3. 원천함수

아인슈타인 계수

그래서 $S_\nu$는 어떻게 결정할 수 있는가?

  • i.e. $j_\nu, \kappa_\nu$를 어떻게 결정할 수 있는가?
(1)
\begin{align} \left. \begin{matrix} {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu - S_\nu \\ d \tau_\nu & = - \kappa_\nu ds \end{matrix} \right\} \longrightarrow \begin{matrix} j_\nu = ? \\ \kappa_\nu = ? \\ S_\nu = ? \end{matrix} \end{align}

아인슈타인 계수(Einstein coefficient): 원자 천이를 나타내는 척도. 원자 천이는 세 가지로 나뉨;

  • 자발천이(spontaneous transition): 시간이 지나면서 전자가 저절로 낮은 준위로 내려오는 천이
  • 복사천이(radiative transition): 빛을 받아서 전자가 높은 준위로 올라가는 천이
  • 유도천이(induced transition): 빛을 받았는데 전자가 낮은 준위로 내려오는 전이

이 중 유도천이는 극히 미미.

이하 $n_u, n_l$$u, l$ 준위의 원자의 개수밀도를 의미함

방출계수의 유도:

아인슈타인 계수 $A_{ul}$의 정의:

  • 높은 준위($u$)에서 낮은 준위($l$)로 떨어지는 천이의 발생률 (원자 하나에 대해서)
  • 떨어지는 시간의 역수 = 1초당 떨어지는 수이므로 차원은 시간의 역수 [s-1]

$n_u\ A_{ul} =$ 단위부피당 $A_{ul}$ [cm-3 s-1]
자발천이가 일어날 때 등방적 방출이 발생, 그것의 에너지는 $n_u\ A_{ul}\ h \nu$ [erg cm-3 s-1]
사방으로 퍼지는 등방방출 중 우리가 원하는 방향만 필요하므로 입체각으로 나누고 [erg cm-3 s-1 sr-1]

(2)
\begin{align} {{n_u\ A_{ul}\ h\ \nu} \over {4 \pi}} \end{align}

그리고 진동수 분포 $\phi_\nu$를 곱해줌 [erg cm-3 s-1 sr-1 Hz-1]

  • 진동수가 조금 달라도 천이가 일어날 수 있을 때, 그 효율을 표현하는 것임
  • 확률분포함수이므로 $\int \phi_\nu\ d \nu = 1$
  • 가장 간단한 분포함수는 정확히 특정 진동수만 1이고 나머지는 0인 델타함수
(3)
\begin{align} {{n_u\ A_{ul}\ h\ \nu} \over {4 \pi}} \phi_\nu \end{align}
(4)
\begin{align} \therefore\ I_\nu & = {{n_u\ A_{ul}\ h \nu} \over {4 \pi}} \phi_\nu\ ds \\ \implies j_\nu = {{d I_\nu} \over {ds}} & = {{n_u\ A_{ul}\ h \nu} \over {4 \pi}} \phi_\nu \end{align}
  • 이 때 아인슈타인 계수 $A_{ul}$은 물질의 고유성질, 에너지 $h \nu$는 파장대역의 고유성질
  • 반면 $n_u, \phi_\nu$ 는 매질의 물리적 상태(온도, 밀도, 복사장)에 의존적

흡수계수의 유도:

아인슈타인 계수 $B_{lu}$의 정의:

  • 낮은 준위($l$)에서 높은 준위($u$)로 올라가는 천이의 발생률 (원자 하나에 대해서) [s-1]

흡수를 할 수 있는 준위의 원자와, 흡수될 빛이 많아야 위로 잘 올라갈 것: $n_l \bar{J}_\nu B_{lu}$

  • 이것은 단위부피당 복사천이 발생률이며, 평균세기는 "모든 방향"을 고려하여 흡수될 빛의 복사장을 표현
  • 평균세기의 평균을 낸다 함은 $\phi_\nu$를 규정한 것과 같이, 약간의 진동수 차이가 있어도 흡수가 가능할 때 그 것을 고려해 평균을 내는 것
  • 흡수와 방출의 $\phi_\nu$가 다를 수 있지만 편의상 같다고 치겠음

방출계수를 얻은 것과 마찬가지 과정에 의하여

(5)
\begin{align} d I_\nu & = - {{n_l I_\nu B_{lu}} \over {4 \pi}} \phi_\nu\ h \nu\ ds \end{align}

