12. 미분방정식의 급수해

12.1 서론

12.2 르장드르 방정식

(1)
\begin{equation} (1-x^2) y'' - 2xy' + l(l+1) y = 0 \end{equation}
(2)
\begin{align} y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{align}
(3)
\begin{align} a_{n+2} = - {{(l-n)(l+n+1)} \over {(n+2)(n+1)}} a_n \end{align}

비율판정법

(4)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \rho_n = \lvert 1 \cdot x^2 \rvert \end{align}
  • $x^2 < 1$ → 수렴
  • $x^2 > 1$ → 발산
  • $x^2 = 1$ → ?

$l=0$일 경우

(5)
\begin{align} a_{n+2} = {n \over {n+2}} a_n \end{align}

0이 아닌 짝수 $n$에 대해 $a_n = 0$

$x=1$이면 $y = a_1 \left( 1 +{1 \over 3} +{1 \over 5} + {1 \over 7} + \cdots \right)$ → 수렴

르장드르 다항식

$x = \cos \theta$, $l$은 음이 아닌 정수일 때

  • $l=0 \begin{cases} a_1 & 발산 \\ a_0 & y = a_0 \end{cases}$
  • $l=1 \begin{cases} a_1 & y=a_1 x \\ a_0 & 발산 \end{cases}$
  • $l=2 \begin{cases} a_1 & 발산 \\ a_0 & y = a_0 + a_2 x^2 = a_0 (1 - 3x^2) \end{cases}$

$a_0, a_1$ 값을 적절히 선택하여 $x = 1$일 때 $y=1$이 되게 만든 해를 르장드르 다항식이라 하고 $P_l (x)$fh 쓴다.

(6)
\begin{align} l = 0, y = a_0, a_0 = 1 \qquad & P_0 = 1 \\ l=1, y = a_1 x , a_1 = 1 & P_1(x) = x \\ l=2, y=a_0(1-3x^2) \qquad & P_2 (x) = {1 \over 2} ( 3x^2 -1) & \vdots \end{align}

고유값 문제

르장드르 방정식의 해로서 르장드르 다항식을 구한 것은 하나의 고유값 문제를 푼 것이다.

(7)
\begin{align} - (1-x^2)y'' + 2xy' + l(l+1)y = 0 \\ f(0) y(x) = l(l+1) y(x) \end{align}

이때 $y(x) = P_l (x)$는 고유함수, $l(l+1)$은 고유값

12.3 곱을 미분할 때의 라이프니츠 규칙

(8)
\begin{align} (AB) '' & = {d \over {dx}} \left( A {{dB} \over {dx}} +B {{dA} \over {dx}} \\ & = A {d^2 B \over {dx^2}} + {{dB} \over {dx}} {{dA} \over {dx}} + B {{d^2 A} \over {dx^2}} +{{dA} \over {dx}} {{dB} \over {dx}} \end{align}
(9)
\begin{align} {{d^9} \over {dx^9}} (x \sin s) & = x {{d^9} \over {dx^9}} ( \sin x) + 9 {d \over {dx}} x {d^8 \over {dx^8}} (\sin x) + {{ 9 \cdot 8 } \over {2!}} {d^7 \over {dx^7}} \sin x + \cdots \\ \end{align}

이것은 이항계수

(10)
\begin{align} (a + b)^n = \sum_{n=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k b^{n-k} \end{align}

와 비슷하다.

한 인수에 대한 미분이 처음 몇 번 미분한 후 0이 될 때를 이용 (이 경우 $d^2 / dx^2 (x) = 0$)

(11)
\begin{align} {{d^9} \over {dx^9}} (x \sin s) & = x {{d^9} \over {dx^9}} ( \sin x) + 9 {d \over {dx}} x {d^8 \over {dx^8}} (\sin x) = x \cos x +9 \sin x \end{align}

12.4 로드리게스 공식

12.5 르장드르 다항식의 모함수

(12)
\begin{align} \Phi (x, h) = (1 - 2xh + h^2)^{-{1 \over 2}}, \quad \lvert h \rvert <1 \end{align}

르장드르 다항식의 모함수라고 한다. 다음을 증명할 것이다.

