1. 무한급수와 멱급수

1.1 기하급수

정의:

  • 수열(sequance): 어떤 양들의 집합
  • 급수(series): 수열의 합

예컨대 무한급수 $S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$ 에서 $a_n = a r^{n-1}$이 수열의 원소이자 급수의 항이 된다.

1.2 - 1.3 급수의 정의와 표현방법, 응용
$n$항까지의 합

(1)
\begin{align} S_n = \sum_{i=1}^n a_i = {{a (1- r^n)} \over {1-r}} \end{align}

이때 $S_n$의 극한값을 $S$로 생각한다.

(2)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = S = a {{1} \over {1-r}} \end{align}

이때 $\left\vert r \right\vert < 1$이 수렴조건(convergence condition)이 된다.

e.g.

(3)
\begin{align} S = x - {1 \over 2} x^2 + {1 \over 6} x^2 - {1 \over 24} x^4 + \cdots \end{align}

위 급수의 항은 $a_n = (-1)^{n+1} {{x^n} \over {n!}}$이고 급수 합은 $S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {{x^n} \over {n!}}$

1.4 수렴급수와 발산급수

만일 급수가 유한한 합을 가지면 수렴(convergent)이라고 하고 그렇지 않으면 발산(divergent)한다고 한다.

주의:
발산하는 급수에는 일반 산술을 적용해서는 안 된다. 예컨대 급수 $S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots$가 있으면 $2S = 2 + 4 + 8+ 16 + 32 + \cdots$인데 그렇다고 해서 $2S = S - 1, \quad S = -1$ 이 되는 것이 아님

정의: 수렴(ocnvergence)

수열 $S$와 그 부분합 $S_n$이 다음과 같을 때

(4)
\begin{align} S = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots , \qquad S_n = \sum_{i=1}^n a_i \end{align}

부분합의 극한 $lim_{n \rightarrow \infty} S_n = S$가 유한하면 급수 $S$는 수렴급수이고, 그렇지 않으면 발산급수이다.

(5)
\begin{align} R_n \equiv S - S_n \implies \lim_{n \rightarrow \infty} R_n = 0 \end{align}

e.g.

(6)
\begin{align} S & = \sum_{n=2}^\infty {{2} \over {n^2 -1}} = \sum_{n=2}^\infty \left[ {{1} \over {n-1}} - {{1} \over {n+1}} \right] \\ & = \left[ {1 \over 1} - {1 \over 3} \right] + \left[ {1 \over 2} - {1 \over 4} \right] + \left[ {1 \over 3} - {1 \over 5} \right] + \left[ {1 \over 4} - {1 \over 6} \right] + \cdots \end{align}

이 급수의 부분합은

(7)
\begin{align} S_n = 1 + {1 \over 2} - {{1} \over {n+1}} - {{1} \over {n+2}} \end{align}
(8)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = {3 \over 2} < \infty \end{align}

이므로 급수 $S$는 수렴급수이다.

(9)
\begin{align} S & = \sum_{n=1}^\infty \ln \left( {{n} \over {n+1}} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left[ \ln n - \ln (n+1) \right] \\ & = \left[ \ln 1 - \ln 2 \right] + \left[ \ln 2 - \ln 3 \right] + \cdots + \left[ \ln n - \ln ( n+1) \right] \end{align}

이 급수의 부분합은

(10)
\begin{align} S_n = \ln 1 - \ln (n+1) = - \ln (n+1) \end{align}
(11)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \infty \end{align}

이므로 급수 $S$는 발산급수이다.

1.5 수렴판정의 예비검사

수렴급수의 항의 극한값은 0이지만 극한값이 0인 항을 가지는 급수가 모두 수렴급수인 것은 아니다.

(12)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left( {{n} \over {n+1}} \right) = 0 \end{align}

(13)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ne 0 & \rightarrow 발산급수 \\ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 & \nrightarrow 수렴급수 \end{align}

1.6 절대수렴

(14)
\begin{align} S = a_1 + a_2 + a_3 +\cdots + a_n + \cdots \end{align}

에 대하여 $a_n$의 절대값을 항으로 가지는 급수

(15)
\begin{align} S' = \left\vert a_1 \right\vert + \left\vert a_2 \right\vert + \left\vert a_3 \right\vert + \cdots + \left\vert a_n \right\vert + \cdots \end{align}

가 있을 때 $S'$가 수렴이면 $S$절대수렴(absolutely convergent)한다.

