1. 파동함수

1.1 슈뢰딩거 방정식

질량 $m$이고 $x$축상에서 움직이는 입자에 힘 $F(x, t)$이 작용할때
고전역학에서 다루는 주된 관심은 어느 주어진 시간에 입자의 위치 $x(t)$를 찾는 것이다. $x(t)$는 뉴턴 제2법칙 $F=ma$를 사용하고 적절한 초기조건을 부여해 구한다.

양자역학에서 구하려 하는 것은 입자의 파동함수 $\Psi (x,t)$이다. 이 파동함수는 슈뢰딩거 방정식으로 구할 수 있다.

(1)
\begin{align} i \hbar {{\partial \Psi } \over {\partial t}} = - {{\hbar^2 } \over {2m}} {{\partial^2 \Psi } \over {\partial x^2 }} + V \Psi \qquad \\ \begin{cases} i & = -1, \\ \hbar & = {h \over {2 \pi}} = 1.054572 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s} \end{cases} \end{align}

양자역학의 슈뢰딩거 방정식 = 고전역학의 뉴턴 제2법칙.
(주어진 임의 시간에 대하여 파동함수/변위 구하기)

1.2 통계학적 해석

파동함수의 의미: 파동함수의 통계학적 해석 $\left\lvert \Psi (x, t) \right\rvert^2$이 주어진 시간 $t$에 어느 지점 $x$에서 그 입자를 발견할 확률밀도를 나타낸다.

(2)
\begin{align} \int_a^b \left\lvert \Psi (x, t) \right\rvert^2\ dx = \begin{Bmatrix} \text{시간 t에서 a와 b 사이에서} \\ \text{입자를 찾을 확률} \end{Bmatrix} \end{align}
q-1-2.png

파동함수의 크기의 제곱 = 확률밀도, 확률밀도의 적분 = 확률.
이런 파동함수에서 칠해진 부분의 면적 = $[a, b]$에서 입자가 발견될 확률.
이 입자는 $A$ 근처에서 발견될 확률이 높고 $B$ 근처에서 발견될 확률이 낮음.

통계학적 해석을 도입하면 결정불가능성(indeterminacy)이 나타남. 입자는 아무 곳에도 있지 안항ㅆ고 입자가 "어느 위치에 있을지를 결정"하는 것은 측정행위 그 자체이다(코펜하겐 해석)

입자의 위치를 측정하여 입자가 위치 $C$에 있는 것을 발견했을 때,

q-1-3.png

측정으로 파동함수가 완전히 바뀌어서 위치 $C$에서 매우 날카로운 최대값을 갖는 형상이 되었다.
이것을 측정에 의해 원래 파동함수가 붕괴(collapse)하여 위치 $C$에서 날카로운 최대값을 갖게 되었다고 한다.

파동함수가 원래 형태(슈뢰딩거 방정식에 따른 형태)로 돌아가기 전에 다시 측정이 이루어진다면 입자의 위치는 다시 $C$에서 발견된다.

1.3 확률

1.3.1 불연속변수

확률:

(3)
\begin{align} N = \sum_{j=0}^\infty N (j) \end{align}
중간값:
어떤 값을 기준으로 그보다 작은 값이 측정될 확률이 그보다 큰 값이 측정될 확률과 같을때 그 어떤 값.

평균: i.e. 기대값(expectation value)

(4)
\begin{align} \langle j \rangle = {{ \sum j N(j) } \over N} = \sum_{j=0}^\infty j P(j) \end{align}
분산:
값들이 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지의 척도. 편차의 평균은 언제나 0이 되므로 편차의 제곱의 평균을 사용.
(5)
\begin{align} \sigma^2 & = \langle ( \Delta j)^2 \rangle = \sum ( \Delta j)^2 P(j) = \sum (j- \langle j \rangle )^2 P(j) \\ & = \sum ( j^2 - 2j \langle j \rangle + \langle j \rangle^2 ) P(j) \\ & = \sum j^2 P(j) - 2 \langle j \rangle \sum j P(j) + \langle j \rangle^2 \sum P(j) \\ & = \langle j^2 \rangle - 2 \langle j \rangle \langle j \rangle + \langle j \rangle^2 = \langle j^2 \rangle - \langle j \rangle^2 \\ & \qquad \quad (\langle j \rangle = \mathrm{const.} ) \end{align}
표준편차:
값들이 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지의 척도. 분산의 제곱근.
(6)
\begin{align} \sigma = \sqrt{ \langle j^2 \rangle - \langle j \rangle^2} \end{align}

제곱의 평균과 평균의 제곱의 관계:

