7. 광구

우리의 목표: 항성대기의 공식화(Formulation)

그러기 위한 가정(들)

plane-parallel.png
  1. 항성은 구대칭이다
    • 쌀알무늬, 흑점 그런 거 없다
    • 모든 것은 중심으로부터의 거리에 의해 결정된다
    • → 반지름 방향의 광학적 깊이 & 광선 방향의 광학적 깊이
  2. 항성대기의 층은 평행면(plane-parallel)이다
    • 오른쪽 그림에서 $L \ll R_\odot,$
    • $\cos \theta = \mu$$\tau_\nu$에 독립적이다
    • 세기는 $I_\nu ( \tau_\nu , \mu )$로 기술된다
  3. 밖에서 들어오는 빛 없음. $I_\nu (0, \mu <0 ) = 0$
  4. LTE.
    • 플랑크 함수가 원천함수: $S_\nu = B_\nu (T)$
    • ${n_u / n_l}$ 은 사하-볼츠만 분포를 따름

복사전달방정식의 해

asdfasdf.png

광학적으로 두꺼운 무한한 층의 표면에서:

  • $t_\nu$: 광선 경로에 따른 광학적 깊이
  • $\tau_\nu$: 수직방향의 광학적 깊이 (유의미)
(1)
\begin{align} dt_\nu & \times \cos \theta = d \tau_\nu \\ d t_\nu & = {1 \over {\cos \theta }} d \tau_\nu = {1 \over \mu} d \tau_\nu \\ {{dI_\nu } \over {dt_\nu }} & = I_\nu - S_\nu \\ \mu {{dI_\nu } \over { d \tau_\nu }} & = I_\nu - S_\nu \\ & = I_\nu - B_\nu \longleftarrow \mathrm{(LTE)} \\ \end{align}
  • 이로써 $t_\nu$$\mu, \tau_\nu$의 함수로 쓰기를 시도
    • 평행면 가정에 의해 $\mu$$\tau_\nu$에 독립적이기에 가능
asdfasdfas.png
(2)
\begin{align} I^\mathrm{out} & = I_\nu (0) \\ & = I_\nu^\mathrm{in} \exp [ - \infty ] + \int_0^\infty B_\nu (t_\nu ) \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \\ & = \int_0^\infty B_\nu (t_\nu ) \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \\ & = \int_0^\infty B_\nu ( T ( \tau_\nu ) )\ \exp \left[ - { \tau_\nu \over \mu } \right] {{d \tau_\nu } \over \mu } = I_\nu (0, \mu ) \end{align}

이 때, 빛이 바깥으로 나가는 방향($\mu \ge 0$일 때만 유의미하므로

(3)
\begin{align} I_\nu (0, \mu ) = \begin{cases} \int_0^\infty B_\nu ( T ( \tau_\nu ) )\ \exp \left[ - { \tau_\nu \over \mu } \right] {{d \tau_\nu } \over \mu } & \mu \ge 0 \\ ­ \quad \\ 0 & \mu \le 0 \end{cases} \end{align}

표면에서의 고유세기를 안다면 표면에서의 평균세기는 다음과 같다.

(4)
\begin{align} J_\nu (0) & = \int {{ I_\nu (0, \mu )\ d \omega } \over {4 \pi }} = {1 \over {4 \pi}} \int I_\nu ( 0, \mu ) 2 \pi\ d \mu \\ & \qquad (\because d \omega = \sin \theta\ d \theta\ d \phi = - d \phi \times d \cos \theta = - d \phi\ d \mu ) \\ & = {1 \over 2} \int I_\nu (0, \mu )\ d \mu \end{align}

선속은 방향에 무의미하므로 태양이 아닌 별에서는 세기보다는 선속이 유의미하다(시선방향에 대해 적분)

(5)
\begin{align} F_\nu & = \oint I_\nu (0, \mu ) \cos \theta\ d \omega = \int I_\nu ( 0, \mu ) \times \mu \times 2 \pi\ d \mu \\ & = 2 \pi \int I_\nu (0, \mu ) \mu\ d \mu \\ & = 2 \pi \int_0^1 \int_0^\infty B_\nu ( \tau_\nu ) \exp \left[ - { \tau_\nu \over \mu } \right] {{d \tau_\nu } \over \mu} \mu\ d \mu \\ & = 2 \pi \int_0^\infty B_\nu ( \tau_\nu ) \times \left\{ \int_0^1 \exp \left[ - { \tau_\nu \over \mu } \right] d \mu \right\} d \tau_\nu \\ & = 2 \pi \int_0^\infty B_\nu ( \tau_\nu ) \times E_2 ( \tau_\nu )\ d \tau_\nu \end{align}
  • 이때 $E_2$는 지수적분함수이다.
(6)
\begin{align} E_n (t) = \int_0^\infty {{ \exp [ - x t ] } \over x^n } dx \end{align}

