6. 방출선과 흡수선

방출선의 이해

광학적으로 얇은 플라스마의 방출

  • e.g. 태양코로나, 은하코로나, 전리수소영역

${I_\nu}^\mathrm{in} = 0, \tau_\nu \ll 1$을 전제

(1)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} & = \int_0^{\tau_\nu} S_\nu ( t_\nu ) \cdot \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \\ & = \int_0^{ \tau_\nu } S_\nu (t_\nu )\ d t_\nu \\ & = \int { j_\nu \over \kappa_\nu }\ ds = \int j_\nu\ ds \\ & = S_\nu \tau_\nu \quad (\mathrm{if}\ S_\nu = \mathrm{const.} ) \\ \therefore\ {I_\nu}^\mathrm{out} & = \int n_u {{ A_{ul} } \over {4 \pi } } \phi_\nu\ h \nu\ ds \end{align}

광학적으로 얇을 때 $n_l \longrightarrow n_u$(들뜸)이 될 수 있는 경우는 두 가지:

(2)
\begin{cases} \mathrm{(i)\ 충돌들뜸} & n_e n_l C_{lu} (T) = n_u A_{ul} \\ \mathrm{(i)\ 복사들뜸} & S_\nu = \bar{J_\nu} \propto n_l \bar{J} \\ \end{cases}

(i) 충돌들뜸

(3)
\begin{align} S_\nu & = \epsilon_\nu B_\nu + (1 - \epsilon_\nu ) \bar{J}_\nu \\ & \quad \epsilon_\nu \equiv {{ n_l C_{lu} } \over { n_l C_{lu} + A_{ul} }} \\ j_\nu & = S_\nu \kappa_\nu \propto n_l \end{align}
(4)
\begin{equation} n_l n_e C_{lu} (T) = n_u A_{ul} \end{equation}
(5)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} & = \int {1 \over {4 \pi}} n_l n_e C_{lu} (T) \phi_\nu h \nu\ ds \\ & \quad n_l = n_e f(T) \\ & = \int Q(T) {n_e}^2\ ds\ \phi_\nu \\ & = Q (T) \int {n_e}^2\ ds\ \phi_\nu (T) \end{align}

이때 온도는 깊이에 일정하다고 가정한다.

(ii) 복사들뜸

(6)
\begin{align} S_\nu = \bar{J}_\nu, \quad n_l B_{lu} \bar{J} = n_u A_{ul} \end{align}
(7)
\begin{align} I_\nu = S_\nu \tau_\nu \propto \bar{J} n_l \end{align}
(8)
\begin{align} \tau_\nu = \int n_l { B_{lu} \over {4 \pi }} h \nu\ ds\ \phi_\nu \end{align}

적분 속에 $n_e$가 없다. 전자밀도는 중요하지 않으며, 흡수할 수 있는 물질이 있는지($n_l$)만 중요하다.

방출선에서 광학적 두께의 영향

(9)
\begin{align} I_\nu & = I_0 \phi_\nu \\ & = I_\mathrm{peak} \exp \left[ - \left( {{ \nu - \nu_0 } \over { \Delta \nu_D }} \right)^2 \right] \end{align}
(10)
\begin{align} I_\nu & = \begin{cases} S_\nu ( 1 - \exp [ - \tau_\nu ] ) = S_\nu \left( 1 - \exp \left[ - \tau_0 \exp \left[ - \left( {{ \nu - \nu_0 } \over { \Delta \nu_D}} \right)^2 \right] \right] \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad : \mathrm{optically\ thick} \\ S_\nu \tau_nu = S_\nu \tau_0 \exp \left[ - \left( {{\nu - \nu_0 } \over { \Delta \nu_D }} \right)^2 \right] \qquad \qquad : \mathrm{optically\ thin} \end{cases} \end{align}
  • 대부분의 방출선은 광학적으로 얇다
  • 광학적으로 두꺼운 방출선의 예시: 라이먼 선

흡수선의 이해

(11)
\begin{cases} {I_\nu}^\mathrm{in} = 0 \quad (S_\nu > {I_\nu}^\mathrm{in} ) & \longrightarrow 방출 \\ {I_\nu}^\mathrm{in} \ne 0 \quad (S_\nu < {I_\nu}^\mathrm{in} ) & \longrightarrow 흡수 \end{cases}

