2. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

2.1 정지된 상태

파동함수 $\Psi (x, t)$를 구하는 것 = 주어진 포텐셜 에너지 함수 $V (x, t)$에 대해 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것이다.

(1)
\begin{align} i \hbar {{\partial \Psi} \over {\partial t}} = - {{ \hbar^2 } \over {2m}} {{\partial^2 \Psi } \over {\partial x^2}} +V \Psi \end{align}

포텐셜 $V$는 시간 $t$에 무관하다고 가정하면 슈뢰딩거 방정식을 변수분리법으로 풀 수 있다.

(2)
\begin{align} \Psi (x, t) = \psi (x) \phi (t) \end{align}

변수분리가 가능하다면

(3)
\begin{align} {{\partial \Psi} \over {\partial t}} = \psi {{d \phi} \over {dt}}, \qquad {{\partial^2 \Psi} \over {\partial x^2}} = {{d^2 \psi } \over {dx^2}} \phi \end{align}

이므로, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 형태로 나타난다.

(4)
\begin{align} i \hbar \phi {{d \phi} \over {dt}} & = - {{ \hbar^2} \over {2m}} {{d^2 \psi} \over {d x^2}} \phi + V \psi \phi \\ i \hbar { 1 \over \phi} {{d \phi } \over {dt}} & = - { { \hbar^2 } \over {2m}} {1 \over \psi} {{d^2 \psi} \over {dx^2}} + V \end{align}

이 식이 성립하려면 양변이 상수여야 한다. 그렇지 않을 경우 변수 중 하나는 고정시킨 채 다른 하나만 변화시킬 경우 한 변만 변하고 나머지 한 변은 변하지 않으므로 등식이 성립하지 않는다.

(5)
\begin{align} i \hbar {1 \over \phi} {{d \phi} \over {dt}} & = E \\ {{d \phi} \over {dt}} & = - {{i E} \over \hbar} \phi \\ - {{ \hbar^2 } \over {2m}} {1 \over \psi} {{d^2 \psi} \over {dx^2}} +V & = E \\ - {{\hbar^2 } \over {2m}} {{d^2 \psi} \over {dx^2}} + V \psi & = E \psi \end{align}

변수분리의 결과 두 개의 독립변수를 가지는 편미분방적식이 두 개의 상미분방정식으로 바뀌었다. 일반해는 $C\ \exp \left[ - i Et / \hbar \right]$그런데 상수 $C$는 함수 $\psi$에 흡수될 수 있으므로

(6)
\begin{align} \phi (t) = \exp \left[ - i {{Et} \over \hbar} \right] \end{align}

식 (5)를 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이라고 한다.

변수분리 가능한 해의 중요성

  • 변수분리 가능한 해들은 정지된 상태를 나타낸다. 파동함수는 시간의 함수로 변할지라도 파동함수가 나타내는 확률밀도는 시간에 따라 변하지 않는다. 즉 시간 의존성이 사라지는 것이다.
(7)
\begin{align} \Psi (x,t) = \psi (x) e^{-i Et/ \hbar } \\ \lvert \Psi (x, t) \rvert^2 = \Psi^* \Psi = \psi^* e^{+iEt / \hbar } \psi e^{-iEt / \hbar} = \lvert \psi (x) \rvert^2 \end{align}
  • 역학적 물리량의 기대값 계산에도 같은 상황이 벌어진다. 시간 의존성이 기대값 계싼에서 사라져 버리므로 모든 기대값은 시간에 따라 변하지 않는 상수가 된다.
(8)
\begin{align} \langle Q(x,p) \rangle = \int \psi^* Q \left( x, {\hbar \over i} {d \over {dx}} \right) \psi\ dx \end{align}

* 정지된 상태에서는 $\langle x \rangle = \mathrm{const.} \implies \langle p \rangle = \mathrm{const.}$ i.e. 정지된 상태에서는 아무런 일도 벌어지지 않는다.

  • 변수분리 가능한 해들은 주어진 물리계의 총에너지가 확실하게 측정되는 상태를 나타낸다. 고전역학에서는 역학적 에너지(운동에너지 + 위치에너지)를 해밀토니안이라는 양으로 나타내기도 한다.
(9)
\begin{align} H (x, p) & = {p^2 \over {2m}} + V(x) \\ \hat{H} & = - { \hbar^2 \over {2m}} {\partial^2 \over {\partial x^2}} + V(x) \\ \hat{H} \phi & = E \phi \end{align}

* $\hat{H}$의 햇은 고전역학의 물리량과 양자역학의 연산자를 구분하기 위한 것.
* 다음 식들도 성립한다($\Psi$를 규격화하면 $\psi$도 자동적으로 규격화됨에 주목).