(13)
\begin{align} \Phi (x, h) = P_0 (x) + h P_1 (x) + h^2 P_2 (x) + \cdots = \sum_{l=0}^\infty h^l P_l (x) \end{align}
(14)
\begin{align} y & \equiv 2xh - h^2 \\ \Phi & = (1 - y)^{-{1 \over 2}} = 1 + {1 \over 2} y +{{{1 \over 2} \cdot {3 \over 2}} \over {2!}} y^2 +\cdots \\ & = 1 + {1 \over 2} ( 2xh - h^2) + {3 \over 8} ( 2xh - h^2 )^2 + \cdots \\ & = 1 +xh - {1 \over 2} h^2 + {3 \over 8} ( 4x^2 h^2 - 4xh^3 + h^4) + \cdots \\ & = 1 + xh +h^2 \left( {3 \over 2} x^2 - {1 \over 2} \right) + \cdots \\ & = P_0 (x) +h P_1 (x) +h^2 P_2 (x) + \cdots \end{align}

이것은 완전한 증명은 아니고 첫 몇 항에 대해 확인한 것일 뿐이다. 일반적인 증명을 위해서는 $P_l (x)$들이 르장드르 방정식을 만족하고 $P_l(1) = 1$이라는 것을 보여야 한다. 우선 후자를 증명하면

(15)
\begin{align} \Phi (1, h) & = (1 - 2h + h^2 )^{- {1 \over 2}} \\ & = {1 \over {1-h}} = 1 + h +h^2 + \cdots \\ & \equiv P_0(1) +P_1(1)h + P_2(1) h^2 + \cdots \end{align}

이것은 $h$에 관한 등식이므로 $P_l (x)$$P_l (1) = 1$을 만족해야 한다.

르장드르 방정식을 만족한다는 것의 증명은

(16)
\begin{align} (1 - x^2 ) {{\partial^2 \Phi } \over {\partial x^2}} - 2x {{\partial \Phi } \over {\partial x}} + h {\partial^2 \over {\partial h^2}} ( h \Phi ) = 0 \end{align}
(17)
\begin{align} {{\partial \Phi } \over {\partial x}} & = h (1 - 2hx +h^2 ) ^{- {3 \over 2}} \\ {{\partial^2 \Phi } \over {\partial x^2}} & = 3 h^2 ( 1 - 2hx + h^2)^{- {3 \over 2}} \\ {{\partial^2} \over {\partial h^2}} (h \Phi ) & = \left\{ -h x^2 + 2(h^2 + 1)x - 3h \right\} \left( 1 - 2hx + h^2 \right)^{-{5 \over 2}} \end{align}
(18)
\begin{align} (1 - x^2) h^2 - 2xh (1 - 2hx + h^2 ) + h \left\{ - hx^2 +2(h^2 + 1) x - 2h \right\} = 0 \end{align}
(19)
\begin{align} (1 - x^2) \sum_{l=0}^\infty h^l P_l '' (x) - 2x \sum_{l=0}^\infty h^l P_l ' (x) + \sum_{l=0}^\infty l (l+1) ^l P_l (x) = 0 \end{align}

이것은 $h$에 대한 등식이므로 $h$의 각 멱수에 대한 계수가 0이 되어야 한다. $h^l$의 계수를 0으로 놓으면

(20)
\begin{equation} (1 - x^2) P_l '' (x) - 2x P_l ' (x) +l (l +1) P_l (x) = 0 \end{equation}

이것은 르장드르 방정식이므로 함수 $P_l (x)$는 이 식을 만족한다.

