3. 선형대수

3.1 서론

선형대수 - 대수와 기하학의 결합

일차연립방정식의 풀이.

3.2 행렬; 행의 소거

정의: 행렬 = 양들의 직사각형 배열

(1)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \end{align}

전치행렬

(2)
\begin{align} \mathrm{(A^T)}_{ij} = \mathrm{A}_{ji} \end{align}
(3)
\begin{align} \mathrm{A^T} = \begin{pmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{pmatrix} \end{align}

연립선형방정식

예제 1:

(4)
\begin{align} 2x & & -z & = 2 \\ 6x & +5y & + 3z & = 7 \\ 2x & - y & & = 4 \end{align}
(5)
\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 6 & 5 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \equiv \mathrm{M} \qquad & \quad \equiv \mathrm{r} & \equiv \mathrm{k} \end{align}
(6)
\begin{align} Mr = k = \sum_{j=1}^3 M_{ij} r_j \end{align}

확장행렬: $\mathrm{A}$의 첫 세 열은 계수행렬 $\mathrm{M}$의 열이고 네 번째 열은 $\mathrm{k}$의 열

(7)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 6 & 5 & 3 & 7 \\ 2 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{align}

제1열에 3을 곱하여 제2열에서 빼고, 제1열을 제3열에서 뺀다.

(8)
\begin{align} \begin{cases} 2x & & -z & = 2 \\ & 5y & + 6z & = 1 \\ & -y & +z & = 2 \end{cases} \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}

제2열과 제3열의 위치를 바꾼다.

(9)
\begin{align} \begin{cases} 2x & & -z & = 2 \\ & -y & +z & = 2 \\ & 5y & + 6z & = 1 \end{cases} \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

제2열을 이용해 다른 식들에서 $y$항들을 소거

(10)
\begin{align} \begin{cases} 2x & & -z & = 2 \\ & -y & +z & = 2 \\ & & 11z & = 11 \end{cases} \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 11 & 11 \end{pmatrix} \end{align}

제3열을 11로 나누고 다른 식들에서 $z$항을 소거.

(11)
\begin{align} \begin{cases} 2x & & & = 3 \\ & -y & & = 1 \\ & & z & = 1 \end{cases} \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

최종 결과는

(12)
\begin{align} \begin{cases} x & & & = {3/2} \\ & y & & = -1 \\ & & z & = 1 \end{cases} \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

예제 2:

(13)
\begin{cases} x & -y & + 4z & = 5 \\ 2x & - 3y & + 8z & = 4 \\ x & -2y & + 4z + = 9 \end{cases}
(14)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 2 & -3 & 8 & 4 \\ 1 & -1 & 4 & 9 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \end{pmatrix} \end{align}

이 때 제 3열이 $z \cdot 0 = 0$ 꼴이므로 임의의 유한한 $z$ 해를 구할 수 없다. 이런 경우 일관성이 없다고 한다.

행렬의 계수

계수(rank) = 행렬의 행을 소거했을 때 남아 있는 0이 아닌 행의 수

계수행렬 $\mathrm{M}$과 확장행렬 $\mathrm{A}$의 계수 비교

(15)
\begin{cases} \operatorname{rank} (\mathrm{M}) < \operatorname{rank} (\mathrm{A}) & \longrightarrow 일관성\ 없는\ 방정식. 해가\ 없음 \\ \operatorname{rank} (\mathrm{M}) = \operatorname{rank} (\mathrm{A}) = 미지수\ 개수\ n & \longrightarrow 유일한\ 해 \\ \operatorname{rank} (\mathrm{M}) > \operatorname{rank} (\mathrm{A}) = R < n & \longrightarrow 복수의\ 해 \end{cases}

e.g.

(16)
\begin{align} \begin{cases} x & +y & = 2 \\ 2x & + wy & = 4 \end{cases} \qquad \qquad \mathrm{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

제1열과 제2열은 사실 같은 식이고, 이를 독립적이지 않다고 하며, 이때 해는 무한히 많다.

3.3 행렬식; 크라메르 규칙

행렬식 계산

$2 \times 2$ 정사각행렬에서 행렬식은

(17)
\begin{align} \mathrm{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies \operatorname{det} \mathrm{A} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \end{align}

$3 \times 3$ 정사각행렬에서 행렬식은
e.g.

(18)
\begin{vmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 7 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}

이때 소행렬식(minor)은 특정 성분이 속한 행과 열을 삭제한 행렬의 행렬식. 예컨대 $a_{23}$의 소행렬식은

(19)
\begin{align} M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 11 \end{align}

그리고 여인수(cofactor)는 $(-1)^{i+j}$로 부호를 붙인 소행렬식이다. 예컨대 $a_{23}$의 여인수는

(20)
\begin{equation} (-1)^{2+3} M_{23} = -11 \end{equation}

행렬식을 구하는 일반적 방법: 한 행 또는 열의 행렬요소에 여인수를 곱하고 그 값들을 모두 더한다

(21)
\begin{align} \sum_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} a_{ij} \end{align}

예제 1:
식 (18)의 행렬식을 제3열의 행렬요소로 구하기.

(22)
\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 7 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} & = 2 (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 4 (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 5 (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} \\ & = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 11 + 5 \cdot 38 = 148 \end{align}

확인을 위해 제1행의 행렬요소를 이용하면

(23)
\begin{align} 1 (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} + (-5) (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + 2 (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 11 +135 +2 = 148 \end{align}

이렇게 행렬식을 구하는 것을 라플라스 전개(Laplace's development)라고 한다.

행렬식의 성질

1. 행렬식의 한 행 또는 한 열에 수 $k$가 곱해지면 원래 행렬식 값에 $k$를 곱한 것과 같다.

(24)
\begin{vmatrix} k \cdot a & k \cdot b & k \cdot c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

2. 행렬식의 두 행 또는 두 열의 위치를 맞바꾸면 원래 행렬식 값의 부호가 바뀐 것과 같다.

(25)
\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix}

3. 행렬식은 다음 경우 무조건 0이 된다.

  • 한 행 또는 한 열의 모든 요소가 0
(26)
\begin{align} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 0 \end{align}
  • 두 행 또는 두 열이 동일
(27)
\begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix} = 0 = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix}
  • 두 행 또는 두 열이 서로 비례
(28)
\begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix} = 0 = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ k a & k b & k c \\ g & h & i \end{vmatrix}

4. 다음 연산을 해도 행렬식의 값은 변하지 않음.

  • 전치행렬.
(29)
\begin{align} \operatorname{det} \mathrm{A} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{vmatrix} = \operatorname{det} \mathrm{A}^\mathrm{T} \end{align}
  • 한 행 또는 한 열의 각 요소에 다른 행 또는 열의 대응되는 행렬요소를 $k$배하여 더하기
(30)
\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ ka + d & kb + e & kc + f \\ g & h & i \end{vmatrix}

예제 3:

(31)
\begin{align} D = \begin{vmatrix} 0 & a & -b \\ -a & 0 & c \\ b & -c & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -a & b \\ a & 0 & -c \\ -b & c & 0 \end{vmatrix} = (-1)^3 \begin{vmatrix} 0 & a & -b \\ -a & 0 & c \\ b & -c & 0 \end{vmatrix} = -D \\ \implies D = 0 \end{align}

예제 4:

(32)
\begin{align} D = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 & 1 \\ 9 & 7 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 0 \end{vmatrix} \end{align}

제4열에 -4를 곱하고 제1열에 더하면

(33)
\begin{align} = \begin{vmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ -3 & 7 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 0 \end{vmatrix} \end{align}

제4열에 -2를 곱하고 제3열에 더하면

(34)
\begin{align} = \begin{vmatrix} 0 & 3 & -2 & 1 \\ -3 & 7 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 0 \end{vmatrix} \end{align}

제3행을 이용해 라플라스 전개를 하면

(35)
\begin{align} = (-1) \begin{vmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & 7 & -4 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \end{align}

제3행에 제2행을 더하면

(36)
\begin{align} = (-1) \begin{vmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & 7 & -4 \\ 0 & 6 & 0 \end{vmatrix} \end{align}