비교판정법

이미 수렴 여부가 알려져 있는 다른 급수와 비교하여 수렴여부를 판정한다.

(16)
\begin{align} S & = a_1 + a_2 +a_3 + \cdots + a_n + \cdots \\ S_m & = m_1 + m_2 + m_3 + \cdots + m_n + \cdots \quad : 수렴, m_i > 0 \\ S_d & = d_1 + d_2 + d_3 + \cdots + d_n + \cdots \quad : 수렴, d_i > 0 \end{align}

만일 $\left\vert a_n \right\vert \le \left\vert m_n \right\vert \implies S$는 절대수렴한다.
만일 $\left\vert a_n \right\vert \ge d_n \implies S$는 발산한다.

e.g.

(17)
\begin{align} S = \sum_{n=1}^\infty {{1} \over {n!}} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 24} + \cdots \end{align}

의 수렴여부 판정.

(18)
\begin{align} S_m = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {2_n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {{{1 \over 2} \left( 1 - \left( {1 \over 2} \right)^n \right)} \over {1 - {1 \over 2}}} = 1 < \infty \end{align}
(19)
\begin{align} {1 \over {n!}} < {1 \over {2^n}} \quad \mathrm{i.e.} \quad n! > 2^n \end{align}

이라면 $S$는 수렴급수일 것이다.

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot n$$2^n = 2 \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot \cdots \cdot 2^n$보다 더 급격히 증가하므로 $n! > 2^n$이고 $S$는 수렴급수이다.

적분판정법

어떤 자연수 $n > N$에 대하여 $0 < a_{n+1} \le a_n$이라면,

(20)
\begin{align} \sum_{n=N}^\infty a_n 은 \begin{cases} 수렴, \\ 발산 \end{cases} \quad \mathrm{if.} \quad \int_N^\infty dn\ a_n 이 \begin{cases} 유한 \\ 무한 \end{cases} \end{align}

e.g.

(21)
\begin{align} S = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} +\cdots + {1 \over n} + \cdots , \quad a_n = {1 \over n} \end{align}

$y = a_n$의 그래프를 그려 보면

y1overn.png

이때 각 사각형 하나하나는 세로 길이가 $a_n$이고 가로 길이가 1이므로 그 넓이가 $a_n$이고 모든 사각형의 합은 $S$ 이다.

(22)
\begin{align} S > \int_1^\infty {1 \over n} dn = \left. \ln n \right\rvert_1^\infty = + \infty \end{align}

이므로 $S$는 발산급수이다.

비율판정법

(23)
\begin{align} \rho_n \equiv \left\lvert {{a_{n+1}} \over {a_n}} \right\rvert , \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n = \rho \end{align}

에 대하여

(24)
\begin{align} S = \sum_{n=1}^\infty a_n = \begin{cases} \rho > 1 & : 발산 \\ \rho < 1 & : 수렴 \\ \rho = 1 & : 알 수 없음 \end{cases} \end{align}

e.g. 등비급수의 수렴조건은 비율판정법의 특수사례이다.

(25)
\begin{align} S & = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \\ \rho_n & = \left\lvert {{a_{n+1}} \over {a_n}} \right\rvert = \left\lvert r \right\rvert \end{align}

주의: $\rho$의 극한값을 보아야지 $\rho$ 자체를 보는 것이 아님

(26)
\begin{align} S = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over n } + \cdots \end{align}
(27)
\begin{align} \rho_n = {{1 \over {n+1}} \over {1 \over n}} = {{n} \over {n+1}}, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n = \rho = 1 \end{align}

위 경우에서 $\rho_n < 1$이지만 급수 $S$는 수렴하지 않는다.

특수비교판정법

(28)
\begin{align} 판정할\ 급수\ S & = \sum_{n=1}^\infty a_n \\ 알려진\ 수렴급수\ S_m & = \sum_{n=1}^\infty m_n, \quad m_n > 0 \\ 알려진\ 발산급수\ S_d & = \sum_{n=1}^\infty d_n, \quad d_n > 0 \end{align}

에 대하여

(29)
\begin{align} \lim_{m \rightarrow \infty} \left( {{a_n} \over {m_n}} \right) < \infty & \implies S는\ 수렴급수 \\ \lim_{m \rightarrow \infty} \left( {{a_n} \over {d_n}} \right) > 0 & \implies S는\ 발산급수 \end{align}

e.g.