차갑고 어두운 매질의 흡수(${I_\nu}^\mathrm{in} = I_c, S_\nu = 0$)

  • e.g. 지구야간대기, 성간매질의 소광
(12)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} = I_c \exp [ - \tau_\nu ] \end{align}
(13)
\begin{align} \tau_\nu & = \tau_0 \exp \left[ - \left( {{ \nu - \nu_0 } \over { \Delta \nu_D} } \right)^2 \right] \\ & \qquad \psi_\nu \equiv \exp \left[ - \left( {{ \nu - \nu_0 } \over { \Delta \nu_D} } \right)^2 \right] \\ & = \tau_0 \psi_\nu \end{align}
(14)
\begin{align} {{ {I_\nu}^\mathrm{out} - I_c } \over { I_c}} & = - ( 1 - \exp [ - \tau_\nu ] ) \\ & = - \tau_\nu \qquad (\mathrm{optically\ thin}) \\ & = - \tau_0 \psi_\nu \end{align}

광구 흡수선을 이해하는 두 가지 모형

슈스터-슈바르츠실트(SS) 모형: 광학적 두께가 유한

(15)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} & = {I_\nu}^\mathrm{in} \exp [ - \tau_\nu ] + S_\nu ( 1 - \exp [ - \tau_\nu ] ) \\ C_\nu & = {{ {I_\nu}^\mathrm{out} - I_c } \over { I_c }} = \left( { S_\nu \over I_c} - 1 \right) \left( 1 - \exp [ - \tau_\nu ] \right) \\ & \quad ( {I_\nu}^\mathrm{in} = I_c \end{align}
  • 이 때 $C_\nu < 0 \iff S_\nu < I_c$ 이면 흡수선
  • i.e. 배경복사가 크고 흡수층의 원천함수는 작으면 흡수선이 나타난다

밀른-에딩턴(ME) 모형: 광학적 두께가 무한

(16)
\begin{align} t_\nu & = t_c + {t_\nu}^\mathrm{line} \\ \kappa_\nu & = \kappa_c + {\kappa_\nu}^\mathrm{line} \end{align}
  • $t_c$는 연속흡수, ${t_\nu}^\mathrm{line}$는 선흡수를 의미
  • 연속복사는 엄밀히는 이원자 모델로 설명이 불가능함. 버뜨 그러나 개념적으로 이해해보자면
  • 우선 에딩턴-바비어 근사를 하면
(17)
\begin{align} t_\nu & = 0 \implies t_c = 0 \implies a_\nu = S_0 \\ b_\nu t_\nu & = S_1 t_c, \\ b_\nu & = S_\nu {t_c \over t_\nu} = S_1 {t_c \over { t_c + {t_\nu}^\mathrm{line} }} \end{align}
(18)
\begin{align} S_\nu & = a_\nu + b_\nu t_\nu = S_0 + S_1 t_c \quad (\because\ 식\ (17)) \\ {I_\nu}^\mathrm{out} & = S (t_\nu = 1) = a_\nu + b_\nu \\ & = S_0 + b_\nu = S_0 + S_1 { t_c \over { t_c + {t_\nu}^\mathrm{line}}} \quad (\because\ 식\ (17)) \\ {I_c}^\mathrm{out} & = S( t_c = 1) = S_0 + S_1 \end{align}
(19)
\begin{align} \therefore\ C_\nu & = {{ I_\nu - I_c } \over I_c } = \left( - S_1 { {t_\nu}^\mathrm{line} \over { t_c+ {t_\nu}^\mathrm{line}} } \right) / I_c \\ & = - {S_1 \over I_c} { {t_\nu}^\mathrm{line} \over { t_c + {t_\nu}^\mathrm{line} }} = - {S_1 \over I_c} {{ {\tau_\nu}^\mathrm{line} / \tau_c } \over {1+({\tau_\nu}^\mathrm{line} / \tau_c)}} \\ & = - {S_1 \over I_c} { { \eta \psi_\nu } \over { 1+ \eta \psi_\nu }} \end{align}
  • 이 때 $C_\nu < 0 \iff S_1 > 0$ 이면 흡수선
  • $S_1 \equiv dS/dt_c >0$, 즉 기울기가 중요 (연속적 이해)

정리:

