10. 텐서해석

10.1 서론

텐서해석 = 물리량에 대한 행렬 해석 = 고차원에서의 벡터해석

  • 계수 0인 텐서 = 스칼라 $( d = 3, r = 0) \implies 3^0 = 1$
  • 계수 1인 텐서 = 벡터 $( d = 3, r = 1) \implies 3^1 = 3$
  • 계수 2인 텐서 = 2차텐서 $( d = 3, r = 2) \implies 3^2 = 9$
  • 계수 3인 텐서 = …

예제 1:
질량 $m$인 물체가 3차원상의 고무판을 휘게 만드는 물리량을 설명할 때 $x, y, z$ 축에 수직인 평면들에 각각 작용하는 힘의 성분들이 각각 3개씩 9개이므로, 고무한 안의 한 점에는 행렬로 나타내지는 아홉 개의 양에 대한 집합이 있다.

(1)
\begin{pmatrix} P_{xx} & P_{xy} & P_{xz} \\ P_{yx} & P_{yy} & P_{yz} \\ P_{zx} & P_{zy} & P_{zz} \end{pmatrix}

예제 2: 강체의 회전
책을 $x$축으로 90˚ 회전시키고 $y$축으로 90˚회전시키는 경우와 $y$축으로 90˚ 회전시키고 $x$축으로 90˚ 회전시키는 경우는 최종 결과가 다르다.

벡터는 교환법칙이 성립하지만 3차원에서의 임의의 축에 대한 회전은 그렇지 아니하므로 벡터로 기술할 수 없다.

벡터해석(제6장) 복습

  • 단위벡터 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$
    • 단위벡터의 제곱 내적은 1 $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$
    • 다른 단위벡터끼리 내적은 0 $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$
    • 단위벡터의 제곱 외적은 영벡터 $\hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}$
    • 다른 단위벡터끼리의 외적은 나머지 한 단위벡터 $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
  • 내적
    • $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$
  • 외적
    • $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$
  • 삼중 스칼라곱: 세 번 곱해서 스칼라가 나오게 하기
    • $\vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C} ) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ c_x & C_y & C_z \end{vmatrix}$
  • 삼중 벡터곱: 세 번 곱해서 벡터가 나오게 하기
    • $\vec{A} \times (\vec{A} \times \vec{C} ) = ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) \vec{B} - ( \vec{A} \cdot vec{B} ) \vec{C}$
  • 미분연산자 나블라
    • $\vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{V} = \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} ) - \nabla^2 V^2$
    • $\vec{\nabla} \cdot ( \phi \vec{V} ) = \phi ( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} ) + \vec{V} \cdot ( \vec{\nabla} \phi )$

10.2 직각텐서

원점을 고정하고 수동적 회전을 했을 때 벡터 $\vec{r}$은 원래의 직교좌표계에서 $(x, y, z)$, 회전한 좌표계에서 $(x', y', z')$. 이 좌표들의 두 집합 사이의 관계구하기.

두 축 사이의 아홉 개의 각도에 대한 코사인:
$x$ $y$ $z$
$x'$ $l_1$ $m_1$ $n_1$
$y'$ $l_2$ $m_2$ $n_2$
$z'$ $l_3$ $m_3$ $n_3$

$(x, y, z)$에 대한 단위기준벡터 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$
$(x', y', z')$에 대한 단위기준벡터 $\hat{i}', \hat{j}', \hat{k}'$

(2)
\begin{align} \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{z} = x' \hat{i}' + y' \hat{j}' + z' \hat{k}' \end{align}

이것을 $\hat{i}'$와 내적을 구하면

(3)
\begin{align} \vec{r} \cdot \hat{i}' & = \hat{i} \cdot \hat{i}' x + \hat{j} \cdot \hat{i} ' y + \hat{k} \cdot \hat{i} ' z = x' \\ & \qquad (\because\ \hat{i}' \cdot \hat{i}' = 1, \hat{i}' \cdot \hat{j}' = \hat{i}' \cdot \hat{k}' = 0) \end{align}

$\hat{i} \cdot \hat{i}' = i i' \cos = \cos = l_1$
$\hat{j} \cdot \hat{i}' = j i' \cos = \cos = m_1$
$\hat{k} \cdot \hat{i}' = k i' \cos = \cos = n_1$
…..

(4)
\begin{align} x' & = l_1 x + m_1 y + n_1 z \\ y' & = l_2 x + m_2 y +n_2 z \\ z' & = l_3 x + m_3 y +n_3 z \end{align}

이것을 좌표계의 변환식이라고 한다.

같은 방법으로 $\vec{r}$$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$와 내적을 취하면 반대 변환식도 얻는다.

