2. 복사전달

참고: 교과서 제2권 제3장

서설

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지구 대기는 거의 전 파장 대역에서 빛을 흡수하는데, 가시광, 근적외선, 전파 영역에서만 투명하다.

우리가 관찰하는 것은 사물 자체가 아니라 “빛” 이 우리에게 주는 인상. 하지만, 그 인상을 통해 우리는 빛을 발광하는 사물과 그 주변 환경에 관한 정보를 알아낼 수 있다.

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빛의 성질

  • 토머스 영의 간섭 실험: 빛의 파동성 암시
  • 제임스 클러크 맥스웰: 빛은 전자기파
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(1)
\begin{align} {1 \over {2^2}} {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial t^2}} - \vec{\nabla}^2 \vec{E} = 0, \quad {1 \over {c^2}} {{\partial^2 \vec{B} } \over {\partial t^2}} - \vec{\nabla}^2 \vec{B} = 0, \\ c = {1 \over \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} } = 2.99792458 \times 10^8\ \mathrm{m/s} \end{align}
(2)
\begin{align} \lambda \nu = c; \qquad \nu = {c \over \lambda} \end{align}
­
이 방정식에서 빛의 속도는 상대적 개념이 아닌 상수. 아인슈타인의 상대성 이론 등장을 예고
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플랑크 곡선

  • 플랑크 흑체복사 이론: 양자역학 탄생의 전조

“이 현상을 설명하기 위해서는 빛의 에너지는 양자화 되어있어야 한다”

(3)
\begin{align} \epsilon & = h \nu \\ E & = n h \nu \end{align}
­
$E =$ 에너지,
$n = 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \in \mathbb{Z}$
$h = 6.626 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$: 플랑크 상수
$\nu =$ 진동수 [㎐]

입체각

SOLID-ANGLE.png
(4)
\begin{align} dA & = r^2 \sin \theta\ d \theta\ d \phi \\ d \Omega & := {{dA} \over {r^2}} = \sin \theta\ d \theta\ d \phi \end{align}
(5)
\begin{align} \Omega & = \int d \Omega \\ & = \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} \sin \theta\ d \theta\ d \phi = 4 \pi \quad \mathrm{[sr]} \end{align}
­
㏛: 스테라디안. 입체각의 단위.

세기(intensity)

intensity1.png
(6)
\begin{align} d \Omega_1 & = {{ \cos \theta_1 d A_2 } \over {r^2 }} \\ d \Omega_2 & = {{ \cos \theta_2 d A_1 } \over {r^2}} \end{align}
(7)
\begin{align} d E_1 & = I_{\nu, 1} \cos \theta_1 d \Omega _2 d A_1 d \nu dt \\ d E_2 & = I_{\nu, 2} \cos \theta_2 d \Omega _1 d A_2 d \nu dt \\ & d E_1 = d E_2 \\ \end{align}
(8)
\begin{align} \therefore I_{\nu, 1} = I_{\nu_,2} \end{align}

i.e. 진공 속에서 어떤 광선의 세기는 그 광선의 경로에 대해 보존된다.

(9)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {ds}} = 0 \end{align}
intensity2.png
(10)
\begin{align} I_{\nu} = I_{\nu} (\theta, \phi) \quad \operatorname{[erg\ cm^{-2} s^{-1} Hz^{-1} sr^{-1}]} \end{align}
(11)
\begin{align} d E_\nu = E_\nu d \nu = I_\nu \cos \theta\ d A\ d \Omega\ d \nu\ dt \end{align}
(12)
\begin{align} J_\nu & := {{1} \over {4 \pi}} \int I_\nu d \Omega \\ I & := \int_0^\infty I_\nu d \nu \end{align}
  • 세기(또는 밝기)는 거리에 따라 정해지지 않는다. i.e. 광원과 감지기 사이의 공간이 진공이라면, 세기는 광원에서나 감지기에서나 같다.
  • 즉슨 태양의 사진을 찍기 위해 필요한 노출시간은 태양에서의 거리에 상관없이 같다.

