2. 복사전달의 기초

복사장 기술에 필요한 정보:

  • 위치 $\vec{r}$, 진동수 $\nu$, 방향 $\vec{\Omega}$, 시간 $t$
  • 어떤 위치를 어떤 입체각 방향에서 들어오는 어떤 진동수의 빛에 어떤 시간동안 지나간 광자의 수 $N (\nu , \vec{\Omega}, \vec{r}, t )$
  • 의 에너지적 기술: 고유세기 $I (\nu , \vec{\Omega}, \vec{r}, t )$, 단위 [erg ㎐-1-1-2 s-1]

복사의 매개변수

고유세기(specific intensity)의 정의:

  • 다음과 같이 망원경을 쓴다고 할 때,
intensity.png
(1)
\begin{align} d \theta & = {{dl} \over f}, \quad d = f\ d \theta \\ ds & = dl_x dl_y, \quad d \omega = {{ds} \over f^2} \end{align}
(2)
\begin{align} dE ( \nu, \hat{l} ; \vec{r} , t) \propto d \omega\ d \nu\ dA\ dt \end{align}
(3)
\begin{align} I_\nu & = {{dE} \over {d \omega\ d \nu\ dA\ dt}}, \\ d E_\nu & = I_\nu ( \hat{l}; \vec{r}, t) d \omega\ d \nu\ dA\ dt \end{align}

광축이 나란하지 않을 경우($\hat{l} \ne \hat{n}$)로 일반화하면

(4)
\begin{align} dA' & = dA \cos \theta \\ dE & \propto dA' \\ dE & = I_\nu ( \hat{l}; \vec{r}, t) \cos \theta\ d \omega\ d \nu\ dA\ dt \end{align}
(5)
\begin{align} \therefore\ I_\nu (\hat{l}; \vec{r}, t) = {{dE} \over {\cos \theta\ d \omega\ d \nu\ dA\ dt}} \end{align}
(6)
\begin{cases} I_\lambda & = I_\nu \left| {{d \nu } \over {d \lambda}} \right| \\ I_\nu& = I_\lambda \left| {{d \lambda } \over {d \nu}} \right| \\ \end{cases}

평균세기(average intensity)의 "평균"이란: 방향에 대한 평균, 방향에 무관한 값

(7)
\begin{align} J_\nu = {{ \oint I_\nu d \omega } \over {4 \pi}} \qquad \mathrm{[erg\ Hz^{-1}\ cm^{-2}\ sr^{-1}\ s^{-1}]} \end{align}

복사에너지 밀도:

(8)
\begin{align} u_\nu = 4 \pi {{J_\nu} \over c } \qquad \mathrm{[erg\ Hz^{-1}\ cm^{-3}]} \end{align}

$4 \pi$가 ㏛-1을, $1/c$ [s/cm]가 cm1 s^{-1} 을 상쇄

세기와 거리:

intensity-and-distance.png
(9)
\begin{align} I_\nu ( \vec{r}_1 ) & = I_\nu (\vec{r}_2 ) \\ \mathrm{however}\ J_\nu ( \vec{r}_1 ) & > J_\nu (\vec{r}_2 ) \end{align}

복사선속(radiation flux)의 정의: 법선벡터 $\hat{n}$인 단위면적을 지나가는 알짜 에너지 선속

flux.png
(10)
\begin{align} {F_\nu}^+ & = \int_{\cos \theta > 0} I_\nu \cos \theta\ d \omega > 0 \\ {F_\nu}^- & = - \int_{\cos \theta < 0} I_\nu \left| \cos \theta \right| d \omega > 0 \end{align}
(11)
\begin{align} F_\nu & = {{ \oint_\omega d E_\nu } \over {d \nu\ dA\ dt}} \\ & = \int {{dE_\nu} \over {d \omega\ d \nu\ dA\ dt}} \cos \theta\ d \omega \\ & = \int I_\nu ( \hat{l} ; \nu , t) \cos \theta\ d \omega \\ & = {F_\nu}^+ - {F_\nu}^- \end{align}
  • $I_\nu ( \hat{l} ; \nu , t) > 0, d \omega > 0$
  • $\cos \theta$가 부호를 결정
  • 고유세기, 평균세기는 항상 양수지만 복사선속은 각도-방향에 따라(기준면의 앞으로 가냐 뒤로 가냐) 음, 양, 0일 수 있다.
  • $J_\nu$: 밖으로 나가는 것과 안으로 들어가는 것의 평균
  • $F_\nu$: 밖으로 나가는 것과 안으로 들어가는 것의 차이

지구에서 잰 복사선속을 조도(irradiance)라고 한다. 태양의 조도가 태양상수

덤: 천문선속(astronomical flux)

(12)
\begin{align} \mathcal{F}_\nu = {{F_\nu} \over \pi}, \quad F_\nu = \pi \mathcal{F}_\nu \end{align}

교과서에 따라 $F_\nu$가 복사선속이 아닌 천문선속을 의미하는 경우가 있음. 왜죠?

