2. 복소수

2.1 소개

(1)
\begin{align} i = \sqrt{-1}, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1 \end{align}
(2)
\begin{align} z = a + ib, \qquad a, b \in \mathbb{R} \end{align}
(3)
\begin{align} az^2 + bz + C = 0, \qquad z = {{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} } \over {2a}} \end{align}

2.2 실수부와 허수부

  • 실수항($i$)가 없는 항을 실수부, $i$가 있는 항의 $i$의 계수를 허수부라고 한다.
    • "허수부"는 허수가 아니라 실수임
  • 실수부가 0인 복소수를 순허수라고 한다.
  • 실수부가 0인 복소수를 실수라고 한다.
  • 모든 복소수는 한 쌍의 실수(실수부, 허수부)의 쌍으로 나타낼 수 있다.

2.3 복소평면

임의의 복소수 $x + iy$$(x, y)$ 평면상의 한 점으로 표현할 수 있다. 복소수를 이렇게 표현하는 것을 복소평면 또는 아르강 그림이라고 한다. $x$축은 실수축, $y$축은 허수축이라고 한다.

복소수를 $x + iy$ 형태로 쓴 것은 직교좌표의 형태이기에 직교형태라고 한다. 직교좌표 대신 극좌표를 사용할 경우 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$로부터

(4)
\begin{align} z & = x + iy \\ & = r \cos \theta + i r \sin \theta = r e^{i \theta} \\ & = \sqrt{x^2 + y^2 } \left( {{x + iy} \over \sqrt{x^2 + y^2}} \right) \end{align}

복소수의 극좌표 형태 $r e^{i \theta}$는 직교형태보다 간편할 때가 많다.

2.4 용어와 표현

$j = \sqrt{-1}$는 주로 전기에서 $i$가 전류를 나타내므로 혼동을 피하기 위해서 사용하는 것이고 수학에서 사용하는 $i = \sqrt{-1}$과 같은 것임.

(5)
\begin{align} z = x + iy = r ( \cos \theta + i \sin \theta ) = r e^{i \theta} \end{align}
  • $z$: 복소수
  • $x$: 복소수 $z$의 실수부 ($\Re (z) = x$)
  • $y$: 복소수 $z$의 허수부 ($\Im (z) = y$)
  • $\theta$: 복소수 $z$의 각도 또는 위상, 편각, 진폭
  • $\left\lvert z \right\rvert = \bmod\ z = r = \sqrt{x^2 + y^2}$
(6)
\begin{align} z = x+ iy, \qquad \bar{z} = x - iy \end{align}

허수부의 부호만 바꾸어 얻은 복소수를 원래 복소수의 켤레라고 한다. 복소수는 켤레쌍으로 나타내진다.

(7)
\begin{align} \overline{z} = x - iy & = r [ \cos ( - \theta ) + i \sin ( - \theta) ] \\ = & r ( \cos \theta - i \sin \theta ) = r e^{- i \theta} \end{align}

2.5 복소수 연산

A. $x + iy \quad$ 형태로 만들기

복소수를 더하고 빼거나 곱할 때 복소수는 일반적 연산규칙을 따른다.
예제 1

(8)
\begin{equation} (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i \end{equation}

예제 2: 복소수의 나눗셈 - 분자 분모에 분모의 컬레를 곱하여 분모를 실수화한다.

(9)
\begin{align} {{2 + i } \over {3 - i}} = {{2 + i} \over {3 - i}} \cdot {{3 + i } \over {3 + i}} = {{6 + 5i + i^2} \over {9 - i^2}} = {{5 + 5i} \over {10}} = {1 \over 2} + {1 \over 2}i \end{align}

예제 3: 예제 1을 극좌표 형태로 풀어보기

(10)
\begin{align} (1 + i)^2 = \left( \sqrt{2} e^{i \pi /4} \right)^2 = 2 e^{i \pi /2} = 2i. \end{align}