제1열을 이용해 라플라스 전개를 하면

(37)
\begin{align} = (-1) (-1)^{2+1} (-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = (-3) [ 0 - 6 (-2) ] = -36 \end{align}

e.g.
$(0, 0, 0), (1, 2, 5), (2, -1, 0)$을 모두 지나는 평면의 방정식 구하기

(38)
\begin{align} ax + by + cz = d \implies \begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{align}

크라메르 규칙

(39)
\begin{cases} a_1 x + b_1 y & = c_1 \\ a_2 x + b_2 y & = c_2 \end{cases}
(40)
\begin{align} (a_1 b_2 - a_2 b_1 ) x & = c_1 b_2 - c_2 b_2 \\ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} x & = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} \end{align}
(41)
\begin{align} (b_1 a_2 - b_2 a_1 ) y & = c_1 a_2 - c_2 a_2 \\ - \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} y & = - \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \end{align}
(42)
\begin{align} \therefore\ x = {{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}}, \quad y = {{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} }} \end{align}

행렬의 계수

행렬의 계수를 찾는 다른 방법: 모든 정사각 부속행렬의 행렬식을 구해 가장 큰 0이 아닌 행렬의 차수가 행렬의 계수

  • 부속행렬: 어떤 행 또는 열을 원래 행렬에서 없애고 남은 행렬
  • 차수: $n \times n$에서 $n$

예제 6:

(43)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{align}
(44)
\begin{align} M_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & -3 & 6 \end{vmatrix} = 0 \\ \implies \operatorname{det} \mathrm{A} < 3 \end{align}

3.4 벡터

벡터의 크기:

(45)
\begin{align} A = \left\lvert \vec{A} \right\rvert = \sqrt{{A_x}^2 + {A_y}^2 + {A_z}^2} \end{align}

벡터의 합:

  • 두 벡터의 합은 벡터 각 성분들을 합한 벡터와 같다. ($\vec{A} + \vec{B} = ( A_x + B_x , A_y+ b_y )$)
  • 교환법칙 성립 ($\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$)
  • 결합법칙 성립 ($(\vec{A} + \vec{B} ) + \vec{C} = \vec{A} + ( \vec{B} + \vec{C} )$)
  • 상수배 (e.g. $\vec{A} + \vec{A} + \vec{A} = 3 \vec{A}$
  • 영백터: 크기가 0인 벡터
  • 단위벡터: 크기가 1인 벡터
    • 기본단위벡터: 좌표축 방향의 단위벡터

벡터의 곱:

내적 i.e. 스칼라곱 i.e. 점곱

(46)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} & = \left\lvert \vec{A} \right\rvert \left\lvert \vec{B} \right\rvert \cos \theta. \\ & = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \end{align}
  • 내적은 교환법칙이 성립한다.
(47)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \end{align}
  • 내적에 대한 분배법칙
(48)
\begin{align} \vec{A} \cdot ( \vec{B} + \vec{C} ) = ( \vec{B} + \vec{C} ) \cdot \vec{A} = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} \end{align}
  • 벡터의 수직과 평행
(49)
\begin{align} \vec{A} \perp \vec{B} \implies \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \qquad (\because\ \cos {\pi \over 2} = 0 ) \end{align}
(50)
\begin{align} \vec{A} \parallel \vec{B} \implies { A_x \over B_x } = {A_y \over B_y } = {A_z \over B_z} \qquad (A_n, B_n \ne 0) \end{align}

외적 i.e. 벡터곱 i.e. 가위곱

  • 외적은 오른손 법칙으로 방향이 정해지며 그 크기는 다음과 같이 정의되는 벡터이다.
(51)
\begin{align} \left\lvert \vec{A} \times \vec{B} \right\rvert = \left\lvert \vec{A} \right\rvert \left\lvert \vec{B} \right\rvert \sin \theta \end{align}
  • 외적은 교환법칙이 성립되지 않는다.
(52)
\begin{align} \vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} \end{align}
(53)
\begin{align} \vec{A} \parallel \vec{B} \implies \vec{A} \times \vec{B} = 0 \\ \vec{A} \times \vec{A} = \vec{0} \qquad ^\forall \vec{A} \end{align}
  • 기본단위벡터의 외적
(54)
\begin{align} \hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}, \qquad & \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \qquad & \hat{i} \times \hat{k} = - \hat{j} \\ \hat{j} \times \hat{i} = - \hat{k}, \qquad & \hat{j} \times \hat{j} = \vec{0}, \qquad & \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \\ \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}, \qquad & \hat{k} \times \hat{j} = - \hat{i} \qquad & \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} \end{align}
  • 외적에 대한 분배법칙
(55)
\begin{align} \vec{A} \times ( \vec{B} + \vec{C} ) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \end{align}
  • 외적의 행렬식 형태
(56)
\begin{align} \vec{A} \times \vec{B} & = (\hat{i} A_x + \hat{j} A_y + \hat{k} A_z ) \times ( \hat{i} B_x + \hat{j} B_y + \hat{k} B_x ) \\ & = \hat{i} ( A_y B_y - A_z B_y ) + \hat{j} ( A_z B_x - A_x B_z ) + \hat{k} (A_x B_y - A_y B_x ) \\ & = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} \end{align}

3.5 직선과 평면

$(x, y, z)$를 벡터 $\vec{r} = \hat{i}x + \hat{j}y + \hat{k}z$와 동일시

벡터에 평행한 직선:

(57)
\begin{align} {{x - x_0 } \over a} = {{y - y_0} \over b} = {{z-z_0} \over c} \qquad & (a, b, c \ne 0) \\ {{x - x_0 } \over a} = {{y - y_0} \over b}, z = z_0 \qquad & (a, b, \ne 0, \quad c = 0) \\ \end{align}
(58)
\begin{align} \vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{A} t, \begin{cases} x & = x_0 + at \\ y & = y_0 + bt \\ z & = z_0 + ct \end{cases} \end{align}

매개변수 $t$가 시간일 때 쓸모 있는 해석을 할 수 있다. $\vec{A} = d \vec{r} / dt$ 즉 속도가 된다.

벡터에 수직인 직선:
$(x_0, y_0)$를 지나고 주어진 벡터 $\vec ={N} = a \hat{i} + b \hat{j}$에 수직인 직선의 식을 구할 때 벡터

(59)
\begin{align} \vec{r} - \vec{r}_0 = ( x - x_0) \hat{i} + (y- y_0 ) \hat{j} \end{align}

는 직선 위에 있고 이 벡터가 $\vec{N}$과 수직, 즉 내적이 0여야 한다.

(60)
\begin{align} a(x - x_0 ) + b( y - y_0 ) = 0, \qquad {{y- y_0 } \over {x - x_0}} = - {a \over b} \end{align}

이것이 벡터 $\vec{N}$에 수직인 직선 $L$의 식이고, 그 기울기는

(61)
\begin{align} \tan \theta = - \cot \phi = - {a \over b} \end{align}

벡터에 수직인 평면:
벡터에 수직인 직선 구하기를 3차원으로 확장하면

(62)
\begin{align} \vec{r} - \vec{r}_0 = ( x- x_0 ) \hat{i} + ( y - y_0 ) \hat{j} + (z - z_0 ) hat{k} \end{align}

벡터는 직선 위에 있다. $\vec{N} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$가 이 평면에 수직이라면 $\vec{N} \cdot ( \vec{r} - \vec{r}_0) = 0$이 평면의 식이다.

(63)
\begin{align} a (x - x_0 ) + b (y - y_0) + c(z - z_0) & = 0, \\ \mathrm{or} \qquad ax + by + cz & = d, \quad (d = ax_0 + by_0 + cz_0 ) \end{align}

3.6 행렬계산

행렬방정식:
두 행렬이 같으려면 이들이 동차여야 한다. 즉

(64)
\begin{pmatrix} x & r & u \\ y & s & v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 \\ 3 & -7i & 1-i \end{pmatrix}

는 사실 여섯 개의 방정식

(65)
\begin{align} x=2, \qquad y=3, \qquad r=1, \qquad s= -7i, \qquad u=-5, \qquad v=1-i \end{align}

의 집합이다. 이는 마치 복소방정식이 두 개의 실수방정식과 같은 것과 같다.