(7)
\begin{align} \langle j^2 \rangle \le \langle j \rangle^2 \end{align}

양변이 같으려면 표준편차 $\sigma = 0$, i.e. 분포가 한 값에만 몰려 있어야 함

1.3.2 연속변수

확률밀도: $(x, x+dx)$ 범위 안에 들어올 확률. $\rho(x) dx$

확률: 확률밀도의 적분

(8)
\begin{align} P_{ab} = \int_a^b\ \rho(x) dx \end{align}
(9)
\begin{align} 1 & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \rho (x) dx \\ \langle x \rangle & = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \rho (x) dx \\ \langle f(x) \rangle & = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \rho(x) dx \\ \sigma ^2 & \equiv \langle ( \Delta x )^2 \rangle = \langle x ^2 \rangle - \langle x \rangle ^2 \end{align}

1.4 규격화

파동함수를 전체 영역에서 적분하면 1이 되어야 한다(입자가 어딘가에는 있어야 하므로)

(10)
\begin{align} \int_{- \infty}^{+ \infty} \left\lvert \Psi (x,t) \right\rvert^2 dx = 1 \end{align}

식 (1)을 보면, 만일 $\Psi (x, t)$가 슈뢰딩거 방정식의 해일 경우 그 함수에 임의의 복소상수 $A$를 곱한 $A \Psi (x, t)$도 해가 된다. 즉 슈뢰딩거 방정식만으로 상수 $A$는 결정되지 않으며, 미결정된 상수 $A$를 적절히 잡아 식 (10)을 성립시켜야 한다. 이 과정을 규격화(normalize)라고 한다.

파동함수는 한 번 규격화되면 슈뢰딩거 방정식에 의해서 시간에 따라 변하더라도 규격화 상태가 유지된다.

(11)
\begin{align} {d \over {dt}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \left\lvert \Psi (x, t)^2 \right\rvert dx = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\partial \over {\partial t}} \left\lvert \Psi (x, t)^2 \right\rvert dx \end{align}
(12)
\begin{align} {\partial \over {\partial t}} \left\lvert \Psi \right\rvert^2 = {\partial \over {\partial t}} ( \Psi^* \Psi ) = \Psi^* {{\partial \Psi } \over {\partial t}} + {{\partial \Psi^* } \over {\partial t}} \Psi \longleftarrow \text{미분의 곱셈법칙} \end{align}
(13)
\begin{align} {{\partial \Psi} \over {\partial t}} = {{i \hbar } \over {2m}} {{\partial^2 \Psi } \over {\partial x^2}} - {1 \over \hbar } V \Psi \longleftarrow \text{슈뢰딩거 방정식} \end{align}
(14)
\begin{align} {{\partial \Psi^* } \over {\partial t}} = - {{i \hbar } \over {2m }} {{\partial^2 \Psi^* } \over {\partial x^2 }} + {i \over \hbar} V \Psi^* \longleftarrow \text{켤레복소} \end{align}
(15)
\begin{align} {{\partial } \over {\partial t}} \left\lvert \Psi \right\rvert^2 = {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^* {{\partial^2 \Psi } \over {\partial x^2}} - {{\partial^2 \Psi^*} \over {\partial x^2 }} \Psi \right) = {\partial \over {\partial x}} \left[ {{i \hbar } \over {2m }} \left( \Psi^* {{\partial \Psi} \over {\partial x}} - {{\partial \Psi^* } \over {\partial x}} \Psi \right) \right] \end{align}
(16)
\begin{align} {d \over {dt}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \left\lvert \Psi (x, t) \right\rvert^2 dx = \left. {{i \hbar} \over {2m}} \left( \Psi^* {{\partial \Psi} \over {\partial x}} - {{\partial \Psi^*} \over {\partial x}} \Psi \right) \right\rvert_{- \infty}^{+ \infty} \end{align}

그런데 $x \rightarrow \pm \infty$로 감에 따라 파동함수값은 0에 수렴해야 한다. 이것이 규격화되기 위한 필요조건이다. 따라서 위 적분은 0이 된다.

(17)
\begin{align} {d \over {dt}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \left\lvert \Psi (x, t) \right\rvert^2 dx = 0 \end{align}

따라서 $\int_{- \infty}^{+ \infty} \left\lvert \Psi \right\rvert^2 dx$는 시간에 무관하게 일정한 값을 갖는다. 그러므로 $t=0$에서 $\Psi$가 규격화되었다면 그 함수는 계속 규격화된 상태를 유지할 것이다.

1.5 운동량

상태함수 $\Psi$를 갖는 입자의 위치 $x$의 기대값은 다음과 같다.

