9. 역학혁명

자연의 수학화

1500년경 1700년경
학자 아리스토텔레스 → 스콜라 → 갈릴레오, 데카르트 → 뉴턴
운동의 원인 내재적 속성의 발현 또는 외부의 작용 필요 없음 (∵ 관성)
운동/정지 엄격한 구분 (과정/상태) 기준틀에 따라 상대적 (상태)
자연적/강제적 엄격한 구분 구분 불필요 (힘의 합성)
천상계/지상계 엄격한 구분 단일 세계, 단일 원리

고중세 운동이론

힘과 저항과 속도

운동의 양태: 물체의 속도

  • 운동의 원인인 "힘/저항", 그 결과로서 물체가 갖게 되는 "속도" → 양자의 정확한 관계는?

아리스토텔레스:

  • 힘과 속도
    • 강제적 운동: 물체에 작용하는 힘이 클수록, 더 빨리 움직이다
    • 자연적 운동: 무거움(gravity)의 정도가 클수록, 물체는 더 빨리 떨어진다
  • 저항과 속도
    • 강제적 운동: 물체에 작용하는 저항이 클수록, 더 천천히 움직인다
    • 자연적 운동: 매질의 저항이 클수록, 물체는 더 천천히 떨어진다
  • 힘과 저항을 같은 비율로 늘리거나 줄이면, 물체의 속도는 변하지 않는다
    • $V \propto F/R, \quad \lim_{R \rightarrow 0} V = \infty$
      • 따라서 자연에 진공은 불가능

스콜라 철학자들

  • 아리스토텔레스에 충실히 입각해서 $V \propto F/R$ 해석 → 문제 발생. $F < R$일 때도 속도를 가짐
  • 중세의 대안적 해석: $V \propto (F - R)$
    • 힘과 저항이 모두 두배가 되면? $( 10-2=8 → 20-4=16 )$ → 여전히 문제
  • 브래드워딘(1325년-1382년)의 대안 해석
    • $F>R$이어서 물체가 운동하는 경우
      • 운동하는 물체의 속도를 2배로 키우려면 $(F/R)^2 \longrightarrow 2V$
      • 운동하는 물체의 속도를 3배로 키우려면 $(F/R)^3 \longrightarrow 3V$
      • 운동하는 물체의 속도를 ½배로 줄이려면 $(F/R)^{1/2} \longrightarrow {1/2}V$
      • 운동하는 물체의 속도를 ⅓배로 줄이려면 $(F/R)^{1/3} \longrightarrow {1/3}V$
    • $F/R$의 비율이 기하급수적으로 증감할 때, 속도는 산술급수적으로 증감한다 → $V \propto \log (F/R)$

투사체 운동

아리스토텔레스:

  • 모든 ‘강제된 운동’에는 (접촉해서 작용하는) 외적 원인(mover) 필요
  • 그렇다면 활를 떠난 화살은 어떻게 날아갈 수 있나? → "공기가 밀어준다"
투사체.png
  • 그렇다면, 활촉이 뭉툭한 화살이 더 멀리 날아갈 수 있어야?
  • 제자리에서 회전하는 팽이의 운동은?

뷔리당(1300년-1358년)

  • 임페투스(impetus): 외적 원인으로부터 물체에 부가됨으로써, 물체가 운동을 지속하게끔 작용하는 "강제된 원인"
  • 임페투스의 크기 = ( 질량 × 속도 ÷ 저항 ) 및 방해를 받으면 점진적으로 약화, 소진됨
    • 임페투스(강제된 원인)가 소진되고 나면 무거움(gravity — 자연적 원인)에 의해 낙하

문예부흥기 임페투스 이론의 응용:

  • 상승의 원인: 임페투스 > 그래비티
  • 상승의 감속: 임페투스의 점진적 소진
  • 정점: 임페투스 = 그래비티
  • 낙하의 원인: 임페투스 < 무거움
  • 낙하의 가속: 임페투스의 점진적 소진
  • $V \propto \mathrm{Impetus} - \mathrm{Gravitas}$

