4. 흡수·방출 윤곽

지금껏 얘기 안한 놈: $\phi_\nu$ [Hz-1]

  • ${\phi_\nu}^\mathrm{abs}, {\phi_\nu}^\mathrm{em}$은 다르지만 그것까지 얘기하려면 원자물리학적 지식이 필요한 바, 지금은 그냥 같다고 친다
  • 이하 논의는 모두 이준위 원자에 대한 것

이상 윤곽 (ideal profile)

  • 정확히 그 진동수에서만 1이고 나머지는 0.
  • 델타 함수. 선이 퍼지지 않음.
(1)
\begin{align} \phi_\nu & = \delta ( \nu - \nu_0 )\\ \int \phi_\nu\ d \nu & = 1 \end{align}

가우스 윤곽 (Gauss Profile)

  • 원자 운동으로 인한 도플러 선폭증가를 서술
(2)
\begin{align} {\phi_\nu}^\mathrm{G} = {1 \over { \sqrt{\pi} \Delta \nu_D }} \exp \left[ - \left( {{ \nu - \nu_0 } \over { \Delta \nu_D }} \right)^2 \right] \end{align}
(3)
\begin{align} 도플러\ 선폭\ \Delta \nu_\mathrm{D} = {\nu \over c} \sqrt{ {v_\mathrm{th}}^2 + \xi^2 } \end{align}
  • $v_\mathrm{th} = \sqrt{2} v_\mathrm{rms} = \sqrt{ 2kT / M }$: 원자의 열운동
  • $\xi$: 비열적 운동. 원자 각각이 아닌 원자연속매질의 유체운동. 난류적 운동. 뭔지 모름.
  • 무차원의 $u \equiv ( \nu - \nu_0 ) / \Delta \nu_\mathrm{D}$를 도입하면 가우스 윤곽은 다음과 같이 쓸 수 있다.
(4)
\begin{align} {\phi_\nu}^\mathrm{G} = {1 \over {\sqrt{\pi} \Delta \nu_\mathrm{D} }} \exp \left[ - u^2 \right] \end{align}

로렌츠 윤곽 (Lorenz profile)

(5)
\begin{align} {\phi_\nu}^\mathrm{L} & = {{ \gamma / 4 \pi^2 } \over { ( \nu - \nu_0)^2 + \left( { \gamma \over {4 \pi }} \right)^2 }} \\ & = {1 \over { \sqrt{ \pi} \Delta \nu_\mathrm{D} }} \times {{ {1 \over {\Delta {\nu_\mathrm{D}}^2}} \times \sqrt{\pi} \times \Delta \nu_\mathrm{D} \times \left( { \gamma \over { 4 \pi^2 }} \right) } \over { \left( {{ \nu - \nu_0} \over { \Delta \nu_\mathrm{D} }} \right)^2 + \left( { \gamma \over {4 \pi \Delta \nu_\mathrm{D}}} \right)^2 }} \\ & = {1 \over { \sqrt{\pi} \Delta \nu_\mathrm{D} }} \times {{ a/ \sqrt{\pi} } \over {u^2 + a^2 }} \\ & = {1 \over { \sqrt{\pi} \Delta \nu_\mathrm{D} }} L( u, a) \end{align}
  • $L (u,a)$: 로렌츠 함수 (무차원)
  • $a \equiv \gamma / ( 4 \pi \Delta \nu_\mathrm{D} )$

로렌츠 윤곽의 의미:

1. 고전적 감쇠 — 원자를 하나의 진동자로 취급, 빛을 흡수하는 것은 조화진동 강제, 빛을 방출하는 것은 에너지 감소, 즉 진동의 감쇠

(6)
\begin{align} m {{ d^2 x} \over {dt^2}} & = - kx \\ {{d^2 x } \over {dt^2}} & = - {k \over m} x = - {\omega_0}^2 x, \quad \omega_0 = \sqrt{ k \over m } \\ {{ d^2 x } \over {d t^2 }} + { \omega_0}^2 x & = \omega^2 x : \quad 외부에서\ 빛을\ 흡수함을\ 표현 \\ 0 & = {{ d^2 x} \over {dt^2}} - ( \omega^2 - { \omega_0}^2 ) x \\ 0 & = {{d^2 x} \over {dt^2}} + \gamma {{dx} \over {dt}} + ( {\omega_0}^2 + \omega^2 ) x \quad \left( \gamma \equiv {{ 2 e^2 \omega^2 } \over {3 m_e c^2 }} \right) \end{align}
  • 이 2차미방의 해가 로렌츠 함수

2. 양자적 감쇠

(7)
\begin{align} \Delta E\ \Delta \sim \hbar \end{align}
  • $\Delta E$는 진동수 $\nu$를, $\Delta t$ 는 머무르는 시간을 의미
  • $\gamma \propto A_{ul}$ [s-1]

