2. 복사전달의 기초

복사장 기술에 필요한 정보:

  • 위치 $\vec{r}$, 진동수 $\nu$, 방향 $\vec{\Omega}$, 시간 $t$
  • 어떤 위치를 어떤 입체각 방향에서 들어오는 어떤 진동수의 빛에 어떤 시간동안 지나간 광자의 수 $N (\nu , \vec{\Omega}, \vec{r}, t )$
  • 의 에너지적 기술: 고유세기 $I (\nu , \vec{\Omega}, \vec{r}, t )$, 단위 [erg ㎐-1-1-2 s-1]

복사의 매개변수

고유세기(specific intensity)의 정의:

  • 다음과 같이 망원경을 쓴다고 할 때,
intensity.png
(1)
\begin{align} d \theta & = {{dl} \over f}, \quad d = f\ d \theta \\ ds & = dl_x dl_y, \quad d \omega = {{ds} \over f^2} \end{align}
(2)
\begin{align} dE ( \nu, \hat{l} ; \vec{r} , t) \propto d \omega\ d \nu\ dA\ dt \end{align}
(3)
\begin{align} I_\nu & = {{dE} \over {d \omega\ d \nu\ dA\ dt}}, \\ d E_\nu & = I_\nu ( \hat{l}; \vec{r}, t) d \omega\ d \nu\ dA\ dt \end{align}

광축이 나란하지 않을 경우($\hat{l} \ne \hat{n}$)로 일반화하면

(4)
\begin{align} dA' & = dA \cos \theta \\ dE & \propto dA' \\ dE & = I_\nu ( \hat{l}; \vec{r}, t) \cos \theta\ d \omega\ d \nu\ dA\ dt \end{align}
(5)
\begin{align} \therefore\ I_\nu (\hat{l}; \vec{r}, t) = {{dE} \over {\cos \theta\ d \omega\ d \nu\ dA\ dt}} \end{align}
(6)
\begin{cases} I_\lambda & = I_\nu \left| {{d \nu } \over {d \lambda}} \right| \\ I_\nu& = I_\lambda \left| {{d \lambda } \over {d \nu}} \right| \\ \end{cases}

평균세기(average intensity)의 "평균"이란: 방향에 대한 평균, 방향에 무관한 값

(7)
\begin{align} J_\nu = {{ \oint I_\nu d \omega } \over {4 \pi}} \qquad \mathrm{[erg\ Hz^{-1}\ cm^{-2}\ sr^{-1}\ s^{-1}]} \end{align}

복사에너지 밀도:

(8)
\begin{align} u_\nu = 4 \pi {{J_\nu} \over c } \qquad \mathrm{[erg\ Hz^{-1}\ cm^{-3}]} \end{align}

$4 \pi$가 ㏛-1을, $1/c$ [s/cm]가 cm1 s^{-1} 을 상쇄

세기와 거리:

intensity-and-distance.png
(9)
\begin{align} I_\nu ( \vec{r}_1 ) & = I_\nu (\vec{r}_2 ) \\ \mathrm{however}\ J_\nu ( \vec{r}_1 ) & > J_\nu (\vec{r}_2 ) \end{align}

복사선속(radiation flux)의 정의: 법선벡터 $\hat{n}$인 단위면적을 지나가는 알짜 에너지 선속

flux.png
(10)
\begin{align} {F_\nu}^+ & = \int_{\cos \theta > 0} I_\nu \cos \theta\ d \omega > 0 \\ {F_\nu}^- & = - \int_{\cos \theta < 0} I_\nu \left| \cos \theta \right| d \omega > 0 \end{align}
(11)
\begin{align} F_\nu & = {{ \oint_\omega d E_\nu } \over {d \nu\ dA\ dt}} \\ & = \int {{dE_\nu} \over {d \omega\ d \nu\ dA\ dt}} \cos \theta\ d \omega \\ & = \int I_\nu ( \hat{l} ; \nu , t) \cos \theta\ d \omega \\ & = {F_\nu}^+ - {F_\nu}^- \end{align}
  • $I_\nu ( \hat{l} ; \nu , t) > 0, d \omega > 0$
  • $\cos \theta$가 부호를 결정
  • 고유세기, 평균세기는 항상 양수지만 복사선속은 각도-방향에 따라(기준면의 앞으로 가냐 뒤로 가냐) 음, 양, 0일 수 있다.
  • $J_\nu$: 밖으로 나가는 것과 안으로 들어가는 것의 평균
  • $F_\nu$: 밖으로 나가는 것과 안으로 들어가는 것의 차이

지구에서 잰 복사선속을 조도(irradiance)라고 한다. 태양의 조도가 태양상수

덤: 천문선속(astronomical flux)

(12)
\begin{align} \mathcal{F}_\nu = {{F_\nu} \over \pi}, \quad F_\nu = \pi \mathcal{F}_\nu \end{align}

교과서에 따라 $F_\nu$가 복사선속이 아닌 천문선속을 의미하는 경우가 있음. 왜죠?