(30)
\begin{align} S = \sum_{n=3}^\infty {{ \sqrt{2n^2 - 5n + 1} } \over {4n^5 - 7n^2 + 2}} \end{align}

의 수렴여부 판정

(31)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow n} a_n = {{ \sqrt{2n^2} } \over {4n^3}} = { \sqrt{2} \over 4} {1 \over n^2} \equiv m_n \end{align}
(32)
\begin{align} S_m = \sum_{n=3}^\infty {1 \over n^2} \longrightarrow \int_3^\infty dn\ {1 \over n^2} = \left. - {1 \over n} \right\rvert_3^\infty \end{align}
(33)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} {{a_n} \over {m_n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {{{ \sqrt{2n^2} } \over {4n^3}} \over {1 \over n^2}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {{ {\sqrt{2} \over 4}{1 \over n^2} } \over {1 \over n^2}} = {\sqrt{2} \over 4} \end{align}

그러므로 $S$는 수렴급수이다.

e.g.

(34)
\begin{align} S = \sum_{n=2}^\infty {{3^n - n^3} \over {n^5 - 5n^2}} \end{align}

의 수렴여부 판정

(35)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = {{3^n } \over {n^5}} \equiv b_n \end{align}
(36)
\begin{align} \rho \equiv {b_{n+1} \over b_n} = {{ 3^{n+1} \over (n+1)^5 } \over {3^n \over n^5}} = 3 {{n^5} \over {(n+1)^5}} \end{align}

이때 $\lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n = 3 > 0$이므로 $S_b = \sum_{n=2}^\infty b_n$은 발산급수이다.

(37)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} {{a_n} \over {b_n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {{{3^n - n^3} \over {n^5 - 5n^2}} \over {3^n \over n^5}} = 1 > 0 \end{align}

이므로 $S$는 발산급수이다.

1.7 교대급수

(38)
\begin{align} S = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + \cdots + {{(-1)^{n+1}} \over {n}} + \cdots \end{align}

과 같이 각 항의 부호가 교대하는 급수의 경우

절대수렴하면, i.e. 각 항들의 절대값이 0에 수렴하면 그 교대급수는 수렴이다.

(39)
\begin{align} \left\lvert a_{n+1} \right\rvert \le \left\lvert a_n \right\rvert, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \implies S는\ 수렴급수 \end{align}

1.8 제한적 수렴급수

제한적 수렴급수의 경우, 그 값과 수렴여부는 항에 따라 달라진다.

(40)
\begin{align} F = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - {1 \over 6} +\cdots \end{align}

는 그 자체로 수렴한다. 그러나 그 합은 항을 재배열하면 변할 수 있다. 물리학적으로 말하면 예컨대 전하들에 대한 계산을 수행할 때, 전하 각각이 계산되는 순서에 따라 값이 달라질 수 있다!

제한적 수렴급수의 항을 재배열하지 말아야 한다.

1.9 급수에 대한 유용한 사실

  1. 급수의 수렴 혹은 발산 여부는 급수 전체에 0이 아닌 상수를 곱해도 변하지 않는다. 또한 유한한 수의 항을 바꾸어도(예컨대 처음 항 몇 개를 버려도) 수렴 여부는 변하지 않는다.
  2. 두 개의 수렴급수를 더하고 뺄 때는 각 항끼리 더하면 된다. $\sum a_n + \sum b_n = \sum (a_n + b_n)$ 이렇게 얻은 급수 역시 수렴한다.
  3. 절대수렴급수의 항들은 수렴 여부나 합을 변화시키지 않고도 재배열할 수 있다. 그러나 제한적 수렴급수는 그렇지 아니하다.

1.10 멱급수와 수렴구간

(41)
\begin{align} S(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \end{align}

또는

(42)
\begin{align} \sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2 + a_3 (x-a)^3 + \cdots \end{align}

예제 1.

(43)
\begin{align} S = 1 - {x \over 2} +{x^2 \over 4} - {x^3 \over 8} + \cdots + {{(-x)^n} \over {2^n}} + \cdots \end{align}

에 대하여 비율판정법을 사용하면

(44)
\begin{align} \rho_n = \left\lvert {{a_{n+1}} \over {a_n}} \right\rvert = \left\lvert {{{(-x)^{n+1}} \over {2^{n+1}}} \over {{(-x)^n} \over {2^n}}} \right\rvert = \left\lvert {x \over 2} \right\rvert < 1 \end{align}
(45)
\begin{align} S(x=+2) & = 1-1+1-1+ \cdots = 진동 \\ S(x=-2) & = 1+1+1+1+ \cdots = \infty \end{align}
(46)
\begin{align} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n a_n \end{align}

$S (x=+2)$ 일 때 급수는 발산하고 $S(x=-2)$일 때 급수는 발산한다.
그러므로 수렴구간은 $\left\lvert x \right\rvert < 2$.