정리:

(7)
\begin{align} I_\nu (0, \mu ) & = \int_0^\infty B_\nu ( \tau_\nu ) \exp \left[ - { \tau_\nu \over \mu } \right] {{d \tau_\nu } \over \mu } \\ F_\nu (0 ) & = 2 \pi \int_0^\infty B( \tau_\nu ) E_2 ( \tau_\nu )\ d \tau_\nu \\ I_\nu (0, 1 ) & = \int_0^\infty B_\nu ( \tau_\nu )\ \exp [ - \tau_\nu ]\ d \tau_\nu \end{align}
  • 에딩턴-바비어 근사 $B_\nu ( \tau_\nu) = a_\nu + b \tau_\nu$ 를 하면
(8)
\begin{align} I_\nu (0, \nu ) & = a_\nu + b_\nu \mu = B_\nu ( \tau_\nu = \mu ) \\ I_\nu (0, 1 ) & = a_\nu + b_\nu = B_\nu ( \tau_\nu = 1 ) \\ F_\nu (0) & = 2 \pi \int ( a_\nu + b_\nu \mu ) \mu\ d \mu = 2 \pi \left[ a_\nu {1 \over 2} \mu^2 + {1 \over 3} b_\nu \mu^3 \right]_0^1 \\ & = \pi \left( a_\nu + {2 \over 3} b_\nu \right) \approx B_\nu \left( \tau_\nu = {2 \over 3} \right) \end{align}

깊은 곳을 보는 방법(들)

  • $\mu$의 변동 — 주연감광(후술): 태양에서만 성립. 점광원인 별에서는 불가
  • $\nu$의 변동
(9)
\begin{align} a_\nu & = B_\nu ( T ( t_\nu = 0 )) = B_\nu ( T_0 ) \qquad T_0: 경계온도 \\ F_\nu & = \pi \left( a_\nu + {2 \over 3} b_\nu \right) = \pi\ B_\nu ( T_\mathrm{eff} ) \qquad 유효온도\ T_\mathrm{eff} \simeq T \left( \tau_\nu = {2 \over 3} \right) \end{align}

태양의 경우 $T_\odot ( t_\nu = 1 ) = 6500\ \mathrm{K}, \quad T_\odot ( t_\nu = 2/3) = 5800\ \mathrm{K}$

  • 여기서 광구의 온도가 대략 6500 켈빈이라 말하는 것

주연감광

Sun920607.jpg

limb darkening. 가장자리로 갈수록 어두워지는 현상

기본 가정들:

  • LTE. 깊이 들어갈수록 온도가 높아진다 또는 원천함수가 커진다.
  • 에딩턴-바비어: 우리에게 보이는 빛은 광학적 깊이 1인 곳에서 나왔다

$\mu = \cos \theta$의 변동: 중심에서 가장자리로 갈수록 커짐.

  • 중심에서 $\mu = 1$, 가장자리에서 $\mu = 0$
limb-darkening.png
  • 중심에서의 세기 $= I_\nu (0, 1) = a_\nu + b_\nu$
  • 가장자리에서의 세기 $= I_\nu (0, 0) = a_\nu$
  • 여기서 알 수 있는 것: $b_\nu > 0$

만일 바깥으로 갈수록 원천함수가 증가하는 별이 있다면 주연증광(limb brightening)이 일어날 것 (그런 거 없다)

진동수와 깊이

  • 외계항성의 경우 세기를 잴 수 없고 주연감광도 잴 수 없으며 오로지 선속만 알 수 있음
(10)
\begin{align} F_\nu = \pi B_\nu \left( \tau_\nu {2 \over 3} \right) \end{align}
  • 이 때 $B_\nu = B_\nu (T)$ — 플랑크 함수는 온도의 함수이므로
  • 또한 $T = T ( \tau_c )$, $\tau_c$는 기준파장에서의 광학적 깊이.
(11)
\begin{align} \therefore\ B_\nu (\tau_\nu ) = B_\nu ( T ( \tau_c ( \tau_\nu )) ): 삼중합성함수 \end{align}