한편, 유도천이는 높은 준위에서 낮은 준위로 떨어지기 때문에 아인슈타인 계수를 $B_{ul}$로 쓰고 개수밀도도 $n_u$를 사용

(6)
\begin{align} d I_\nu & = + {{n_u I_\nu B_{ul}} \over {4 \pi}} \phi_\nu\ h \nu\ ds \end{align}

정리: 세기의 변화량 = 자발천이 - 복사천이 + 유도천이

(7)
\begin{align} d I_\nu & = {{ n_u A_{ul}} \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu\ ds - {{ n_l B_{lu}} \over {4 \pi}} I_\nu \phi_\nu h \nu\ ds + {{ n_u B_{ul}} \over {4 \pi}} I_\nu \phi_\nu h \nu\ ds \\ & = {{n_u A_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu\ ds - \left( {{n_l B_{lu} } \over {4 \pi} } \phi_\nu h \nu - {{ n_u B_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu \right) I_\nu\ ds \end{align}
(8)
\begin{align} \therefore\ \begin{cases} j_\nu & = {{n_u A_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu \\ \kappa_\nu & = {{n_l B_{lu} } \over {4 \pi} } \phi_\nu h \nu - {{ n_u B_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu \end{cases} \end{align}
  • 이 때 흡수계수의 제2항(유도천이)은 대부분 거의 무시 가능함 ($\because\ n_l \gg n_u$)

$\implies$

  • $j_\nu \propto n_u :$ 방출을 하려면 높은 준위의 원자가 많이 필요
  • $\kappa_\nu \propto n_l :$ 흡수를 하려면 낮은 준위의 원자가 많이 필요

즉 (흡수/방출)을 잘 하는 매질을 결정하는 조건: 아인슈타인 계수와 원자의 준위

  • $A, B$는 물질의 고유값
  • $n_u, n_l$은 온도, 복사장에 의존적
(9)
\begin{align} \therefore\ S_\nu \propto {n_u \over n_l} \end{align}
  • 낮은 준위 원자와 높은 준위 원자의 비가 중요하다 → 앞으로의 관심사

열역학적 평형 상태(LTE)라면 온도에 의해 다 결정됨. e.g. 백열등
열역학적 평형이 아니라면 그렇지 아니함 e.g. 형광등

아인슈타인 관계

(10)
\begin{align} S_\nu = { j_\nu \over \kappa_\nu } & = { {n_u A_{ul} } \over { n_l B_{lu} - n_u B_{ul} } } \\ & = { A_{ul} \over B_{ul} } {1 \over { \left( { {n_l B_{lu} } \over {n_u B_{ul} } } \right) -1} } \end{align}

열역학적 평형 상태에서는

(11)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} & = {{ d I_\nu } \over {d S_\nu }} = 0 \\ {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu - S_\nu = 0 \\ I_\nu = S_\nu & = B_\nu (T) \\ & = {{2 h \nu^3} \over c^2 } {1 \over { e^{h \nu / kT} - 1}} \end{align}

이것을 식(29)에 적용하면

(12)
\begin{align} S_\nu & = { A_{ul} \over B_{ul} } {1 \over { {{n_l B_{lu} } \over { n_u B_{ul} }} -1 }} = {{2 h \nu^3} \over c^2 } {1 \over {e^{h \nu / kT} - 1 }} \end{align}
(13)
\begin{align} \implies { A_{ul} \over B_{ul} } & = {{2 h \nu^3} \over c^2 }, {{ n_l B_{lu} } \over {n_u B_{ul} } } = \exp [ h \nu / kT ] \\ { B_{lu} \over B_{ul} } & = {n_u \over n_l} e^{h \nu / kT } = {g_u \over g_l } \\ {n_u \over n_l} & = {g_u \over g_l} e^{- h \nu / kT } \end{align}

이 때 $g_u, g_l$은 통계역학적 가중치(detailed balance). 원자의 고유성질.