3. 충돌감쇠

  • 대전입자(자유전자)가 가까이 오면(i.e. 밀도가 높으면) 전기장으로 인해 에너지에 변동이 발생
range.png

입자간 거리가 짧을수록(= 밀도가 클수록) 충돌이 우세하다

(8)
\begin{align} \Delta \nu = \nu_1 - \nu_2 = {C_n \over R^n } \end{align}
  • $n$이 크면 단거리 상호작용, 작으면 장거리 상호작용
$n$ 입자 예시
2 선형 스타크 선폭증가
(linear Stark broadening)
양성자, 전자 뜨거운 별(O, B, A)
4 사차 스타크 선폭증가
(quadratic Stark broadening)
전자 뜨거운 별
6 판데르발스 선폭증가
(van der Waals broadening)
중성수소 차가운 별
  • 뜨거운 별에서는 전리가 일어나서 전자밀도 $n_e$가 높아진다
  • 사차 스타크, 판데르발스 선폭증가는 로렌츠 함수를 따르지만 선형 스타크 선폭증가는 그렇지 아니하다.
  • 엄밀히는 선형 스타크 선폭증가는 별개의 함수를 써야 하지만 개념적으로 로렌츠 함수를 쓴다고 쳐 보자.
(9)
\begin{align} C_n & \sim \gamma_n \\ \log \gamma_4 & = 19 + {2 \over 3} \log C_4 + \log P_e - {5 \over 6} \log T \\ \log \gamma_6 & = 19.6 + {2 \over 5} \log C_6 + \log P_g - 0.7 \log T \end{align}
  • $P_e =$ 전자압력, $P_g \sim P_H$

사례:

  • 태양광구:
    • 깊을수록 온도 증가 → 전리 증가 → 전자증가
    • 깊어질수록 판데르발스 → 사차 스타크로 중요도 이동
  • 성운: 충돌 선폭증가 무시, 도플러 선폭증가만 생각해도 무방 (밀도가 너무 낮음)
  • 실험실: 충돌 선폭증가 존재

항성은 당연히 충돌 선폭증가가 존재함

  • 광구 밀도에 따라 충돌선폭증가의 중요도가 결정됨
  • 광구밀도는 표면중력에 의해 결정됨
  • 표면중력은 별이 작을수록 크다 → 같은 온도라도 작은 별이 압력이 크다
  • 즉 충돌 선폭증가는 별의 크기(~ 광도)로 결정된다
  • 충돌 선폭증가가 가장 큰 별 = 백색왜성

중성자별이 백색왜성보다 더 작은데?

  • 중성자별은 엑스선 연속복사(제동복사).
  • 대부분이 중성자고 극미량의 자유전자. 선스펙트럼 없음
  • 백색왜성은 양성자 + 자유전자 + 중성수소 이고 중성수소가 흡수선을 냄
  • 구속전자는 선복사를 내고 자유전자는 연속복사를 낸다.

시리우스, 북극성, 백색왜성 모두 대총 다 A형 분광형.

  • 공통점은 수소 흡수선이 두드러진다는 것
  • 차이점은 선폭. 백색왜성은 선이 퍼져 보이고, 시리우스 같은 주계열성은 선이 좁고, 북극성 같은 초거성은 선이 좁다 못해 뾰족

포크트 윤곽 (Vogt profile)

(10)
\begin{align} {\phi_\nu}^G & = {1 \over { \sqrt{\pi} \Delta \nu_D }} \exp \left[ - u^2 \right], \quad u \equiv {{ \nu - \nu_0} \over { \Delta \nu_D} } \\ {\phi_\nu}^L & = {1 \over { \sqrt{\pi} \Delta \nu_D}} { { a / \sqrt{\pi} } \over {u^2 + a^2 }}, \quad a \equiv { \gamma \over {4 \pi \Delta \nu_D }} \end{align}

이 두가지 선폭증가가 모두 존재할 경우 → 합성곱한 것이 포크트 윤곽

(11)
\begin{align} {\phi_\nu}^V & = {\phi_\nu}^L * {\phi_\nu}^G = {\phi_\nu}^G * {\phi_\nu}^L \\ & = {1 \over { \sqrt{\pi} \Delta \nu_D} } {a \over \pi} \int {{ \exp [ - {u_1}^2 ] } \over { (u- u_1 )^2 + a^2 }} du_1 \\ & = { 1 \over { \sqrt{ \pi} \Delta \nu_D } }\ H (u, a) \\ \int { \phi_\nu}^G\ d \Delta \nu & = \int {\phi_\nu}^L\ d \Delta \nu = \int {\phi_\nu}^V\ d \Delta \nu = 1 \quad (표준화) \end{align}

한편

(12)
\begin{align} \int H (u,a)\ du = \sqrt{ \pi }, \quad H (0,0) = 1 \end{align}

인 함수 $H (u,a)$를 포크트 함수라 함

gauss-lorenz-vogt.png
  • 가우스 함수: 중심이 두리뭉실, 날개가 뾰족
  • 로렌츠 함수: 중심이 뾰족, 날개가 두리뭉실
  • 포크트 함수: 중심과 날개 모두 두리뭉실

주의: 이 그래프는 선윤곽 그래프가 아니고 흡수계수윤곽 그래프

  • 선이 강하지 않으면 두 윤곽은 거의 비슷해진다

성운은 가우스만으로 기술 가능, 항성대기는 가우스 안되고 포크트 사용(로렌츠는 포크트를 도출하는 과정으로 이해)

정리

(13)
\begin{align} \kappa_\nu & = g_l f_\mathrm{abs} n_e \phi_\nu = \kappa_0 \psi_\nu \\ \psi_\nu & \equiv { \phi_\nu \over { \operatorname{Max} ( \phi_\nu ) }}, \quad \psi_\nu ( \Delta \nu = 0 ) = 1 \\ \tau_\nu & = \int \kappa_nu\ ds = \int \kappa_0 \psi_\nu\ ds = \tau_0 \psi_\nu \end{align}