11. 특수함수

11.2 계승함수

(1)
\begin{align} \int_0^\infty \exp \left[ - \alpha x \right] dx = \left. - {1 \over \alpha} \exp \left[ - \alpha x \right] \right\rvert_0^\infty = {1 \over \alpha} \end{align}

이 식의 양변을 계속 $\alpha$에 대해 미분한다.

(2)
\begin{align} \int_0^\infty x \exp \left[ - \alpha x \right] dx & = {1 \over \alpha^2} \\ \int_0^\infty x^2 \exp \left[ - \alpha x \right] dx & = {2 \over \alpha^3} \\ \int_0^\infty x^3 \exp \left[ - \alpha x \right] dx & {{3!} \over \alpha^4} \\ & \vdots \\ \int_0^\infty x^n \exp [ - \alpha x] dx & = {{n!} \over \alpha^{n+1}}, \quad n = 1, 2, 3, \cdots \\ \int_0^\infty x^n e^{-x} dx = n! \longleftarrow \alpha=1 \end{align}

이것을 통해 $0!$을 정의할 수 있다.

(3)
\begin{align} 0! = \int_0^\infty \exp [ -x] dx = \left. -e^{-x} \right\rvert_0^\infty = 1 \end{align}

11.3 감마함수의 정의

위에서 $0!$을 정의했듯 정수가 아닌 $n$에 대해 계승을 정의할 수 있다. 다만 ! 표기는 정수에 대해서만 사용하고 정수가 아닌 $n$에 대해서는 감마함수라고 부른다. 그리고 반드시 정수일 필요가 없을 때는 $n$ 대신 $p$를 쓴다.

(4)
\begin{align} \Gamma (p) = \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x} dx, \quad q>0 \end{align}
  • $0< p < 1$일 경우 이것은 이상적분이다. $x^{p-1}$이 아래 극한에서 무한대가 되기 때문이다.
  • $p > 1$ 에 대해서는 수렴하는 적분이다.
  • $p \le 0$일 경우 적분은 발산하고 감마함수를 정의하는 데 사용할 수 없다.
(5)
\begin{align} \Gamma ( n ) & = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x} dx = (n-1)! \\ \Gamma (n+1) & = \in_0^\infty x^n e^{-x} dx = n! \\ \end{align}
(6)
\begin{align} \Gamma (p+1) = \int_0^\infty x^p e^{-x} dx = p!, \quad p > -1 \end{align}

$x^p = u, e^{-x} dx = dv$라고 놓고 부분적분하면

(7)
\begin{align} du & = p x^{p-1} dx, \quad v= - e^{-x} \\ \Gamma (p +1) & = \left. - x^p e^x \right\rvert_0^\infty - \inf_0^\infty (-e^{-x}) p x^{p-1} dx \\ & = p \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x} dx = p \Gamma (p) \end{align}

(8)
\begin{align} \Gamma (p+1) = p \Gamma (p) \end{align}

이 관계를 감마함수의 회귀관계라고 한다.

11.4 음수에 대한 감마함수

$p \le 0$일 때 $\Gamma(p)$는 정의되지 않았는데 회귀관계를 통해 정의하겠다.

(9)
\begin{align} \Gamma (p) = {1 \over p} \Gamma (p + 1), \qquad p < 0 \end{align}

$\Gamma (1) = 1$이므로

(10)
\begin{align} \lim_{p \rightarrow 0} \Gamma (p) = {{ \Gamma (p+1) } \over p} = \infty \end{align}

11.5 감마함수가 포함된 중요 공식

(11)
\begin{align} \Gamma \left( {1 \over 2} \right) & = \int_0^\infty {1 \over \sqrt{t}} e^{-t} dt \\ & = \int_0^\infty {1 \over y} e^{-y^2} 2y dy = 2 \int_0^\infty e^{-y^2} dy \longleftarrow t \equiv y^2 \\ \therefore\ \Gamma \left( {1 \over 2} \right) & = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx \\ \left[ \Gamma \left( {1 \over 2} \right) \right]^2 & = 6 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(x^2 + y^2 )} dxdy \\ & = 4 \int_0^{\pi \over 2} \int_0^\infty e^{-r^2} r dr d \theta \longleftarrow \text{극좌표} \\ & = \left. 4 \cdot {\pi \over 2} \cdot {{e^{-r^2}} \over {-2}} \right\rvert_0^\infty = \pi. \end{align}
(12)
\begin{align} \therefore\ \Gamma \left( {1 \over 2} \right) & = \sqrt{\pi} \\ \Gamma (p) \Gamma (1-p) & = { \pi \over {\sin \pi p}} \end{align}

11.6 베타함수

베타함수도 정적분으로 정의한다.

(13)
\begin{align} B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx, \qquad p>0, q>0 \end{align}
(14)
\begin{equation} B(p,q) = B(q,p) \end{equation}

치환으로 적분구간 바꾸기

(15)
\begin{align} B(p,q) & = \int_0^a \left( {y \over a} \right)^{p-1} \left( 1 - {y \over a} \right)^{q-1} {{dy} \over a} \\ & = {1 \over {a^{p+q-1}}} \int_0^a y^{p-1} (a-y)^{q-1} dy \end{align}

베타함수를 삼각함수 형태로 얻으려면 $x = \sin^2 \theta$로 놓는다.