B. 복소수 표현의 복소켤레

$z_1 = x_1 + iy_1, \quad z_2 = x_2 + iy_2$에 대하여

(11)
\begin{align} \overline{z_1 z_2} & = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2, \\ \overline{z_1 + z_2} & = \bar{z}_1 + \bar{z}_2 \end{align}

C. $z$의 절대값

(12)
\begin{align} z \bar{z} & = (x + iy) (x - iy) = x^2 + y^2 \\ & = (r e^{i \theta} ) ( r e^{- i \theta} ) = r^2 \end{align}

그러므로

(13)
\begin{align} \left\lvert z \right\rvert = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z \bar{z}} \end{align}

이에 의해 두 복소수의 비/곱의 절대값은 각각의 절대값의 비/곱이 된다.

예제:

(14)
\begin{align} \left\lvert {{\sqrt{5} + 3i} \over {1 -i}} \right\rvert = {{\left\lvert \sqrt{5} + 3i \right\rvert } \over { \left\lvert 1 - i \right\rvert }} = {\sqrt{14} \over \sqrt{2}} = \sqrt{7} \end{align}

D. 복소방정식

복소수가 하나의 실수쌍임을 기억해야. 두 개의 복소수는 두 수의 실수부와 허수부가 각각 같을 때에만 같다. 달리 ㅁ라하면 복소수가 있는 어떤 방정식도 사실은 이원실수방정식이라는 뜻.

예제:

(15)
\begin{equation} (x + iy)^2 = 2i \end{equation}

일 때 $x, y$ 구하기

(16)
\begin{equation} (x + iy)^2 = x^2 - y^2 +2ixy \end{equation}

이므로 식 (15)는 이원실수방정식

(17)
\begin{align} x^2 - y^2 = & 0 \\ 2xy = & 2 \end{align}

와 같다.

(18)
\begin{align} x^2 - y^2 = 0, & \implies x = \pm y \\ 2xy = 2 & \begin{cases} \mathrm{i)} & x^2 = y^2 = 1, \implies x = y = \pm 1 \\ \mathrm{ii)} & - y^2 = -x^2 = 1 \qquad x \in \mathbb{R}이므로\ 불가능 \end{cases} \\ \therefore x = y = 1, & \qquad x = y = -1 \end{align}

E. 그래프

복소방정식에 기하학적 의미부여하기.
예제 1:
$(x, y)$ 평면에서 다음 곡선음 무엇인가?

(19)
\begin{align} \left\lvert z \right\rvert = 3 \end{align}
(20)
\begin{align} \left\lvert z \right\rvert = \sqrt{x^2 + y^2} = 3, \quad x^2 + y^2 = 9 \end{align}

따라서 $\left\lvert z \right\rvert = 3$는 원점을 중심으로 하는 반지름 3인 원의 방정식이다.

예제 2:

(21)
\begin{align} \mathrm{(a)} & \left\lvert z-1 \right\rvert = 2. \\ \mathrm{(b)} & \left\lvert z-1 \right\rvert \le 2. \end{align}

(a)는 중심이 $(1,0)$이고 반경이 2인 원이고 (b)는 그 원을 경계로 하는 원반이다. "원"은 곡선이고 "원반"은 면적이다.

예제 3:
$\theta = \pi /4$$x>0$인 부분의 반직선 $y=x$를 나타낸다.

예제 4:
$\Re (z) > 1/2$. 이것은 반평면 $x > 1/2$를 나타낸다.

F. 물리적 응용

예제:
$(x,y)$ 평면상에서 입자가 움직일 대 그 위치를 시간 $t$의 함수로 나타낸 것이

(22)
\begin{align} z(t) = x(t) + iy(t) = {{i +2t} \over {t-i}} \end{align}

이다. 속도와 가속도를 $t$의 함수로 나타내어라.

