14. 복소변수함수

14.1 서론

2장에서 복소수 $z=x +iy$를 복소평면에 그리는 것과 복소 기본함수들을 논했다.

여기서는 복소함수에 대한 미적분, 급수 등을 논의하려 한다.

14.2 분석함수

14.3 칸토어 적분

$\mathbb{C}$에 있는 한 곡선 $c: [ a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \quad a, b \in \mathbb{R}$

(1)
\begin{align} C = c \left( [a, b] \right) \end{align}
  1. $C$가 단사함수 ⇒ 단순곡선
  2. $C(a) = C(b)$ ⇒ 닫혀 있다
  3. $^\exists C'$이고 연속 ⇒ 부드러운

을 만족할 때 $\mathbb{C}$에 대한 칸토어 적분을 다음과 같이 정의한다.

(2)
\begin{align} \int_C f(z) dz = \int_a^b f \left( c(t) \right) c' (t) dt \end{align}

그리고 다음 두 성질이 성립한다.

(3)
\begin{align} C(a) & = C(b) \\ F(z) & = \oint_C f(z) dz \end{align}
(4)
\begin{align} \int_{-C} f(z) dz = - \int_C f(z) dz \end{align}

그린 정리 (6장 참조)

  • $P(x, y), Q(x, y) : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 이고
  • $P, Q$가 연속이고 $^exists P', Q'$ 이면
(5)
\begin{align} \implies \int_A \left( {{\partial Q } \over {\partial x}} - {{\partial P} \over {\partial y}} \right) dx dy = \oint_{\partial A} \left( P dx + Q dy \right) \end{align}

정리 5 — 코시 정리(Cauchy's theorem)
단순한 닫힌 곡선 $C$에 대해서

(6)
\begin{align} f: & R \rightarrow \mathbb{C} \in \mathcal{A} ( R) \\ & \implies \oint_C f(z) dz = 0 \end{align}

증명:

(7)
\begin{align} f(z) & = u(x, y) + iv (x, y) \\ dz & = dx + i dy \end{align}
(8)
\begin{align} \oint_C f(z) dz & = \oint_C ( u +iv) ( dx + idy) \\ & = \oint_C \left( u\ dx - v\ dy \right) + i \oint_C \left( v\ dx + u\ dy \right) \end{align}

그린 정리에 의하여

(9)
\begin{align} \implies \oint_C ( u\ dx - v\ dy) = \int_R \left( - {{\partial v} \over {\partial x}} - {{\partial u} \over {\partial y}} \right) dx\ dy \end{align}

코시-리만 방정식에 의해 우변의 피적분함수는 적분영역의 모든 점에서 0이므로 적분은 0이 된다.

모레라 정리 — 코시 정리의 역

(10)
\begin{align} f: R \rightarrow \mathbb{C} \quad 연속, \qquad \oint_C f(z) = 0 \\ \implies f(z) \in \mathcal{A} (R) \end{align}

정리 6 — 코시의 적분공식
$f(z)$가 단순폐곡선 $C$ 위와 내부에서 해석적이라면($f : R \rightarrow \mathbb{C} \in \mathcal{A} (R)$)
$C$ 내부의 점 $z = a$에서 $f(z)$ 값은 다음 선적분과 같다.

(11)
\begin{align} f(a) = {1 \over {2 \pi i}} \oint {{ f(x) } \over {z-a}} dz. \end{align}

증명:
다음과 같은 복소함수를 고려한다.

(12)
\begin{align} \phi (z) = {{f(z) } \over {z-a}} \end{align}

이 함수는 $z = a$에서 무한대로 발산할 것이다.

그리고 $C'$이 중심이 $a$이고 반지름 $\rho$$C$ 내부의 작은 원이라고 하자(즉 $\phi (z) \in \mathcal{A} ( R' )$). 그리고 $C$$C'$ 사이를 $AB$를 따라 자른다.

m-3-1.png

이제 그림에 화살표가 그려진 경로대로 $A$에서 $C$ 주위를 반시계방향으로, $B$에서 $C'$ 주위를 시계방향으로, 그리고 다시 $A$로 돌아오면서 적분할 것이다.

(13)
\begin{align} \int_{\overset{\rightarrow}{AB}} \phi (z) dz + \int_{\overset{\rightarrow}{BA}} \phi (z) dz = 0 \end{align}

코시의 정리를 적용하면

(14)
\begin{align} \oint_{C; \circlearrowleft} f(z) dz +0+ \oint_{C' ; \circlearrowright} \phi (z) dz = 0 \end{align}
(15)
\begin{align} \oint_{C; \circlearrowleft } \phi (z) dz = - \oint_{C' ; \circlearrowright } \phi (z) dz = \oint_{C' ; \circlearrowleft } \phi (z) dz \end{align}

$C'$를 따라서는

(16)
\begin{align} z & = a + \rho e^{i \theta}, \\ dz & = \rho i e^{i \theta} d \theta \end{align}

그러면

(17)
\begin{align} \oint_{C'} \phi (z) dz = \oint_{C'} {{f(x)} \over {z-a}} dz & = \int_0^{2 \pi} {{ f(z) } \over { \rho e^{i \theta} }} \rho i e^{i \theta} d \theta \\ & = \int_0^{2 \pi} f ( a +\rho e^{i \theta} ) i d \theta \\ & = \int_0^{2 \pi} f(a) i d \theta = 2 \pi i f(a) \end{align}

14.4 로랑 수열

정리 7 — 로랑 정리
중심이 $z_0$인 동심원 $C_1 , C_2$에 대하여, 두 원 사이의 영역 $R$에서 $f(z)$가 해석적이라고 하자.

(18)
\begin{align} f(z) \in \mathcal{A} \left( R_{C_1 : C_2} \right) \end{align}

그러면 $f(x)$$R$에서 수렴하는 다음 형태의 급수로 전개된다.

(19)
\begin{align} f(z) & = \sum_{n= -\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n \\ & = a_0 + a_1 (z-z_0) +a_2 (z- z_0 )^2 +\cdots + {b_1 \over {z - z_0 }} +{b_2 \over {(z-z_0)^2}} +\cdots . \end{align}

이런 급수를 로랑 급수라고 한다.

(20)
\begin{align} a_n = {1 \over {2 \pi i}} \oint_C {{ f( \omega )\ d \omega } \over { ( \omega - z_0 )^{n+1} }}, \qquad b_n = {1 \over {2 \pi i}} \oint_C {{f( \omega)\ d \omega } \over { ( \omega - z_0 ) ^{-n+1} }} \end{align}

14.5 나머지 정리

14.6 나머지를 찾는 방법

14.7 나머지 정리를 사용한 유한적분의 계산

14.8 무한에서의 유수

14.9 사상

14.10 등각사상의 적분