(10)
\begin{align} \langle H \rangle & = \int \psi^* \hat{H} \psi\ dx = E \int \lvert \psi \rvert^2 dx = E \int \lvert \Psi \rvert^2 dx = E \\ \hat{H}^2 \psi & = \hat{H} ( \hat{H} \psi) = \hat{H} (E \psi) = E ( \hat{H} \psi ) = E^2 \psi \\ \langle H^2 \rangle & = \int \psi^* \hat{H}^2 \psi\ dx = E^2 \int \lvert \psi \rvert^2 dx = E^2 \\ {\sigma_H}^2 & = \langle H^2 \rangle - \langle H \rangle^2 = E^2 - E^2 = 0 \end{align}

* 분산이 0 i.e. 표준편차가 0이라는 것은 주어진 표본이 모두 같은 값을 가짐을 의미. $\implies$ 변수분리 가능한 해를 갖는 물리계는 에너지 측정값이 언제나 특정한 값 $E$를 갖는다.

  • 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 변수분리 가능한 해들의 선형결합 형태. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 $\psi_1 (x), \psi_2 (x), \cdots$은 무한히 많은 해를 가지며, 각각의 해에 해당하는 고유한 변수분리 상수 $E_1, E_2, \cdots$ 가 있다. 그러므로 각각의 에너지에 해당하는 파동함수가 존재하게 된다.
(11)
\begin{align} \Psi_1 (x, t) = \psi_1 (x) e^{-i E_1 t/ hbar}, \quad \Psi_2 (x, t) = \psi_2 (x) e^{-i E_2 t/ \hbar } \end{align}

* 시간에 따라 변하는 슈뢰딩거 방정식은 방정식의 어떤 해들을 선형결합하더라도 그것은 다시 해가 된다. 그래서 변수분리 가능한 해들을 모두 발견하면 그것들을 선형결합하여 훨씬 일반적인 해를 얻을 수 있다.

(12)
\begin{align} \Psi (x, t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n (x) e^{i E_n t/ \hbar} \end{align}

해야 하는 일:

  • 시간에 무관한 포텐셜 $V(x)$가 주어졌고, 초기시간 $t=0$일 때의 파동함수 $\Psi (x, 0)$이 주어졌을 때
  • 임의의 시간 $t > 0$에서의 파동함수 $\Psi (x, t)$를 구하는 것

일을 하기 위한 전략:

  • 우선 변수분리를 사용해 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 푼다.
  • 무한히 많은 에너지 값에 대응하는 무한히 많은 개수의 해가 구해진다.
  • 초기조건을 맞춘다.
(13)
\begin{align} \Psi (x,0) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n (x); \end{align}
  • $\psi_n (x)$를 모두 찾았을 때 $\Psi (x,t)$를 구하기 위해서는
(14)
\begin{align} \Psi (x, t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n (x) e^{-i E_n t/ \hbar} = \sum_{n=1}^\infty c_n \Psi_n (x,t) \end{align}
  • 변수분리 가능한 해들은 그 자체로 정지된 상태를 나타낸다. 그러나 일반해의 경우 서로 다른 정지된 상태들의 에너지 값이 다르기 때문에 $\lvert \Psi \rvert^2$을 구하는 과정에서 상쇄되지 않아 그 성질이 적용되지 않는다.

연습문제의 정리들

  • 규격화가능한 해에 대해 분리상수 $E \in \mathbb{R}$
  • 반드시 복소수여야 하는 $\Psi$와 달리 $\psi(x)$는 항상 실수로 취해질 수 있다.
    • 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 모든 해가 실수라는 뜻이 아니고, 복소수 해를 얻었다 해도 그 해가 같은 에너지를 가진 실수해의 선형결합으로 표현될 수 있다는 것이다.
  • $V(-x) = V(x)$ i.e. $V(x)$가 우함수라면 $\psi (x)$는 항상 우함수 또는 기함수로 취해질 수 있다.
  • 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식에 대한 모든 규격화가능한 해에 대하여 $E > \operatorname{min} \left[ V(x) \right]$

2.2 무한히 깊은 사각 퍼텐셜 우물

다음과 같은 퍼텐셜을 가정하자.

(15)
\begin{align} V (x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le a, \\ \infty, & \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{align}
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이 퍼텐셜 안을 움직이는 입자는 완전한 자유입자나 다름없다. 단 퍼텐셜 우물의 양끝($x = 0, a$)에서는 무한히 큰 힘을 받기 때문에 퍼텐셜 우물을 빠져나갈 수 없다.

퍼텐셜 우물의 바깥에서 파동함수 $\psi (x) = 0$, i.e. 우물 바깥에서 입자를 발견할 확률 = 0
퍼텐셜 우물 안에서는 $V = 0$이므로 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이

(16)
\begin{align} - {{\hbar^2 } \over {2m}} {{d^2 \psi} \over {dx^2}} = E \psi \end{align}
(17)
\begin{align} {{d^2 \psi} \over {dx^2}} = - k^2 \psi, \quad k \equiv {\sqrt{2mE} \over \hbar} \end{align}

이 식은 고전역학의 단순조화진동자 방정식과 모양이 같다. 그 일반해는 다음과 같다.