(23)
\begin{align} {{dz} \over {dt}} & = {{dx} \over {dt}} +i {{dy} \over {dt}} = {2 \over {t-i}} - {{( i+ 2t)} \over {(t-i)^2}} \\ & = {{2 (t-i) - (i+2t)} \over {(t-i)^2}} = {{-3i} \over {(t-i)^2}} \\ \longrightarrow & v = \left\lvert {{dz} \over {dt}} \right\rvert = {3 \over {t^2 + 1}} \end{align}
(24)
\begin{align} {{d^2 z} \over {dt^2}} & = {{(-3i) (-2) } \over {(t-i)^3}} = {{6i} \over {(t-i)^3}} \\ \longrightarrow & a = \left\lvert {{d^2 z} \over {dt^2}} \right\rvert = {6 \over {(t^2 +1)^{3/2}}} \end{align}

주의할 것은 모든 물리량 ($x, y, v, a$)은 실수라는 것이다. 복소수 표현은 다만 계산의 편리를 위해 사용한 것.

2.6 복소무한급수

(25)
\begin{align} S = \sum_n z_n, \qquad z_n = a_n + i b_n, \qquad a, b \in \mathbb{R} \end{align}
(26)
\begin{align} S_n & = \sum_{j=1}^n z_i = X_n + i Y_n, \\ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n & = X = iY \end{align}

복소무한급수에 대해서도 절대수렴이 성립한다.

예제 1.

(27)
\begin{align} S = 1 + {{(1 + i)} \over 2} + {{(1 + i)^2} \over 4} + \cdots + {{(1 + i)^n} \over 2^n} + \cdots \end{align}

의 수렴여부를 판정해 보기. 비율판정법을 사용해 보면

(28)
\begin{align} \rho = \left\lvert {{ {{(1+i)^{n+1}} \over {2^{n+1}}} } \over { {{(1 + i)^n} \over {2^{n}}} }} \right\rvert = \left\lvert {{1+i} \over 2} \right\rvert = {1 \over \sqrt{2}} \end{align}

예제 2.

(29)
\begin{align} S & = i - {1 \over \sqrt{2}} - {i \over \sqrt{3}} + {1 \over \sqrt{4}} + {i \over \sqrt{5}} - {1 \over \sqrt{6}} + \cdots \\ & = \left[ -{1 \over \sqrt{2}} + {1 \over \sqrt{4}} - {1 \over \sqrt{6}} + \cdots \right] + i \left[ 1 - {1 \over \sqrt{3}} + {1 \over \sqrt{5}} - {1 \over \sqrt{7}} + \cdots \right] \end{align}

실수부와 허수부가 교대급수인데, 모두 $\left\lvert a_{n+1} \right\rvert < \left\lvert a_n \right\rvert, \quad \lim_{n \rightarrow \infty } a_n = 0$를 만족하므로 수렴한다.

2.7 복소수 멱급수; 수렴원반

(30)
\begin{align} S = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n = S(z) \end{align}

에서 $z = x + iy$ 이고 $a_z \in \mathbb{C}$. 다음은 복소수 멱급수의 몇 가지 예이며, 비율판정법을 이용해 절대수렴 여부를 알아본 것이다.

e.g.

(31)
\begin{align} S = 1 - z + {1 \over 2} z^2 - {1 \over 3} z^3 + \cdots \end{align}
(32)
\begin{align} \rho_n & = \left\lvert {{{1 \over {n+1}} z^{n+1}} \over {{1 \over n} z^n}} \right\rvert = \left\lvert {{n} \over {n+1}} z \right\rvert. \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n & \longrightarrow \left\lvert z \right\rvert < 1 \end{align}

이 급수는 $\left\lvert z \right\rvert < 1$일 때, 즉 $\sqrt{x^2 + y^2 } < 1$일 때 수렴한다. 이것은 복소평면에서 원점이 중심이고 반경이 1인 원반의 내부이다. 이 원반을 무한급수의 수렴원반이라고 하며, 원반의 반경을 수렴반경이라고 한다. 수렴반경은 실수급수($y = 0$일 때)의 수렴구간에 해당한다.

e.g.