  • 점광원은 입체각을 알 수 없음 → 세기를 알 수 없음
  • 세기를 대신할 단위로서 천문선속을 만들어둔 것

복사장의 성질

  • 복사장은 안으로 갈수록 등방(isotropic)하고 강해진다
  • 밖으로 갈수록 등방하지 않고 약해진다
  • 난로의 예:
    • 난로는 특정 방향으로만 복사열을 전달 → 방 전체가 고루 난방되지 않음
    • 모든 방향이 고루 따뜻해지려면 난로 안에 들어가면 됨 (불 속은 등방하다)
    • 하지만 난로 안에 들어가면 타죽음 (복사장이 강하다)

정리:

  • 고유세기가 기본 물리량. 고유세기를 알려면 입체각 필요
  • 고유세기는 위치에 무관하게 일정
  • 평균세기와 복사선속은 일정하지 않음

빛과 매질의 상호작용

  • $I_\nu$의 편리함: 거리에 무관하다 ← 에너지 보존 관점
  • 하지만 경로상에 무언가 매질이 있을 경우 $I_\nu$는 변화량($d I_\nu$)이 생김
1-7.png
  • 문제의식: 이 때 $d I_\nu$ 가 무엇이겠냐
    • 매질에서 얻은 것(gain)과 잃은 것(loss)의 차일 것
  • 매질에서 얻는 것은 매질 속을 많이 지나갈수록 더 많이 얻을 것이므로 $\mathrm{gain} \propto ds$
  • 이 때 비례상수를 방출계수 $j_\nu$로 정의, $\mathrm{gain} := j_\nu\ ds$
  • 방출은 매질에 의해서만 결정됨
  • 한편 흡수는 매질에 의해서 결정되면서, 동시에 "흡수될 것"에 의해서도 결정됨
  • 흡수할 것이 많아야 흡수량도 많아질 수 있음 — 흡수할 겻 = 입사광 $I_\nu$
    • $I_\nu = 0$ 이면 흡수는 없다 (형광등, 성운의 예)
  • 그러므로 $\mathrm{loss} \propto I_\nu\ ds$ 이고
  • 비례상수를 흡수계수 $\kappa_\nu$로 정의, $\mathrm{loss} := \kappa_\nu\ I_\nu\ ds$
(13)
\begin{align} \therefore\ d I_\nu & = \mathrm{gain} - \mathrm{loss} \\ & = j_\nu\ ds - \kappa_\nu\ I_\nu\ ds \\ & = (j_\nu - \kappa_\nu\ I_\nu ) ds \\ {{d I_\nu} \over {ds}} & = j_\nu - \kappa_\nu\ I_\nu \\ {{d I_\nu} \over {- \kappa_\nu\ ds}} & = I_\nu - {j_\nu \over \kappa_\nu} \\ {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu - {j_\nu \over \kappa_\nu} \end{align}
  • 이 때 $d \tau_\nu \equiv - \kappa_\nu\ ds$광학적 깊이(optical depth)라 함
  • 광학적 깊이는 관측 방향에 매질이 있을수록 커짐
    • 위 그림에서 왼쪽 → 오른쪽은 $s$의 증가방향,
    • 오른쪽 → 왼쪽은 $\tau_\nu$의 증가방향