회귀관계

(21)
\begin{align} ⒜ & l P_l (x) = (2l -1) x P_{l-1} (x) - (l-1) P_{l-2} (x), \\ ⒝ & x P_l ' (x) - P_{l-1} ' (x) = l P_l (x), \\ ⒞ & P_l ' (x) - x P_{l-1} ' (x) = l P_{l-1} (x), \\ ⒟ & (1-x^2 ) P_l ' (x) = l P_{l-1} (x) - lx P_l(x), \\ ⒠ & (2l + 1 ) P_l (x) = P_{l+1} ' (x) - P_{l-1} ' (x), \\ ⒡ & (1 - x^2 ) P_{l-1}' (x) = lx P_{l-1} (x) - l P_l (X) \end{align}

식 (21a)의 유도:
식 (12)로부터

(22)
\begin{align} {{\partial \Phi } \over {\partial h}} = - {1 \over 2} ( 1 - 2xh + h^2)^{- {3 \over 2}} ( -2x + 2h ); \\ (1 - 2xh + h^2) {{\partial \Phi } \over {\partial h}} = (x-h) \Phi \end{align}

급수 (13)과 $h$에 대한 미분을 대입하면

(23)
\begin{align} (1 - 2xh + h^2 ) \sum_{l=1}^\infty l h^{l-1} P_l (x) = (x-h) \sum_{l=0}^\infty h^l P_l (x) \end{align}
(24)
\begin{equation} l P_l (x) - 2x (l-1) P_{l-1} (x) + (l-2) P_{l-2} (x) = x P_{l-1} (x) - P_{l-2} (x) \end{equation}

이것을 간단히 하면 (21a)가 된다.

퍼텐셜의 전개

12.6 직교함수의 완전집합

직교함수

두 벡터는 내적이 0이면 직교한다.

(25)
\begin{align} \sum_i A_i B_i = 0 \implies \vec{A} \perp \vec{B} \end{align}

이것과 비슷하게 두 함수 $A(x), B(x)$에 대해

(26)
\begin{align} \int_a^b A(x) B(x) dx = 0 \end{align}

이면 두 함수는 $(a,b)$에서 직교한다고 한다. 함수 $A(x), B(x)$가 복소수이면 직교에 대한 정의는 다음과 같다.

(27)
\begin{align} \int_a^b A^*(x) B(x) dx = 0 \end{align}

이 만족되면 $A(x), B(x)$$(a,b)$에서 직교한다.

모든 함수 $A_n(x), \quad (n = 1,2,3, \cdots )$의 집합들이 있고 이 함수들이

(28)
\begin{align} \int_a^b A^* _n (x) A_m (x) dx = \begin{cases} 0 & m \ne n \\ \mathrm{const.} \ne 0 & m = n \end{cases} \end{align}

를 만족한다면 함수 $A_n(x)$직교함수의 집합이라고 한다.

예컨대 $\sin nx, \cos nx$의 전체 집합은 $( - \pi, \pi )$에서 직교함수의 집합이다.

(29)
\begin{align} \int_{- \pi}^\pi \sin nx \cos mx dx = 0 \quad ^\forall n, m \end{align}

완전집합

직교하는 기준벡터의 집합이 완전하다고 정의 $\implies$ 고려하는 차원의 공간에서 이들 모든 벡터들과 어떤 벡터도 직교하지 않는다.

  • 이차원에서는 두 개의 기준벡터만 필요하다. 그러나 삼차원에서는 두 개 $\hat{i}, \hat{j}$만 사용해서 나타낼 수 없는 벡터들이 존재하게 된다. 이럴 때 삼차원에서는 $\hat{i}, \hat{j}$는 기준벡터의 완전집합이 아니라고 한다. i.e. $\hat{i}, \hat{j}$에 모두 직교하는 다른 벡터($hat{k}$)가 있을 때는 완전집합이 아니다.

이와 마찬가지로 함수에 대해서도 주어진 구간에서 직교함수들의 집합에 속하는 함수들 모두 어떤 함수와도 직교하지 않으면 그 직교함수들의 집합을 완전하다고 한다.