(33)
\begin{align} S & = \sum_{n=0}^\infty {{(z + 1 - i )^n } \over {3^n n^2}} \\ \longrightarrow \rho_n & = \left\lvert {{n^2} \over {2(n^2 +1)}} ( z + i - j ) \right\rvert \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n & = {1 \over 3} \left\lvert z + 1 - i \right\rvert < 1 \end{align}

따라서 이 급수는 $\left\lvert z + 1 - 3 \right\rvert < 3,$$\left\lvert z - (-1 + i ) \right\rvert < 3$일 때 수렴한다. 이것은 반경이 3이고 중심이 $z = -1 + i$인 원반의 내부이다.

실수급수와 마찬가지로 $\rho > 1$이면 급수는 발산한다. $\rho = 1$일 때는 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다. 어떤 경우에 해당하는지는 찾기 어려우며 일반적으로 이런 질문을 고려할 필요는 없다.

1.11 절의 급수에 대한 정리는 복소급수에서도 수렴구간을 수렴원반으로 바꾸면 그대로 성립한다.

예제: 두 멱급수의 나눔에 대한 수렴원반
$\sin z / [ z (1 + z^2 ) ]$에 대한 테일러급수의 수렴원반을 구하기

(34)
\begin{align} S = {{ \sin z } \over {z (1 + z^2}} & = {1 \over {z (1 + z^2) }} \left[ z - {1 \over {3!}} z^3 + {1 \over {5!}} z^5 - \cdots \right] \\ & = {1 \over {(1 + z^2)}} \left[ 1 - {{z^2} \over {3!}} + {{z^4} \over {5!}} - \cdots \right] \end{align}
(35)
\begin{align} \rho_n & = \left\lvert {{{z^{2n+2}} \over {(2n+3)!}} \over {{z^{2n}} \over {(2n+1)!}}} \right\rvert = \left\lvert {{z^2} \over {(2n+3)(2n+1)}} \right\rvert \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n & = 0 \\ & 분모\ 1+ z_2 = 0, \quad z = \pm i, \quad s = 1 \end{align}

이 급수는 원점이 중심이고 반경이 1인 원반 내부에서 수렴한다.

2.8 복소기본함수

(36)
\begin{align} e^z \equiv \sum_{n=0}^\infty { z^n \over {n!}} = 1 + z + {z^2 \over {2!}} + {z^3 \over {3!}} + \cdots \end{align}

비율판정

(37)
\begin{align} \rho_n & = \left\lvert {{{{z^{n+1} } \over {(n+1)!}} } \over { {{z^n} \over {n!}} }} \right\rvert = \left\lvert {{z } \over {n+1} } \right\rvert \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n & = 0 \end{align}

실수함수와 마찬가지로 $e^z$ 미분은 $e^z$인가?

(38)
\begin{align} {{d} \over {dz}} \left[ \sum_{n=0}^\infty {{z^n} \over {n!}} \right] = {{d} \over {dz}} \left[ \sum_{n=1}^\infty {{z^{n+1}} \over {(n+1)!}} \right] \end{align}

실수함수와 마찬가지로 $e^{z_1} \cdot e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}$ 인가?

(39)
\begin{align} \left[ \sum_{n_1 =0}^\infty {{z_1}^{n_1} \over {n_1 !}} \right] \left[ \sum_{n_2 =0}^\infty {{z_2}^{n_2} \over {n_2 !}} \right] = \left[ \sum_{m=0}^\infty {{(z_1 + z_2)^m } \over {m!}} \right] \end{align}

2.9 오일러 공식

(40)
\begin{align} e^{i \theta} & = 1 + i \theta + {{(i \theta)^2 } \over {2!}} + {{(i \theta)^3} \over {3!}} + \cdots \\ & = 1 - {{ \theta^2 } \over {2!}} + {{ \theta^4} \over {4!}} + \cdots + i \left[ \theta - {{ \theta^3 } \over {3!}} + \cdots \right] \\ & = \cos \theta + i \sin \theta \end{align}