예제 4.

(47)
\begin{align} S = 1 +{1 \over \sqrt{2}} (x+2) +{1 \over \sqrt{3}} (x+2)^2 + \cdots + {1 \over \sqrt{n+1}} (x+2)^n + \cdots \end{align}
(48)
\begin{align} \rho = \left\lvert { {1 \over \sqrt{n+2}} (x+2)^{n+1} \over { {1 \over \sqrt{n+1}} (x+2)^n}} \right\rvert = \sqrt{{n+1} \over {n+2}} \left\lvert x+2 \right\rvert \end{align}
(49)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \left\lvert x+2 \right\rvert < 1 \end{align}
(50)
\begin{align} S(x=-3) = 1 - {1 \over \sqrt{2}} + {1 \over \sqrt{3}} - {1 \over \sqrt{4}} +\cdots +{1 \over \sqrt{n+1}} (-1)^n + \cdots : 수렴 \quad (교대급수판정) \end{align}
(51)
\begin{align} S(x=-1) = 1 +{1 \over \sqrt{2}} + {1 \over \sqrt{3}} + {1 \over \sqrt{4}} +\cdots + {1 \over \sqrt{n}} + \cdots : 발산 \quad (적분판정) \end{align}

따라서 $-3 \le x < -1$ 범위에서 급수가 수렴한다.

1.11 멱급수에 대한 정리

1. 멱급수의 각 항은 미분 또는 적분될 수 있다.

(52)
\begin{align} {{d} \over {dx}} S(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} \end{align}

2. 두 개의 멱급수는 더하고 빼고 곱할 수 있다.

3. 한 멱급수를 다른 급수로 바뀌어 넣을 수 있다.

(53)
\begin{align} S(x) = \sum_{n=0} a_n x^n \\ S \left( \left\lvert \sum_{n=0}^\infty b_n x^n \right\rvert < c \right) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{align}

4. 함수의 멱급수는 유일하다. 주어진 함수에 수렴하는 멱급수는 하나만 존재한다.

1.12 함수의 멱급수 전개

예컨대 사인함수를 멱급수로 전개해 보자. 우선 함수에 대응하는 멱급수가 존재한다고 가정하고

(54)
\begin{align} \sin x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n + \cdots \end{align}

멱급수의 수렴구간은 원점을 포함하므로 식 (54)은 $x=0$에서 성립해야 하고, 그러려면 $a_0 = 0$이어야 한다.

그 뒤 식 (54)의 양변을 미분하면

(55)
\begin{align} \cos x = a_1 + 2 a_2 + 3 a_3 x^2 +\cdots \end{align}

여기에 다시 $x = 0$을 대입하면 $a_1 = 1$을 얻는다. 재차 미분하고 대입하는 것을 반복하면

(56)
\begin{align} - \cos x & = 2 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + \cdots , \\ -1 & = 3! a_3, \quad a_3 = - {1 \over {3!}} \end{align}
(57)
\begin{align} \sin x & = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a_2 + 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 a_5 x + \cdots , \\ 0 & = a_4 \end{align}
(58)
\begin{align} \cos x & = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 a_5 + \cdots, \\ 1 & = 5! a_5, \quad a_5 = {1 \over {5!}}, \cdots \end{align}

이 값들을 식 (54)에 대입하면

(59)
\begin{align} \sin x = x - {{x^3} \over {3!}} + {{x^5} \over {5!}} - \cdots \end{align}

를 얻는다. 이러한 방법으로 얻은 급수를 원점에 대한 테일러 급수라고 한다.

(60)
\begin{align} f(x) & = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots \\ f(x=0) & = a_0 \\ f'(x) & = a_1 + 2 a_2 x +3 a_3 x^2 + \cdots \\ f'(x=0) & = a_1 \\ & \vdots \\ a_n & = {{f^{(n)} (0)} \over {n!}} \\ f(a) & = \sum_{n=0}^\infty {{f^{(n)} (0)} \over {n!}} x^n \end{align}

1.13 멱급수 전개 얻기

몇 가지 대표적 함수의 멱급수 전개: 그냥 외워!

