3. 국부 열역학적 평형

LTE의 개념

  • 열역학적 평형: 갇힌 기체 입자와 흑체 복사가 평형을 이룸. 모든 과정(광자 흡수)의 역과정(광자 방출)이 같은 속도로 일어남
  • 항성은 열역학적 평형 상태일 수 없음: 빛이라는 형태로 에너지를 외부로 방출하고, 내부도 깊이에 따라 온도가 다름
  • 국부 열역학적 평형(local thermodynamic equilibrium; LTE): 항성을 이루는 각 껍질에서는 열역학적 평형이 이루어지는데, 광자와 입자의 평균자유행로가 항성의 크기에 비해 너무 작기 때문.

광자의 평균자유행로:

(1)
\begin{align} l_{ph}= {1 \over {\kappa \rho}} = 1.0 \left( {{0.4\ \mathrm{cm^2\ s^{-1}} } \over \kappa } \right) \left( {{1.4\ \mathrm{g\ cm^{-3}} } \over \rho} \right)\ \mathrm{cm.} \end{align}

광자확산시간(photon diffusion time): 광자가 항성에서 탈출하기 위해 걸리는 시간

(2)
\begin{align} D_{ph} = cl_{ph} \qquad \tau_D \simeq {R^2 \over D_{ph}} \end{align}

태양의 광자확산시간은 약 5천 년. i.e. 광자가 태양을 탈출하기까지 5 × 1021 번 입자들과 상호작용을 해야 함

광자의 평균자유행로에 따라 변하는 온도는 항성온도에 비해 무시할 만큼 작음

(3)
\begin{align} \Delta T \approx {{dT} \over {dr}} l_{ph} \approx { T_c \over R} l_{ph} \approx 10^{-4}\ \mathrm{K} \ll 10^7\ \mathrm{K} \end{align}

그러므로 항성의 각 껍질에서는 열역학적 평형이, 매우 국부적으로 유지됨. 각 부위에서의 평형시간은 매우 짧기 때문에 항성진화의 모든 기간 동안 유효함.

LTE와 맥스웰-볼츠만 분포

700px-MaxwellBoltzmann-en.svg.png
(4)
\begin{align} 평균속도\ < v > & = \int_0^\infty v\ f(v)\ dv = \sqrt{ {8kT} \over {\pi m} } \\ 제곱평균제곱근속도\ v_\mathrm{rms} & = \sqrt{ \int v^2 f(v)\ dv } = \sqrt{{3kT} \over m} \\ 확률 최대일 때 속도 v_\mathrm{p} & = \sqrt{{2kT} \over m} \longleftarrow {{df(v)} \over {dv}} = 0 \end{align}

열평형 상태의 계가 에너지 $E$ 상태를 가질 확률은 $\exp (-E /kT)$에 비례한다.

(5)
\begin{align} {N_i \over N} = {{g_i\ \exp ( -E_i / kT) } \over { \Sigma_j g_j\ \exp (-E_j / kT) }} \end{align}
  • $N_i =$ 에너지 준위 $i$에 있는 입자 수
  • $N =$ 총 입자 수
  • $g_i =$ 준위 $i$에 있는 상태 수
(6)
\begin{align} E_i = {1 \over 2} m {v_i}^2 \longrightarrow {N_i \over N} = {g_i \over N} \exp \left( - {{m {v_i}^2 } \over {2kT}} \right) \end{align}

여기서 맥스웰-볼츠만 분포(주어진 온도 $T$에서 입자가 속도 $v$를 가질 확률분포)가 유도됨

(7)
\begin{align} f(v) = 4 \pi \left( {m \over {2 \pi kT}} \right)^{3/ 2} v^2 \exp \left( - {{mv^2 } \over {2kT}} \right) \end{align}
  • $\int f(v)\ dv = 1$
  • $n\ f(v)\ dv =$ $v$$dv$ 사이 단위부피당 입자수

LTE와 원자천이·전리

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볼츠만 방정식: 에너지 준위 1인 원자에 대한 에너지 준위 2인 원자의 개수밀도 비

(8)
\begin{align} {n_2 \over n_1} = {g_2 \over g_1} \exp \left[ - {{(E_2 - E_1) } \over {kT}} \right] = {g_2 \over g_1} \exp \left[ - {{h \nu } \over {k T}} \right] \end{align}

LTE 상태의 열복사는 입자 에너지에 준하는 광자 에너지를 갖는다.

(9)
\begin{align} {n_2 \over n_1} = {g_2 \over g_1} \exp \left( - {{h \nu} \over {kT}} \right) \end{align}

비열복사는 그렇지 아니하다.

(10)
\begin{align} {n_2 \over n_1} \ne {g_2 \over g_1} \exp \left( - {{h \nu} \over {kT}} \right) \end{align}

사하 방정식(Saha equation): LTE 상태에서는 원자의 전리 상태도 평형이다. 그것을 기술하는 방정식.

(11)
\begin{align} {n_{i+1} \over n_i} = A {{ (kT)^{3/2} } \over n_e } \exp \left( - {{ \chi_i } \over {kT}} \right) \end{align}
  • $\chi_i =$ 준위 $i$에서 준위 $i+1$로 전리되기 위해 필요한 에너지
  • $n_i =$ 이온화 준위 $i$에 있는 개수밀도
  • $n_e =$ 전자 개수밀도
  • $A =$ 통계적 무게 상수

발머선: 볼츠만 방정식과 사하 방정식 조합

  • 발머선은 준위 $n=2$에서 올라가거나 $n=2$로 내려가는 천이와 관련된 선들이다.
    • $n=3 \rightarrow 2$: H α
    • $n=4 \rightarrow 2$: H β
  • 태양 스펙트럼에서, 발머선은 온도 9520 K에서 최대 세기에 도달한다.
  • 하지만 볼츠만 방정식에서 $n=2, T \sim 9520\ \mathrm{K}$ 에서 개수밀도는 크지 않다.
  • 그럼 발머선은 왜 상대적 저온에서도 강하게 나타날까?
boltzmann-saha.png
  • 온도가 증가함에 따라 $N_2 / N_1$은 증가하지만, $N_\mathrm{I} / N_\mathrm{II}$는 감소하기 때문
    • $N_\mathrm{I} = N_1 + N_2$: 중성수소의 수
    • $N_\mathrm{II}$: 전리수소의 수
(12)
\begin{align} 원천함수\ S_\nu & = {j_\nu \over \alpha_\nu} = {{n_2 A_{21} } \over {n_1 B_{12} ( 1- n_2 B_{21} / n_1 B_{12} ) }} \\ & = {{2 h \nu^3 } \over c^2 } {1 \over {\exp (h \nu / kT ) -1}} = B_\nu (T) \end{align}
(13)
\begin{align} 빈의\ 변위법칙: \lambda_\mathrm{max} \approx {{0.29\ \mathrm{cm}} \over T} \end{align}

슈테판-볼츠만 법칙

항성의 표면에서:

(14)
\begin{align} F_\nu & = \int_\mathrm{source} I_\nu \cos \theta\ d \Omega = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi /2} I_\nu \cos \theta\ \sin \theta\ d \theta\ d \phi = \pi B_\nu \\ F & = \int_0^\infty F_\nu\ d \nu = \int_0^\infty \pi B_\nu\ d \nu = \sigma T^4 \\ \end{align}
(15)
\begin{align} \therefore\ L & = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \end{align}