행렬의 상수배:
벡터 $\vec{A} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$의 성분을 행렬요소로 쓰면

(66)
\begin{align} \mathrm{A} & = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad (열벡터) \\ \mathrm{A}^\mathrm{T} & = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix} \qquad (행벡터) \end{align}

열벡ㅌ와 행벡터는 서로 전치행렬이다.

행렬에 숫자 $k$를 곱하는 것은 각 행렬요소에 곱해주는 것이고 행렬식에 $k$를 곱하는 것은 행렬식의 한 열에만 곱하는 것이다.

(67)
\begin{align} \operatorname{det} ( k \mathrm{A} ) & = k^2 \operatorname{det} \mathrm{A} \qquad \mathrm{A}: 2 \times 2 \\ \operatorname{det} ( k \mathrm{A} ) & = k^3 \operatorname{det} \mathrm{A} \qquad \mathrm{A}: 3 \times 3 \end{align}

행렬의 덧셈: 벡터의 대수적 덧셈과 마찬가지로 행렬도 요소들끼리 더한다.

(68)
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}

행렬의 곱셈:

(69)
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af+bh \\ ce + dg & cf+dh \end{pmatrix}

곱한 행렬 $\mathrm{AB}$의 제$i$행 제$j$열 요소는 $\mathrm{A}$의 제$i$행과 $\mathrm{B}$의 제$j$열을 곱한 것과 같다.

(70)
\begin{align} ( \mathrm{AB} )_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj} \end{align}

$\mathrm{AB}$$\mathrm{A}$의 행수와 $\mathrm{B}$의 열수가 같을 때만 존재한다. 행렬의 곱에 교환법칙은 성립하지 않지만 결합법칙과 분배법칙은 성립한다.

(71)
\begin{align} [ \mathrm{A} , \mathrm{B} ] = \mathrm{AB} - \mathrm{BA} \end{align}

$\mathrm{A}, \mathrm{B}$교환자라고 한다.

(72)
\begin{align} ( \mathrm{A} - \mathrm{B} ) ( \mathrm{A} + \mathrm{B} = \mathrm{A}^2 + \mathrm{AB} - \mathrm{BA} - \mathrm{B}^2 = \mathrm{A}^2 - \mathrm{B}^2 + [ \mathrm{A}, \mathrm{B} ] \end{align}
(73)
\begin{align} \mathrm{ A(B+C) = AB + AC}, \\ \mathrm{(A+B)C = AC + BC} \end{align}

영행렬: 모든 요소가 0인 행렬.

단위행렬: 주대각선 요소가 모두 1이고 다른 요소는 모두 0인 행렬.

(74)
\begin{align} \mathrm{I}&^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}
(75)
\begin{align} \mathrm{IA} = \mathrm{AI} = \mathrm{A} \qquad ^\forall \mathrm{A} \end{align}

행렬식의 계산:

  • 행렬식에 대한 덧셈은 정의하지 않는다.
  • 행렬식의 곱셈은 행렬의 곱과 같은 방법으로 곱한다.
(76)
\begin{align} \operatorname{det} \mathrm{AB} = \operatorname{det} \mathrm{BA} = ( \operatorname{det} \mathrm{A} ) \cdot ( \operatorname{det} \mathrm{B} ). \end{align}

이는 $\mathrm{AB} \ne \mathrm{BA}$라도 성립한다.

역행렬

(77)
\begin{align} \mathrm{M} \mathrm{M}^{-1} = \mathrm{M}^{-1} \mathrm{M} = \mathrm{I} \end{align}

$\mathrm{M}^{-1} = \mathrm{M}$의 역행렬.

(78)
\begin{align} \operatorname{det} \mathrm{M}^{-1} = {1 \over {\operatorname{det} \mathrm{M}}} \end{align}
(79)
\begin{align} \mathrm{M}^{-1} = {1 \over {\operatorname{det} \mathrm{M}}} \mathrm{C}^\mathrm{T} \qquad C_{ij} = m_{ij}의\ 여인수 \end{align}
(80)
\begin{align} \operatorname{det} \mathrm{M} = \mathrm{M} \mathrm{C}^\mathrm{T} \end{align}

예제 3:

(81)
\begin{align} \mathrm{M} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \\ \operatorname{det} \mathrm{M} & = 1 \times 6 + (-1) \times 3 = 3 \end{align}
(82)
\begin{align} C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 6, \qquad C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4, \qquad C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 3, \qquad \end{align}
(83)
\begin{align} \implies \mathrm{C} = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{M}^{-1} {1 \over {\operatorname{det} \mathrm{M} }} \mathrm{C}^\mathrm{T} = {1 \over 3} \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \end{align}

행렬함수

예제 4:

(84)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{A}^2 = - \mathrm{I}, \qquad \mathrm{A}^3 = - \mathrm{A}, \qquad \mathrm{A}^4 = \mathrm{I} \end{align}
(85)
\begin{align} e^{k \mathrm{A}} & = 1 + k \mathrm{A} - {{k^2 } \over {2!}} - { k^3 \over {3!}} \mathrm{A} + {k^4 \over {4!}} + \cdots \\ & = \left( 1 - {k^2 \over {2!}} + {k^4 \over {4!}} +\cdots \right) \mathrm{I} + \mathrm{A} \left( k - {k^3 \over {3!}} + {k^5 \over {5!}} + \cdots \right) \\ & = (\cos k ) \mathrm{I} + ( \sin k) \mathrm{A} \\ & = \begin{pmatrix} \cos k + \sin k & \sqrt{2} \sin k \\ - \sqrt{2} \sin k & \cos k - \sin k \end{pmatrix} \end{align}

3.7 선형결합, 선형함수, 선형연산자

벡터에 대한 스칼라함수 $f ( \vec{r} )$선형(linear)이다 $\iff$

(86)
\begin{align} f( \vec{r}_1 + \vec{r}_2 ) = f( \vec{r}_1 ) +f ( \vec{r}_2 ), \qquad f (a \vec{r} ) = a f ( \vec{r} ) \end{align}

e.g. $\vec{A} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$

(87)
\begin{align} f ( \vec{r} = \vec{A} \cdot \vec{r} = 2 x + 3y - z = (2, 3, -1) \cdot (x, y, z) \end{align}
(88)
\begin{align} f( \vec{r}_1 + \vec{r}_2 ) = \vec{A} \cdot ( \vec{r}_1 + \vec{r}_2 ) = \vec{A} \cdot \vec{r}_1 + \vec{A} \cdot \vec{r}_2 \end{align}

선형연산자

(89)
\begin{align} \hat{O} ( A + B ) = \hat{O} ( A) + \hat{O} (B), \qquad \hat{O}(a A) = a \hat{O} (A) \end{align}

$\iff \hat{O}$는 선형연산자

예제 2:

(90)
\begin{align} z = x + iy , & \qquad x, y \in \mathbb{R}, \\ \bar{z} = x - iy \end{align}
(91)
\begin{align} \overline{z_1 + z_2} & = \bar{z}_1 + \bar{z}_2, \\ \overline{k z} & = \bar{k} \bar{z} \end{align}

첫 번째 식은 언제나 성립하지만 두 번째 식은 $k \in \mathbb{R}$일 때만 성립한다. 켤레복소는 선형연산 아님.