12.7 르장드르 다항식의 직교성

르장드르 다항식은 $(-1, 1)$에서 직교함수의 집합이다.

(30)
\begin{align} \int_{-1}^1 P_l (x) P_m (x) dx = 0 \qquad l \ne m \end{align}

증명:

(31)
\begin{align} {d \over {dx}} [ (1-x^2) P_l ' (x) ] + l (l+1) P_l (x) = 0. \quad (르장드르 미분방정식) \end{align}
(32)
\begin{align} P_m (x) {d \over {dx}} [(1-x^2) P_l ' (x) ] & - P_l (x) {d \over {dx}} [ (1 - x^2) P_m ' (x) ] \\ & + [l (l+1) - m(m+1) ] P_m(x) P_l (x) = 0. \end{align}

$(-1, 1)$에서 적분하면

(33)
\begin{align} \left. (1-x^2) (P_m P_l ' - P_l P_m ' ) \right\rvert_{-1}^1 + [l (l+1) - m (m+1) ] \int_{-1}^1 P_m (x) P_l (x) dx = 0 \end{align}

적분항은 0이다. $x= \pm 1$에서 $1-x^2 = 0$이고 $P_m (x), P_l (x)$는 유한하기 때문이다.
적분 앞의 괄호는 $m = l$일 때만 0이다.

그러므로 적분은 $l \ne m$일 때 0이어야 한다. 증명 끝.

임의의 $n$차 다항식은 차수가 $\le n$인 르장드르 다항식의 선형결합으로 쓸 수 있다. 따라서 차수가 $< l$인 임의의 다항식은 $P_l(x)$와 직교한다.

(34)
\begin{align} \int_{-1}^1 P_l (x) \cdot (차수가\ <l인\ 임의의\ 다항식)\ dx = 0 \end{align}

12.8 르장드르 다항식의 규격화

벡터는 자기 자신과 내적하면 벡터의 크기의 제곱을 얻는다. 또 그 길이로 나누면 단위벡터가 된다.

(35)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{A} = A^2, \quad {\vec{A} \over A} = \hat{A} \end{align}

구간 $(a, b)$에서 함수 $A(x)$의 크기 $N$은 다음과 같이 정의했다(3장 14절)

(36)
\begin{align} \int_a^b A^*(x) A(x) dx = \int_a^b \lvert A(x) \rvert^2 dx = N^2 \end{align}

또한 그 크기로 함수를 나눈 $N^{-1} A(x)$ 함수를 규격화되었다고 한다. 단위벡터처럼 규격화된 함수의 크기는 1이다. 인수 $N^{-1}$규격화인수라고 한다.

예컨대 $\int_0^\pi \sin^2 nx\ dx = \pi / 2$, $(0, \pi)$에서 $\sin nx$의 크기는 $\sqrt{ \pi / 2}$, 함수 $\sqrt{\pi / 2} \sin nx$$(0, \pi)$에서 크기가 1. 즉 규격화된 함수다. 규격화된 직교함수들의 집합을 직교규격화 함수라고 한다.

단위벡터들과 유사하게 직교규격화함수들은 서로 직교하며 크기가 1이다. 벡터를 단위벡터로 쓰는 것과 마찬가지로 다른 함수들을 직교규격화함수들로 전개할 수 있다. 예컨대 $(0, \pi)$에서 함수를 푸리에 사인급수로 전개한다면

(37)
\begin{align} f(x) = \sum B_n \sqrt{2 \over \pi} \sin \pi x \end{align}

이때 $f(x)$는 기준벡터 $\sqrt{2 / \pi} \sin nx$로 쓸 때 성분이 $B_n$인 벡터라고 한다.

(38)
\begin{align} \int_{-1}^1 [ P_l (x) ]^2 dx = {2 \over {2l + 1}} \end{align}

그러면 함수 $\sqrt{(2l +1) / 2} P_l (x)$$(-1, 1)$에서 직교규격화된 함수집합이다.