(61)
\begin{align} \sin x = x - {x^3 \over {3!}} + {x^5 \over {5!}} - {x^7 \over {7!}} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {{(-1)^n x^{2n+1}} \over {(2n+1)!}} \end{align}
(62)
\begin{align} \cos x = 1 - {x^2 \over {2!}} + {x^4 \over {4!}} - {x^6 \over {6!}} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {{ (-1)^n x^{2n} } \over {(2n)!}} \end{align}
(63)
\begin{align} \exp \left[ x \right] = 1 + x + {{x^2} \over {2!}} + {{x^3} \over {3!}} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {{x^n } \over {n!}} = \sin x + \cos x \end{align}

위 세 급수 전개는 모든 $x$에서 수렴한다.

(64)
\begin{align} \ln (1 + x) = x - {1 \over 2} x^2 + {1 \over 3} x^3 - {1 \over 4} x^4 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {{(-1)^{n+1} x^n} \over {n}} \end{align}

수렴범위는 $-1 < x \le 1$

(65)
\begin{align} (1 + x)^p & = 1 + px + {{p(p-1)} \over {2!}} x^2 + \cdots + {{p(p-1) \cdots (p-n+1)} \over {n!}} x^n + \cdots \equiv \sum_{n=0}^\infty {p \choose n} x^n \end{align}

이것의 수렴범위는 $\left\lvert x \right\rvert <$이고 ${p \choose n}$이항계수라고 한다. $p$는 모든 실수에 대해 성립.

A. 급수에 다항식이나 다른 급수 곱하기

예제 1.

(66)
\begin{align} (x+1) \sin x & = (x+1) \left( x - {x^3 \over {3!}} + {x^5 \over {5!}} - \cdots \right) \\ & = x + x^2 - {x^3 \over {3!}} - {x^4 \over {3!}} + \cdots, \end{align}

이것이 $(x+1) \sin x$를 미분해가며 항을 구하는 것(어우 토나와)보다 간편하다

예제 2.

(67)
\begin{align} \exp \left[ x \right] \cos x & = \left( 1 + x + {{x^2} \over {2!}} + {{x^3} \over {3!}} + \cdots \right) \left( 1 - {x^2 \over {2!}} + {x^4 \over {4!}} - {x^6 \over {6!}} + \cdots \right) \\ & = 1 + x + {x^2 \over {2!}} + {x^3 \over {3!}} + {x^4 \over {4!}} + \cdots \\ & \qquad \qquad - {x^2 \over {2!}} - {x^3 \over {3!}} - {x^4 \over {2! 2!}} - \cdots \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + {x^4 \over {4!}} + \cdots \\ & = 1 + x + 0 x^2 - {1 \over 3} x^3 - {1 \over 6} x^4 + \cdots = 1 + x - {1 \over 3} x^3 - {1 \over 6} x^4 + \cdots \end{align}

주목할 점

  • 곱할 때 $x$의 각 멱수를 포함하는 항을 줄을 맞추어 쓴다.
  • 곱하여 얻은 결과 중 원하는 차수까지의 항은 모두 포함시키고 그 이상 고차항은 모두 제외한다.
    • 위의 예에서는 $x^3 \cdot x^2 = x^5$를 포함시키지 않았다. 만일 $x^5$ 차수까지 구하고 싶으면 $x^5$를 주는 모든 항(즉 $x \cdot x^4, x^3 \cdot x^2 , x^5 \cdot 1$)을 포함시켜야 한다.

B. 두 급수를 빼거나 나누기

예제 1.

(68)
\begin{align} {\ln (1 + x) \over x} & = {1 \over x} \left( x - {1 \over 2} x^2 + {1 \over 3} x^3 - {1 \over 4} x^4 + \cdots \right) \\ & = 1 - {1 \over 2} x + {1 \over 3} x^2 - {1 \over 4} x^3 + \cdots \\ & = \sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n+1} x^{n-1}} \over n} = \sum_{n=0}^\infty {{(-1)^n x^n} \over {n+1}} \end{align}

예제 2.