선형변환

(92)
\begin{align} \begin{cases} X & = ax + by, \\ Y & = cx + dy \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \iff \mathrm{R} = \mathrm{Mr} \end{align}
(93)
\begin{align} \mathrm{M} (\mathrm{r}_1 + \mathrm{r}_2) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a(x_1 + x_2) + b(y_1 + y_2 ) \\ c ( x_1 + x_2 ) + d (y_1 + y_2 ) \end{pmatrix} = \mathrm{M} \mathrm{r}_1 + \mathrm{M} \mathrm{r}_2 \end{align}

$\mathrm{M}$은 선형연산자임

직교변환

직교변환: 벡터의 길이가 보존되는 선형변환

(94)
\begin{align} \mathrm{r} ' & = \mathrm{M} \mathrm{r} \iff x' ^2 + y' ^2 = x^2 + y^2 \iff \\ (ax + by)^2 + (cx + by)^2 & = (a^2 + c^2) x^2 + (b^2 + d^2 ) y^2 +2 (ab + cd) xy \end{align}
(95)
\begin{align} a^2 + c^2 = 1, \qquad b^2 + d^2 = 1, \qquad 2(ab + cd) = 0 \end{align}
(96)
\begin{align} \mathrm{M}^\mathrm{T} \mathrm{M} & = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a ^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & \mathrm{M}^\mathrm{T} \mathrm{M}^{-1} \iff \mathrm{M}은\ 직교행렬 \end{align}
(97)
\begin{align} \mathrm{r} ' = \mathrm{M} \mathrm{r} \iff \begin{pmatrix} x ' \\ y ' \end{pmatrix} = \mathrm{M} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}
(98)
\begin{align} \mathrm{r} ' ^\mathrm{T} = \mathrm{r}^\mathrm{T} \mathrm{M}^\mathrm{T} & = \begin{pmatrix} x ' & y ' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \mathrm{M}^\mathrm{T} \\ x' ^2 + y' ^2 & = \begin{pmatrix} x' & y ' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x ' \\ y ' \end{pmatrix} = \mathrm{r}' ^\mathrm{T} \mathrm{r}' \end{align}
(99)
\begin{align} \mathrm{r} ' ^\mathrm{T} \mathrm{r} ' = \mathrm{r}^\mathrm{T} \mathrm{M}^\mathrm{T} \mathrm{M} \mathrm{r} = x^2 + y^2 = \mathrm{r}^\mathrm{T} \mathrm{r} \end{align}
(100)
\begin{align} \operatorname{det} ( \mathrm{M}^\mathrm{T} ) \operatorname{det} \mathrm{M} = 1 = ( \operatorname{det} \mathrm{M} ) ^2 \implies \operatorname{det} \mathrm{M} = \begin{cases} +1 & 회전 \\ -1 & 반전 \end{cases} \end{align}

2차원에서의 회전

7-4.png 7-5.png
요약 좌표축을 고정, 벡터를 회전 벡터는 고정, 좌표축이 회전
명칭 능동적 변환 수동적 변환 (기준변환)
(101)
\begin{align} \vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} = x' \hat{x} ' + y' \hat{y} ' \end{align}

능동적 변환:

(102)
\begin{align} x' = l \cos ( \theta +\phi ) & = l \cos \phi \cos \theta - l \sin \phi \sin \theta = x \cos \theta - y \sin \theta \\ y' = l \sin ( \theta +\phi ) & = y \cos \theta + x \sin \theta \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}

수동적 변환:

(103)
\begin{align} x' = l \cos (\phi - \theta ) \\ y' = l \sin (\phi - \theta) \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}

예제 3:

(104)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} - {1 \over 2} & { \sqrt{3} \over 2} \\ - { \sqrt{3} \over 2} & - {1 \over 2} \end{pmatrix} \end{align}

능동적 변환이라고 생각해 보면

(105)
\begin{align} \operatorname{det} \mathrm{A} = + 1, \qquad \begin{cases} \cos \theta & = - {1 \over 2} \\ \sin \theta & = - { \sqrt{3} \over 2} \end{cases} \implies \theta = {4 \over 3} \pi \end{align}
(106)
\begin{align} \mathrm{A} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - {1 \over 2} \\ - {\sqrt{3} \over 2} \end{pmatrix} \iff -{1 \over 2} \hat{x} - {\sqrt{3} \over 2} \hat{y} \end{align}

이것은 벡터 $\hat{x}$가 240˚ = $4 \pi / 3$ 회전한 것.

(107)
\begin{align} \mathrm{B} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{det} \mathrm{B} = -1, \\ \mathrm{B} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ - y \end{pmatrix} \end{align}

이것은 $y = 0$ 선, 즉 $x$축에 대해 반전시킨 것임.

(108)
\begin{align} \mathrm{C} = \mathrm{AB} = \begin{pmatrix} - {1 \over 2} & { \sqrt{3} \over 2} \\ - { \sqrt{3} \over 2} & - {1 \over 2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - {1 \over 2} & - { \sqrt{3} \over 2} \\ - {\sqrt{3} \over 2} & {1 \over 2} \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{det} \mathrm{C} = -1 \end{align}
(109)
\begin{align} \mathrm{C r} & = \mathrm{r} \\ \begin{pmatrix} - {1 \over 2} & - { \sqrt{3} \over 2} \\ - {\sqrt{3} \over 2} & {1 \over 2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} - {1 \over 2} x - { \sqrt{3} \over 2} y \\ - {\sqrt{3} \over 2} x + {1 \over 2} y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ & - {\sqrt{3} \over 2} y = {3 \over 2} x \implies y = - \sqrt{3} x \end{align}

3차원에서의 회전과 반전

벡터 $\vec{r} = (x, y, z)$를 회전 또는 반전시키는 능동변환인 3×3 직교행렬.

(110)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{pmatrix} \end{align}

이 변환은 벡터를 $z$축에 대해 $\theta$만큼 회전시킨 변환.

(111)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align}

이 변환은 벡터를 $z$축에 대해 $\theta$만큼 회전시키고 $(x, y)$ 평면에 대해 반전시키는 변환.

임의의 3×3 직교행렬의 행렬식이 1이면 회전, -1이면 반전이다. i.e. 식 (68)의 3차원에 대한 일반화임.

예제 4:

(112)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \end{align}

$y$축에 대한 회전행렬이다. $\theta = \pi /2$이면 이 변환은 $\hat{x} = (1, 0, 0) \longrightarrow - \hat{z} = (0, 0, -1)$로 변환시킨다.

(113)
\begin{align} \mathrm{A} \left( \theta = {\pi \over 2} \right) \hat{x}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}

예제 6:

(114)
\begin{align} \mathrm{L} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{det} \mathrm{L} = -1 \end{align}

행렬식이 -1 이므로 이것은 반전이고, 반전평면을 알려면 반전평면에 수직한 벡터(법선벡터)를 구해야 한다.

(115)
\begin{align} \mathrm{L} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \\ z \end{pmatrix} \iff \\ z = 0, x = y \iff x + y = 0 이\ 반전평면 \end{align}

3.8 선형종속과 선형독립

$n$개의 벡터 $\vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n$에 대하여

(116)
\begin{align} a_1 \vec{v}_1 + a_2 \vec{v}_2 + \cdots + a_n \vec{v}_n = 0 \iff a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0 \end{align}

일 때 이 벡터들은 선형독립이다. 그렇지 않으면 선형종속이다.

e.g.

(117)
\begin{align} \vec{A} = (1, 1, 0), \vec{B} = (1, 0, 1), \vec{C} = (2, 1, 1) \implies \vec{A} + \vec{B} - \vec{C} = 0 \end{align}

이 세 벡터는 선형종속 관계.

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행렬의 계수 = 선형독립인 벡터의 개수

함수의 선형독립

(118)
\begin{align} k_1 f_1 (x) + k_2 f_2 (x)_ + \cdots + x_n f' _n (x) \iff k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0 \end{align}

모든 k에 대해 위 조건이 성립할 때 선형종속 관계에 있다고 한다. 성립하지 않으면 선형독립 관계에 있다고 한다.

론스키 행렬식

$f_1 (x), f_2 (x), \cdots , f_n (x)$$n-1$차 미분이 존재하고, 행렬식

(119)
\begin{align} W = \begin{vmatrix} f_1 (x) & f_2 (x) & \cdots & f_n (x) \\ f_1 ' (x) & f_2 ' (x) & \cdots & f_n ' (x) \\ f_1 '' (x) & f_2 '' (x) & \cdots & f_n '' (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)} (x) & f_2^{(n-1)} (x) & \cdots & f_n^{(n-1)} (x) \end{vmatrix} \not\equiv 0 \end{align}

이면 이 함수들은 선형독립이다. 이때 행렬식 $W$를 함수의 론스키 행렬식(Wronskian)이라고 한다.