선속은 $\tau_\nu = 2/3$에서 나옴을 알고 있으니, $\tau_c ( \tau_\nu = 2/3) = ?$

(12)
\begin{align} \left. \begin{matrix} d \tau_\nu & = - \kappa_\nu\ ds \\ d \tau_c & = - \kappa_c\ ds \end{matrix} \right\} \longrightarrow {{d \tau_\nu } \over {d \tau_c }} = { \kappa_\nu \over \kappa_c} \end{align}
(13)
\begin{align} \tau_\nu & = { \kappa_\nu \over \kappa_c } \tau_c \\ \tau_\nu & = { 2 \over 3} \iff \tau_c = {2 \over 3} { \kappa_c \over \kappa_\nu} \end{align}
(14)
\begin{align} \therefore\ F_\nu & = \pi B_\nu \left( \tau_\nu = {2 \over 3} \right) = \pi B_\nu \left( \tau_c = {2 \over 3} { \kappa_c \over \kappa_\nu } \right) \end{align}
  • 흡수계수 $\kappa_\nu$가 커지면 보이는 깊이 $\tau_c$가 작아진다 i.e. 불투명해진다

항성 스펙트럼은 같은 깊이에서 오는 게 아님!

  • 연속복사가 흡수선복사보다 깊은 데서 나온다
  • 흡수선 근처에서는 흡수계수 증가, 빛이 나오는 깊이 감소.
  • 흡수선들끼리 비교했을 때는 약한선이 강한선보다 깊은 곳에서 나온다. 강한선은 아주 바깥을 보는 것.

흠수선이 나타나는 이유

  1. 항성대기에 그 진동수의 빛을 상호작용(흡수, 방출)할 수 있는 물질이 있을 때
  2. 방출하는 양보다 흡수하는 양이 많다. 왜? 흡수할 수 있는 빛(배경광)이 많다

복사전달의 관점:

  • 빛을 봄은 특정 깊이의 원천함수를 보는 것과 같은데, 항성대기는 밖으로 갈수록 온도와 복사장이 감소, 원천함수가 감소.

분광윤곽의 상세

(15)
\begin{align} F_\nu & = \pi B_\nu \left( \tau_\nu = {2 \over 3} \right) = \pi B_\nu \left( \tau_c = {2 \over 3} { \kappa_c \over \kappa_\nu} \right) \\ F_\lambda & = \pi B_\lambda \left( \tau_\lambda = {2 \over 3} \right) = \pi B_\lambda \left( \tau_c = {2 \over 3} { \kappa_c \over \kappa_\lambda } \right) \end{align}
  • 진동수에 대한 선속은 물리적 의미 ($E = h \nu$)
  • 실제 관측되는 것은 파장에 대한 선속. 파장에 의존적인 것은 $\kappa_\nu, B_\nu$

(i) $\kappa_\nu = \kappa_c$일 때 (회색대기)

(16)
\begin{align} F_\lambda = \pi B_\lambda \left( \tau_c = {2 \over 3} \right) = \pi B_\lambda \left( T \left( \tau_c = {2 \over 3} \right) \right) \simeq \pi B_\lambda ( T_\mathrm{eff} ) \end{align}
  • 회색대기에서는 선속 = 플랑크함수의 $\pi$
  • 스펙트럼이 플랑크함수로 보인다면 그것은 회색대기(흑체 아님! 흑체 "같은 것")
  • 이것은 모든 지역에서 같은 깊이를 보고 있는 것이며, 그 깊이의 온도가 유효온도
  • 선복사란 흡수계수의 변화를 의미하는 것이므로, 선복사가 없고 오로지 연속복사
  • 즉 이것은 연속복사 분석에 중요한 지식

(ii) 흡수선 주변만 잘라서 들여다보기 ($| \lambda - \lambda_0 | \ll$)

  • 좁은 대역에서는 플랑크 함수가 파장에 독립적
(17)
\begin{align} F_\nu = \pi B_{\lambda_0} \left( \tau_c = {2 \over 3} { \kappa_c \over \kappa_\lambda } \right) \end{align}
  • 이 함수는 $\kappa_\lambda$에 의존적 (플랑크 함수 아님)
graphs.png
(18)
\begin{align} \lambda > \lambda_d & \implies { \kappa_\lambda \over \kappa_c } = r_2 \implies \tau_c = {2 \over 3} \times {1 \over r_2} = \tau_2 \\ \lambda < \lambda_d & \implies { \kappa_\lambda \over \kappa_c } = r_1 \implies \tau_c = {2 \over 3} \times {1 \over r_1} = \tau_1 \\ & ­ \\ & \qquad r_1 > r_2, \quad \tau_1 < \tau_2 \end{align}
  • 파장에 따른 흡수계수의 변화의 역형태로 파장에 따른 선속변화가 발생한다.

복사평형

별이란?