(69)
\begin{align} \tan x & = {{ \sin x } \over { \cos x}} = {{x - {x^3 \over {3!}} + {x^5 \over {5!}} - {x^7 \over {7!}} + \cdots} \over {1 - {x^2 \over {2!}} + {x^4 \over {4!}} - {x^6 \over {6!}} + \cdots}} \end{align}

C. 이항급수

식 (65)는 $(a + b)^n$$a = 1, b = x, n = p$를 대입한 것과 같다. 이항급수는 $\left\lvert x \right\rvert <1$ 구간에서 $p$에 상관없이(음수건 분수건) 성립한다.

(70)
\begin{align} {p \choose 0} & = 1, \\ {p \choose 1} & = p, \\ {p \choose 2} & = {{p(p-1)} \over {2!}}, \\ {p \choose 3} & = {{p(p-1)(p-2)} \over {3!}}, \\ & \vdots \\ {p \choose n} & = {{p(p-1)(p-2) \cdots (p-(n-1))} \over {n!}} \\ \end{align}

예제 1.

(71)
\begin{align} {{1} \over {1+x}} = (1+x)^{-1} & = \sum_{n=0}^\infty {-1 \choose n} x^n \\ & = {-1 \choose 0} + (-1) x + {{(-1)(-2)} \over {2!}} x^2 + \cdots + {{(-1)(-2) \cdots (-n)} \over {n!}} x^n + \cdots \\ & = 1 - x + x^2 - x^3 +\cdots = \sum_{n=0}^\infty (-x)^n \end{align}

예제 2.

(72)
\begin{align} \sqrt{1 + x} & = (1 + x)^{1 \over 2} = \sum_{n=0}^\infty { {1 \over 2} \choose n } x^n \\ & = 1 + {1 \over 2} x + {{{1 \over 2} \left( - {1 \over 2} \right) } \over {2!}} x^2 + {{ {1 \over 2} \left( - {1 \over 2} \right) \left( - {3 \over 2} \right) } \over {3!}} x^3 + {{ {1 \over 2} \left( - {1 \over 2} \right) \left( - {3 \over 2} \right) \left( - {5 \over 2} \right) } \over {4!}} x^3 + \cdots \\ & = 1 + {1 \over 2} x - {1 \over 8 } x^2 + {1 \over 16} x^3 - {5 \over 128} x^4 + \cdots \end{align}

$n = 0, n = 1$일 때 이항계수는 ${{1 \over 2} \choose 0 } = 1, {{1 \over 2} \choose 1 } = {1 \over 2}$ 임은 이미 알고 있고, $n \ge 2$일 경우

(73)
\begin{align} {{1 \over 2} \choose n } & = {{\left( {1 \over 2} \right) \left( - {1 \over 2} \right) \left( - {3 \over 2} \right) \cdots \left( {1 \over 2} - (n-1) \right) } \over {n!}} \\ & = {{(-1)^{n-1} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot (2n-3)} \over {n! 2^n}} \\ & = {{(-1)^{n-1} (2n-3)!!} \over {(2n)!!}} \end{align}

이중계승 $!!$는 그 수보다 작은 모든 홀(짝)수를 곱하는 것이다. 예컨대 $7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1, \quad 8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2$

D. 다른 급수의 변수로 다항식이나 다른 급수를 대입하기

예제 1.

(74)
\begin{align} \exp \left[ -x^2 \right] & = 1 - x^2 + {{(- x^2)^2} \over {2!}} + {{(- x^2)^3} \over {3!}} + \cdots \\ & = 1 - x^2 + {{(x^4} \over {2!}} - {{x^6} \over {3!}} + \cdots \end{align}

예제 2.

(75)
\begin{align} \exp \left[ \tan x \right] & = 1 + ( \tan x) + {{1} \over {2!}} \tan^2 x + {1 \over {3!}} \tan^3 x + {1 \over {4!}} \tan^4 x \cdots \\ & = 1 + \left( x + {x^3 \over 3} + \cdots \right) + {1 \over {2!}} \left( x + {x^3 \over 3} + \cdots \right)^2 \\ & \qquad + {1 \over {3!}} \left( x + {x^3 \over 3} + \cdots \right)^3 + {1 \over {4!}} \left( x + {x^3 \over 3} + \cdots \right)^4 + \cdots \\ & = 1 + x \qquad \quad + {x^3 \over 3} \qquad \qquad + \cdots \\ & \qquad \qquad {x^2 \over {2!}} \qquad \qquad + {{2 \cdot x^4} \over {3 \cdot 2!}} + \cdots \\ & \qquad \qquad \qquad \quad + {{x^3} \over {3!}} + {{x^4} \over {4!}} + \cdots \\ & = 1 + x + {x^2 \over 2} + {x^3 \over 2} + {3 \over 8} x^4 + \cdots \end{align}

E. 여러 방법들의 결합

예제.