동차방정식

(120)
\begin{align} \begin{cases} x + y & = 0 \\ x - y & = 0 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

식 (120)에서 유일한 해는 $x= y = 0$이다. 행렬의 계수는 2이고 미지수의 개수도 2이다.

(121)
\begin{align} \begin{cases} x + y & = 0 \\ 2x + 2y & = 0 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

식 (121)에서 행렬의 계수는 1이고 미지수의 개수는 2이다. 이는 두 개의 미지수에 대해 한 개의 방정식만 있으며, 직선 위에 있는 모든 점들은 $x+y=0$을 만족한다.

  • 동차식은 언제나 모든 미지수 = 0인 해("뻔한 해")가 존재한다.
    • 독립적인 식의 개수(i.e. 행렬의 계수)가 미지수의 개수와 같으면 유일한 해가 존재한다.
    • 행렬의 계수가 미지수의 개수보다 작으면 무한히 많은 해가 존재한다.
  • n개의 미지수가 있는 n개의 동차식의 집합은 계수들의 행렬식이 0일 때에만 뻔한 해 이외의 다른 해를 갖는다.

벡터해

기하학적으로 선형방정식의 해는 점, 직선, 평면일 수 있다.

예제 3:

(122)
\begin{align} x = 3 + 2z, \qquad y=4-z \end{align}

의 해집합은 두 평면이 교차하는 직선 위의 모든 점이다. 그 해를 벡터 형태로 쓰면

(123)
\begin{align} \vec{r} = (x, y, z) = (3+2z, 4-z, z) = (3, 4, 0 ) + (2, -1, 1)z. \end{align}

$z = t$이면 이것은 직선의 식에 대한 매개변수식 $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{A}t$이다.

방정식에 해당하는 동차식과 행들을 소거한 행렬은

(124)
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -5 \\ -5 & 4 & 14 \\ 3 & -1 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

이고 그 해는

(125)
\begin{align} \begin{cases} x & = 2z, \\ y & = -z \end{cases}, \qquad \mathrm{i.e.} \quad \vec{r} = (2, -1, 1)z \end{align}

3.9 특별한 행렬과 공식들

특별한 행렬연산들:
명칭 표기 연산 방법
전치 $\mathrm{A}^\mathrm{T}$ 또는 $\tilde{\mathrm{A}}$ $\mathrm{A}$의 행과 열을 맞바꾼다.
복소켤레 $\overline{\mathrm{A}}$ 또는 $\mathrm{A}^*$ 행렬의 각 요소에 대해 켤레복소수를 취한다.
자기수반 $\mathrm{A}^\dagger = \overline{\mathrm{A}^\mathrm{T}}$ 전치와 복소켤레를 모두 취함
역행렬 $\mathrm{A}^{-1}$ 식 (79)
특별한 형태의 행렬들:
명칭 조건
실수행렬 $\mathrm{A} = \mathrm{A}^*$ i.e. 행렬의 모든 요소가 실수
대칭행렬 $\mathrm{A} = \mathrm{A}^\mathrm{T}$, $\mathrm{A}$는 실수행렬
반대칭행렬 $\mathrm{A} = - \mathrm{A}^\mathrm{T}$, $\mathrm{A}$는 실수행렬
직교행렬 $\mathrm{A}^{-1} = \mathrm{A}^\mathrm{T}$, $\mathrm{A}$는 실수행렬
순허수행렬 $\mathrm{A} = - \mathrm{A}^*$ i.e. 행렬의 모든 요소가 순허수
에르미트 행렬 $\mathrm{A} = \mathrm{A}^\dagger$
반에르미트 행렬 $\mathrm{A} = - \mathrm{A}^\dagger$
유니타리 행렬 $\mathrm{A}^{-1} = \mathrm{A}^\dagger$ i.e. 역행렬 = 에르미트 행렬
정규행렬 $\mathrm{A} \mathrm{A}^\dagger = \mathrm{A}^\dagger \mathrm{A}$

행렬의 곱에 대한 전치행렬은 전치한 행렬을 순서를 반대로 하여 곱한 것과 같다.

(126)
\begin{align} (\mathrm{ABCD})^\mathrm{T} = \mathrm{D}^\mathrm{T} \mathrm{C}^\mathrm{T} \mathrm{B}^\mathrm{T} \mathrm{A}^\mathrm{T} \end{align}

곱에 대한 역행렬도 유사한 정리가 성립한다.

(127)
\begin{align} (\mathrm{ABCD})^{-1} = \mathrm{D}^{-1} \mathrm{C}^{-1} \mathrm{B}^{-1} \mathrm{A}^{-1} \end{align}

행렬의 합의 전치행렬은 전치행렬의 합과 같다.

(128)
\begin{align} (\mathrm{A+B+C+D}) = \mathrm{A}^\mathrm{T} + \mathrm{B}^\mathrm{T} + \mathrm{C}^\mathrm{T} + \mathrm{D}^\mathrm{T} \end{align}

행렬의 멱급수의 전치행렬은 전치행렬의 멱급수와 같다.

(129)
\begin{align} (\mathrm{M}^n)^\mathrm{T} = (\mathrm{M}^\mathrm{T})^n \end{align}

크로네커 델타

(130)
\begin{align} \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ -1, & i \ne j \end{cases} \end{align}

단위행렬은 행렬요소가 크로네커 델타인 행렬이다.

(131)
\begin{align} \mathrm{I} = \left( \delta_{ij} \right) \end{align}
(132)
\begin{align} (\mathrm{IM})_{ij} = \sum_k \delta_{ik} M_{kj} = M_{ij}, \qquad \mathrm{IM = M} \end{align}

$\because$ $k \ne i \implies \delta_{ik} = 0$

행렬의 흔적

정사각행렬의 흔적 $\operatorname{Tr} \mathrm{A}$는 대각선 요소들의 합이다. $n \times n$ 단위행렬의 흔적은 $n$이다. 행렬의 곱의 흔적은 순환하여 곱해도 변하지 않는다.

(133)
\begin{align} \operatorname{Tr} (\mathrm{ABC}) = \sum_i (\mathrm{ABC})_{ii} & = \sum_i \sum_j \sum_k A_{ij} B_{jk} C_{ki} \\ & = \sum_i \sum_j \sum_k B_{jk} C_{ki} A_{ij} = \operatorname{Tr} (\mathrm{BCA}) \\ & = \sum_i \sum_j \sum_k C_{ki} A_{ij} B_{jk} = \operatorname{Tr} (\mathrm{CAB}) \\ \end{align}

주의: 일반적으로 $\operatorname{Tr} (\mathrm{ABC}) \ne \operatorname{Tr} (\mathrm{ACB})$

정 리

$\mathrm{H}$가 에르미트 행렬이면 $\mathrm{U} = \exp \left[ i \mathrm{H} \right]$는 유니타리 행렬이다.

  • 중명:
    1. 에르미트 행렬 $\mathrm{H}$는 자기 자신과 자기수반하므로 $\exp \left[ i \mathrm{H} \right] \exp \left[ - i \mathrm{H} \right] = \exp \left[ i \mathrm{H} - i \mathrm{H} \right]$
    2. 그런데 이것은 $e^0 = 1$이므로 단위행렬이다. 따라서 $\mathrm{U}^{-1} = \exp \left[ - i \mathrm{H} \right]$
    3. $\mathrm{U} = \exp \left[ i \mathrm{H} \right]$를 멱급수로 전개하여 $\mathrm{U} = \sum_k (i \mathrm{H})^k / k!$를 얻는다.
    4. 여기에 자기수반행렬을 취하면 $\mathrm{U}^\dagger = \sum_k ( - i \mathrm{H})^k / k! = \exp \left[ - i \mathrm{H} \right]$
      • $\because$ $(\mathrm{M}^n)^\mathrm{T} = (\mathrm{M}^\mathrm{T} )^n$이고 $\mathrm{H}$가 에르미트 행렬이므로 $(i \mathrm{H})^\dagger = - i \mathrm{H}^\dagger = - i \mathrm{H}$
    5. $\mathrm{U}^\dagger = \mathrm{U}^{-1} \implies \mathrm{U}$는 유니타리 행렬이다.