식 (13)은 일차미방이고,

(14)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} & = I_\nu - {j_\nu \over \kappa_\nu } \\ I_\nu - {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = {j_\nu \over \kappa_\nu} \equiv S_\nu \end{align}
  • 이 때 $S_\nu$를 미방의 균질성(homogeneous)을 깨뜨리는 원천(source)이라고 원천함수(source function)라고 함
(15)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu}} = I_\nu - S_\nu \begin{cases} d \tau_\nu & \equiv - \kappa_\nu\ ds \\ S_\nu & \equiv {j_\nu \over \kappa_\nu} \end{cases} \end{align}
  • 이것은 보통 $(\tau_\nu , S_\nu , \kappa_\nu)$ 세 변수로 기술됨
    • 방출계수는 $j_\nu = S_\nu \kappa_\nu$로 구함
  • 대표적인 원천함수: 플랑크 함수 $B_\nu (T)$ (흑체의 원천함수)
(16)
\begin{align} j_\nu > \kappa_\nu\ I_\nu & \longrightarrow d I_\nu > 0 \qquad (\mathrm{방출\ dominant}) \\ j_\nu < \kappa_\nu\ I_\nu & \longrightarrow d I_\nu < 0 \qquad (\mathrm{흡수\ dominant}) \end{align}
  • 이렇게 쓰자니 불편! 양변에 $\kappa$를 나눠주면
(17)
\begin{align} S_\nu > I_\nu & \longrightarrow d I_\nu > 0 \qquad (\mathrm{방출\ dominant}) \\ S_\nu < I_\nu & \longrightarrow d I_\nu < 0 \qquad (\mathrm{흡수\ dominant}) \end{align}
(18)
\begin{align} d I_\nu & = j_\nu\ ds - \kappa_\nu\ I_\nu\ ds \\ & = \kappa_\nu\ S_\nu\ ds - \kappa_\nu\ I_\nu\ ds \\ & = (S_\nu - I_\nu ) \kappa_\nu\ ds \end{align}
  • 이 때 $S_\nu - I_\nu$$d I_\nu$의 부호를 결정함에서 식(17)을 다시 이해할 수 있다.

예를 들자면, 항성의 복사는 (준)흑체복사

  • 흑체복사의 원천함수 $B_\nu (T)$ 는 온도에 의해서만 결정됨
  • 태양 깊은 곳은 온도가 높음 → 배경 플랑크 함수($I_\nu$)가 큼
  • 태양 대기는 온도가 낮음 → 원천 플랑크 함수($S_\nu$) 작음
  • 그러므로 태양 대기에서는 흡수선이 나타남

이상의 논의를 보다 엄밀히 쓰면

(19)
\begin{cases} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} > 0 : \quad & 흡수 \\ {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu}} < 0 : & 방출 \end{cases}

아인슈타인 계수

그래서 $S_\nu$는 어떻게 결정할 수 있는가?

  • i.e. $j_\nu, \kappa_\nu$를 어떻게 결정할 수 있는가?
(20)
\begin{align} \left. \begin{matrix} {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu - S_\nu \\ d \tau_\nu & = - \kappa_\nu ds \end{matrix} \right\} \longrightarrow \begin{matrix} j_\nu = ? \\ \kappa_\nu = ? \\ S_\nu = ? \end{matrix} \end{align}

아인슈타인 계수(Einstein coefficient): 원자 천이를 나타내는 척도. 원자 천이는 세 가지로 나뉨;

  • 자발천이(spontaneous transition): 시간이 지나면서 전자가 저절로 낮은 준위로 내려오는 천이
  • 복사천이(radiative transition): 빛을 받아서 전자가 높은 준위로 올라가는 천이
  • 유도천이(induced transition): 빛을 받았는데 전자가 낮은 준위로 내려오는 전이

이 중 유도천이는 극히 미미.

이하 $n_u, n_l$$u, l$ 준위의 원자의 개수밀도를 의미함

방출계수의 유도:

아인슈타인 계수 $A_{ul}$의 정의:

  • 높은 준위($u$)에서 낮은 준위($l$)로 떨어지는 천이의 발생률 (원자 하나에 대해서)
  • 떨어지는 시간의 역수 = 1초당 떨어지는 수이므로 차원은 시간의 역수 [s-1]

$n_u\ A_{ul} =$ 단위부피당 $A_{ul}$ [cm-3 s-1]
자발천이가 일어날 때 등방적 방출이 발생, 그것의 에너지는 $n_u\ A_{ul}\ h \nu$ [erg cm-3 s-1]
사방으로 퍼지는 등방방출 중 우리가 원하는 방향만 필요하므로 입체각으로 나누고 [erg cm-3 s-1 sr-1]

(21)
\begin{align} {{n_u\ A_{ul}\ h\ \nu} \over {4 \pi}} \end{align}

그리고 진동수 분포 $\phi_\nu$를 곱해줌 [erg cm-3 s-1 sr-1 Hz-1]

  • 진동수가 조금 달라도 천이가 일어날 수 있을 때, 그 효율을 표현하는 것임
  • 확률분포함수이므로 $\int \phi_\nu\ d \nu = 1$
  • 가장 간단한 분포함수는 정확히 특정 진동수만 1이고 나머지는 0인 델타함수
(22)
\begin{align} {{n_u\ A_{ul}\ h\ \nu} \over {4 \pi}} \phi_\nu \end{align}
(23)
\begin{align} \therefore\ I_\nu & = {{n_u\ A_{ul}\ h \nu} \over {4 \pi}} \phi_\nu\ ds \\ \implies j_\nu = {{d I_\nu} \over {ds}} & = {{n_u\ A_{ul}\ h \nu} \over {4 \pi}} \phi_\nu \end{align}
  • 이 때 아인슈타인 계수 $A_{ul}$은 물질의 고유성질, 에너지 $h \nu$는 파장대역의 고유성질
  • 반면 $n_u, \phi_\nu$ 는 매질의 물리적 상태(온도, 밀도, 복사장)에 의존적