(76)
\begin{align} \arctan x = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{align}

구하기. 우선

(77)
\begin{align} \int_0^x {{dt} \over {1+t^2}} & = \left. \arctan \right\rvert_0^x = \arctan x \end{align}

인 관계가 있으므로 이항급수로 $(1 + t^2)^{-1}$을 쓰고 각 항을 적분한다.

(78)
\begin{align} (1 + t^2)^{-1} & = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots ; \\ \int_0^x {{dt} \over {1 + t^2}} & = \left\lvert t - {t^3 \over 3} + {t^5 \over 5} - {t^7 \over 7} + \cdots \right\rvert_0^x \\ & = x - {x^3 \over 3} + {x^5 \over 5} - {x^7 \over 7} + \cdots = \arctan x \end{align}

1.14 급수 어림방법의 정확도

멱급수로 전개할 수 없는 함수들:

1. 원점에서 무한대가 되는 함수

(79)
\begin{align} \ln x & = a_0 + a_1 x + \cdots \\ \ln \left[ 1 + (x-1) \right] & = ?? \end{align}
(80)
\begin{align} {1 \over x} & = a_0 + a_1 x + \cdots \\ {1 \over {1 + (x-1)}} & = ?? \end{align}

2. 급수가 수렴하지만 전개되는 함수를 표현할 수 없을 경우

(81)
\begin{align} f(x) & = \exp \left[ - {{1} \over {x^2}} \right] = 0 + 0 + 0 + \cdots \\ f'(x) & = 2 {1 \over x^3} \exp \left[ - {1 \over {x^2}} \right ] \longrightarrow 0 \end{align}

이런 것들은 함수 자체에 문제가 있는 것이지 급수를 찾는 법이 잘못된 것이 아님.

급수 어림방법에서의 오차

$S = \sum_{n=1}^\infty a_n$이 교대급수이고 $\left\lvert a_{n+1} \right\rvert < \left\lvert a_n \right\rvert, \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ 이면

(82)
\begin{align} \left\lvert S - (a_1 + a_2 + \cdots a_n) \right\rvert \le \left\lvert a_{n+1} \right\rvert \end{align}
(83)
\begin{align} S = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 4} - {1 \over 8} + \cdots + {{(-1)^n } \over {2^n}} + \cdots = {{1} \over {1-(-{1 \over 2})}} = {2 \over 3} \end{align}

1.15 급수의 활용

수치계산

예제 1.

(84)
\begin{align} f(x) & = \ln \sqrt{{1+x} \over {1-x}} - \tan x \end{align}

를 계산기나 컴퓨터에 넣고 돌리면 -9e-16, 3e-10, 6.06e-16, 5.5e-16 등을 뱉어내는데 이는 모두 틀린 답이다!

(85)
\begin{align} f(x) = {1 \over 2} \left[ \ln (1+x) - \ln (1-x) \right] - \tan x \end{align}

이때 $\ln (1+x), \ln (1-x), \tan x$에 대하여 13절에서 구한 급수를 대입하면

(86)
\begin{align} f(x) & = {1 \over 2} \left[ \left\{ x - {1 \over 2} x^2 + {1 \over 3} x^3 - {1 \over 4} x^4 + \cdots \right\} \right. \\ & \left. \qquad \qquad - \left\{ - x - {1 \over 2} x^2 - {1 \over 3} x^3 4 {1 \over 4} x^4 - \cdots \right\} \right] \\ & \quad - \left\{ x + {1 \over 3} x^3 + {2 \over 15} x^5 + {17 \over 315} x^7 + \cdots \right\} \\ & = {1 \over 15} x^5 + {4 \over 45} x^7 + \cdots \end{align}
(87)
\begin{align} f(x = 0.0015) \sim 5 \times 10^{-16} \end{align}

이때 오차는 $x^7$ 수준, 즉 e-21 수준이다. 다시 말해 어떤 컴퓨터도 소수잠 아래 21째자리 이하에 관해서는 정확성을 잃어버리게 된다.

응용문제에서 복잡한 함수값이 아닌 어림값이 필요할 때는 작은 $x$에 대해 $f(x) \approx {1 \over 15} x^5$로 어림하면 될 것이다.

예제 2.

