7. 푸리에 급수와 변환

7.1 서론

7.2 단순조화운동과 파동운동; 주기함수

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입자 $P$가 일정한 속력으로 반경 $A$인 원운동을 할 때, 동시에 입자 $Q$$P$$Q$$y$좌표가 항상 같도록 $\overline{RS}$위를 움직인다.

$\omega$ = $P$의 각속도(단위 ㎮), $\theta (t = 0) = 0$ 일 때 나중 시간 $t$에서

(1)
\begin{align} \theta (t) = \omega t \end{align}

이다. $Q$$y$좌표는

(2)
\begin{align} y & = A \sin \theta = A \sin \omega t \end{align}

이다. 이러한 왕복운동을 단순조화운동이라고 한다.

$P$$x, y$ 좌표는

(3)
\begin{align} x = A \cos \omega t, \qquad y = A \sin \theta = A \sin \omega t \end{align}

이다. $P$의 좌표를 복소평면에서의 점으로 생각한다면

(4)
\begin{align} z & = x + iy + A (\cos \omega t + i \sin \omega t ) \\ & = A e^{i \omega t } \end{align}

한편 $Q$의 좌표는 $z$의 허수부와 같다는 것을 알 수 있다. 유사하게 $Q$의 속도는

(5)
\begin{align} {{dz} \over {dt}} = {d \over {dt}} ( A e^{i \omega t } ) = A i \omega e^{i \omega t} = A i \omega ( \cos \omega t + i \sin \omega t ) \end{align}

의 허수부이다.

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$x, y$$t$의 그래프로 그리면, 원점을 어떻게 잡느냐에 따라 모든 사인/코사인 함수가 될 수 있는 곡선이 된다.

  • 숫자 $A$진폭이라고 하며 진폭은 평형위치로부터 가질 수 있는 최대변위로 정의된다.
  • 단순조화운동의 주기는 한 번의 진동이 완전히 끝날 때까지의 시간 i.e. $2 \pi / \omega$이다.

$Q$의 속도는 식 (5)의 허수부이므로

(6)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = A \omega \cos \omega t = B \cos \omega t \end{align}

이때 $B \equiv A \omega$는 속도의 최대값이며 속도진폭이라고 부른다. 속도와 변위의 주기가 같음에 주목.

입자 $Q$의 질량이 $m$이라면 운동에너지는

(7)
\begin{align} E_\mathrm{k} = {1 \over 2} m \left( {{dy} \over {dt}} \right)^2 = {1 \over 2} m B^2 \cos^2 \omega t \end{align}

전체 에너지는 운동에너지의 최대값과 같다.

(8)
\begin{align} E = {1 \over 2} m B^2 \end{align}

즉 에너지가 속도진폭의 제곱(진폭의 제곱 × 각속도의 제곱)에 비례한다.

예제 1.

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수면의 모양이 사인함수인 수면파가 있을 때 $t=0$인 순간을 포착해 찍으면 그 식은 적당한 좌표축에서

(9)
\begin{align} y = A \sin {{2 \pi x} \over \lambda} \end{align}

로 쓸 수 있다. $x$는 수평거리이고, $\lambda$는 마루와 마루, 골과 골 사이 거리이다. 보통 $\lambda$파장이라고 하고, 이는 수학적으로 $x$에 대한 주기와 같다.

시간이 흘러 파동이 $vt$만큼 이동했을 때 파동은

(10)
\begin{align} y = A \sin {{2 \pi} \over \lambda } ( x - vt) \end{align}

예제 2.
어떤 진자가 진동할 때 주기가 2초이다. 주기의 역수가 진동수이며 이는 1초당 진동회수이다. 이 진자의 진동수는 1/2 sec-1가 된다. 예컨대 진동수 780 킬로헤르츠 = 일 초당 도달하는 진동이 780,000 개이며 한 파동의 주기는 1/780,000 초인 것

모든 함수에 대해 $f (x+p) = f(x)$를 만족하는 $f(x)$를 주기함수로 정의하고 이때 $p$가 주기이다. 일반적으로 $\sin 2 \pi x/T$의 주기는 $T$이다.