2.10 복소수의 멱수와 근

(41)
\begin{align} z_1 = r_1 e^{i \theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i \theta_2} \end{align}
(42)
\begin{align} \implies z_1 z_2 & = r_1 r_2 e^{i ( \theta_1 + \theta_2)}, \\ {{z_1} \over {z_2}} & = {{r_1} \over {r_2}} e^{i ( \theta_1 - \theta_2 )} \end{align}

예제

(43)
\begin{align} {{(1 + i)^2} \over {(1-i)^2}} = {{(\sqrt{2} e^{i \pi /4})^2} \over {(\sqrt{2} e^{i \pi /4})^2}} = e^{i \pi} = -1 \end{align}
(44)
\begin{align} z^n = ( r e^{i \theta} )^n = r^n e^{i n \theta} \end{align}
(45)
\begin{align} ( e^{i \theta} )^n = e^{in \theta} & = \cos n \theta + i \sin n \theta \\ & = (cos \theta + i \sin \theta)^n \end{align}
(46)
\begin{align} z^{1 \over n} = r^{1 \over n} e^{i {\theta \over n}} \end{align}

예제: $^3 \sqrt{8} = z$$z$ 찾기

(47)
\begin{align} z^3 = i = r^3 e^{i3 \theta} \end{align}
(48)
\begin{align} r = 2, \qquad & e^{i3 \theta} = 1, \\ & 3\theta = 2 n \pi, \\ & \theta = {{2n \pi} \over 3}, \quad n \in \mathbb{Z} \end{align}
(49)
\begin{align} z & = 2 e^{i \theta} = 2 e^{i {{2 n \pi} \over 3}} = 2, \\ \qquad \qquad e^{i {{2 n \pi} \over 3}} & = 1, e^{i {2 \over 3} \pi} , e^{i {4 \over 3} \pi}, \cdots \\ & = 1, - {1 \over 2} + {\sqrt{3} \over 2} i , - {1 \over 2} - {\sqrt{3} \over 2} i, \cdots \end{align}

예제: $^6 \sqrt{-8i} = z$$z$ 찾기

(50)
\begin{align} z^6 = -8i = 8 e^{i \left( {3 \over 2} \pi + 2 n \pi \right) } = r^6 e^{i 6 \theta} \end{align}
(51)
\begin{align} r^6 = 8, \qquad & 6 \theta = {3 \over 2} \pi + 2 n \pi, \\ & \theta = {\pi \over 4} + {n \over 3} \pi \end{align}

2.11 지수함수와 삼각함수

(52)
\begin{cases} e^{i \theta} & \cos \theta + i \sin \theta \\ e^{- i \theta} & \cos \theta - i \sin \theta \end{cases} \implies \begin{cases} \cos z & = {{e^{i z} + e^{- i z} } \over 2} \\ \sin z & = {{e^{i z} - e^{- i z} } \over {2i}} \\ \tan z & = {{ \sin z} \over {\cos z}} \\ \cos i & = {{e^{-1} + e^{1} } \over 2} \end{cases}
(53)
\begin{align} \sin \left( {\pi \over 2} + i \ln 2 \right) & = {1 \over {2i}} \left[ e^{i {\pi \over 2} - \ln 2} - e^{-i {\pi \over 2} + \ln 2} \right] \\ & = {1 \over {2i}} \left[ {1 \over 2}i + 2i \right] = {5 \over 4} \end{align}
(54)
\begin{align} \cos^2 z + \sin^2 z = \left( {{e^{i z} + e^{- i z} } \over 2} \right)^2 + \left( {{e^{i z} - e^{- i z} } \over {2i}} \right)^2 = 1 \end{align}
(55)
\begin{align} {d \over {dz}} \cos z = - \sin z \end{align}