  • 빛이 나오는 것 (by definition)
    • 빛이란: 열을 전달하는 수단(복사)
  • 흑체가 아님(중요) — 빛을 내기 때문
    • 흑체는 내부온도 변화가 없으나 별은 내부에 온도 기울기가 있다
    • 빛이 안에서 밖으로 나오므로 안으로 들어갈 수록 온도가 높아질 것

복사평형: 모든 열전달이 복사 i.e. 빛의 형태로 전달되는 상태

  • 평형이란 시간에 따른 변화가 없음을 의미
  • 밖으로 빛을 전달하는 cooling 양 = 안으로부터 빛을 전달받는 heating 양
  • 복사에너지 선속이 위치에 따라 변하지 않음
  • 단, 단위파장당 선속 $F_\nu$가 일정하다는 얘기가 아님. 일정한 것은 모든 복사의 총합 $\sum F$

복사전달방정식 다시 꺼내보기

  • 에너지 관점에선 적분하면 다 보존되어야 함
(19)
\begin{align} \mu {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} & = I_\nu - S_\nu \\ F_\nu & = 2 \pi \int I _\nu \mu d \mu \\ {{d \cdot 2 \pi \mu I_\nu } \over {d \tau_\nu }} & = 2 \pi I_\nu - 2 \pi S_\nu \\ {d \over {d \tau_\nu }} \int 2 \pi \mu I_\nu\ d \mu & = \int 2 \pi I_\nu\ d \mu - \int 2 \pi S_\nu\ d \mu \\ {{d F_\nu } \over {d \tau_\nu }} & = 4 \pi J_\nu - 4 \pi S_nu \\ d \tau_\nu & = \kappa_\nu\ ds = - \kappa_\nu\ dz \\ {{dF_\nu } \over {dz}} & = - \kappa_\nu 4 \pi ( J_\nu - S_\nu ) = - 4 \pi ( \kappa_\nu J_\nu - \kappa_\nu S_\nu ) \end{align}

복사평형이란 무어냐

(20)
\begin{align} \int F_\nu\ d \nu & = F = \mathrm{const.}\ \mathrm{over}\ z \\ {{dF} \over {dz}} & = - 4 \pi \left( \int \kappa_\nu J_\nu\ d \nu - \int \kappa_\nu S_\nu\ d \nu \right) = 0 \\ \therefore\ 복사평형 & \iff \int \kappa_\nu J_\nu\ d \nu = \int \kappa_\nu S_\nu\ d \nu \\ & \iff \int F_\nu\ d \nu = \mathrm{const.} \end{align}

이론적으로 다룰 수 있는 대기는 복사평형 상태(단순화됨)이다.

  • 복사평형이 아니라면 복사 이외의 에너지 전달이 존재(대류, 전자기, 역학적, … )

$\kappa_\nu = \mathrm{const.}$를 가정하면 흡수가 진동수-파장에 독립적으로 일어남

  • 모든 파장에서 똑같이 흡수되는 회색대기
    • cf. 흑체는 모든 파장을 흡수해서 가둬놓음
  • 회색대기의 색은 회색이 아님. 대기의 색은 온도가 결정. 온도는 에너지 선속이 결정.
  • 스펙트럼은 플랑크함수 $B(T)$로 결정되는데 $\kappa_\nu$$\nu$에 무관해지므로
(21)
\begin{align} \int \kappa_\nu J_\nu\ d \nu & = \int \kappa_\nu S_\nu\ d \nu \\ \kappa_\nu \int J_\nu\ d \nu & = \kappa_\nu \int S_\nu\ d \nu \\ \int J_\nu\ d \nu & = \int S_\nu\ d \nu \\ J & = S \end{align}

마찬가지로 회색대기에서 $\int I_\nu\ d \nu = I$

  • 실제 물리적인 대기는 안 그렇습니다 — 흡수선의 존재가 회색대기가 아니라는 증거

복사평형 상태인 대기의 개념도:

radiative-equilibrium.png
  • 옆으로는 알짜 흐름이 없음
  • 깊어질수록 원천함수가 크므로 선속도 증가함
  • 바깥층에서 선속 1이 나갔음은 그 아래층이 선속 2를 보내줌과 함께 바깥층으로부터 선속 1을 받았음이다.