(18)
\begin{align} \psi (x) = A \sin kx + B \cos kx, \qquad A, B = \mathrm{const.} \end{align}

상수 $A, B$를 구하기 위한 경계조건:

  • 보통의 경우 $\psi, d \psi / d x$ 모두 연속함수여야 한다. 그러나 퍼텐셜이 무한대로 바뀌는 지점에서는 $\psi$의 연속성만이 요구된다.
(19)
\begin{align} \psi (0) = \psi (a) = 0 \end{align}
(20)
\begin{align} \psi (0) = A \sin 0 + B \cos 0 = B \implies B = 0 \\ \therefore\ \psi (x) = A \sin kx \end{align}
(21)
\begin{align} \psi (a) = A \sin ka = 0 \implies A = 0\ \mathrm{or}\ \sin ka = 0 \end{align}

$A =0$이면 $\psi(x) = 0$이므로 무의미한 해가 된다.

(22)
\begin{align} \sin ka = 0 \implies ka = 0, \pm \pi, \pi 2 \pi, \pm 3 \pi, \cdots \end{align}

$k=0$도 마찬가지로 $\psi(x) = 0$이므로 무의미한 해가 된다.

(23)
\begin{align} k_n = {{n \pi} \over a}, \qquad n = 1,2,3, \cdots \end{align}
(24)
\begin{align} E_n = {{\hbar^2 {k_n}^2} \over {2m}} = {{ n^2 \pi^2 \hbar^2 } \over {2ma^2}} \end{align}

양자역학에서 무한히 깊은 사각 퍼텐셜 안에 있는 입자는 위 식에서 허용된 특정 에너지 값들 중 하나를 가져야 한다(에너지의 양자화). 고전역학의 경우와 전적으로 비교되는 바.

상수 $A$를 결정하기 위해 파동함수의 규격화 조건 사용

(25)
\begin{align} \int_0^a \lvert A \rvert^2 \sin^2 (kx) dx = \lvert A \rvert^2 {a \over 2} = 1 \implies \lvert A \rvert^2 {2 \over a} \end{align}

편의상 양의 값으로 $A$를 선택하면 파동함수는

(26)
\begin{align} \psi_n (x) = \sqrt{2 \over a} \sin \left( {{n \pi}\over a} x \right) \end{align}
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무한히 많은 슈뢰딩거 방정식의 해들의 그래프는 물질파 파동과 형태가 같다.

파동함수 중 에너지가 가장 낮은 $\psi_1$바닥상태, 나머지를 들뜬상태라고 한다. 각 상태들의 에너지는 $n^2$에 비례한다.

  • 파동함수들은 $n$의 홀짝에 따라 기함수, 우함수가 된다.
  • 에너지(즉 $n$값이)가 증가함에 따라 파동함수가 0을 지나는 마디점의 개수도 하나씩 증가한다. $\psi_1$은 마디가 한 개이고, $\psi_2$는 두 개 …
  • 파동함수들은 서로 직교한다. ( 크로네커 델타는 $m=n$일 경우 규격화 적분과 같아서 적분값이 1이 됨을 의미.)
(27)
\begin{align} \int \psi_m (x)^* \psi_n (x) dx = \delta_{mn} \end{align}
  • 파동함수들은 완전(complete)하다. i.e. 주어진 어느 함수 $f(x)$라도 파동함수들의 선형결합으로 표시될 수 있다.
(28)
\begin{align} f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n (x) = \sqrt{2 \over a} \sum_{n=1}^\infty c_n \sin \left( {{n \pi} \over a} x \right) \end{align}

이 식은 함수 $f(x)$의 푸리에 급수이다. "어떠한 함수라도" 푸리에 급수로 나타낼 수 있다는 것이 디리클레 정리다.

주어진 함수를 푸리에 급수로 표시하기 위한 계수 $c_n$들을 결정하기 위한 방법: 푸리에의 묘기 — 식 (28)의 양변에 ${\psi_m}^* (x)$를 곱하고 적분한다.

(29)
\begin{align} \int {\psi_m (x)}^* f(x)\ dx = \sum_{n=1}^\infty c_n \int {\psi_m (x)}^* \psi_n (x)\ dx = \sum_{n=1}^\infty c_n \delta_{mn} = c_m \end{align}

적분 결과 크로네커 델타가 나타나서 $n=m$ 이외의 모든 항들이 없어진다. 따라서 $f(x)$의 푸리에 전개의 제$n$계수는

(30)
\begin{align} c_n = \int {\psi_n (x)}^* f(x)\ dx \end{align}

위 네 가지 성질은 매우 강력하다.

  • 첫 번째 성질은 포텐셜이 대칭적이면 언제나 성립한다.
  • 두 번째 성질은 포텐셜과 무관하게 성립하는 보편 성질이다.
  • 세 번째 직교성도 매우 일반적인 성질이다.
  • 네 번째 완전성은 대부분의 포텐셜에 대해 성립한다.