(5)
\begin{align} x & = l_1 x' + l_2 y' +l_3 z' \\ y & = m_1 x' + m_2 y' + m_3 z' \\ z & = n_1 x' + n_2 y' + n_3 z' \end{align}

행렬로 나타내면

(6)
\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \iff \mathsf{r}' = \mathrm{A} \mathsf{r}. \end{align}
(7)
\begin{align} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ n_1 & n_2 & n_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \iff \mathsf{r} = \mathsf{A}^\mathrm{T} \mathsf{r}'. \end{align}

3장 7절, 9절에서 회전행렬은 직교행렬이라 하였고 직교행렬일 경우 $\mathsf{A}^\mathrm{T} = \mathsf{A}^{-1}$

직각벡터의 정의

직각벡터 $\vec{V}$: 직각좌표축의 회전에 대해 변위벡터와 같은 방법으로 변환하는 벡터

(8)
\begin{align} \begin{pmatrix} {V_x}' \\ {V_y}' \\ {V_z} ' \end{pmatrix} = \mathsf{A} \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix}, \iff \begin{cases} \mathsf{V}' & = \mathsf{A} \mathsf{V}, \\ \mathsf{V} & = \mathsf{A}^\mathrm{T} \mathsf{V}' \end{cases}. \end{align}

지금까지의 표기를 다음과 같이 바꾸면

  • $x, y, z \longrightarrow x_1, x_2, x_3$
  • $x', y', z' \longrightarrow x_1 ', x_2 ', x_3 '$
  • $V_x, V_y, V_z \longrightarrow V_1, V_2, V_3$
  • $V_x', V_y', V_z' \longrightarrow V_1 ', V_2 ', V_3 '$
  • $\mathsf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

그러면 식 (6), (8)은 다음과 같이 고쳐 쓰인다.

(9)
\begin{align} x_i ' & = \sum_{j=1}^3 a_{ij} x_j, \quad i=1,2,3 \\ V_i ' & = \sum_{j=1}^3 a_{ij} V_j, \quad i=1,2,3 \end{align}

역회전은

(10)
\begin{align} V_i = \sum_{j=1}^3 a_{ji} V_j ' , \quad i=1,2,3 \end{align}

직각텐서의 정의

직교좌표계 성분이 9개인 이차텐서의 성분들을 $T_{ij}$라고 하면 회전된 좌표계의 성분 $T_{ij} '$는 다음과 같이 주어지고 이때 계수 $a$는 회전행렬 $\mathsf{A}$의 성분인 방향코사인들이다.

(11)
\begin{align} T_{kl} ' = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_{ki} a_{lj} T_{ij}, \quad k,l=1,2,3 \end{align}

직접곱

벡터 $\vec{U}, \vec{V}$의 성분들로 다음 배열을 만든다.

(12)
\begin{matrix} U_1 V_1 & U_1 V_2 & U_1 V_3 \\ U_2 V_1 & U_2 V_2 & U_2 V_3 \\ U_3 V_1 & U_3 V_2 & U_3 V_3 \end{matrix}

이 아홉 개의 양은 $\vec{U}\vec{V}$로 표시할 이차텐서의 성분이다. 이것은 내적(스칼라곱)이나 외적(벡터곱)이 아니다. 이것은 직접곱(direct product) 또는 텐서곱이라고 한다.

(13)
\begin{align} U_k ' = \sum_{i=1}^3 a_{ki} U_i, \quad V_l ' = \sum_{j=1}^3 a_{lj} V_j. \end{align}
(14)
\begin{align} U_k ' V_l ' = \sum_{i=1}^3 a_{ki} U_i \sum_{j=1}^3 a_{lj} V_j = \sum_{i,j=1}^3 a_{ki} a_{lj} U_i V_j \end{align}

$n$차텐서와 $m$차텐서의 직접곱은 $m+n$차 텐서이다.

10.3 텐서 표기법과 연산

아인슈타인의 합에 대한 규약

텐서 방정식에는 합기호가 많이 나타나는데 이것들을 나타내지 않고 간단히 쓰자는 규약이 있다. 예컨대 3차원 기준으로

(15)
\begin{align} a_{ii} & = a_{11} + a_{22} + a_{33} \\ x_i x_i, & = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^3 \\ a_{ij} b_{jk} & = a_{i1}b_{1k} + a_{i2} b_{2k} + a_{i3} b_{3k} \\ {{\partial u} \over {\partial x_j}} {{\partial x_i} \over {\partial x_i '}} & = {{\partial u} \over {\partial x_1}} {{\partial x_1 } \over {\partial x_i ' }} + {{\partial u} \over {\partial x_2}} {{\partial x_2} \over {\partial x_i '}} + {{\partial u} \over {\partial x_3}} {{\partial x_3} \over {\partial x_i ' }} \\ T_{ijkl} S_{ij} V_k U_l & = \sum_i \sum_j \sum_k \sum_l T_{ijkl} S_{ij} V_k U_l \end{align}

반복되는 지표들을 합지표라고 하고, 합지표는 무슨 문자를 써도 차이가 없다. 반복되지 않는 지표는 자유지표라고 한다.

축약

4차텐서의 변환식은 다음과 같다.

(16)
\begin{align} T_{\alpha \beta \gamma \delta} ' = a_{\alpha i} a_{\beta j} a_{\gamma k} a_{\delta l} T_{ijkl} \end{align}

이때 $\delta = \beta$ 라면 이것은 합에 대한 규약에 의하면 $\beta$에 대해서 더해야 한다는 뜻이다.