증명: 회귀관계를 이용하면

(39)
\begin{equation} l P_l (x) = x P_l ' (x) - P_{l-1} ' (x) \end{equation}
(40)
\begin{align} l \int_{-1}^1 [P_l (x) ]^2 dx = \int_{-1}^1 x P_l (x) P_l ' (x) dx - \int_{-1}^1 P_l (x) P_{l-1} ' (x) dx \end{align}

마지막 적분은 0이고, 가운데 적분은 부분적분으로

(41)
\begin{align} \int_{-1}^1 x P_l (x) P_l ' (x) dx & & = \left. {x \over 2} [P_l (x) ]^2 \right\rvert_{-1}^1 - {1 \over 2} \int_{-1}^1 [P_l (x) ]^2 dx \\ & = 1 - {1 \over 2} \int_{-1}^1 [ P_l (x) ]^2 dx \end{align}

그러면 원래 식은

(42)
\begin{align} l \int_{-1}^1 [P_l (x) ]^2 dx = 1 - {1 \over 2} \int_{-1}^1 [ P_l (x) ]^2 dx \end{align}

이것을 간단히 하면 구하고자 하는 식이 된다.

르장드르 다항식의 직교성 식과 규격화 식을 결합하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(43)
\begin{align} \int_{-1}^1 P_l (x) P_m (x) dx = {2 \over {2l +1} \delta_{lm}. \end{align}

12.9 르장드르 급수

12.10 버금 르장드르 함수

12.11 일반화된 멱급수 또는 프로베니우스 방법

12.12 베셀 방정식

(44)
\begin{equation} x (x y')' + (x^2 - p^2 ) y = 0 \end{equation}
(45)
\begin{align} J_p (x) & = \sum_{n=0}^\infty {{(-1)^n} \over { \Gamma (n+1) \Gamma (n+1+p) }} \left( {x \over 2} \right)^{2n+p} \\ J_p (x) & = \sum_{n=0}^\infty {{(-1)^n} \over { \Gamma (n+1) \Gamma (n+1-p) }} \left( {x \over 2} \right)^{2n-p} \\ \end{align}

12.13 베셀 방정식의 이차해

12.14 베셀 함수의 그래프와 영점

12.15 회귀관계

12.16 베셀 함수가 해인 미분방정식

12.17 베셀 함수의 다른 종류

12.18 늘어나는 진자

12.19 베셀 함수의 직교성

12.20 베셀 함수에 대한 어림공식

12.21 급수해; 푹스 정리

12.22 에르미트 함수; 라구에르 함수; 사다리 연산자

라구에르 함수

(46)
\begin{align} L_n (x) & = {1 \over {n!}} e^x {{d^n} \over {dx^n}} (x^n e^{-x}) \\ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} {x^m \over {m!}} \end{align}
(47)
\begin{align} L_0 (x) & = 1 \\ L_1 (x) & = 1-x \\ L_2 (x) & = 1 - 2x + {x^2 \over 2} \end{align}

라구에르 방정식은 다음 미방의 해이다.

(48)
\begin{align} xy'' + (1-x) y' + ny = 0, \quad y = L_n (x) \end{align}
(49)
\begin{align} x \left( {1 \over 4} \phi_n + \phi_n ' + \phi_n '' \right) +(1 -x) \left( \phi_n ' +{1 \over 2} \phi_n \right) + n \phi_n = 0 \end{align}
(50)
\begin{align} x \phi_n '' + \phi_n ' + \left( n + {1 \over 2} - {x \over 4} \right) \phi = 0 \end{align}
(51)
\begin{equation} R = \end{equation}

라구에르 다항식을 미분한 것을 버금 라구에르 다항식이라고 한다.

(52)
\begin{align} L_n^k (x) = (-1)^k {d^k} \over {dx^k}} L_{n+k} (x) \end{align}

버금 라구에르 방정식은 다음 미방의 해이다.

(53)
\begin{align} xy + (k + 1 - x) y' +ny = 0, \quad y=L_n^k (x) \end{align}