5. 동일한 입자들로 이루어진 물리계

5.1 두 개의 입자로 이루어진 물리계

5.1.1 페르미 입자와 보스 입자

5.1.2 교환력

5.2 원자

5.2.1 헬륨 원자

수소 다음으로 간단한 원자는 헬륨이다. 헬륨의 해밀토니안은

(1)
\begin{align} H = \left\{ - { \hbar^2 \over {2m}} {\nabla_1}^2 - {1 \over { 4 \pi \epsilon_0 }} {{2 e^2} \over r_1 } \right\} +\left\{ - { \hbar^2 \over {2m}} {\nabla_2}^2 - {1 \over { 4 \pi \epsilon_0 }} {{2 e^2} \over r_2 } \right\} + {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{e^2} \over {\left\lvert \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right\rvert}} \end{align}

이 해밀토니안은 수소원자의 해밀토니안과 같은 항 두 개(전자가 2개이므로), 그리고 전자들 사이의 반발력을 기술하는 마지막 항으로 이루어져 있다. 이 마지막 항이 아주 골칫거리인데, 그냥 무시해버리면 슈뢰딩거 방정식이 전자 1, 2에 관한 두 개의 독립된 방정식으로 분리된다.

(2)
\begin{align} \psi ( \vec{r}_1 , \vec{r}_2 ) = \psi_{nlm} ( \vec{r}_1 ) \psi_{n'l'm'} ( \vec{r}_2 ) \end{align}

분리된 방정식 각각의 해는 보어 반지름의 절반(4장 참조). 전체 에너지는

(3)
\begin{align} E = 4 ( E_n +E_{n'} ) \qquad \left( E_n = - {{13.6} \over n^2}\ \mathrm{eV} \right) \end{align}

바닥상태의 파동함수는

(4)
\begin{align} \psi_0 ( \vec{r}_1 , \vec{r}_2 ) = \psi_{100} ( \vec{r}_1 ) \psi_{100} ( \vec{r}_2 ) = {8 \over {\pi a^3}} e^{-2 (r_1 + r_2) / a } \end{align}

바닥상태의 에너지는

(5)
\begin{align} E_0 = 8 \cdot (-13.6\ \mathrm{eV}) = - 109\ \mathrm{eV} \end{align}

그러나 실험에서 얻어지는 에너지는 $- 78.975\ \mathrm{eV}$다. 이렇게 큰 차이가 나는 것은 위에서 반발력 항을 무시했기 때문.

5.2.2 주기율표

5.3 고체

5.3.1 자유전자기체

5.3.2 띠 구조

5.4 양자통계역학