무한히 깊은 포텐셜 문제의 정지된 상태(식 (14))의 파동함수, 그리고 무한한 슈뢰딩거 방정식의 일반해는

(31)
\begin{align} \Psi_n (x, t) & = \sqrt{2 \over a} \sin \left( {{n \pi} \over a} x \right) e^{-i ( n^2 \pi^2 \hbar / 2 ma^2)t} \\ \Psi (x, t) & = \sum_{n=1}^\infty c_n \sqrt{2 \over 2} \sin \left( {{n \pi} \over a} x \right) e^{-i(n^2 \pi^2 \hbar / 2 ma^2)t} \end{align}

파동함수의 초기상태 $\Psi (x, 0)$이 어떻든 간에 적절한 계수를 잡음으로써 다음과 같이 표시할 수 있다(∵ 디리클레 정리에 의해 확인된 완전성).

(32)
\begin{align} \Psi (x, 0) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n (x) \end{align}

그리고 정규직교 성질을 이용하면 푸리에의 묘기를 써서 계수가 결정된다.

(33)
\begin{align} c_n = \sqrt{2 \over a} \int_0^a \sin \left( {{n \pi } \over a } x \right) \Psi (x, 0)\ dx \end{align}
  • 파동함수의 초기조건이 주어지면 식 (33)을 이용해 계수를 구한다.
  • 그 다음 식 (32)를 이용해 일반해를 구한다.
  • 파동함수가 구해지면 1장에서 설명한 과정을 통해 어떠한 역학적 물리량도 계산할 수 있다.

$c_n$은 "$\Psi$ 안에 포함된 $\psi_n$의 양"을 뜻한다.
$\lvert c_n \rvert^2$은 에너지를 측정했을 때 그 결과가 $E_n$일 확률이다. 확률이므로 총계는 1이 되어야 한다. 이 결과는 파동함수의 규격화에서 자동적으로 얻어진다.

(34)
\begin{align} 1 & = \int \lvert \Psi (x, 0) \rvert^2 dx = \int \left( \sum_{m=1}^\infty c_m \psi_m (x) \right)^* \left( \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n (x) \right) dx \\ & = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty {c_m}^* c_n \int \psi_m (x)^* \psi_n (x)\ dx \\ & = \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty {c_m}^* c_n \delta_{mn} = \sum_{n=1}^\infty \lvert c_n \rvert^2 \end{align}

또 에너지 측정의 기대값은 다음과 같이 되어야 한다. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(식 (9))에 의하면 $H \psi_n = E_n \psi_n$이므로

(35)
\begin{align} \langle H \rangle = \int \Psi^* H \Psi\ dx = \int \left( \sum c_m \psi_m \right)^* H \left( \sum c_n \psi_n \right) dx \\ \sum \sum {c_m}^* c_n E_n \int {\psi_m}^* \psi_n dx = \sum \lvert c_n \rvert^2 E_n \end{align}

특정한 에너지 값을 얻을 확률이 시간에 무관함 i.e 당연히 해밀토니안의 기대값도 시간에 무관하다. 이것이 양자역학에서의 에너지 보존법칙이다.

2.3 조화진동자

고전역학에서 다루는 단순조화진동자의 형태는 질량 $m$인 물체가 용수철상수 $k$인 용수철에 매달려 움직이는 것. 이 운동은 마찰을 무시할 경우 훅의 법칙으로 기술된다.

(36)
\begin{align} F = -kx = m {{d^2 x} \over {dt^2}} \end{align}

이 운동방정식의 해는

(37)
\begin{align} x(t) = A \sin ( \omega t) + B \cos ( \omega t) \end{align}

각진동수는 다음과 같이 결정된다.

(38)
\begin{align} \omega \equiv \sqrt{k \over m} \end{align}

진동자의 위치에너지는 다음과 같으며 그 모양은 포물선 2차함수이다.

(39)
\begin{align} V (x) = {1 \over 2 } k x^2 \end{align}
실제로는 완벽한 조화진동자는 없지만 거의 모든 포텐셜 함수는 극소값 근처에서 근사적으로 2차함수다.
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이걸 수식으로 살펴보면, 포텐셜 함수를 극소값 근처에서 테일러 전개하면(40)
\begin{align} V(x) & = V(x_0) + V' (x_0) (x-x_0) + {1 \over 2} V'' (x_0) (x- x_0)^2 + \cdots \end{align}
  • 위치에너지에 상수값을 더해도 물리적 결과는 달라지지 않으므로 $V(x) - V(x_0) = V(x)$
  • $x_0$가 극소값이므로 $V'(x_0)=0$
  • $x-x_0$가 충분히 작다면 테일러 급수의 고차항들은 무시
(41)
\begin{align} V(x) \therefore\ \cong {1 \over 2} V '' (x_0) (x - x_0)^2 \end{align}

이 식은 용수철 상수 $k = V''(x_0)$, 진동 원점 $x_0$인 단순조화진동자 위치에너지와 형태가 같다. 사실상 모든 진동 현상은 진폭이 작은 범위에서 근사적으로 단순조화진동자.

단순조화진동자 위치에너지 문제를 양자역학적으로 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자.