  • 점광원은 입체각을 알 수 없음 → 세기를 알 수 없음
  • 세기를 대신할 단위로서 천문선속을 만들어둔 것

복사장의 성질

  • 복사장은 안으로 갈수록 등방(isotropic)하고 강해진다
  • 밖으로 갈수록 등방하지 않고 약해진다
  • 난로의 예:
    • 난로는 특정 방향으로만 복사열을 전달 → 방 전체가 고루 난방되지 않음
    • 모든 방향이 고루 따뜻해지려면 난로 안에 들어가면 됨 (불 속은 등방하다)
    • 하지만 난로 안에 들어가면 타죽음 (복사장이 강하다)

정리:

  • 고유세기가 기본 물리량. 고유세기를 알려면 입체각 필요
  • 고유세기는 위치에 무관하게 일정
  • 평균세기와 복사선속은 일정하지 않음

빛과 매질의 상호작용

  • $I_\nu$의 편리함: 거리에 무관하다 ← 에너지 보존 관점
  • 하지만 경로상에 무언가 매질이 있을 경우 $I_\nu$는 변화량($d I_\nu$)이 생김
1-7.png
  • 문제의식: 이 때 $d I_\nu$ 가 무엇이겠냐
    • 매질에서 얻은 것(gain)과 잃은 것(loss)의 차일 것
  • 매질에서 얻는 것은 매질 속을 많이 지나갈수록 더 많이 얻을 것이므로 $\mathrm{gain} \propto ds$
  • 이 때 비례상수를 방출계수 $j_\nu$로 정의, $\mathrm{gain} := j_\nu\ ds$
  • 방출은 매질에 의해서만 결정됨
  • 한편 흡수는 매질에 의해서 결정되면서, 동시에 "흡수될 것"에 의해서도 결정됨
  • 흡수할 것이 많아야 흡수량도 많아질 수 있음 — 흡수할 겻 = 입사광 $I_\nu$
    • $I_\nu = 0$ 이면 흡수는 없다 (형광등, 성운의 예)
  • 그러므로 $\mathrm{loss} \propto I_\nu\ ds$ 이고
  • 비례상수를 흡수계수 $\kappa_\nu$로 정의, $\mathrm{loss} := \kappa_\nu\ I_\nu\ ds$
(13)
\begin{align} \therefore\ d I_\nu & = \mathrm{gain} - \mathrm{loss} \\ & = j_\nu\ ds - \kappa_\nu\ I_\nu\ ds \\ & = (j_\nu - \kappa_\nu\ I_\nu ) ds \\ {{d I_\nu} \over {ds}} & = j_\nu - \kappa_\nu\ I_\nu \\ {{d I_\nu} \over {- \kappa_\nu\ ds}} & = I_\nu - {j_\nu \over \kappa_\nu} \\ {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = I_\nu - {j_\nu \over \kappa_\nu} \end{align}
  • 이 때 $d \tau_\nu \equiv - \kappa_\nu\ ds$광학적 깊이(optical depth)라 함
  • 광학적 깊이는 관측 방향에 매질이 있을수록 커짐
    • 위 그림에서 왼쪽 → 오른쪽은 $s$의 증가방향,
    • 오른쪽 → 왼쪽은 $\tau_\nu$의 증가방향

식 (13)은 일차미방이고,

(14)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} & = I_\nu - {j_\nu \over \kappa_\nu } \\ I_\nu - {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} & = {j_\nu \over \kappa_\nu} \equiv S_\nu \end{align}
  • 이 때 $S_\nu$를 미방의 균질성(homogeneous)을 깨뜨리는 원천(source)이라고 원천함수(source function)라고 함
(15)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu}} = I_\nu - S_\nu \begin{cases} d \tau_\nu & \equiv - \kappa_\nu\ ds \\ S_\nu & \equiv {j_\nu \over \kappa_\nu} \end{cases} \end{align}
  • 이것은 보통 $(\tau_\nu , S_\nu , \kappa_\nu)$ 세 변수로 기술됨
    • 방출계수는 $j_\nu = S_\nu \kappa_\nu$로 구함
  • 대표적인 원천함수: 플랑크 함수 $B_\nu (T)$ (흑체의 원천함수)
(16)
\begin{align} j_\nu > \kappa_\nu\ I_\nu & \longrightarrow d I_\nu > 0 \qquad (\mathrm{방출\ dominant}) \\ j_\nu < \kappa_\nu\ I_\nu & \longrightarrow d I_\nu < 0 \qquad (\mathrm{흡수\ dominant}) \end{align}
  • 이렇게 쓰자니 불편! 양변에 $\kappa$를 나눠주면
(17)
\begin{align} S_\nu > I_\nu & \longrightarrow d I_\nu > 0 \qquad (\mathrm{방출\ dominant}) \\ S_\nu < I_\nu & \longrightarrow d I_\nu < 0 \qquad (\mathrm{흡수\ dominant}) \end{align}
(18)
\begin{align} d I_\nu & = j_\nu\ ds - \kappa_\nu\ I_\nu\ ds \\ & = \kappa_\nu\ S_\nu\ ds - \kappa_\nu\ I_\nu\ ds \\ & = (S_\nu - I_\nu ) \kappa_\nu\ ds \end{align}
  • 이 때 $S_\nu - I_\nu$$d I_\nu$의 부호를 결정함에서 식(17)을 다시 이해할 수 있다.

예를 들자면, 항성의 복사는 (준)흑체복사

  • 흑체복사의 원천함수 $B_\nu (T)$ 는 온도에 의해서만 결정됨
  • 태양 깊은 곳은 온도가 높음 → 배경 플랑크 함수($I_\nu$)가 큼
  • 태양 대기는 온도가 낮음 → 원천 플랑크 함수($S_\nu$) 작음
  • 그러므로 태양 대기에서는 흡수선이 나타남

이상의 논의를 보다 엄밀히 쓰면

(19)
\begin{cases} {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu }} > 0 : \quad & 흡수 \\ {{d I_\nu } \over {d \tau_\nu}} < 0 : & 방출 \end{cases}