3.10 선형벡터공간

내적, 크기, 수직

(134)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} = \sum_{i=1}^n A_i B_i \end{align}
(135)
\begin{align} A = \left\lVert \vec{A} \right\rVert = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}} = \sqrt{ \sum_{i=1}^n {A_i}^2 } \end{align}
(136)
\begin{align} \sum_{i=1}^n A_i B_i = \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \iff \vec{A} \perp \vec{B} \end{align}

슈바르츠 부등식

(137)
\begin{align} \left\lvert \vec{A} \cdot \vec{B} \right\rvert & \le \left\lvert \vec{A} \right\rvert \left\lvert \vec{B} \right\rvert = AB \\ \left\lvert \sum_{i=1}^n A_i B_i \right\rvert & \le \sqrt{\sum_{i=1}^n {A_i}^2} \sqrt{ \sum{i=1}^n {B_i}^2 } \end{align}
(138)
\begin{align} \vec{C} & = B \vec{A} - ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) {{\vec{B} } \over {B}}, \\ \vec{C} \cdot \vec{C} & = \sum_{i=1}^n {C_i}^2 \ge 0 \\ {1 \over B} \vec{C} & = \vec{A} - ( \vec{A} \cdot \hat{e}_B) \hat{e}_B B^2 A^2 & - 2 ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) + ( \vec{A} \cdot \vec{B} )^2 = B^2 A^2 - ( \vec{A} \cdot \vec{B} )^2 \ge 0 \end{align}

직교기저; 그람-슈미트 과정

벡터들의 집합이 모두 서로 수직이고, 각 벡터들이 기저화(크기가 1 또는 길이가 1)되어 있으면 직교기저화되어있다고 한다. 예컨대 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$는 직교기저화된 집합을 이룬다.

기준벡터 $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$가 있을 때

(139)
\begin{align} \hat{e}_A = {{\vec{A}} \over {A}} \end{align}
(140)
\begin{align} \hat{e}_B \cdot \hat{e}_A = 0, & \qquad \vec{B} ' = \vec{B} - ( \vec{B} \cdot \hat{e}_A) \hat{e}_A \\ \hat{e}_B = {{\vec{B}'} \over {B'}} & \end{align}
(141)
\begin{align} \vec{C} ' & = \vec{C} - ( \vec{C} \cdot \hat{e}_A ) \hat{e}_A - (\vec{C} \cdot \hat{e}_B ) \hat{e}_B \\ \vec{C} ' \cdot \hat{e}_A &= \vec{C} \cdot \hat{e}_A - ( \vec{C} \cdot \hat{e}_A ) - (\vec{C} \cdot hat{e}_B) \hat{e}_B \cdot \hat{e}_A = 0 \\ \vec{C} ' \cdot \hat{e}_B & = 0 \\ \hat{e}_C & = {{ \vec{C} ' } \over { C' }} \end{align}

예제 4: 다음 주어진 기준벡터에 대해 그람-슈미트 방법으로 직교기저화된 기준벡터 집합을 구하라.

(142)
\begin{align} \vec{A} = (0, 0, 5, 0) & \qquad \hat{e}_A = (0,0,1,0) \\ \vec{B} = (2, 0 , 3, 0) & \qquad \vec{B} ' = (2, 0, 3, 0) - 3 ( 0, 0, 1, 0 ) = (2, 0, 0, 0) \implies \hat{e}_B = (1, 0, 0, 0) \\ \vec{C} = (7, 1, -5, 3) & \qquad \hat{e}_C = {1 \over \sqrt{10}}(0, 1, 0, 3) \end{align}

복소 유클리드 공간

(143)
\begin{align} \vec{A} = (A_1, \cdots , A_n) \qquad A_i \in \mathbb{C} \end{align}
(144)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{V} = \sum_{i=1}^n A^* B_i \qquad (내적) \end{align}
(145)
\begin{align} \left\lvert \vec{A} \right\rvert = \sqrt{\sum_{i=1}^n A^*_i A_i} \qquad (크기) \end{align}
(146)
\begin{align} \left\lvert \sum_{i=1}^n A^*_i B_i \right\rvert \le \sqrt{ \sum_{i=1}^n {A_i}^* A_i } \sqrt{ \sum_{i=1}^n B^*_i B_i } \qquad (슈바르츠\ 부등식) \end{align}

3.11 고유값과 고유벡터; 행렬의 대각화

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이때 $\lambda$를 고유값, $(x, y)$를 고유벡터라고 한다.

고유값

e.g.

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(147)
\begin{align} \begin{pmatrix} 5 - \lambda & -2 \\ -2 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = 0, \\ \begin{vmatrix} 5 - \lambda & -2 \\ -2 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (5 - \lambda ) (2 - \lambda ) - 4 & = \lambda^2 -7 \lambda + 6 = 0 \end{align}

이것을 행렬 $\mathrm{M}$의 특성식(characteristic equation)이라고 한다.

(148)
\begin{align} \quad \lambda_1 = 1 : \qquad \qquad \\ \begin{cases} 4x -2y & = 0 \\ -2x + y &=0 \end{cases} \qquad y = 2x \end{align}
(149)
\begin{align} \quad \lambda_2 = 6 : \qquad \qquad \\ \begin{cases} -x -2y & = 0 \\ -2x - 4y &=0 \end{cases} \qquad x = -2y \end{align}
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(150)
\begin{align} v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ 2 x_1 \end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = {1 \over \sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align}
(151)
\begin{align} v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 y_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = y_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = {1 \over \sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}

행렬의 대각화

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(152)
\begin{align} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & -x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & -x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \\ \equiv \mathrm{M} \qquad \equiv \mathrm{C} \qquad = \mathrm{C} \qquad \equiv \mathrm{D} \end{align}
(153)
\begin{align} \mathrm{D} = \mathrm{C}^{-1} \mathrm{M} \mathrm{C} \end{align}

이때 행렬 $\mathrm{D}$대각행렬이라고 한다. 행렬 $\mathrm{D}$는 행렬 $\mathrm{M}$유사하다고 하고, 주어진 $\mathrm{M}$에 대해 $\mathrm{D}$를 얻는 것을 유사변환에 의해 $\mathrm{M}$대각화했다고 한다.

$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$의 의미

(154)
\begin{align} \mathrm{M} & = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \\ \mathrm{C} & = \begin{pmatrix} {1 \over \sqrt{5}} & {{-2} \over \sqrt{5}} \\ {2 \over \sqrt{5}} & {1 \over \sqrt{5}} \end{pmatrix} \\ \mathrm{C}^\mathrm{T} \mathrm{C} & = {1 \over 5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = {1 \over 5} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \mathrm{I}^2 \end{align}
11-3.png
(155)
\begin{align} x = l \cos ( \phi + \theta ) & = l \cos \phi \cos \theta - l \sin \phi \sin \theta \\ & = x' \cos \theta - y' \sin \theta \ y = l \sin ( \phi + \theta ) & = x \sin \theta + y' \cos \theta \end{align}
(156)
\begin{align} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ & \qquad \equiv \mathrm{C}' \end{align}
(157)
\begin{align} \mathrm{r} & = \mathrm{C}' \mathrm{r}' \\ \mathrm{R} & = \mathrm{C}' \mathrm{R} ' \\ \mathrm{R} & = \mathrm{M} \mathrm{r} \\ \mathrm{C}' \mathrm{R} ' & = \mathrm{M} \mathrm{C}' \mathrm{r}' \\ \mathrm{R} ' & = ( \mathrm{C} ' )^{-1} \mathrm{M} \mathrm{C} ' \mathrm{r} ' \\ \mathrm{C}^{-1} \mathrm{M} \mathrm{C} & = \mathrm{D} \\ \mathrm{C} & = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{C}^\mathrm{T} \mathrm{C} = \mathrm{I} \\ \mathrm{R} ' = \mathrm{D} \mathrm{r} ' & = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{align}

겹침

두 개 이상의 고유값이 같다면 그 고유값은 겹쳐 있다고 한다. 겹침이란 두 개 이상의 독립적인 고유벡터들이 같은 고유값을 갖는다는 의미이다.