(42)
\begin{align} V(x) = {1 \over 2} m k^2 = {1 \over 2} m \omega^2 x^2 \end{align}
(43)
\begin{align} - { \hbar^2 \over {2m}} {{d^2 \psi} \over {dx^2}} + {1 \over 2} m \omega ^2 x^2 \psi = E \psi \end{align}

2.3.1 대수적 풀이법

식 (43)을 고쳐 쓰면

(44)
\begin{align} {1 \over {2m}} [ p^2 + (m \omega x )^2 ] \psi = E \psi \end{align}

$p \equiv ( \hbar / i) d/ dx$는 운동량 연산자.
이 풀이 방법의 기본개념은 다음 해밀토니안을 인수분해하는 것이다.

(45)
\begin{align} H = {1 \over {2m}} [ p^2 + (m \omega x)^2 ] \end{align}

연산자가 아닌 물리량이라면 $u^2 + v^2 = (iu + v) (- iu +v)$로 쉽겠지만 이 식에서는 $p, x$가 모두 연산자이고 연산자는 곱의 교환법칙이 성립하지 않는다.

다음과 같은 연산자를 정의하면

(46)
\begin{align} a_\pm \equiv {1 \over \sqrt{2 \hbar m \omega}} ( \mp ip + m \omega x) \end{align}
(47)
\begin{align} a_- a_+ & = {1 \over {2 \hbar m \omega}} ( ip + m \omega x) ( -ip + m \omega x) \\ & = {1 \over { 2 \hbar m \omega }}[ p^2 + ( m \omega x)^2 - im \omega ( xp - px) ] \\ & = {H \over {\hbar \omega}} - {i \over {2 \hbar }} (xp-px) \end{align}

해밀토니안에 비례하는 항 외에 $xp -px$에 비례하는 항이 나타났다. $xp-px$$x$$p$ 사이의 교환자(commutator)라고 한다. 연산자 사이의 곱셈 교환법칙이 성립하지 않는 정도가 커질수록 교환자 값은 커진다. 일반적으로 교환자는 이렇게 표시한다.

(48)
\begin{align} [ A, B ] \equiv AB - BA \end{align}
(49)
\begin{align} \therefore\ a_- a_+ = {1 \over {2 \hbar m \omega}} [p^2 + ( m \omega x)^2 ] - {1 \over {2 \hbar} } [x, p] \end{align}

시험함수 $f(x)$로 교환자 알아내기 — 시험함수는 역할이 끝나면 없애버리면 된다.

(50)
\begin{align} [x, p] f(x) & = \left[ x { \hbar \over i} {d \over {dx}} f - { \hbar \over i} {d \over {dx}} xf \right] = { \hbar \over i} \left( x {{df} \over {dx}} - x {{df} \over {dx}} - f \right) = i \hbar f(x) \\ \therefore\ [ x, p ] & = i \hbar \end{align}

이렇게 멋진 결과가 나오는데 이것은 양자역학에서 두고두고 사용되며, 표준교환자관계식(canonical commutation relation)이라고 한다. 양자역학의 요상한 특징들은 모두 위치와 운동량의 교환자가 0이 아니다 — 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다로 귀결될 수 있다.

그래서 표준교환자관계식을 식 (47)에 쓰면

(51)
\begin{align} a_- a_+ & = {1 \over {\hbar \omega }} H + {1 \over 2} \\ H & = \hbar \omega \left( a_- a_+ - {1 \over 2} \right) \end{align}

이때 중요한 것은 $a_-, a_+$ 사이에 교환법칙이 성립하지 않는다는 것이다. $[a_-, a_+ ] = 1$

(52)
\begin{align} a_+ a_- & = {1 \over {\hbar \omega}} H - {1 \over 2} \\ H & = \hbar \omega \left( a_- a_+ + {1 \over 2} \right) \end{align}

그래서 조화진동자 문제의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음 형태를 갖게 된다.

(53)
\begin{align} \hbar \omega \left( a_\pm a_\mp \pm {1 \over 2} \right) \psi = E \psi \end{align}

만일 $\psi$가 에너지 $E$를 가진 슈뢰딩거 방정식을 만족 i.e. $H \psi = E \pi$ 라면 $a_\pm \psi$는 에너지 $E \pm \hbar \omega$를 가진 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.

(54)
\begin{align} H ( a_\pm \psi) & = \hbar \omega \left( a_\pm a_\mp + {1 \over 2} \right) (a_\pm \psi ) = \hbar \omega \left( a_\pm a_\mp a_\pm + {1 \over 2} a_\pm \right) \psi \\ & = \hbar \omega a_\pm \left( a_\mp a_\pm + {1 \over 2} \right) \psi = a_\pm \left[ \hbar \omega \left( a_\pm a_\mp + 1 + {1 \over 2} \right) \psi \right] \\ & = a_\pm (H + \hbar \omega ) \psi = a_\pm ( E + \hbar \omega ) \\ & = ( E + \hbar \omega ) ( a_\pm \psi) \end{align}

$a_+, a_-$의 순서는 중요하지만 다른 상수들($\hbar, \omega, E$)의 순서는 중요하지 않다. 연산자는 상수와는 교환법칙이 성립한다.