(14)
\begin{align} g_l B_{lu} & = g_u B_{ul} \\ A_{ul} & = {{2 h \nu^3} \over c^2 } B_{ul} \end{align}

$\therefore\ A_{ul}, B_{lu}, B_{ul}$은 모두 서로 비례. 하나만 알면 다 알 수 있음 — 아인슈타인 관계

  • $A_{ul}$의 단위가 가장 편하므로 보통 $B_{ul}, B_{lu}$$A_{ul}$에 의해 결정된다고 말함

$S_\nu$$n_u / n_l$에 의해 결정, 즉 $n_u$가 커지면 $S_\nu$도 커짐

  • 원자 에너지 준위가 올라갈 때: 두 가지 과정 (충돌, 복사)
  • 원자 에너지 준위가 내려갈 때: 세 가지 과정 (충돌, 복사, 자발)
  • LTE 상태에서는 $S_\nu = B_\nu (T)$
    • 밀도가 높다 → 충돌천이(자유전자 밀도에 의존적)
  • 비-LTE 상태에서는 $S_\nu = \bar{J}$
    • LTE가 아니라는 것은 밀도가 희박하다는 뜻 → 충돌천이가 없고 복사천이만 일어난다
(15)
\begin{align} {n_u \over n_l} & = {{ B_{lu} \bar{J}_\nu } \over { A_{ul} + B_{ul} \bar{J}_\nu }} \\ {{ n_l B_{lu} } \over { n_u B_{ul} }} & = {{A_{ul} + B_{ul} \bar{J}_\nu } \over { B_{lu} \bar{J}_\nu }} \times {{B_{lu} } \over { B_{ul} }} \\ & = {{ A_{ul} / B_{ul} + \bar{J}_\nu } \over {\bar{J}_\nu}} \\ & = {{ A_{ul} / B_{ul} } \over { \bar{J}_\nu }}+1 \\ \bar{J}_\nu & = {{A_{ul} / B_{ul} } \over { \left( { {n_l B_{lu}} \over {n_u B_{ul} } } \right) - 1 } } = S_\nu \end{align}

이것을 일반화하면 (준위가 2개인 원자에 대하여)

(16)
\begin{align} n_e \bar{J}_\nu B_{lu} + n_l n_e q_{lu} = n_u A_{ul} + n_u \bar{J}_\nu B_{ul} + n_u n_e q_{ul} \end{align}
  • 이 때 $q_{lu}, q_{ul}$은 충돌천이로 내려가거나 올라갈 확률
(17)
\begin{align} {n_l \over n_u} = {{ A_{ul} + \bar{J}_\nu B_{ul} } \over { \bar{J}_\nu B_{lu} + n_e q_{lu} }} \end{align}
  • LTE에서는
(18)
\begin{align} {q_{lu} \over q_{ul} } = {n_u \over n_l} = { q_u \over q_l } \exp [ - h \nu / kT ] \end{align}

식(36)을 대충 풀어주면

(19)
\begin{align} S_\nu & = \epsilon B_\nu + (1 - \epsilon) \bar{J}_\nu \\ & \left( \epsilon = { { n_e q_{ul} } \over { n_e q_{ul} + A_{ul} } } : 전자밀도의\ 척도 \right) \end{align}
  • $n_e$가 커서 $\epsilon \longrightarrow 1$: LTE ($S_\nu \longrightarrow B_\nu$)
  • $n_e$가 작아서 $\epsilon \longrightarrow 0$: 산란

밀도가 클수록 충돌천이가 dominant하고 LTE에 가까워짐. 충돌이 자발천이보다 dominant 하다면 LTE

(20)
\begin{align} \left( {{dn} \over {dt}} \right)_\mathrm{ex} & = \left( {{dn} \over {dt}} \right)_\mathrm{de-ex} \\ n_l ( B_{lu} \bar{J}_\nu + n_e C_{ln} (T) ) & = n_u ( A_{ul} + B_{ul} \bar{J}_\nu + n_e C_{ul} (T) ) \end{align}
  • $n_e$는 전자수의 척도
  • $\bar{J}_\nu = \int J_\nu\ \phi_\nu^\mathrm{abs}\ d \nu$는 광자수의 척도

열역학적 평형은 detailed balancing. 충돌천이는 충돌천이끼리, 복사천이는 복사천이끼리 평형해야 함

(21)
\begin{cases} \left( {{dn} \over {dt}} \right)_\mathrm{ex, rad} & = \left( {{dn} \over {dt}} \right)_\mathrm{deex, rad} \\ \left( {{dn} \over {dt}} \right)_\mathrm{ex, col} & = \left( {{dn} \over {dt}} \right)_\mathrm{deex, col} \end{cases}