흡수계수의 유도:

아인슈타인 계수 $B_{lu}$의 정의:

  • 낮은 준위($l$)에서 높은 준위($u$)로 올라가는 천이의 발생률 (원자 하나에 대해서) [s-1]

흡수를 할 수 있는 준위의 원자와, 흡수될 빛이 많아야 위로 잘 올라갈 것: $n_l \bar{J}_\nu B_{lu}$

  • 이것은 단위부피당 복사천이 발생률이며, 평균세기는 "모든 방향"을 고려하여 흡수될 빛의 복사장을 표현
  • 평균세기의 평균을 낸다 함은 $\phi_\nu$를 규정한 것과 같이, 약간의 진동수 차이가 있어도 흡수가 가능할 때 그 것을 고려해 평균을 내는 것
  • 흡수와 방출의 $\phi_\nu$가 다를 수 있지만 편의상 같다고 치겠음

방출계수를 얻은 것과 마찬가지 과정에 의하여

(24)
\begin{align} d I_\nu & = - {{n_l I_\nu B_{lu}} \over {4 \pi}} \phi_\nu\ h \nu\ ds \end{align}

한편, 유도천이는 높은 준위에서 낮은 준위로 떨어지기 때문에 아인슈타인 계수를 $B_{ul}$로 쓰고 개수밀도도 $n_u$를 사용

(25)
\begin{align} d I_\nu & = + {{n_u I_\nu B_{ul}} \over {4 \pi}} \phi_\nu\ h \nu\ ds \end{align}

정리: 세기의 변화량 = 자발천이 - 복사천이 + 유도천이

(26)
\begin{align} d I_\nu & = {{ n_u A_{ul}} \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu\ ds - {{ n_l B_{lu}} \over {4 \pi}} I_\nu \phi_\nu h \nu\ ds + {{ n_u B_{ul}} \over {4 \pi}} I_\nu \phi_\nu h \nu\ ds \\ & = {{n_u A_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu\ ds - \left( {{n_l B_{lu} } \over {4 \pi} } \phi_\nu h \nu - {{ n_u B_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu \right) I_\nu\ ds \end{align}
(27)
\begin{align} \therefore\ \begin{cases} j_\nu & = {{n_u A_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu \\ \kappa_\nu & = {{n_l B_{lu} } \over {4 \pi} } \phi_\nu h \nu - {{ n_u B_{ul} } \over {4 \pi}} \phi_\nu h \nu \end{cases} \end{align}
  • 이 때 흡수계수의 제2항(유도천이)은 대부분 거의 무시 가능함 ($\because\ n_l \gg n_u$)

$\implies$

  • $j_\nu \propto n_u :$ 방출을 하려면 높은 준위의 원자가 많이 필요
  • $\kappa_\nu \propto n_l :$ 흡수를 하려면 낮은 준위의 원자가 많이 필요

즉 (흡수/방출)을 잘 하는 매질을 결정하는 조건: 아인슈타인 계수와 원자의 준위

  • $A, B$는 물질의 고유값
  • $n_u, n_l$은 온도, 복사장에 의존적
(28)
\begin{align} \therefore\ S_\nu \propto {n_u \over n_l} \end{align}
  • 낮은 준위 원자와 높은 준위 원자의 비가 중요하다 → 앞으로의 관심사

열역학적 평형 상태(LTE)라면 온도에 의해 다 결정됨. e.g. 백열등
열역학적 평형이 아니라면 그렇지 아니함 e.g. 형광등

아인슈타인 관계

(29)
\begin{align} S_\nu = { j_\nu \over \kappa_\nu } & = { {n_u A_{ul} } \over { n_l B_{lu} - n_u B_{ul} } } \\ & = { A_{ul} \over B_{ul} } {1 \over { \left( { {n_l B_{lu} } \over {n_u B_{ul} } } \right) -1} } \end{align}

열역학적 평형 상태에서는

(30)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} & = {{ d I_\nu } \over {d S_\nu }} = 0 \\ {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu - S_\nu = 0 \\ I_\nu = S_\nu & = B_\nu (T) \\ & = {{2 h \nu^3} \over c^2 } {1 \over { e^{h \nu / kT} - 1}} \end{align}