아주 멋진 결과: 해를 한 개라도 발견하면 거기서 에너지를 올려가며 내려가며 새로운 해를 발견할 수 있다. 그래서 위에서 정의한 연산자 $a_\pm$사다리 연산자(ladder operator), $a_+$를 올림 연산자(raising operator), $a_-$를 내림 연산자(lowering operator)라고 한다.

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사다리를 계속 내려가면 땅에 이르는데, 그것이 가장 낮은 에너지 상태 i.e. 바닥상태다. 땅 밑으로 파고들어갈 수는 없다. 왜냐하면 $E > V(x)$(2.1절 참조)에 위배되기 때문.

(55)
\begin{align} a_- \psi_0 & = 0 \\ {1 \over \sqrt{2 \hbar m \omega }} \left( \hbar {d \over {dx}} + m \omega x \right) \psi_0 & = 0 \\ {{d \psi_0} \over {dx}} & = - {{ m \omega } \over \hbar } x \psi_0 \end{align}

이것이 바닥상태를 구하기 위한 미방이다.

(56)
\begin{align} \int {{d \psi_0} \over \psi_0} = - { { m \omega } \over \hbar } \int x\ dx \implies \ln \psi_0 = - {{m \omega } \over {2 \hbar} } x^2 + \mathrm{const.} \end{align}
(57)
\begin{align} \therefore\ \psi_0 (x) = A\ \exp \left[ - {{ m \omega } \over {2 \hbar }} x^2 \right] \end{align}

$\psi_0$을 규격화하면

(58)
\begin{align} 1 & = \lvert A \rvert^2 \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp \left[ - {{ m \omega } \over { \hbar }} x^2 \right] = \lvert A \rvert^2 \sqrt{{\pi \hbar} \over {m \omega}} \\ \therefore\ A^2 & = \sqrt{{m \omega } \over {\pi \hbar}} \end{align}

그러므로 바닥상태의 파동함수는

(59)
\begin{align} \psi_0 (x) = \left( {{m \omega } \over {\pi \hbar }} \right)^{1 \over 4} \exp \left[ - {{m \omega } \over {2 \hbar }} x^2 \right] \end{align}

바닥상태의 에너지를 결정하기 위해 식 (53) 형태의 슈뢰딩거 방정식을 적용하면

(60)
\begin{align} E_0 \psi_0 & = \hbar \omega \left( a_+ a_- + {1 \over 2} \right) \psi_0 \\ E_0 & = {1 \over 2} \hbar \omega \longleftarrow \because\ a_- \psi_0 = 0 \end{align}

바닥상태의 에너지와 파동함수를 구했으니 올림 연산자를 반복 사용해 들뜬상태를 구할 수 있다. 사다리를 한 칸 올라갈 때마다 에너지는 $\hbar \omega$ 증가한다.

(61)
\begin{align} \psi_n (x) = A_n (a_+ )^n \psi_0 (x), \qquad \begin{matrix} E_n & = \left( n + {1 \over 2} \right) \hbar \omega, \\ A_n & = 규격화상수 \end{matrix} \end{align}

2.4 자유입자

자유입자는 모든 위치에서 $V(x) = 0$ 이므로 가장 간단한 물리계여야 한다. 고전역학에서 자유입자는 단순히 등속직선운동한다. 그러나 양자역학에서는 뭔가 미묘하다. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

(62)
\begin{align} - { \hbar^2 \over {2m}} {{d^2 \psi} \over {dx^2}} & = E \psi \qquad 또는 \\ {{d^2 \psi} \over {d x^2}} & = - k^2 \psi, \quad k \equiv { \sqrt{2mE} \over \hbar } \end{align}

여기까지는 무한히 깊은 사각 포텐셜 우물의 식 (16)과 똑같다. 그런데 여기서는 사인, 코사인 함수 대신 지수함수로 일반해를 나타내고자 한다.

(63)
\begin{align} \psi (x) = A e^{ikx} + B^{-ikx} \end{align}

무한히 깊은 사각 포텐셜 우물 문제와 달리 여기선 $k$값 i.e. 에너지 값을 제한하는 경계조건이 없다. 자유입자는 에너지가 양수이기만 하면 아무 값이나 가질 수 있다. 여기에 시간의존성 $\exp \left[ - iEt / \hbar \right]$를 적용하면 파동함수는

(64)
\begin{align} \Psi (x, t) & = A e^{ ik \left( x - {{\hbar k } \over {2m}} t \right)} +B e^{-ik \left( x + {{\hbar k} \over {2m}} t \right)} \\ & = A e^{i \left( kx - {{\hbar k^2 } \over {2m}} t \right)} \end{align}

위 식의 첫 줄 첫 항은 오른쪽으로 움직이는 파동, 두 번째 항은 같은 에너지로 왼쪽으로 움직이는 파동을 나타낸다.