예제 1:

(158)
\begin{align} \mathrm{M} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ -4 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \end{align}

위 행렬의 고유값은 $\lambda = 6, -3, -3$이다.

(1) $\lambda = 6$일 때

(159)
\begin{align} \begin{pmatrix} -5 & -4 & 2 \\ -4 & -5 & -2 \\ 2 & -2 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \mathrm{O} \end{align}
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(2) $\lambda = -3$일 때

(160)
\begin{align} \begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 \\ -4 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \mathrm{O} \end{align}

에르미트 행렬의 대각화

(161)
\begin{align} \mathrm{H} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \mathrm{H}^\dagger \end{align}

(1) $\mathrm{H} \mathrm{r} = \lambda \mathrm{r}$

(162)
\begin{align} ( \mathrm{H} \mathrm{r} )^\dagger = \mathrm{r}^\dagger \mathrm{H}^\dagger = ( \lambda \mathrm{r} )^\dagger = \lambda^* \mathrm{r}^\dagger \end{align}
(163)
\begin{align} \mathrm{r}^\dagger \end{align}

(2) $\mathrm{H} \mathrm{r}_1 = \lambda_1 \mathrm{r}_1 \qquad \mathrm{H} \mathrm{r}_2 = \lambda_2 \mathrm{r}_2$

(164)
\begin{align} \mathrm{r}_1^\dagger \mathrm{H} = \lambda_1 \mathrm{r}_1^\dagger \qquad \mathrm{r}_2^\dagger \mathrm{H} = \lambda_2 \mathrm{r}_2^\dagger \end{align}
(165)
\begin{align} \mathrm{r}_1^\dagger \mathrm{H} \mathrm{r}_2 = \lambda_2 \mathrm{r}_1^\dagger \mathrm{r}_2 = \lambda_1 \mathrm{r}_1^\dagger \mathrm{r}_2 \end{align}
(166)
\begin{equation} \end{equation}

예제 2:

(167)
\begin{align} \mathrm{H} & = \begin{pmatrix} 2 & 3-i \\ 3+i & 1 \end{pmatrix} \mathrm{H}^{-1} & = \begin{pmatrix} 2 & 3-i \\ 3+i & 1 \end{pmatrix} = \mathrm{H} \end{align}
(168)
\begin{align} \operatorname{det} \left[ \mathrm{H} - \lambda \mathrm{I} \right] = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 3 - i \\ 3 + i & -1 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda ) (-1 - \lambda ) - (3+i) (3-i) = 0 \end{align}

(i) $\lambda = 4$일 때

(169)
\begin{align} \begin{pmatrix} -2 & 3-i \\ 3+i & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \end{align}
(170)
\begin{align} \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2 \end{pmatrix} \times {1 \over \sqrt{14}} \end{align}

(ii) $\lambda = -3$일 때

(171)
\begin{align} \begin{pmatrix} 5 & 3-i \\ 3+i & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \end{align}
(172)
\begin{align} \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3-i \end{pmatrix} \times {1 \over \sqrt{14}} \end{align}

두 개의 고유벡터는 내적을 구해 보면 0이므로 수직이다.

(173)
\begin{align} \mathrm{U} = {1 \over \sqrt{14}} \begin{pmatrix} 2 & 3-i \\ -3-i & 2 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{U}^\dagger = {1 \over \sqrt{14}} \begin{pmatrix} 2 & -3+i \\ 3+i & 2 \end{pmatrix} \end{align}
(174)
\begin{align} \mathrm{U} \mathrm{U}^\dagger = \begin{pmatrix} 2 & 3-i \\ -3-i & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3+i \\ 3+i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

$\mathrm{U}^\dagger \mathrm{U} =$ 단위벡터 이므로 $\mathrm{U}^{-1} = \mathrm{U}^\dagger$

(175)
\begin{align} \mathrm{U}^{-1} \mathrm{H} \mathrm{U} = \mathrm{U}^\dagger \mathrm{H} \mathrm{U} = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{align}

3차원에서의 직교변환

(176)
\begin{align} \mathrm{A} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad & \mathrm{B} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ \operatorname{det} \mathrm{A} = +1 \quad (회전행렬) \qquad & \operatorname{det} \mathrm{B} = -1 \quad (반전행렬) \end{align}
(177)
\begin{align} x = r \cos ( \theta + \phi ) = r \cos \phi \cos \theta - r \sin \phi \sin \theta = x' \cos \theta - y' \sin \theta \end{align}
(178)
\begin{align} \mathrm{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{align}
(179)
\begin{align} \mathrm{r} & = \mathrm{C} \mathrm{r} ' \\ \mathrm{R} & = \mathrm{M} \mathrm{r} \\ \mathrm{R} & = \mathrm{C} \mathrm{R} ' \\ \mathrm{C} \mathrm{R}' & = \mathrm{M} \mathrm{C} \mathrm{r}' \\ \mathrm{R} ' & = \mathrm{C}^{-1} \mathrm{M} \mathrm{C} \mathrm{r} ' \end{align}

예제 3:

(180)
\begin{align} \mathrm{A} = {1 \over 2} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1 \\ - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & - \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{B} = {1 \over 3} \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \end{align}

행렬의 멱수와 함수

예제 6:
$\mathrm{C}^{-1} \mathrm{M} \mathrm{C} = \mathrm{D}$ (대각행렬)일 때

(181)
\begin{align} \operatorname{det} e^\mathrm{M} & = e^{\operatorname{Tr} ( \mathrm{M})}, \qquad \mathrm{i.e.} \\ \ln \operatorname{det} e^\mathrm{M} & = \operatorname{Tr} (\mathrm{M}) \end{align}

임을 증명하기.

(182)
\begin{align} e^\mathrm{M} & = \sum_{n=0}^\infty {{ \mathrm{M}^n } \over {n!}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty {{ \mathrm{C} \mathrm{D}^n \mathrm{C}^{-1} } \over {n!}} \\ & = \mathrm{C} \left[ \sum_{n=0}^\infty {{ \mathrm{D}^n } \over {n!}} \right] \mathrm{C}^{-1} \\ & = e^\mathrm{D} = \begin{pmatrix} e^{ \lambda_1} & & & \\ & e^{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix} \end{align}

왜냐하면

(183)
\begin{align} \mathrm{C}^{-1} \mathrm{M} \mathrm{C} & = \mathrm{D} \quad (대각행렬) \\ \mathrm{M} & = \mathrm{C} \mathrm{D} \mathrm{C}^{-1} \\ \mathrm{M}^2 & = \mathrm{C} \mathrm{D} \mathrm{C}^{-1} \mathrm{C} \mathrm{D} \mathrm{C}^{-1} = \mathrm{C} \mathrm{D}^2 \mathrm{C}^{-1} \\ \mathrm{M}^n & = \mathrm{C} \mathrm{D}^n \mathrm{C}^{-1} \end{align}

그러므로

(184)
\begin{align} \operatorname{det} e^\mathrm{M} & = \operatorname{det} \left[ \mathrm{C} e^\mathrm{D} \mathrm{C}^{-1} \right] \\ & = ( \operatorname{det} \mathrm{C} ) ( \operatorname{det} e^\mathrm{D} ) ( \operatorname{det} \mathrm{C}^{-1} ) \\ & = \operatorname{det} e^\mathrm{D} = \begin{vmatrix} e^{ \lambda_1} & & & \\ & e^{\lambda_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & e^{\lambda_n} \end{vmatrix} = e^{ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n} = e^{ \operatorname{Tr} ( \mathrm{D} ) } \end{align}