(20)
\begin{cases} \mathrm{SS\ 모형:} & S< I_c : 들어온\ 것보다\ 나간\ 게\ 작으면\ 흡수 \\ \mathrm{ME\ 모형:} & {{dS} \over {dt_c}} > 0: 깊을수록\ 원천함수가\ 커지면\ 흡수 \end{cases}

채층복사

(21)
\begin{align} S_\nu = { j_\nu \over \kappa_\nu } \end{align}

원천함수 증감의 의미: 바깥으로 갈수록…

  • 방출/흡수 비가 작아진다 →
  • 방출할 수 있는 원자(높은 준위)는 적고 흡수할 수 있는 원자(낮은 준위)는 많다
  • why? 밖으로 갈수록 온도가 낮아지고 복사장이 작아진다

그런데 특이한 경우: 밖으로 갈수록 원천함수가 커짐 — e.g. 채층

core-emission.png
  • 대부분의 광구선(약한선)들은 채층이 있는지도 모름
  • 일부 강한선은 채층을 반영 (core emisison)
    • e.g. 프라운호퍼 H선, K선 (Ca II 이온)
  • H α는 온도보다 복사장에 의존하므로 채층에 무덤덤 — 복사장은 좌우간 밖으로 갈수록 약해지기 때문

채층-코로나 가열문제: 왜 밖으로 가는데 뜨거워지나?

  • 기본적으로 대기복사는 바깥으로 열이 빠져나감을 전제
    • 밖으로 열이 빠져나가면서 온도경사 발생, 계속 열이 빠져나감
    • 그러므로 안으로 들어갈수록 뜨거워야 함
  • 그렇다면 채층이나 코로나에는 복사전달(= 열전달) 이외의 에너지 전달이 있을 것
    • 비열적 에너지가 와서 열에너지로 전환되어야 하는 것이다
  • 열이란 입자의 무작위적 움직임 ⇔ 비열이란 입자의 규칙적인 움직임 aka 유체. 항성의 경우 대류
    • 유체의 운동에너지와 압력의 일을 전달하는 것이 음파
    • 가역적 에너지(음파)가 비가역적 에너지(열)로 바뀌는 것을 산일과정(dissipation)이라 함. 그럼 그 원인은? — 마찰(점성, 충격파)
  • 또다른 비열적 에너지: 전자기 위치에너지
    • 이 때 마찰의 역할을 하는 것은 전기저항

이상의 썰을 정리해 보면

(22)
\begin{align} 자전, 대류 \stackrel{\mathrm{비열적\ 에너지}}{\longrightarrow} \begin{matrix} 음파, 자기장, \\ 자기유체파 \end{matrix} \stackrel{\mathrm{산일(마찰, 저항)}}{\longrightarrow} 채층, 코로나 \end{align}
  • 그런데 대류는 만기형 항성(F, G, K, M)에서만 활발. 그렇다면 조기형 항성(O, B, A)에는 채층이 없을 것(아마도)
  • 자전이 빠를수록 각운동량 에너지가 크므로 채층이 강할 것 (자전이 빠른 항성 = 젊은 항성)
  • 쌍성은 자전에 공전까지 추가되니 채층이 매우 강할 것 (쌍성이라면 조기형도 채층이 있을지도?)

비열적 에너지가 가장 활발한 천체는? 활동은하핵 AGN

  • 중력위치에너지 → 운동에너지 → 비열적 에너지 → 고에너지 전자기파
  • 펄서 자기장도 같은 원리

다시 항성대기로:

  • 광구는 가시광, 적외선이 나오는 층
  • 채층도 가시광, 적외선 나오지만 광구 앞에서 명함 못 내밀 정도. 채층의 주특기는 근자외선, 그리고 흡수선 가운데의 core emission
  • 코로나는 엄청나게 뜨거워서 엑스선, 극자외선

앞으로 강의에서는 채층, 코로나 얘기는 없고 오로지 광구의 연속복사, 선복사 얘기만 할 것임

  • 광구 $\implies \mathrm{LTE} \implies S_\nu = B_\nu (T)$
  • LTE가 성립되면 마음이 편해짐
  • 높은 준위, 낮은 준위의 정확한 개수밀도는 몰라도 그 비율은 $T$로부터 알 수 있음. rate equation 안 풀어도 됨