(65)
\begin{align} k \equiv \pm { \sqrt{2mE} \over \hbar}, \quad \begin{cases} k > 0 & \implies \text {오른쪽으로 이동} \\ k< 0 & \implies \text{왼쪽으로 이동} \end{cases} \end{align}

자유입자의 "정지 상태"는 진행하는 파동이며 그 파장은 $\lambda = 2 \pi / \lvert k \rvert$이다.

드브로이 물질파 공식에 따르면 이 파동이 전달하는 운동량은

(66)
\begin{align} p = \hbar k \end{align}

이 파동들이 갖는 속도는 다음과 같다(속도는 $t$항 계수 / $x$항 계수 로 구한다).

(67)
\begin{align} v_{양자} = {{\hbar \lvert k \rvert} \over {2m}} = \sqrt{E \over {2m}} \end{align}

그런데 에너지가 $E = mv^2 /2$인 입자의 속도를 고전역학적으로 구하면(자유입자이므로 위치에너지 = 0)

(68)
\begin{align} v_{고전} = \sqrt{{2E} \over m} = 2 v_{양자} \end{align}

양자역학의 파동함수는 고전역학에 비해 절반 속도로 움직인다???
이 역설은 일단 밀어두고 더 심각한 문제가 있는데 자유입자의 파동함수의 규격화가 불가능하다는 것이다.

(69)
\begin{align} \int_{- \infty}^{+\infty} {\Psi_k}^* \Psi_k dx = \lvert A \rvert^2 \int_{- \infty}^{+ \infty} dx = \lvert A \rvert^2 \infty \end{align}

그렇다면 자유입자의 변수분리 해는 물리적으로 가능한 상태를 나타내지 못한다. i.e. 자유입자는 정지상태에 존재할 수 없다. i.e. 에너지 값이 고정된 자유입자는 존재하지 않는다.

그렇다고 변수분리 해가 쓸모없는 것은 아니다. 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 여전히 변수분리 해의 선형결합이다. 단 $k$값이 연속분포하므로 양자수 $n$에 대한 합산이 아닌 연속변수 $k$에 대한 적분이 된다.

(70)
\begin{align} \Psi (x,t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+ \infty} \phi (k) e^{i \left( kx - {{\hbar k^2} \over {2m}} t \right)} dk \end{align}

이 파동함수는 적절한 $\phi(k)$에 대해 규격화가 가능하다. 그러나 규격화가 가능하기 위해서는 $k$값이 특정 값으로 제한될 수 없고 어느 정도의 범위로 허용되어야 한다. 따라서 에너지와 속도도 범위값이 섞이게 되고 이것을 파동묶음이라고 한다.

파동함수를 구했으니 주어진 초기조건을 만족하도록 $\phi(k)$를 결정한다.

(71)
\begin{align} \Psi (x, 0) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+\infty} \phi (k) e^{ikx} dk \end{align}

이 문제의 해답은 플란케렐의 정리를 통해 주어진다.

(72)
\begin{align} f(x) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+\infty} F(k) e^{ikx} dk \iff F(k) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+\infty} f(k) e^{-ikx} dx \end{align}

이 정리가 성립하려면 몇 가지 조건이 있는데 그 조건들은 $\Psi (x, 0)$이 규격화되어야 한다는 조건에서 자동으로 만족된다. 따라서 자유입자에 관한 양자역학의 일반문제 해답은

(73)
\begin{align} \phi (k) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \Psi (x, 0) e^{-ikx} dx \end{align}

이제 변수분리 해 $\Psi_k (x,t)$가 움직이는 속도가 고전역학 계산에서 얻은 속도의 절반이라는 역설로 돌아가 보면: 사실 $\Psi_k$가 물리적으로 존재 불가하다는 점이 확인된 순간 이 문제는 무의미해진 것이다. 일단 핵심 개념은

  • 파동묶음은 여러 가능한 $k$값을 갖는 사인함수들의 중첩이며, 각각의 $k$성분에 대한 사인함수들의 진폭은 함수 $\phi$dp 의해 결정된다.
  • 이것을 그림으로 그려보면 파동의 "껍질" 속에 "물결"이 들어 있는 모습과 같다.
q-2-11.png
  • 입자의 속도는 각각의 물결이 움직이는 위상속도와 다르며, 껍질이 움직이는 군속도에 해당한다.
  • 군속도는 파동의 성질에 따라 위상속도보다 클 수도 있고 작을 수도 있고 같을 수도 있다.
  • 양자역학에서 자유입자의 파동함수 군속도는 위상속도의 두 배이며, 그러면 고전역학의 속도와 같아진다.
(74)
\begin{align} \Psi (x, t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \phi (k) e^{i (kx - \omega t)} dk \end{align}

와 같은 형태를 갖는 파동묶음에 대해 군속도를 결정해야 한다.

$\phi (k)$가 특정 $k_0$ 근처의 좁은 영역에서 급격한 최대값을 가진다고 가정하면 그 영역 밖에서는 0이나 다름없으므로 $k_0$ 근처에서 $\omega$를 테일러 전개한다.

