5. 층 사이의 복사전달
layer.png
(1)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d t_\nu} } & = I_\nu - S_\nu \\ d \tau_\nu & = - \kappa_\nu\ ds \\ \tau_\nu & = \tau_0 \psi_\nu \end{align}
  • 앞으로 변수(optical depth)는 $t$, 특정값(optical thickness)은 $\tau$로 쓰겠음

원천함수가 없는 경우

zero source function = homogenious

(2)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d t_\nu}} = I_\nu \end{align}

미분해서 그 자신이 되는 함수는 지수함수

(3)
\begin{align} I_\nu = I_\nu\ \exp ( t_\nu) \end{align}
(4)
\begin{align} {{d \ln I_\nu } \over {d t_\nu}} & = 1 \\ \ln I_\nu ( \tau_\nu ) - \ln I_\nu (0) & = \tau_\nu \\ I_\nu (0 ) & = I_\nu ( \tau_\nu ) \exp [ - \tau_\nu ] \end{align}

원천함수가 0 → 방출이 없음 → 높은 준위 없음 → 온도가 낮고 빛도 없음 (꿈도 희망도 없음)

  • 예: 밤의 지구대기 (낮에는 태양광이 빛이 되므로), 성간매질

(5)
\begin{align} I_\nu (0 ) = I_\nu ( \tau_\nu ) \exp [ - \tau_\nu ] \end{align}

이것은 소광을 표현하는 식이며 측광학의 시작임

원천함수가 있는 경우

한편 분광학의 경우(non-zero source function), 일단 측광식을 그대로 쓰고 원천함수항을 붙임

(6)
\begin{align} S_\nu & \ne 0, \\ I_\nu (0) & = I_\nu ( \tau_\nu ) \exp [ - \tau_\nu ] + \int_0^{\tau_\nu} S_\nu (t_\nu) \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \end{align}

유도:

(7)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d t_\nu }} & = I_\nu - S_\nu \\ - S_\nu & = \left( {{d I_\nu } \over {d t_\nu }} - I_\nu \right) \\ I_\nu (0) & = I_\nu (t_\nu )\ \exp [ - t_\nu] \equiv L_\nu (t_\nu ) \\ {{d L_\nu} \over {dt}} & = - S_\nu\ \exp [ - t_\nu ] \\ & = {{d I_\nu } \over {d t_\nu}} \exp [- t_\nu ] \\ & = ( I_\nu - S_\nu ) \exp [ - t_\nu ] - I_\nu \exp [ - t_\nu ] \\ & = - S_\nu\ \exp [ - t_\nu ] \end{align}
(8)
\begin{align} \implies L_\nu (\tau_nu) - L_\nu (0) = \int_0^{\tau_\nu} - S_\nu \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \end{align}

이것을 정리하면 구해야 하는 식 (6)이 나옴

이것의 함의: 원천함수가 광학적 깊이의 함수로 주어진다면 이런 형식적 해가 나온다는 것

좀더 이해가 쉬운 형태:

(9)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} = {I_\nu}^\mathrm{in}\ \exp [ - \tau_\nu ] + \int_0^{\tau_\nu} S_\nu (t_\nu)\ \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \end{align}

일단 이 식을 열심히 외어야 쓰겠고, 그 의미를 해설해 보자면

easyform.png
  • 배경복사 ${I_\nu}^\mathrm{in}$은 조상에게 물려받은 재산이라 할 수 있음
    • 조상에게 물려받은 재산은 매질 속을 지나며 $\tau_\nu$에 지수적으로 까먹음을 표현하는 것이 제1항
    • 물려받은 걸 평생 까먹기만 하는 인간쓰레기 같은 경우 = 소광
  • 사람구실을 한다면 자기가 노동해서 벌어먹기도 해야 하는데 그 자산창출이 원천함수 $S_\nu$
    • 노동은 연속적이고 꾸준히 이루어지며, $S_\nu (t_\nu)$는 특정 지점 $t_\nu$에서 벌어먹은 양
    • 하지만 노동으로 번 것 역시 $t_\nu$에 지수적으로 까먹게 되어 있음
    • 각 지점에서 벌어먹고 또한 까먹는 것을 적분한 것이 제2항

예시:
zero source ($S_\nu = 0$)

  • 가시광의 소광 (전파는 그냥 대기 뚫고 들어오므로 해당하지 않음)
(10)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} = {I_\nu}^\mathrm{in}\ \exp [ - t_\nu] \end{align}

zero background (${I_\nu}^\mathrm{in} = 0$)

(11)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} & = \int_0^{\tau_\nu} S_\nu (t_\nu) \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \end{align}
  • 광학적으로 얇을 때($\tau_\nu \ll 1$): 성운, 형광등, 성간운(전파 대역)
(12)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} = \int S_\nu ( t_\nu )\ d t_\nu = \int d \nu ds \end{align}
  • 광학적으로 두꺼울 때($\tau_\nu \gg 1$): 고압나트륨등, 항성대기
(13)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} = \int_0^{\tau_\nu} S_\nu (t_\nu) \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \end{align}

constant source ($S_\nu (t) = S_\nu = \mathrm{const.}$): 성간운

(14)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} & = {I_\nu}^\mathrm{in}\ \exp [ - \tau_\nu ] + S_\nu ( 1 - \exp [ - \tau_\nu ] ) \\ {I_\nu}^\mathrm{out} - {I_\nu}^\mathrm{in} & = {I_\nu}^\mathrm{in} ( \exp [ - \tau_\nu ] - 1) + S_\nu ( 1 - \exp [ - \tau_\nu ]) \\ & = S_\nu (1 - \exp [ - \tau_\nu ] ) - {I_\nu}^\mathrm{in} (1 - \exp [ - \tau_\nu ] ) \\ & = ( S_\nu - {I_\nu}^\mathrm{in} ) (1 - \exp [ - \tau_\nu ] ) \end{align}

에딩턴-바비어 근사

항성대기에서는 바깥으로 갈수록 원천함수가 작아지며, 원천함수는 양수(흡수계수)와 양수(방출계수)의 비이므로 양수여야 한다.

(15)
\begin{align} S_\nu ( t_\nu ) = a_\nu + b_\nu t_\nu > 0 \end{align}
(16)
\begin{align} {I_\nu}^\mathrm{out} & = \int_0^{ \tau_\nu} S_\nu (t_\nu ) \cdot \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \\ & = \int_0^\infty S_\nu ( t_\nu ) \cdot \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu \quad (\because\ 항성대기: \tau_\nu = \infty ) \\ & = a_\nu + b_\nu \\ & = S_\nu (t_\nu = 1) = S_\nu (1) \end{align}

왜냐하면

(17)
\begin{align} \int_0^\infty t_\nu \cdot \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu = \int_0^\infty \exp [ - t_\nu ]\ d t_\nu = 1 \end{align}

${I_\nu}^\mathrm{out} \approx S_\nu (1)$ 이므로, 어떤 파장에서 별 밖으로 나오는 복사세기는 그 파장에서 광학적 두께가 1이 되는 원천함수와 근사적으로 같다.

formation-height.png