13. 편미분방정식

13.1 서론

대표적인 편미방으로 풀 수 있는 물리 문제의 유형들

1) 라플라스 방정식 $\nabla^2 u = 0$

2) 푸아송 방정식

3) 확산방정식

4) 파동방정식

5) 헬름홀츠 방정식

6) 슈뢰딩거 방정식

13.2 라플라스 방정식

직사각형 판에서의 정상온도 문제.

m-13-2-1.png
(1)
\begin{align} \nabla^2 T = 0, \quad \mathrm{i.e.} \quad {{\partial^2 T} \over {\partial x^2}} +{{\partial^2 T } \over {\partial y^2}} = 0. \end{align}

변수분리법:

(2)
\begin{equation} T(x, y) = X(x)Y(y) \end{equation}
(3)
\begin{align} Y {{d^2 X} \over {dx^2}} +X {{d^2 Y} \over {dy^2}} & = 0 \\ {1 \over X} {{d^2 X} \over {dx^2}} = {1 \over Y} {{d^2 Y} \over {dy^2}} & \\ {1 \over X} {{d^2 X} \over {dx^2}} = - {1 \over Y} {{d^2 Y} \over {dy^2}} & = - k^2 , \qquad k \le 0 \\ \end{align}

상수 $k^2$분리상수라고 한다.

이것의 해는

(4)
\begin{align} X & = \begin{cases} \sin kx \\ \cos kx \end{cases} \qquad Y = \begin{cases} e^{ky} \\ e^{-ky} \end{cases} \\ T & = XY = \begin{Bmatrix} e^{ky} \\ e{-ky} \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin kx \\ \cos kx \end{Bmatrix} \end{align}

식의 네 해 중 어느 것도 경계온도를 만족하지 않는다. 이제 $k$를 적절히 선택하여 주어진 경계조건을 만족시켜야 한다.

$e^{ky}$를 버린다. $\lim_{y \rightarrow \infty} T = 0$이기 때문
$\cos kx$를 버린다. $T(x = 0 ) = 0$이기 때문

하여 $e^{-ky} \sin kx$가 남는다.

$T(x = 10) = 0$이므로 $\sin 10k = 0$, $\implies k = n \pi / 10, (n \in \mathbb{Z})$

(5)
\begin{align} T = \exp \left[ - {{n \pi y} \over {10}} \right] \sin {{ n \pi x} \over {10}} \end{align}

다음 경계조건 $T(y=0)=100$ 은 임의의 $n$에 대해 식 10으로는 설명되지 않는다. 그러나 식 10과 같은 해의 선형결합도 해가 되므로 그런 결합을 찾기로 한다. 즉

(6)
\begin{align} T(y=0) = \sum_{n=1}^\infty b_n \exp \left[ - {{n \pi y} \over {10}} \right] \sin {{n \pi x} \over {10}} = 100. \end{align}

이것은 $l=10$이고 $f(x) = 100$인 푸리에 사인급수이다(7장 9절).

(7)
\begin{align} b_n & = {2 \over l} \int_0^l f(x) \sin {{n \pi x} \over l} dx = {2 \over 10} \int_0^{10} 100 \sin {{n \pi x} \over {10}} dx \\ & = \begin{cases} {{400} \over {n \pi}}, & 홀수\ n \\ 0, & 짝수\ n \end{cases} \end{align}
(8)
\begin{align} \therefore\ T & = \sum_{n=1}^\infty {{400} \over {(2n-1) \pi }} e^{- {{n \pi} \over {10}} y} \sin {{n \pi x} \over 10} \\ & = {{400} \over \pi} \left( e^{ - {{ \pi y } \over {10}}} \sin {{\pi x} \over {10}} + {1 \over 3} e^{- {{3 \pi y} \over {10}} } \sin {{3 \pi x} \over {10}} + \cdots \right) \end{align}

13.3 확산 혹은 열흐름 방정식; 슈뢰딩거 방정식

(9)
\begin{align} \nabla^2 u = {1 \over \alpha^2 } {{ \partial u} \over {\partial t}} \end{align}

$u$는 온도이고 $alpha$는 물질에 따라 정해지는 상수.

(10)
\begin{equation} u = F(x, y, z) T(t) \end{equation}

여기서 $T(t)$$u$에서 시간에 의존하는 함수

(11)
\begin{align} {1 \over F} \nabla^2 F = {1 \over \alpha^2} {1 \over T} {{dT} \over {dt}} = - k^2 \end{align}

시간방정식을 적분하면

(12)
\begin{align} T = exp \left[ - k^2 \alpha ^2 t \right] \end{align}

예제 1.

m-13-3-1.png

13.4 파동방정식

13.5 원통 안의 정상상태 온도

13.6 원형막의 진동

13.7 공 안의 정상상태 온도

13.8 푸아송 방정식

13.9 편미분방정식의 적분변환해