갈릴레오의 아리스토텔레스 운동이론 비판

초기 역학 연구

  • 『운동론』(1590년대)
    • 피사 대학 재직 시절 (1589-1592) 작성한 습작노트
    • '운동'에 관한 갈릴레오 사상의 초기 궤적을 보여주는 사료
  • "사고실험"을 통해 아리스토텔레스 운동학 비판
    • 무거운 물체가 더 빨리 떨어진다?
      • 큰돌의 낙하속도 8, 작은돌 속도 4, 이 속도는 절대 불변
      • 그렇다면 두 돌을 묶어서 떨어뜨리면 어떻게 될까?
      • 8과 4 사이 어딘가의 중간값? / 두 돌이 하나의 더 큰 돌이 되므로 8보다 큰 속도? — 둘 다 말이 되지만 상호 배타적임
    • 운동은 매질의 저항에 반비례한다?
      • 쇳덩이가 공기중에서는 속도 100으로 낙하하고 물 속에서는 저항이 커서 속도 10으로 낙하한다면
      • 나무토막은 쇳덩이보다 가벼워서 속도 20으로 낙하한다면 물 속에서는 속도 2로 낙하해야
      • 하지만 실제로는 나무토막은 물위에 뜬다

갈릴레오의 역학혁명

  • 동기: 태양중심설의 수용에 걸림돌이 되는 운동학적 문제들 해결하고자
  • 전제:
    • 태양이 우주의 중심, 지구가 움직임.
    • 새로운 목적: 왜 → 어떻게
    • 수학적 방법론
  • 갈릴레오의 핵심성과:
    • 관성의 법칙, 운동의 상대성 원칙, 운동의 수학적 기술

갈릴레오의 업적

관성의 법칙

  • 아리스토텔레스주의자:
    • 수직으로 쏘아 올린 포탄은 제자리에 떨어진다. 지구가 운동(자전 및 공전)을 하지 않는다는 증거
    • 정지한 배에서 떨어뜨린 공은 제자리에 떨어지지만, 움직이는 배에서 떨어뜨린 공은 뒤쳐지지 않는가?
  • 갈릴레오:
    • 탑 꼭대기에서 떨어뜨린 공이 바로 밑으로 떨어진다 하더라도 그걸 갖고 지구가 가만히 있는지 아니면 움직이는지 추론할 수는 없다.
    • 공은 배와 함께 운동하면서 각인된 수평 운동을 계속하게 되고, 그 수평 운동은 속도가 줄어들거나 증가할 이유가 없다
  • 관성의 개념: 운동하는 물체는 외부에서 그 운동을 멈추게 하지 않는 이상 계속 운동한다

상대성 원칙

  • 운동의 개념 변화
    • 아리스토텔레스주의: 운동은 변화. 모든 운동은 변화를 일으키는 원인에서 비롯
      • 자연스러운 운동을 하는 물체는 본연의 위치(natural place)로 이동한 후 멈춘다
      • 강제된 운동의 경우 외부적 원인(mover)의 작용이 필요하고 그 원인이 사라지면 운동도 멈춘다.
    • 갈릴레오: 운동하는 물체는 계속 운동하려고 한다(관성)!
      • 운동은 변화가 아니라 정지와 마찬가지로 상태(state)
      • 운동을 하게 하는 요인이 아니라 운동을 멈추게 하는 요인이 중요
      • 탐구의 대상: 운동 자체 → 운동의 변화
  • 상대성 개념
    • 운동과 정지는 모두 상태
    • 운동과 정지는 물체들 사이의 관계일 뿐
    • 운동은 운동을 하지 않는 물체에 대해서 상대적으로 나타남
    • 물체의 ‘운동’과 ‘정지’는 본질적으로 구분 불가능

