3. 양자역학의 수학적 형식화

3.1 힐베르트 공간

양자론은 파동함수와 연산자라는 두 가지 구성요소에 기반하고 있다.

  • 파동함수
    • 어떤 물리계의 상태를 표현
    • 추상적으로 벡터의 성질을 만족
  • 연산자
    • 관측 가능한 물리량을 표현
    • 벡터들에 작용하는 1차변환의 성질을 지님

어떤 함수가 물리적 상태를 나타내려면 그 함수는 규격화되어야 한다.

(1)
\begin{align} \int \lvert \Psi \rvert^2 dx = 1 \end{align}

주어진 영역 $(a, b)$에서 제곱적분가능한 함수의 집합 역시 벡터공간을 이룬다. 이 공간은 "모든 함수의 집합"에 비해 훨씬 작은 공간이다.

(2)
\begin{align} f(x) \quad \mathrm{s.t.} \quad \int_a^b \lvert f(x) \rvert^2 dx < \infty \end{align}

이 공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 한다. 양자역학에서는 파동함수는 힐베르트 공간에 산다고 할 수 있다.

함수의 내적은 다음과 같이 정의된다.

(3)
\begin{align} \langle f | g \rangle \equiv \int_a^b f(x)^* g(x) dx \end{align}

$f, g$ 모두 제곱적분가능한 함수라면 (i.e. 모두 힐베르트 공간에 속해 있다면) 두 함수의 내적은 확실히 존재한다(i.e. 식 3의 적분이 유한한 값에 수렴한다). 이 성질은 슈바르츠 부등식으로부터 쉽게 증명된다.

(4)
\begin{align} \left\lvert \int_a^b f(x)^* g(x) dx \right\rvert \le \sqrt{ \int_a^b \left\lvert f (x) \right\rvert^2 dx \int_a^b \left\lvert g(x) \right\rvert^2 dx } \end{align}

식 3은 벡터의 내적의 성질을 모두 만족한다. 특히 중요한 것은

(5)
\begin{align} \left\langle g | f \right\rangle = \left\langle f | g \right\rangle^* \end{align}

함수가 자기 자신과 내적을 취하면 다음과 같다.

(6)
\begin{align} \left\langle f | f \right\rangle = \int_a^b \left\lvert f(x) \right\rvert^2 dx \end{align}

이 적분은 언제나 실수이고 절대로 0보다 작지 않다. $f(x) = 0$일 때만 0이 된다.

함수가 자기 자신과 내적을 취한 값이 1일 때 그 함수는 규격화되었다라고 하며, 어느 두 함수의 내적이 0일 경우 그 두 함수는 직교한다고 한다.

함수들의 집합 $\left\{ f_n \right\}$ 이 집합에 속한 어느 함수들에 대해 다음 관계

(7)
\begin{align} \left\langle f_m | f_n \right\rangle = \delta_{mn} \end{align}

가 성립할 대 정규직교한다고 한다.

함수 집합이 다음 관계

(8)
\begin{align} f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n f_n (x) \end{align}

를 만족할 경우 완전하다고 한다. 힐베르트 공간에 속한 어느 함수라도 $f_n$들의 선형결합으로 표시될 수 있다.

$\left\{ f_n (x) \right\}$가 정규직교할 경우 선형결합의 계수는

(9)
\begin{align} c_n = \left\langle f_n | f \right\rangle \end{align}

3.2 관측가능한 물리량

3.2.1 에르미트 연산자

관측가능한 물리량 $Q(x, p)$의 기대값은 다음과 같이 내적으로 표현할 수 있다.

(10)
\begin{align} \langle Q \rangle = \int \Psi^* \hat{Q} \Psi dx = \langle \Psi | \hat{Q} \Psi \rangle \end{align}

측정의 결과는 실수여야 하므로 선험적으로

(11)
\begin{align} \langle Q \rangle = \langle Q \rangle^* \end{align}

내적의 성질(식 5)에 따라

(12)
\begin{align} \langle \Psi | \hat{Q} \Psi \rangle = \langle \hat{Q} \Psi | \Psi \rangle \end{align}

이 결과는 모든 파동함수에 대해 성립해야 하므로 관측가능한 물리량을 나타내는 연산자는 다음 성질을 갖는다.

(13)
\begin{align} \langle f | \hat{Q} f \rangle = \langle \hat{Q} f | f \rangle \quad \mathrm{for\ all} \quad f(x) \end{align}

이러한 성질을 갖는 연산자를 에르미트 연산자(hermitian operator)라고 한다.

관측가능한 물리량은 에르미트 연산자에 의해 나타내진다.

3.2.2 결정된 상태

양자역학에서는 보통 어떤 물리량 $Q$의 측정결과가 매번 동일하게 나올 것이라 생각하지 않는다(불확정성).

어떤 상태에 대해 물리량 $Q$를 측정했을 때 언제나 같은 측정값 $q$가 나오도록 하는 것이 가능하다면 이 상태는 물리량 $Q$에 대해 결정된 상태(determinate state)라 한다.
결정된 상태의 측정값 표준편차는 0이 될 것이다.

(14)
\begin{align} \sigma^2 = \langle ( \hat{Q} - \langle Q \rangle )^2 \rangle = \langle \Psi | ( \hat{Q} - q )^2 \Psi \rangle = \langle ( \hat{Q} - q ) \Psi | ( \hat{Q} - q ) \Psi \rangle = 0 \end{align}

그런데 어떤 함수가 자기 자신과 내적을 취해 0이 된다면 그 함수 자체가 영함수이다. 그러므로

(15)
\begin{align} \hat{Q} \Psi = q \Psi \end{align}

위 식은 연산자 $\hat{Q}$에 관한 고유값 방정식(eigenvalue equation)이다. $\Psi$$\hat{Q}$의 고유함수(eigenfuction) 또는 고유상태(eigenstate)이고 $q$는 그 고유함수에 해당하는 고유값(eigenvalue)이다.

연산자 $\hat{Q}$에 대해 결정된 상태는 그 연산자의 고유함수이다.

어떤 연산자에 대한 모든 고유값의 집합을 그 연산자의 스펙트럼(spectrum)이라고 한다. 두 개 이상의 서로 선형독립인 고유함수들이 같은 고유값을 가질 때 그 스펙트럼이 축퇴(degenerate) 상태가 되었다고 한다.

예컨대 에너지가 결정된 상태는 해밀토니안의 고유함수이다.

(16)
\begin{align} \hat{H} \psi = E \psi \end{align}

그런데 이 식은 앞 장에서 나온 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이다.

3.3 에르미트 연산자의 고유함수

3.4 일반화된 통계적 해석

3.5 불확정성 원리

3.6 디랙 표기법

(17)
\begin{align} \Psi (x) = {1 \over \sqrt{2 \pi \hbar}} \int e^{{i p x} \over \hbar} \phi ( p ) dp \end{align}