이것을 식(29)에 적용하면

(31)
\begin{align} S_\nu & = { A_{ul} \over B_{ul} } {1 \over { {{n_l B_{lu} } \over { n_u B_{ul} }} -1 }} = {{2 h \nu^3} \over c^2 } {1 \over {e^{h \nu / kT} - 1 }} \end{align}
(32)
\begin{align} \implies { A_{ul} \over B_{ul} } & = {{2 h \nu^3} \over c^2 }, {{ n_l B_{lu} } \over {n_u B_{ul} } } = \exp [ h \nu / kT ] \\ { B_{lu} \over B_{ul} } & = {n_u \over n_l} e^{h \nu / kT } = {g_u \over g_l } \\ {n_u \over n_l} & = {g_u \over g_l} e^{- h \nu / kT } \end{align}

이 때 $g_u, g_l$은 통계역학적 가중치(detailed balance). 원자의 고유성질.

(33)
\begin{align} g_l B_{lu} & = g_u B_{ul} \\ A_{ul} & = {{2 h \nu^3} \over c^2 } B_{ul} \end{align}

$\therefore\ A_{ul}, B_{lu}, B_{ul}$은 모두 서로 비례. 하나만 알면 다 알 수 있음 — 아인슈타인 관계

  • $A_{ul}$의 단위가 가장 편하므로 보통 $B_{ul}, B_{lu}$$A_{ul}$에 의해 결정된다고 말함

$S_\nu$$n_u / n_l$에 의해 결정, 즉 $n_u$가 커지면 $S_\nu$도 커짐

  • 원자 에너지 준위가 올라갈 때: 두 가지 과정 (충돌, 복사)
  • 원자 에너지 준위가 내려갈 때: 세 가지 과정 (충돌, 복사, 자발)
  • LTE 상태에서는 $S_\nu = B_\nu (T)$
    • 밀도가 높다 → 충돌천이(자유전자 밀도에 의존적)
  • 비-LTE 상태에서는 $S_\nu = \bar{J}$
    • LTE가 아니라는 것은 밀도가 희박하다는 뜻 → 충돌천이가 없고 복사천이만 일어난다
(34)
\begin{align} {n_u \over n_l} & = {{ B_{lu} \bar{J}_\nu } \over { A_{ul} + B_{ul} \bar{J}_\nu }} \\ {{ n_l B_{lu} } \over { n_u B_{ul} }} & = {{A_{ul} + B_{ul} \bar{J}_\nu } \over { B_{lu} \bar{J}_\nu }} \times {{B_{lu} } \over { B_{ul} }} \\ & = {{ A_{ul} / B_{ul} + \bar{J}_\nu } \over {\bar{J}_\nu}} \\ & = {{ A_{ul} / B_{ul} } \over { \bar{J}_\nu }}+1 \\ \bar{J}_\nu & = {{A_{ul} / B_{ul} } \over { \left( { {n_l B_{lu}} \over {n_u B_{ul} } } \right) - 1 } } = S_\nu \end{align}

이것을 일반화하면 (준위가 2개인 원자에 대하여)

(35)
\begin{align} n_e \bar{J}_\nu B_{lu} + n_l n_e q_{lu} = n_u A_{ul} + n_u \bar{J}_\nu B_{ul} + n_u n_e q_{ul} \end{align}
  • 이 때 $q_{lu}, q_{ul}$은 충돌천이로 내려가거나 올라갈 확률
(36)
\begin{align} {n_l \over n_u} = {{ A_{ul} + \bar{J}_\nu B_{ul} } \over { \bar{J}_\nu B_{lu} + n_e q_{lu} }} \end{align}
  • LTE에서는
(37)
\begin{align} {q_{lu} \over q_{ul} } = {n_u \over n_l} = { q_u \over q_l } \exp [ - h \nu / kT ] \end{align}

식(36)을 대충 풀어주면

(38)
\begin{align} S_\nu & = \epsilon B_\nu + (1 - \epsilon) \bar{J}_\nu \\ & \left( \epsilon = { { n_e q_{ul} } \over { n_e q_{ul} + A_{ul} } } : 전자밀도의\ 척도 \right) \end{align}
  • $n_e$가 커서 $\epsilon \longrightarrow 1$: LTE ($S_\nu \longrightarrow B_\nu$)
  • $n_e$가 작아서 $\epsilon \longrightarrow 0$: 산란

밀도가 클수록 충돌천이가 dominant하고 LTE에 가까워짐. 충돌이 자발천이보다 dominant 하다면 LTE

흡수·방출 윤곽

층을 가로지르는 복사전달