(18)
\begin{align} \langle x \rangle = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left\lvert x \Psi (x, t) \right\rvert^2 dx \end{align}

이 입자가 얼마나 빠르게 움직이는지 알아보려면

(19)
\begin{align} {{d \langle x \rangle } \over {dt}} & = \int x {{\partial } \over {\partial t }} \left| \Psi \right|^2 dx \\ & = {{i \hbar } \over {2m}} \int x {\partial \over {\partial x}} \left( \Psi^* {{\partial \Psi } \over {\partial x}} - {{\partial \Psi^*} \over {\partial x}} \Psi \right) dx \\ & = - {{i \hbar } \over {2m}} \int \left( \Psi^* {{\partial \Psi} \over {\partial x}} - {{\partial \Psi^*} \over {\partial x}} \Psi \right) dx \longleftarrow \text{부분적분} \\ & = - {{i \hbar} \over {m}} \int \Psi^* {{\partial \Psi} \over {\partial x}} dx \longleftarrow \text{부분적분} \end{align}

식 (19)의 좌변은 $x$의 기대값의 속도이며 입자의 실제 속도가 아니다(측정 이전의 위치가 명확하지 않다면 속도도 명확할 수가 없음). 다만 현재는 속도의 기대값이 위치의 기대값의 시간미분과 같다는 공리를 채택한다.

(20)
\begin{align} \langle v \rangle = {{d \langle x \rangle } \over {dt}} \end{align}

양자역학에서는 속도 대신 운동량 $p=mv$을 주로 사용한다.

(21)
\begin{align} \langle p \rangle = m {{ d \langle x \rangle } \over {dt}} = - i \hbar \int \left( \Psi^* {{\partial \Psi } \over {\partial x}} \right) dx \end{align}

$\langle x \rangle , \langle p \rangle$을 다시 표시해 보면

(22)
\begin{align} \langle x \rangle & = \int \Psi^* (x) \Psi dx \\ \langle p \rangle & = \int \Psi^* \left( {\hbar \over i } {\partial \over {\partial x}} \right) \Psi dx \end{align}

양자역학에서는 연산자 $x$가 위치를 "표현한다"고 하며, 연산자 $(\hbar / i) (\partial / \partial x)$는 운동량을 "표현한다"고 한다. 이 연산자들의 기대값을 구하려면 파동함수 $\Psi^*, \Psi$를 연산자 앞뒤로 샌드위치 시키고 적분한다.

고전역학의 모든 변수들은 위치와 운동량의 적절한 함수로 나타날 수 있다. 양자역학에서 그러한 함수 $Q(x, p)$의 기대값을 구하기 위해서는 운동량을 $(\hbar / i) (\partial / \partial x)$로 바꾸고 그렇게 만들어진 연산자를 샌드위치해서 적분한다.

(23)
\begin{align} \langle Q(x, p) \rangle = \int \Psi^* Q \left( x, {\hbar \over i} {\partial \over {\partial x}} \right) \Psi dx \end{align}

예컨대 운동에너지는

(24)
\begin{align} T & = {1 \over 2} mv^2 = {p^2 \over {2m}} \\ \langle T \rangle & = - {\hbar^2 \over {2m}} \int \Psi^* {{\partial^2 \Psi } \over {\partial x^2}} dx \end{align}

1.6 불확정성 원리

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  • 파장은 잘 정의되지만 위치는 정의되지 않는 파동
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  • 위치는 잘 정의되지만 파장은 정의되지 않는 파동

파동의 위치가 정확하게 정해질수록 파장 측정의 불명확성은 커지게 되고 파장의 크기가 정확하게 정해질수록 위치 측정의 불명확성은 커지게 된다. 이 현상은 모든 파동현상에 성립하며 따라서 양자역학의 파동함수에도 적용된다.

고등학교 때 그냥 외우기만 했던 드브로이 공식

(25)
\begin{align} p = {h \over \lambda} = {{2 \pi \hbar } \over \lambda} \end{align}

즉 파장의 퍼짐(값이 정확하게 정해지지 않고 특정 범위의 가능한 값을 가질 수 있음)은 곧 운동량의 퍼짐에 해당한다. 일반적 관측 결과로 입자의 위치가 정밀하게 측정될수록 운동량은 덜 정밀하게 측정된다.

(26)
\begin{align} \sigma_x \sigma_p \le {\hbar \over 2} \end{align}

여기서 $\sigma_x, \sigma_p$는 각각 위치와 운동량의 표준편차이다. 이 식이 바로 하이젠베르크 불확정성 원리이다.