4. 3차원 물리계의 양자역학

4.1 구면좌표계의 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식

(1)
\begin{align} i \hbar {{\partial \Psi } \over {\partial t}} = HV \end{align}

해밀토니안 $H$는 고전역학 에너지 공식으로 얻을 수 있다.

(2)
\begin{align} {1 \over 2} mv^2 + V {1 \over {2m}} ( {p_x}^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2 ) + V \end{align}

고전 물리량을 양자역학 연산자로 바꾸기

(3)
\begin{align} & \vec{p} \longrightarrow {\hbar \over i} \vec{\nabla} & \\ p_x \rightarrow { \hbar \over i} {\partial \over {\partial x}} & p_y \rightarrow { \hbar \over i} {\partial \over {\partial y}} & p_z \rightarrow { \hbar \over i} {\partial \over {\partial z}} \end{align}

그러면 슈뢰딩거 방정식은

(4)
\begin{align} i \hbar {{\partial \Psi} \over {\partial t}} = - {\hbar^2 \over {2m}} \nabla^2 \Psi + V \Psi \end{align}

라플라스 연산자는 직교좌표계에서 다음과 같이 정의된다.

(5)
\begin{align} \nabla^2 \equiv {\partial^2 \over {\partial x^2}} + {\partial^2 \over {\partial y^2}} + {\partial^2 \over {\partial z^2}} \end{align}

이제 위치에너지 $V$와 파동함수 $\Psi$는 위치 $\vec{r} = (x, y, z)$와 시간 $t$의 함수이다. 위치 $\vec{r}$ 근처의 미소공간 $d^3 \vec{r} = dx\ dy\ dz$ 범위에서 입자를 발견할 확률은

(6)
\begin{align} \lvert \Psi ( \vec{r} , t ) \rvert^2 d^3 \vec{r} \end{align}

규격화조건은

(7)
\begin{align} \int \lvert \Psi \rvert^2 d^3 \vec{r} = 1 \end{align}

적분영역은 전체 공간이다. 포텐셜이 시간에 무관하다면 다음과 같은 정지상태의 완전집합을 얻을 수 있다.

(8)
\begin{align} \Psi_n ( \vec{r} , t) = \psi_n (\vec{r} ) e^{-iE_n t/ \hbar} \end{align}

$\psi_n (\vec{r})$은 위치에만 의존하는 "공간 파동함수"로 다음과 같은 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.

(9)
\begin{align} - {\hbar^2 \over {2m}} \nabla^2 \psi + V \psi = E \psi \end{align}

시간에 종속적인 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 다음과 같다.

(10)
\begin{align} \Psi (\vec{r}, t) = \sum c_n \psi_n (\vec{r} ) e^{-iE_n t/ \hbar} \end{align}

계수 $c_n$은 파동함수의 초기상태 $\Psi ( \vec{r}, 0)$으로 결정한다. 포텐셜이 연속적 상태를 허용한다면 합산기호는 적분으로 대체된다.

4.1.1 변수분리법

4.1.2 각도성분 방정식

4.1.3 지름방향 방정식

4.2 수소 원자

4.3 각운동량

4.4 스핀