  • $\sin(x + 2 \pi) = \sin x$ — 주기 2π
  • $\sin 2 \pi(x + 1) = \sin (2 \pi x + 2 \pi ) = \sin 2 \pi x$ — 주기 1
  • $\sin (\pi x / l ) (x + 2l) = \sin (\pi x /l)$ — 주기 2l

7.3 푸리에 급수의 응용

음파는 특정 진동수의 순수한 사인파동이다.
여러 개의 순수한 음이 동시에 들릴 때, 이 음들을 각각 분해할 수 있다. 이 과정을 푸리에 급수 또는 조화분석이라고 한다.

사인과 코사인 함수는 그 자체로 주기함수이므로 주기함수는 이들에 대한 표현으로 전개된다. 다시 말해 푸리에 급수는 주어진 주기함수를 사인과 코사인함수의 급수로 전개하는 것이다.

7.4 함수의 평균값

구간 $(a, b)$에서 $f(x)$의 평균값은 어림하여

(11)
\begin{align} {{f(x_1)+ f(x_2) + \cdots + f(x_n) } \over n} \end{align}

$x_1, x_2, \cdots$ 사이 간격이 $\Delta x$라고 하자. 어림한 평균의 분자 분모에 간격을 곱하면

(12)
\begin{align} {{ [ f(x_1)+ f(x_2) + \cdots + f(x_n) ] \Delta x } \over {n \Delta x}} \end{align}

$n \rightarrow \infty, \Delta x \rightarrow 0$인 극한을 취하면

(13)
\begin{align} (a, b)의\ 평균값 = {{\int_a^b f(x) dx } \over {b-a}} \end{align}

임의의 주기에 대한 사인함수의 평균값은 0이고, 그러므로 단순조화진동자의 속도 평균값도 0이다.
이런 경우 함수의 제곱에 대한 평균값이 관심대상이다.

도선을 지나는 교류가 사인함수로 표현된다면, 사인함수의 제곱에 대한 평균값의 제곱근을 제곱평균제곱근 또는 전류의 유효값이라고 하며 교류 전류계가 측정하는 값이 이것이다. 단순조화진동자의 경우 평균운동에너지(½mv²의 평균)는 ½m에 v²의 평균값을 곱한 것이다.

한 주기에 대한 사인의 제곱의 평균값은 적분을 계산하여 구할 수 있다.

(14)
\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} \sin^2 x\ dx & = \int_{- \pi}^{\pi} \cos^2 x\ dx \\ \int_{- \pi}^{\pi} \sin^2 nx\ dx & = \int_{- \pi}^{\pi} \cos^2 nx\ dx \end{align}

$\sin^2 nx + \cos^2 ns = 1$이므로

(15)
\begin{align} \int_{- \pi}^{\pi} ( \sin^2 x + \cos^2 x) dx & = \int_{- \pi}^{\pi} = 2 \pi \\ & = \int_{- \pi}^{\pi} 2 \sin^2 x\ dx \end{align}
(16)
\begin{align} \therefore\ \int_{- \pi}^{\pi} \sin^2 nx\ dx = \int_{- \pi}^{\pi} \cos^2 nx\ dx = \pi \end{align}

그리고 $(- \pi , \pi)$ 구간의 길이가 $2 \pi$ 이므로 이것으로 나누어주면
한 주기에 대한 사인제곱과 코사인제곱의 평균값은

(17)
\begin{align} {1 \over {2 \pi}} \int_{- \pi}^{\pi} \sin^2 nx\ dx = {1 \over {2 \pi}} \int_{- \pi}^{\pi} \cos^2 nx\ dx = { \pi \over {2 \pi}} = {1 \over 2} \end{align}

7.5 푸리에 계수

주기가 $2 \pi$인 주기함수들을 $\sin nx, \cos nx$의 함수로 전개해 보기.

(18)
\begin{align} f(x) = {1 \over 2} a_0 & + a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + a_3 \cos 3x + \cdots \\ & + b_1 \sin x + b_2 \sin 2x + b_3 \sin 3x + \cdots \end{align}

7.6 디리클레 조건

7.7 푸리에 급수의 복소수 형태

7.8 그 밖의 구간

7.9 짝함수와 홀함수

7.10 소리에 대한 응용

7.11 파르세발의 정리

7.12 푸리에 변환