또한 TE 상태에서는

(22)
\begin{align} \bar{J}_\nu & = B_\nu (T), \quad { n_l \over n_u } = { {n_l}^* \over {n_u}^* } \end{align}
  • 첨자 $*$는 TE 상태에서 가질 가상값을 의미
(23)
\begin{align} {n_l}^* B_{lu} B_\nu (T) & = {n_u}^* A_{ul} + {n_u}^* B_{ul} B_\nu (T) \\ {n_l}^* n_e C_{lu} (T) & = {n_u}^* n_e C_{ul}(T) \\ { {n_u}^* \over {n_l}^* } & = {g_u \over g_l} \exp \left[ - h \nu / kT \right] \\ \therefore\ g_l B_{lu} & = g_u B_{ul} = g_u A_{ul} { c^2 over {2 \nu^2}} \\ {{ C_{lu} (T) } \over { C_{ul} (T) }} & = { {n_u}^* \over {n_e}^* } = {g_u \over g_l } \exp \left[ - {{h \nu } \over {kT}} \right] \end{align}

다 집어넣어서 풀면

(24)
\begin{align} {n_u \over n_l} & = {{ B_{lu} \bar{J}_\nu + n_e C_{lu} (T) } \over { A_{ul} + B_{ul} \bar{J}_\nu + n_e C_{ul} (T) }} \\ S_\nu & = { { 2h \nu^3 } \over c^2} { 1 \over { {n_l \over n_u} {g_u \over g_l} -1 }} \\ & = \epsilon B_\nu + ( 1 - \epsilon ) \bar{J}_\nu \\ & \quad \left( \epsilon = { { n_e C_{ul} } \over { n_e C_{ul} + A_{ul} }} = {{얼마나\ 자주\ 충돌하느냐} \over {얼마나\ 자주\ 떨어지느냐}} \right) \end{align}

TE 상태에서는

(25)
\begin{align} S_\nu = \bar{J}_\nu = B_\nu \quad ( \because\ \bar{J}_\nu = B_\nu ) \end{align}

하지만 LTE 상태에서는

(26)
\begin{align} S_\nu = B_\nu (T), \quad B_\nu (T) \ne \bar{J}_\nu \\ \lim_{ \epsilon \rightarrow 1 } S_\nu = B_\nu (T) \end{align}
  • 전자 밀도가 높으면 → 충돌천이가 우세 → 볼츠만 분포 → 플랑크 함수 (그러나 $B_\nu = J_\nu$를 담보하지는 않음)

예시:

  • $\epsilon \longrightarrow 1 :$ 별 내부, 별 광구
    • 밀도가 아주 높으면? LTE. 끝
  • $\epsilon \longrightarrow 0 :$ 성운, 채층, 코로나
    • 그런데 $\epsilon$이 0에 가깝다고 모두 산란일까?
(27)
\begin{align} \lim_{ \epsilon \rightarrow 0 } S_\nu = \begin{cases} \epsilon B_\nu & \quad ( \bar{J}_\nu \longrightarrow 0 ) \\ \bar{J}_\nu & \end{cases} \end{align}
  • $\bar{J}_\nu$가 0에 가깝다는 것은 외부 광원이 없는 경우를 의미 — 이건 산란이 아님
  • 그리고 $\epsilon B_\nu$$\bar{J}_\nu$ 사이의 대소 관계도 작용
    • 온도가 높을수록 $\epsilon B_\nu$가 커지고, 외부조명이 밝을수록 $\bar{J}_\nu$가 커짐
    • $\bar{J}_\nu$는 광원의 (상대적) 위치에 의해 결정: 광원이 가까우면 크고 멀면 작다

예시:

  • 홍염: 온도가 낮음(가시광), 배경의 광구광이 산란되는 것
  • 코로나: 매우 뜨거움(극자외선). 광구에선 극자외선 같은 거 안 나옴. 즉 $\bar{J}_\nu \rightarrow 0$. 밀도가 매우 희박하지만 그럼에도 열복사가 우세함
(28)
\begin{align} 밀도 \begin{cases} 높음 \longrightarrow \mathrm{LTE}\ (충돌우세) : 항성 \\ 희박 \longrightarrow \bar{J} \begin{cases} (너무)큼 \longrightarrow 광전리: 전리수소영역 \\ 작음 \longrightarrow \epsilon B_\nu, J_\nu\ 비교 \begin{cases} 고온, B_\nu\ 우세: 코로나 \\ J_\nu\ 우세, 산란: 홍염, 반사성운 \end{cases} \end{cases} \end{cases} \end{align}
  • 전리수소영역은 빛이 너무 강해서 아예 전리($n = \infty$)가 일어나기 때문에 2준위 원자와는 경우가 좀 다름
  • 온도가 너무 높은 경우에도 전리가 일어나서 2준위 모델 성립 안함 (예: 은하코로나의 연속복사)