3.12 대각화의 응용

동시적 대각화(simultaneous diagonalization):

어떤 행렬의 집단이 어떤 동일한 변환으로 대각화될 수 있는 필요충분조건은

(185)
\begin{align} \left[ \mathrm{F} , \mathrm{G} \right] = 0, \qquad \mathrm{C}^{-1} \mathrm{F} \mathrm{C} = \mathrm{D} \end{align}

예제 7:

(186)
\begin{align} \mathrm{F} \mathrm{r} & = \lambda \mathrm{r} \\ \mathrm{G} \mathrm{F} \mathrm{r} & = \lambda \mathrm{G} \mathrm{r} \\ \mathrm{F} \mathrm{G} \mathrm{r} & = \lambda \mathrm{G} \mathrm{r} \\ (\mathrm{G} \mathrm{r} = \mathrm{r}') \\ \mathrm{G} \mathrm{r} & = \lambda ' \mathrm{r} \end{align}

동시적 대각화의 응용:
① 원뿔곡선의 장축 찾기
중심이 원점이고 $x, y$ 평면상에서 타원의 장축과 단축이 각각 $x', y'$일 때

(187)
\begin{align} A x^2 + 2 H xy + B y^2 & = \mathrm{K} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & H \\ H & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \mathrm{K} \end{align}
(188)
\begin{align} \mathrm{r} & = \mathrm{C} \mathrm{r}' \\ \mathrm{K} & = \mathrm{r}^\mathrm{T} \mathrm{M} \mathrm{r} \\ & = ( \mathrm{r} ' )^\mathrm{T} \mathrm{C}^\mathrm{T} \mathrm{M} \mathrm{C} \mathrm{r}' \\ & = \begin{pmatrix} x' & y' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \mathrm{K} \\ & = a (x' )^2 + b (y')^2 \end{align}

② 진동의 normal node
예제 3:

(189)
\begin{align} V = {1 \over 2 } k x^2 +{1 \over 2} k (x-y)^2 + {1 \over 2} k y^2 = V(x, y) = {1 \over 2} k [ 2 x^2 + 2 y^2 - 2 xy ] \end{align}
(190)
\begin{align} - m \omega^2 x & = m \ddot{x} = - {{\partial V} \over {\partial x}} = - 2kx + ky \\ - m \omega^2 y & = m \ddot{y} = - {{\partial V} \over {\partial y}} = - 2ky + kx \end{align}
(191)
\begin{align} x(t) & = x_0 \exp \left[ j \omega t \right] \\ y(t) & = y_0 \exp \left[ j \omega t \right] \end{align}
(192)
\begin{align} \lambda = {{m \omega^2 } \over k} x & = 2x - y \\ {{m \omega^2 } \over k} y & = - x + 2y \end{align}
(193)
\begin{align} \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}
(194)
\begin{align} \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} & = ( \lambda -2)^2 -1 = ( \lambda -1 ) ( \lambda -3) = 0 \\ & \qquad \implies \lambda = 1, 3 \end{align}

(i) $\lambda = 1$

(195)
\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mathrm{O} \\ \qquad \implies x = y, \qquad v_1 = {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \\ \qquad \lambda = {{m \omega^2 } \over k} \implies \omega = \sqrt{{k \over m}} \end{align}

(i) $\lambda = 3$

(196)
\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mathrm{O} \\ \qquad \implies x = -y, \qquad v_2 = {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \qquad \lambda = {{m \omega^2 } \over k} \implies \omega = \sqrt{{{3k} \over m}} \end{align}
(197)
\begin{align} V = {1 \over 2} k_1 x^2 +{1 \over 2} k_2 (x-y)^2 + {1 \over 2} k_3 y^2 = {1 \over 2} ( k_1 + k_2 ) x^2 - k_2 xy + {1 \over 2} (k_1 + k_2 ) y^2 \end{align}
(198)
\begin{cases} m_1 \ddot{x} & = - m_1 \omega^2 x = - {{\partial V} \over {\partial x}} = - ( k_1 + k_2 ) x + k_2 y \\ m_2 \ddot{x} & = - m_2 \omega^2 y = - {{\partial V} \over {\partial y}} = k_2 x - (k_2 + k_3 ) y \end{cases}
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행렬이 대칭이 아님 → 변수 변환

(199)
\begin{align} x = {1 \over \sqrt{m_1}} X, \qquad y = {1 \over \sqrt{m_2}} Y \end{align}
(200)
\begin{align} \omega^2 \begin{pmatrix} \sqrt{m_1 } X \\ \sqrt{m_2} Y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} k_1 + k_2 & - k_2 \\ - k_2 & k_2 + k_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {X \over \sqrt{m_1} } \\ { Y \over \sqrt{m_2}} \end{pmatrix} \\ \omega^2 \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} {{k_1 + k_2} \over m_1 } & - {k_2 \over \sqrt{m_1 m_2 } } \\ - {k_2 \over \sqrt{m_1 m_2} } & {{k_2 + k_3} \over m_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} \end{align}

예제 : 1차원 방향으로 움직일 수 있는 경우

translation 1
vibration 2

(201)
\begin{align} V = {1 \over 2} k (y-x)^2 + {1 \over 2} k (z - y)^2 = {1 \over 2} k [ x^2 + 2y^2 + z^2 - 2xy - 2yz ] \end{align}
(202)
\begin{align} m \ddot{x} & = -m \omega^2 x = - k (x-y) \\ M \ddot{y} & = -M \omega^2 y = - k ( 2y - x - z) \\ m \ddot{z} & = - m \omega^2 z = - k (z - y) \\ (2 + M) \ddot{r}_\mathrm{CM} = m \ddot{x} + M \ddot{y} + m \ddot{z} & = 0 \\ mx + My +mz & = 0 \\ y & = - {m \over M} (x + z) \end{align}
(203)
\begin{cases} - m \omega^2 x & = - kx - k {m \over M} (x + z) = - k \left( 1 + {m \over M} \right) x - k {m \over M} z \\ - m \omega^2 z & = - kz - k {m \over M} (x + z) = - k {m \over M} x - k \left( 1 + {m \over M} \right) z \end{cases}
(204)
\begin{align} - k \begin{pmatrix} 1 + {m \over M} & {m \over M} \\ {m \over M} & 1 + {m \over M} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix} = - m \omega^2 \begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix} \end{align}
(205)
\begin{align} \omega_1 = \sqrt{k \over m} & u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \omega_2 = \sqrt{ {k \over m} \left( 1 + {{2m} \over M} \right) } \qquad & u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ - {{2m} \over M} \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}
(206)
\begin{align} \omega^2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = {k \over m} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ - {m \over M} & {{2m} \over M} & - {m \over M} \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{align}
(207)
\begin{align} \omega_0 = 0 \qquad u_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}

일반화:

(208)
\begin{align} V = {1 \over 2} k \mathrm{r}^\mathrm{T} & \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \mathrm{r} \\ & \quad \equiv \tilde{V}, \qquad \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{align}
(209)
\begin{align} \omega^2 \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix} \mathrm{r} & = k \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \mathrm{r} \\ \omega^2 \mathrm{T} \mathrm{r} & = k \tilde{V} \mathrm{r} \\ { \omega^2 \over k} \mathrm{r} & = \mathrm{T}^{-1} \tilde{V} \mathrm{r} \longleftarrow \mathrm{r} = \mathrm{T}^{1 \over 2} \mathrm{R} \\ \omega^2 \mathrm{T}^{-{1 \over 2}} \mathrm{R} & = k \tilde{V} T^{-{1 \over 2}} \tilde{V} \mathrm{R} \end{align}

3.13 군론에 대한 간단한 소개

(group)의 정의:
A set of elements with a low of product satisfying

  1. closure
  2. associative
  3. with unit element
  4. with inverse

e.g.

(210)
\begin{align} G = \left\{ e^{i {pi \over 2} } , e^{i \pi} , e^{i {3 \over 2} \pi} , e^{2 i \pi} \right\} \end{align}

3.14 일반적인 벡터공간