(16)
\begin{align} x & = \sin^2 \theta, \qquad x=1 \rightarrow \theta = \pi/2 \\ dx & = 2 \sin \theta \cos \theta d \theta, \qquad (1-x) = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \\ B(p,q) & = \int_0^{\pi \over 2} ( \sin^2 \theta )^{p-1} ( \cos^2 \theta )^{q-1} 2 \sin \theta \cos \theta d \theta \\ & = 2 \int_0^{\pi \over 2} ( \sin \theta )^{2p-1} ( \cos \theta )^{2q-1} d \theta \\ & = \int_0^\infty {{ y^{p-1} dy} \over {(1+y)^{p+q} }} \longleftarrow x = {y \over {1 + y}} \end{align}

11.7 감마함수로 표현한 베타함수

(17)
\begin{align} B (p, q) = {{ \Gamma (p) \Gamma (q) } \over { \Gamma (p+q) }} \end{align}

증명:

(18)
\begin{align} \Gamma (p) & = \int_0^\infty t^{p-1} d^{-t} dt \\ & = 2 \int_0^\infty y^{2p-1} e^{-y^2} dy \\ \Gamma (q) = 2 \int_0^\infty x^{2q-1} e^{-x^2} dx \end{align}
(19)
\begin{align} \Gamma (p) \Gamma (q) & = 4 \int_0^\infty \int_0^\infty x^{2q-1} y^{2p-1} e^{-(x^2 + y^2) } dx dy \\ & = 4 \int_0^\infty \int_0^{\pi \over 2} ( r \cos \theta)^{2q-1} (r \sin \theta ) ^{2p-1} e^{-r^2} r dr d \theta \\ & = 4 \int_0^\infty r^{2p + 2q - 1} e^{-r^2} dr \int_0^{\pi \over 2} ( \cos \theta )^{2q -1} ( \sin \theta )^{2p-1} d \theta \\ & = 4 \cdot {1 \over 2} \Gamma (p + q) \cdot {1 \over 2} B (p, q) \end{align}

11.8 단진자

질량 $m$이 길이 $l$인 질량 없는 줄에 매달려 평면에서 진동하는 단진자에서 운동에너지는

(20)
\begin{align} T= {1 \over 2} mv^2 = {1 \over 2} m (l \dot{\theta})^2 \end{align}

줄이 수평일 때 위치에너지가 0이라고 하면 각도 $\theta$에서 위치에너지는

(21)
\begin{align} V = - mgl \cos \theta \end{align}

그러면 라그랑지안은

(22)
\begin{align} L = T-V = {1 \over 2}ml^2 \dot{\theta}^2 + mgl \cos \theta \end{align}

라그랑주 운동방정식은

(23)
\begin{align} {d \over {dt}} (ml^2 \dot{\theta}) + mgl \sin \theta = 0 \end{align}
(24)
\begin{align} \therefore\ \ddot{\theta} = - {g \over l} \sin \theta \end{align}

진자가 진폭이 매우 작아 $\sin \theta \sim \theta$라면

(25)
\begin{align} \ddot{\theta} = - {g \over l} \theta \end{align}

이것의 해는 $\sin \omega t, \cos \omega t$이고 $\ omega = 2 \pi \nu = \sqrt{g/l}$
운동의 주기는

(26)
\begin{align} t = {1 \over \nu} = 2 \pi \sqrt{l \over g} \end{align}

큰 진폭에 대해서 알아보기 위해 운동방정식으로 돌아가면, 양변에 $\theta$를 곱하고 적분하여 다음을 얻는다.

(27)
\begin{align} \dot{\theta} \ddot{\theta} & = - {g \over l} \sin \theta \dot{\theta} \\ \dot(\theta} d \dot{\theta} & = - {g \over l} \sin \theta d \theta \\ {1 \over 2} \dot{\theta}^2 = {g \over l} \cos \theta + \mathrm{const.} \end{align}

+90도에서 -90도까지 왔다갔다하는 180도 진동의 주기를 구해 보자.
$\theta = 90^\circ$일 때 $\dot{\theta} = 0$이므로 적분상수가 0이 되고 다음을 얻는다.

(28)
\begin{align} {1 \over 2} \dot{\theta}^2 = {g \over l} \cos \theta, \quad {{d \theta} \over {dt}} = \sqrt{{2g} \over l} \sqrt{\cos \theta}, \quad {{d \theta} \over \sqrt{ \cos \theta} } = \sqrt{ {2g} \over l} dt. \end{align}

$\theta = 90^\circ$는 한 주기의 1/4이고 따라서 180도 진동의 주기는

(29)
\begin{align} \int_0^{\pi /2} {{d \theta} \over \sqrt{ \cos \theta }} = \sqrt{ {2g} \over l} \int_0^{t/4} dt = \sqrt{{2g} \over l} \cdot {t \over 4} \end{align}

에 있는 $t$가 된다.

(30)
\begin{align} \therefore\ t = 4 \sqrt{l \over {2g}} \int_0^{\pi /2} {{ d \theta} \over \sqrt{ \cos \theta} } \end{align}

11.9 오차함수

11.10 점근급수

11.11 스털링 공식

11.12 타원함수와 타원적분