선속(flux)

(13)
\begin{align} F_\nu = \int_\mathrm{광원} I_\nu \cos \theta\ d \Omega \end{align}

광원이 충분히 멀 경우: $\theta \rightarrow 0 \implies \cos \theta \sim 1$ 이므로

(14)
\begin{align} F_\nu \approx \int_\mathrm{광원} I_\nu\ d \Omega \quad \mathrm{[erg\ s^{-1}\ cm^{-2}\ Hz^{-1}]} \propto {1 \over d^2} \end{align}

즉, 선속은 거리에 영향을 받는다. (거리의 역제곱으로 감소한다)

총선속 $F$

(15)
\begin{align} F = \int_0^\infty F_\nu\ d \nu \quad \mathrm{[erg\ s^{-1}\ cm^{-2}]} \end{align}

광도(luminosity)

광도의 정의: 광원과의 거리에 대한 단위시간 단위진동수당 에너지

(16)
\begin{align} L_\nu := 4 \pi d^2 F_\nu \end{align}

복사광도(bolometric luminosity)는

(17)
\begin{align} L_\mathrm{bol} := \int_0^\infty L_\nu\ d \nu = 4 \pi d^2 F \end{align}

복사전달방정식

진공에서 세기는 보존된다. 하지만 현실에서 우주는 진공이 아님

  • 물질의 방출: $d I_\nu = j_\nu ds \qquad j_\nu =$ 방사율(emissivity). 방출계수.
  • 물질의 흡수: $d I_\nu = - \kappa_\nu \rho I_\nu ds \qquad \kappa_\nu =$ 불투명도(opacity). 흡수계수.

복사전달방정식:

(18)
\begin{align} {{dI_\nu } \over {ds}} = j_\nu - \kappa_\nu \rho I_\nu \end{align}
RADIATIVETRANSPER.png

많은 경우 방출은 없고 흡수만 일어나므로

(19)
\begin{align} {{dI_\nu } \over {ds}} & = - \kappa_\nu \rho I_\nu \\ I_\nu (s) & = I_\nu (s_0) \exp \left( - \int_{s_0}^s \kappa_\nu (s') \rho (s') ds' \right) \end{align}

이 때 괄호 속을 광학적 깊이(Optical depth)로 정의한다.

(20)
\begin{align} \tau_\nu & := \int_{s_0}^s \kappa_\nu (s') \rho (s') ds' \\ \implies I_\nu (s) & = I_\nu (s_0) \exp (- \tau_\nu ) \end{align}

광학적 깊이의 개념을 이용해 복사전달방정식을 다시 쓰면

(21)
\begin{align} {{d I_\nu} \over {d \tau_\nu}} = S_\nu - I_\nu \end{align}
(22)
\begin{align} S_\nu := { j_\nu \over { \kappa_\nu \rho }} \end{align}

를 원천함수(source function)라고 한다. 원천함수는 불투명도에 대한 방사율의 비다.

RADIATIVETRANSPER2.png

원천함수가 상수라면

(23)
\begin{align} I_\nu = I_\nu (0) \exp ( - \tau_\nu ) + S_\nu [1 - \exp ( - \tau_\nu ) ] \end{align}
(24)
\begin{align} \lim_{\tau_\nu \rightarrow 0} I_\nu & = I_\nu (0), \qquad \lim_{\tau_\nu \rightarrow \infty} I_\nu & = S_\nu \end{align}

별은 매우 불투명하다(속을 들여다볼 수 없음). 그것은 즉 표면에서의 세기가 원천함수와 같다는 뜻이다.

불투명도(opacity)

$\kappa_\nu$를 질량당 불투명도[cm2 g-1]로 정의할 때

(25)
\begin{align} {{d I_\nu } \over {ds}} = j_\nu - \kappa_\nu \rho I_\nu \end{align}

$\kappa_\nu$를 부피당 불투명도[g-1]로 정의할 때

(26)
\begin{align} {{d I_\nu} \over {ds}} = j_\nu - \kappa_\nu I_\nu \end{align}

물질 속에서 광자의 평균자유행로는 질량당 불투명도, 부피당 불투명도에서 각각 다음과 같다.

(27)
\begin{align} l_\nu := {1 \over {\kappa_\nu \rho}} \qquad l_\nu := {1 \over \kappa_\nu} \end{align}