(88)
\begin{align} \left. {{d^5} \over {dx^5}} \left( {1 \over x} \sin x^2 \right) \right\rvert_{x=0} \end{align}
(89)
\begin{align} \sin x^2 & = x^2 - {{(x^2)^3} \over {3!}} + {{(x^2)^5} \over {5!}} \\ & = x - {{x^5} \over 6} + o(x^4) \\ \therefore \left. {{d^5} \over {dx^5}} \left( x - {{x^5} \over 6} + o(x^4) \right) \right\rvert_{x=0} = {{5!} \over {3!}} = -20 \end{align}

부정형태의 계산

(90)
\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} {{1 - e^x} \over {x}}. \end{align}

위 식에 $x = 0$을 대입하면 $0/0$을 얻는다. 이렇게 어떤 값을 대입했을 때 무의미한 결과가 나오는 것을 부정형태라고 한다.

로피탈 정리: $f(a) = g (a) = 0$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g' (x) / f' (x)$가 진동하지 않으면

(91)
\begin{align} \lim_{x \rightarrow a} {{g(x)} \over {f(x)}} = \lim_{x \rightarrow a } {{g'(x)} \over {f'(x)}} \end{align}

로 계산할 수 있다.

(92)
\begin{align} \lim_{x \rightarrow a} {{g(x)} \over {f(x)}} = \lim_{x \rightarrow a} {{g(a) + g'(a) (x-a) + {1 \over {2!}} g''(a) (x-a)^2 + \cdots } \over {f(a) + f'(a) (x-a) + {1 \over {2!}} f''(a) (x-a)^2 + \cdots }} \end{align}

$f(a) = g(a) = 0$이므로 인수 하나를 없애면

(93)
\begin{align} \lim_{x \rightarrow a} {{ g'(a) (x-a) + {1 \over {2!}} g''(a) (x-a)^2 + \cdots } \over { f'(a) (x-a) + {1 \over {2!}} f''(a) (x-a)^2 + \cdots }} = {{g'(a)} \over {f'(a)}} = \lim_{x \rightarrow a} {{g'(x)} \over {f ' (a)}} \end{align}

만일 $f'(a) = g'(a) = 0$이고 $f''(a) \ne 0$이면 미분을 한번 더 해서 $g''(a) / f''(a)$에 그 짓을 반복할 수 있다.

$0/0$ 뿐 아니라 $\infty / \infty$에 대해서도 로피탈은 성립한다.

급수의 어림방법

예제 4.
어떤 방사성 붕괴물질이 $t = 0$에서 원자가 $N_0$ 개일때 나중 시간 $t$에 남은 원자의 수는

(94)
\begin{align} N = N_0\ \exp \left[ - \lambda t \right] \end{align}
(95)
\begin{align} {{\delta N} \over {\delta t}} \rightarrow {{dN} \over {dt}} &= - \lambda N_0\ \exp \left[ - \lambda t \right] = - \lambda N(t) \\ {1 \over {N(t)}} {{dN} \over {dt}} & = - \lambda \end{align}
(96)
\begin{align} {{dN} \over {dt}} = - \lambda N_0\ \exp \left[ - \lambda t \right] & \approx {{\delta N} \over {\delta t}} = {{N(t_2) - N(t_1)} \over {\delta t}} = {{N_0 (\exp \left[ - \lambda t_2 \right] - \left[ - \lambda t_1 \right] ) } \over {\delta t}} \\ - \lambda \exp \left[ - \lambda t \right] & = {{\exp \left[ - \lambda t_2 \right] - \left[ - \lambda t_1 \right] } \over {\delta t}} \\ & \times {{\delta t} \over {N_0}} \exp \left[ {\lambda \over 2} (t_1 + t_2) \right] \\ & = - \lambda \delta t\ \exp \left[ - \lambda \left\{ t - {{(t_1 + t_2)} \over 2} \right\} \right] = \exp \left[ - {\lambda \over 2} \delta t \right] - \exp \left[ {\lambda \over 2} \delta t \right] \\ & \approx - \lambda \delta t - {1 \over 3} \left( {{\lambda \delta t} \over 2} \right)^3 \end{align}
(97)
\begin{align} \exp \left[ - \lambda \left\{ t - {{(t_1 + t_2)} \over 2} \right\} \right] & = 1 + {1 \over 24} ( \lambda \delta t)^2 \\ \therefore t & = {1 \over 2} (t_1 + t_2) \end{align}