i,j} (T) } } \\ ­ \\ 사하: \log { { N_{i,j} P_e} \over N_{i,j-1} } & = - \theta I + 2.5 \log T + \log {{ u_{i,j} (T) } \over { u_{i,j-1} (T) }} - 0.1762 \end{cases}
  • $\theta = 5040 / T$
  • $\chi_{i,j,k}$는 들뜸에너지, $I$는 전리에너지. 둘 다 단위는 eV.

중성수소

수소의 신상명세:

(22)
\begin{align} 에너지\ 준위\ E_n & = - {{13.6\ \mathrm{eV} } \over n^2 }, \quad \lambda_n = 912 n^2\ Å \\ 전리에너지\ I & = E_\infty - E_1 = 13.6\ \mathrm{eV} \\ 들뜸에너지\ \chi & = E_n - E_1 = 13.6 \left( 1 - {1 \over n^2 } \right)\ \mathrm{eV} \\ 통계가중치\ g_n & = 2n^2 \end{align}
중성수소의 속박-자유 흡수:
연속흡수 파장 대역 (Å) 에너지 준위
리만 $\lambda < \lambda_1 = 912$ 자외선 $n=1$
발머 $\lambda < \lambda_2 = 3647$ 가시광선 $n=2$
파셴 $\lambda < \lambda_3 = 8206$ 가시광선 $n=3$
브래킷 $\lambda < \lambda_4 = 14590$ 근적외선 $n=4$
푼트 $\lambda < \lambda_5 = 22790$ 근적외선 $n=5$

반전리 온도: 수소가 절반 전리되면, 전리 된 것과 안 된 것의 밀도가 같을 것

(23)
\begin{align} {N_{\mathrm{H}, 1} \over N_{\mathrm{H}, 0} } = {{\Phi_{\mathrm{H},1} (T)} \over P_e} =1 \end{align}
(24)
\begin{align} \log \Phi_{\mathrm{H}, 1} (T) & = -13.6 \times {5040 \over T} + 2.5 \log T + \log {1 \over {2 \cdot 1^2}} - 0.176 \\ & = -13.6 \theta - 2.5 \log \theta + 8.8 \end{align}
Half-ionization.png

그래프로 그려보면 옆과 같다.

  • 전리는 온도에 매우 민감하다
    • 항성대기에서, 수소는 $T = 10^4\ \mathrm{K}$ 전후에서 반전리된다.
  • 전리는 또한 전자압에 의존적이라 압력(밀도)이 높으면 줄어든다.

여러 경우의 물리값들

  • 태양광구
    • $\tau_c = 2/3, \quad T = 6200\ \mathrm{K}$
    • $N_e = 4 \times 10^13\ \mathrm{cm}^{-3}$
    • $P_e = 34\ \mathrm{dyn \cdot cm^{-3}}, \quad \log P_e = 1.5$
  • 태양채층
    • $\tau_c = 10^{-3}, \quad T = 6000\ \mathrm{K}$
    • $N_e = 7.7 \times 10^7\ \mathrm{cm}^{-3}$
    • $P_e = 0.08\ \mathrm{dyn \cdot cm^{-3}}, \quad \log P_e \approx -1$
  • A성의 광구
    • $\log P_e \approx 2.5$ (태양의 10배) — 온도가 높아서 전리가 많이 됨
  • 비슷한 분광형에서는 왜성이 거성보다 전자압이 크다. 왜성과 거성의 관계는 광구와 채층의 관계와 같음.

들뜸효과와 전리효과의 조합

combination.png
(25)
\begin{align} \kappa_n^\mathrm{bf} (H) & \propto { N_{ \mathrm{H} , 0, n } \over N_\mathrm{H} } = { H_{\mathrm{H},0,n} \over N_{\mathrm{H},0} } { N_{\mathrm{N}, 0 } \over N_\mathrm{H} } \\ & = { N_{\mathrm{H},0,n} \over n_{\mathrm{H},0} } {1 \over {1 + N_{\mathrm{H},1} / N_{\mathrm{H},0} }} \end{align}
(26)
\begin{align} \log { N_{\mathrm{H},0,n} \over N_{\mathrm{H},0} } & \approx -13.6 \left( 1 - {1 \over n^2 } \right) { 5040 \over T} + \log {{ 2 \cdot n^2 } \over 2} \\ \log {N_{\mathrm{H},0} \over N_\mathrm{H} } & = - \log \left( 1 + {{\Phi_{\mathrm{H},1} (T)} \over P_e } \right) \end{align}
  • $log P_e = 2.0$은 태양과 A성의 중간 정도 값이다.