회색대기

복사 모먼트 방정식

(22)
\begin{align} \kappa_\nu & = {1 \over 2} \int I_\nu \mu^2\ d \mu \quad (2차\ 모먼트) \\ J_\nu & = {1 \over 2 } \int I_\nu \mu^0\ d \mu \quad (0차\ 모먼트 = 평균세기) \\ F_\nu & = 2 \pi \int I_\nu \mu\ d \mu \quad (1차\ 모먼트 = 선속) \end{align}
  • 여기서 사용한 중요한 가정: $K_\nu = J_\nu / 3$ (에딩턴 근사의 결과)
    • 이 근사는 등온할수록(항성대기에서 깊은 데일수록) 잘 맞음
(23)
\begin{align} {{dF} \over {dz}} & = - 4 \pi \left( \int \kappa_\nu J_\nu d \nu - \int \kappa_\nu S_\nu d \nu \right) \quad (회색대기\ 가정) \\ {{dF} \over {d \tau}} & = 4 \pi \left( \int J_\nu d \nu - \int S_\nu d \nu \right) \\ & = 4 \pi ( J - S ) \\ \therefore\ J = S & \iff 복사평형 \iff F = \mathrm{const.} = F_0 \end{align}
(24)
\begin{align} {{dF} \over {d \tau}} & = 4 \pi ( J - S) \\ \mu {{ dI } \over {d \tau }} & = I - S \\ {d \over {d \tau }} {1 \over 2} \int I \nu^2 d \nu & = {1 \over 2} I \mu\ d \mu - {1 \over 2} \int_1^1 S \mu\ d \mu \\ {d \over {d \tau} } K & = {1 \over {4 \pi}} F = { F_0 \over {4 \pi}} \end{align}
(25)
\begin{cases} {d \over {d \tau}} {1 \over 3} J & = { F_0 \over {4 \pi}}, \longrightarrow {d \over {d \tau}} J = {{3 F_0} \over {4 \pi}} \\ ­ \\ J = S & = \int B_\nu ( \tau ) d \nu = \sigma T^4 \end{cases}

결과적으로

(26)
\begin{align} J = {3 \over {4 \pi}} F_0 \tau + J_0 \qqud ( J_0 = J ( \tau = 0 ) ) \end{align}
(27)
\begin{align} \left. \begin{matrix} J_0 = & {1 \over 2} I_\mathrm{out} \\ ­ \\ F_0 = & \pi I_\mathrm{out} \end{matrix} \right\} \implies J_0 = {1 \over {2 \pi}} F_0 \end{align}
(28)
\begin{align} J & = {3 \over {4 \pi}} F_0 \tau + J_0 = {3 \over {4 \pi}} F_0 \left( \tau + {2 \over 3} \right) \\ J & = S = { 1 \over \pi} \sigma T^4 \\ F_0 & = \sigma {T_\mathrm{eff}}^4 \\ {1 \over \pi} \sigma T^4 & = {3 \over {4 \pi}} \sigma {T_\mathrm{eff} }^4 \left( \tau + {2 \over 3} \right) \\ T & = { T_\mathrm{eff} } \left( {3 \over 4} \pi + {1 \over 2} \right)^{-1/4} \end{align}

좀 엉성… 하지만 이 가정을 함으로써 문제를 풀 수 있음

요는:

  • 복사평형일 때 선속은 일정
  • 복사장은 안으로 갈수록 증가 (가장 밖에서 안으로 들어가는 것이 없으므로)
  • 굉장히 중요한 것: 선속이 클수록(에너지 전달량이 많을수록) 유효온도가 커질 뿐 아니라 실제 온도도 올라간다 $(T ( \tau = 2/3) = T_\mathrm{eff})$

태양의 경우에는 쳐다봤을 때 $\tau = 1$에서 나온 고유세기가 보임
점광원 별은 평균적으로 $\tau = {2/3}$에서 나온 선속이 나옴
$\tau = 0$이면? 대기의 가장 바깥. 그 바깥의 온도인 경계온도는 다음과 같음.

(29)
\begin{align} T_0 = T ( \tau = 0 ) = \left( {1 \over 2} \right)^{1/4} T_\mathrm{eff} = 0.84 \cdot T_\mathrm{eff} \end{align}
  • 이에 따르면 태양의 온도는 광학적 깊이가 커질수록 커져야 함
  • 하지만 실제 태양은 그렇지 않고 광학적 깊이가 최저인 곳의 온도가 높다가 낮아지다가 다시 높아지는 개형
  • 복사평형을 이루는 구간은 매우 좁음

회색대기의 스펙트럼은 플랑크 함수 꼴. 그 함수에 들어갈 온도가 유효온도.

  • OB성이 가장 회색대기에 가깝다.
    • 특히 O성: 온도가 3만-5만 켈빈 → 수소 전리 → 자유전자는 진동수와 무관하게 모든 빛 흡수, 방출 → 사방팔방으로 톰슨산란
  • A성 이후로는 발머선, 발머불연속이 나타나고, 말기형으로 갈수록 스펙트럼이 개판이 된다.
  • 어쨌든 회색대기는 흑체는 아님!