(75)
\begin{align} \omega (k) \cong \omega_0 + \omega_0 ' (k - k_0), \quad \omega_0 ' = {d \over {dk}} \omega (k_0) \end{align}

$s \equiv k - k_0$ 로 치환하면

(76)
\begin{align} \Psi (x, t) & \cong {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \phi (k_0 + s) \exp \left[ i \left\{ (k_0 + s ) x - ( \omega_0 + \omega_0 ' s ) t \right\} \right] ds \\ \Psi (x, 0) & \cong {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \phi (k_0 + s) \exp \left[ i (k_0 + s ) x \right] ds \\ \Psi (x, t) & \cong {1 \over \sqrt{2 \pi}} \exp \left[ i ( - \omega_0 t + k_0 \omega_0 ; t ) \right] \int_{- \infty}^{+ \infty} \phi ( k_0 + s) \exp \left[ i ( k_0 + s ) ( x - \omega_0 ' t ) \right] dx \\ \Psi (x, t) & \cong \exp \left[ - i ( \omega_0 - k_0 \omega_0 ' ) t \right] \Psi ( x - \omega_0 t, 0) \end{align}

파동함수 앞에 곱해진 위상요소를 무시하면(위상요소는 $\lvert \Psi \rvert^2$에 영향을 미치지 않으므로) 파동묶음의 속도값은 시간 $t$의 계수 $\omega_0 '$이다.

(77)
\begin{align} v_\mathrm{g} = \omega_0 ' = {{d} \over {dk}} \omega (k = k_0) \\ \end{align}

고전역학의 (위상)속도-변위-각속도 관계와 비교해 보면

(78)
\begin{align} \begin{cases} v_\mathrm{p} & = { \omega \over k} = {{ \hbar k } \over {2m}} \\ v_\mathrm{g} & = {{d \omega } \over {dk}} = {{ \hbar k } \over m} \end{cases} \longleftarrow \omega = {{ \hbar k^2 } \over {2m}} \\ \therefore\ v_{고전} = v_\mathrm{g} = 2 v_\mathrm{p} \end{align}

즉 양자역학에서 고전역학에서의 입자의 속도에 해당하는 것은 파동묶음의 군속도이지 정지상태의 위상속도가 아니다.

양자역학에서 $V = 0$에 대하여 지수함수는 진행파를 나타내며(자유입자 논의에 적절), 사인-코사인 함수는 정상파를 나타낸다(무한히 깊은 퍼텐셜 우물 논의에 적절).

2.5 δ함수 퍼텐셜

2.5.1 속박상태와 산란상태

퍼텐셜 우물과 조화진동자는 파동함수가 규격화 가능했고 정수 $n$의 지표로 구분되었다. 자유입자는 파동함수가 규격화 불가능했고 연속변수 $k$로 구분지어졌다. 둘 다 일반해가 정지상태의 선형결합으로 표현되지만 전자는 $n$에 대한 합산, 후자는 $k$에 대한 적분으로 나타났다. 이 차이가 지니는 물리적 의미는?

고전역학에서 시간에 무관한 1차원 포텐셜은 두 가지 다른 종류의 운동을 만든다.

q-2-12-a.png

포텐셜 $V$가 현재 입자의 위치 양쪽에서 입자가 가지는 총 에너지 $E$보다 커질 경우, 그 입자는 포텐셜 우물 안에 갇히고 두 변곡점(turning point) 사이에서 왕복운동을 한다. 이런 상태를 속박상태(bound state)라고 한다.

q-2-12-b-1.pngq-2-12-b-2.png
양쪽이 아닌 어느 한쪽에서만 포텐셜이 에너지보다 커질 때, 또는 양쪽 모두에서 포텐셜이 에너지보다 작을 때는 입자가 포텐셜 에너지 변화에 따라 속도가 줄거나 늘어나는 운동을 하다가 무한히 먼 곳으로 가버린다. 이런 상태를 산란상태(scattering state)라고 한다.

어떤 포텐셜에서는 속박상태만 가능하고(e.g. 조화진동자) 어떤 포텐셜에서는 산란상태(자유입자)만 가능하다. 슈뢰딩거 방정식의 두 종류의 해들은 속박상태와 산란상태를 의미한다.

q-2-12-c.png

양자역학에서는 입자가 유한한 포텐셜 장벽은 통과(터널링 현상)할 수 있기 때문에(즉 위 그림은 고전역학적으로는 속박이지만 양자역학적으로는 산란) 무한히 먼 곳의 포텐셜만 알면 된다. 그리고 모든 포텐셜은 무한히 먼 곳에서는 영향을 미치지 않는다 i.e. 0으로 수렴한다.

(79)
\begin{cases} E < 0 & \implies 속박상태 \\ E > 0 & \implies 산란상태 \end{cases}

무한히 깊은 사각우물과 조화진동자는 $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} V(x) = \infty$ 이므로 속박상태만 존재한다. 자유입자는 모든 지점에서 포텐셜이 0이므로 산란상태만 존재한다.

2.5.2 δ함수 퍼텐셜 우물

2.6 유한한 사각 우물 퍼텐셜