$S_\nu = B_nu (T)$가 되는 조건: 충돌천이가 자발천이보다 압도적, i.e. 밀도가 높다

  • TE ($B_\nu (T) = \bar{J}_\nu$)
  • LTE ($\epsilon= 1, B_\nu (T) \ne \bar{J}_\nu$)

이상의 논의는 자유전자의 에너지가 모두 열에너지임을 가정함

  • 아닌 경우: 형광등. 전기장에 의해 가속된 자유전자의 충돌천이

다시 흡수계수

(29)
\begin{align} \kappa_\nu & = n_l { B_{lu} \over {4 \pi }} h \nu \phi_\nu \left( 1 - { n_u \over n_l } {g_l \over g_u } \right) \\ & = n_l \alpha_0 \phi_\nu \left( 1 - { n_u \over n_l } {g_l \over g_u } \right) \\ & = n_l \left( {{ \pi e^2 } \over {m_e c }} \right) f_\mathrm{abs} \phi_\nu \left( 1 - { n_u \over n_l } {g_l \over g_u } \right) \end{align}
  • $B_{ul} = ( n_u / n_l ) ( g_l / g_u )$
  • $\alpha_0 = \phi c^2 / m_e c = 0.02654\ \mathrm{cm^2 s^{-1}}$: 전자의 단면적(같은 것) — 전자의 값이므로 원자의 종류에 무관
  • $f_\mathrm{abs}$: 진동자 강도(oscillator strength). 원자의 고유성질. 무차원.
(30)
\begin{align} \quad = { n_l \over g_l } \times {{ \pi e^2 } \over { m_e c}} g f_\mathrm{abs} \phi_\nu \left( 1 - { n_u \over n_l} {g_l \over g_u} \right) \end{align}
(31)
\begin{align} \implies & { { g_l B_{lu}} \over {4 \pi} } h \nu = {{ \pi e^2 } \over {m_e c}} g_l f_\mathrm{abs} = {{ g_u B_{ul} } \over {4 \pi}} h \nu = {{ g_u A_{ul} } \over {4 \pi }} { c^2 \over {2 \nu^2 }} \\ & g_l B_{lu} \propto g_l f_\mathrm{abs} \propto g_l B_{ul} \propto g_l A_{ul} \\ \end{align}
(32)
\begin{align} \therefore\ f_\mathrm{abs} \propto A_{ul} \end{align}

아인슈타인 계수와 $g_l f_\mathrm{abs}$의 관계: 앞으로 알아가야 할 것

몇 가지 선들의 $A, f$ 값 예시

준위차 $A_{ul}$ [s-1] $f_\mathrm{abs}$
리만 알파 n=1 $\longrightarrow$ n=2 4.7e+8 0.42
리만 베타 n=1 $\longrightarrow$ n=3 5.6e+7 0.08
발머 알파 n=2 $\longrightarrow$ n=3 4.4e+7 0.64
발머 베타 n=2 $\longrightarrow$ n=4 8.4e+6 0.12
$A_{ul}$는 높은 준위의 lifetime의 역수, 즉 수소의 자발천이는
대략 10-7초 = 1 마이크로초 정도에 발생함
500.7 나노미터 산소 금지선 [O III] 1.8e-2
높은 준위 수명이 약 50초, 일반 경우 50초라는 너무 긴 시간을 다
채우기 전에 충돌을 쳐맞고 아래준위로 내려옴.
하지만 전리수소영역은 밀도가 매우 낮아서 때릴 게 없어 50초 다
채우고 내려옴. 실험실에서는 안 보이는 금지선의 원리

금지선은 $A$가 굉장히 작으므로
$A$에 비례하는 $B$도 굉장히 작다 → 광학적으로 얇다

금지선의 $n_e C_{ul} \ll A_{ul}$ (원래 작은 값보다 더 작음)
밀도가 (엄청)2 낮음: 금지선이 보이는 천체는 언제나 LTE가 아님

  • 전리수소영역: $^\exists \bar{J}_\nu$, LTE 아님
  • 코로나: $\not{\exists} \bar{J}_\nu, S_\nu = \epsilon B_\nu (T)$. 코로나 같은 것을 "조명이 없는 뜨겁고 희박한 매질"이라고 함

충돌에 있어 $n_e$가 factor인 이유:

  • 원자와 전자의 운동에너지는 비슷한데 질량이 전자가 압도적으로 작음 → 속도는 전자가 압도적으로 큼