운동의 수학적 기술

  • 아리스토텔레스주의자:
    • 무거운 물체일수록 더 빨리 낙하한다. "무거움(gravity)”이란 세계의 중심으로 향하려는 “욕망의 크기”
  • 갈릴레오
    • 모든 물체는 무게와 상관없이 동일한 양상으로 낙하한다
    • 현실에서는 무거운 물체는 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어진다. 버뜨 그러나 매질의 저항이 줄어들수록 (기름 → 물 → 공기) 두 물체의 속도 차는 줄어든다
    • 그러므로 매질의 밀도가 제로인 진공에서 두 물체를 떨어뜨리면 속도가 같아질 것이다.
  • 운동학의 목표 변경: Why → How
    • 운동의 원인/목적을 밝히는 게 아니라, 운동 자체를 정확히 기술(description)하는 데 주력
    • 무엇이 물체를 낙하하게 하는가? → 물체는 정확히 어떤 모습으로 낙하하는가?
    • 자연의 ‘이상적(Ideal)’ 상태(이 경우 진공 상태) 상정 → 수학을 활용해 운동 기술, 법칙 유도 → 법칙에 비추어 현실세계의 운동 분석
경사면.png
  • 경사면 실험
    • 낙하하는 물체의 속도는 점점 증가한다. 정확히 어떤 형태(규칙)로 증가하는가?
      • 현실세계에서는 불가하지만 이상세계에서 낙하가 이루어진다면 그 규칙을 파악할 수 있을 것
      • 무게와 무관함을 밝혔으니 속도는
        • 이동거리에 비례하여 속도 증가 vs 이동시간에 비례하여 속도 증가
    • "물체의 낙하거리는 시간의 제곱에 비례한다"(1633) $s^2 \propto t^2$
    • 경험주의적 or 가설연역적 실험이 아니라 분석적 추론(‘사고실험’)으로 얻은 원리를 예증하는 실험
투사체분해.png
  • 운동의 분해와 합성
    • 물체의 복잡한 운동을 기술하는 방법
    • 운동의 두 가지 운동: 관성운동 + 관성운동에서 예외적으로 벗어나는 운동(?)
      • 예외적으로 벗어나는 운동 = 지구 중심을 향하는 물체의 운동
        • 속도가 변한다는 점에서 특이한 유형의 운동
        • 빨라지는 이유? 난 몰라 이유는 중요치 않음 변화의 양상만 기술할 수 있으면 충분
        • 시간의 제곱에 비례해 속도(이동거리) 증가
      • 즉 운동의 합성: 관성운동 + 자유낙하운동

실험과학자로서의 갈릴레오?

  • 대중적 이미지 — 실험덕후. 피사의 사탑에서 생쇼하고
  • 학자들의 정설(1970년대까지) — 안락의자의 철학자. 실험 중요시하지 않음
    • 실험의 논증적 지위가 아리송함
      • 대화에서 심플리치오가 "실험해보고 하는 얘기?"라고 묻자 살비아티 왈 "실험할 필요도 없어!"
    • 실험 수치 제시하는 경우 거의 없음
      • 이 실험을 백 번 이상 되풀이 했으니 … 내가 맞으니까 날 믿어죠
    • 간혹 제시되는 수치들은 터무니없음
      • 오타 또는 오자인지 아니면 실험을 애초에 하지도 않고 야매로 써놓은 건지 알 길이 없음
    • 현실적으로 수행하기 힘든 실험들의 존재
  • 실험가로서의 갈릴레오
    • 갈릴레오의 실험노트 발굴
      • 갈릴레오의 실험 결과값들은 갈릴레오의 이론과 배치되기 때문에 논문에 사용하지 않음 (….)
      • 이론에 끼워맞춘 옳은 결과가 아니라 이론과 배치된 틀린 결과를 얻게 된 것은 즉 실험을 하기는 했다는 것
    • 그렇다고 갈릴레오를 실험과학자라고 볼 수는 없음
      • 많은 실험은 사고실험이었고 실제 실험들은 이론적으로 도달한 결론을 보여주는 시연 쑈에 가까움 (자기 이론과 실험 결과가 다르면 오히려 파묻어버림)

갈릴레오의 성과와 한계

성과

  • “운동”과 “정지”의 절대적 구분 타파
  • 이상적 조건 상정
  • 수학을 활용해 운동을 분석, 기술 → 법칙 유도

한계

  • 물체가 낙하하는 이유?
    • "naturally accelerated motion"라고 퉁치고 아무 이야기 하지 않음 (애초에 그 원인에 무관심한 것이 갈릴레오 역학의 특징이며 성과를 낸 이유)
  • 갈릴레오의 관성 개념(?)
    • 갈릴레오의 관성 개념은 오늘날의 직선관성운동이 아님
    • 갈릴레오의 사고실험: "빗면 만들고 마찰 없으면 공이 계속 굴러가"
      • 계속 굴러가면 어떠케 되지? → 지구를 한바퀴 돌아옴
    • 즉 갈릴레오의 관성은 원운동 관성
      • 중심으로 향하는 비관성운동(자유낙하) + 거기에 연직한 관성운동 → 원운동
    • 나중에 교정되고 오히려 원운동이 직선관성으로 어떻게 설명되느냐가 주요 과제가 됨