2.12 쌍곡함수

(56)
\begin{cases} \sinh z & = {{e^z - e^{-z} } \over 2} \\ \cosh z & = {{e^z + e^{-z} } \over 2} \end{cases}
(57)
\begin{align} \tanh z & = {{ \sinh z } \over { \cosh z }} \\ \cosh (iy) & = {{e^{iy} + e^{-iy} } \over 2} = \cos y \\ \sinh (iy) & = {{e^{iy} - e^{-iy} } \over 2} = i \sin y \\ \cosh^2 z & = \left( {{e^z + e^{-z} } \over 2} \right)^2 = {{ e^{2z} + e^{-2z} +2 } \over 4} \\ \sinh^2 z & = \left( {{e^z - e^{-z} } \over 2} \right)^2 = {{ e^{2z} + e^{-2z} -2 } \over 4} \\ \cosh^2 + \sinh^2 & = 1 \\ {{d} \over {dz}} \cosh z & = \sinh z \end{align}

2.13 대수함수

(58)
\begin{align} z = e^\omega \iff \omega = \ln z \end{align}
(59)
\begin{align} z_1 - e^{\omega_1}, & z_2 = e^{\omega_2} \\ z_1 z_2 & = e^{\omega_1 + \omega_2} \\ \ln ( z_1 z_2 ) & = \ln z_1 + \ln z_2 = \omega_1 + \omega_2 \\ \omega = \ln z = \ln ( r e^{i \theta} ) & = \ln (r) + \ln ( e^{i \theta} ) \\ & = \Ln (r) + \ln \left[ e^{i (\theta + 2n \pi) } \right] \\ & = \Ln (r) + i ( \theta + 2 n \pi ) \end{align}

$\ln z$주값(principal value) $= \Ln r + i \theta \qquad ( 0 \le theta < 2 \pi)$

(60)
\begin{align} \ln (1 + i) & = \ln [ \sqrt{2} e^{i {\pi \over 4} + i 2n \pi} ] \\ & = \ln \sqrt{2} + i \left( {\pi \over 4} + 2n \pi \right) \end{align}
(61)
\begin{align} \ln (-1) & = \ln e^(i \pi + 2n \pi i) = i \pi ( 1 + 2n ) \end{align}

2.14 복소근과 멱수

(62)
\begin{align} \ln a^b & = b \ln a \\ a^b & = e^{b \ln a} \end{align}

예제:

(63)
\begin{align} i^{-2i} & = e^{-2 i \ln i } \\ & \qquad \ln i = e^{2 \left( {\pi \over 2} + 2 n \pi \right) } \\ & = e^{2 \left( {\pi \over 2} + 2n \pi \right) } \end{align}
(64)
\begin{align} i^{1 \over 2} & = e^{{1 \over 2} \ln i} \\ & = e^{ {1 \over 2} i \left( { \pi \over 2} + 2n \pi \right) } \\ & = e^{i {\pi \over 4} + in \pi } \end{align}

2.15 역삼각함수와 역쌍곡함수

(65)
\begin{align} \omega & = \cos z = {{ e^{iz} + e^{-iz} } \over 2} \\ \implies z & = \cos^{-1} z = \arccos \omega \end{align}
(66)
\begin{equation} \end{equation}
(67)
\begin{align} \int {{dx} \over { \sqrt{x^2 + a^2 } }} & = \sinh^{-1} {x \over a} \quad 또는 \quad \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2} ) \\ \implies z = \sinh^{-1} {x \over a} & \longrightarrow {x \over a} = \sinh z = {{ e^z - e^{-z} } \over 2} = {1 \over 2} \left[ u - {1 \over u} \right] = {x \over a} \end{align}
(68)
\begin{align} u^2 & - {{2x} \over a} u -1 = 0 \\ u & = e^z = {x \over a} + \sqrt{ {x^2 \over a^2} + 1 } \\ z & = \ln \left[ {x \over a } + { \sqrt{x^2 + a^2} \over a} \right] \\ & = \ln (x + \sqrt{ x^2 + a^2 } ) - \ln a \end{align}