(17)
\begin{align} T_{\alpha \beta \gamma \beta} ' = a_{\alpha i } a_{\beta j} a_{\gamma k} a_{\beta l} T_{ijkl} \end{align}

$\beta$에 대해 더한 $a_{\beta j} a_{\beta l}$은 회전행렬의 제$i$열, 제$l$열을 내적한 것이다. $j = l$이면 내적이 1이고 아니면 0이다. 즉 $a_{\beta j} a_{\beta l} = \delta_{jl}$ (이 델타는 크로네커 델타)

(18)
\begin{align} T_{\alpha \beta \gamma \beta} ' = a_{\alpha i} a_{\gamma k} \delta_{jl} T_{ijkl} \end{align}

한편 $j = l$일 때만 $\delta_{jl} = 1$이고 나머지는 0이므로 $\delta_{jl} T_{ijkl} = T_{ijkj}$

(19)
\begin{align} T_{\alpha \beta \gamma \beta} ' = a_{\alpha i} a_{\gamma k} T_{ijkj} \end{align}

이제 식 (19)에 의하면 $T_{ijkj}$는 이차텐서 성분이다. 자유지표가 두 개($\alpha, \gamma$)이고 인수 $a$ 두 개가 필요하기 때문이다.

이렇게 텐서의 두 지표를 서로 같게 하고 합하는 것을 축약이라고 한다. 축약을 한 번 하면 텐서의 계수가 1 줄어든다(위의 예: 4 → 2).

벡터의 내적을 취하는 것도 축약의 일종이다(계수가 2인 직접곱 → (계수가 1인 벡터) → 계수가 0인 스칼라).

텐서와 행렬

(20)
\begin{equation} U_i = T_{ij} V_j \end{equation}

위 텐서방정식에서 $j$에 대해 축약을 하는 것은 행렬의 곱 $\mathsf{T} \mathsf{V}$와 같다.

대칭과 반대칭텐서

  • 대칭: $T_{ij} = T_{ji}$
  • 반대칭: $T_{ij} = - T_{ji}$

임의의 2차텐서는 대칭텐서와 반대칭텐서의 합으로 쓸 수 있다.

(21)
\begin{align} T_{ij} = {1 \over 2} (T_{ij} + T_{ji} ) + {1 \over 2} (T_{ij} - T_{ji}) \end{align}

더 높은 차수의 텐서에 대해서는 지표 두 개를 바꾸어도 (성분이 바뀌지 않을 때/성분의 부호가 바뀔 때) 그 텐서는 그 두 지표에 대해 (대칭/반대칭)이라고 한다.

텐서의 결합

계수가 $n$인 두 개의 텐서의 합 또는 차(사실 선형결합)은 계수가 $n$인 텐서이다.
예컨대 $T_{ij} + R_{ijk} V_{k}$는 이차텐서이다.

계수가 다른 텐서들에 대해서는 합을 정의하지 않는다.

몫규칙

모든 벡터 $V_j$에 대해 어떤 양 $U_i = T_{ij} V_j$가 0이 아닌 벡터이고 이것이 모든 회전된 좌표계에서도 성립한다면 $T_{ij}$로 나타낸 양은 2차텐서의 성분이다.

(22)
\begin{align} T_{\alpha \beta} ' V_{\beta} ' = U_\alpha ' , \qquad & \text{회전된 계에서 주어진 방정식} \\ U_\alpha ' = a_{\alpha i} U_i, \qquad & \vec{U} \text{는 벡터} \\ U_i = T_{ij} V_j, \qquad & \text{주어진 식} \\ V_j = a_{\beta j} V_\beta ' \qquad & \vec{V} \text{는 벡터} \end{align}

이것을 모두 결합하면

(23)
\begin{align} T_{\alpha \beta} ' V_\beta ' = U_\alpha ' = a_{\alpha i} U_i = a_{\alpha i } T_{ij} V_j = a_{\alpha i} T_{ij} a_{\beta j} V_\beta ' \end{align}
(24)
\begin{align} (T_{\alpha \beta} ' - a_{\alpha i} a_{\beta j} T_{ij} ) V_\beta ' = 0 \qquad ^\forall \vec{V}' \end{align}

$\vec{V}'$가 임의의 벡터이므로 괄호 속은 0이어야 한다.

(25)
\begin{align} \therefore\ T_{\alpha \beta}' = a_{\alpha i} a_{\beta j} T_{ij} \end{align}

이것은 2차텐서의 변환식이다. 따라서 $T_{ij}$라는 양은 2차텐서의 성분이다.

이것은 몫규칙의 한 예이다. 일반화된 몫규칙에 의하면, $3^n$개의 성분들의 집합 $\mathsf{X}$와 임의의 텐서를 곱한 것이 0이 아닌 텐서라면 $\mathsf{X}$는 텐서이다.

10.4 관성텐서

강체가 고정된 축을 중심으로 회전한다면

(26)
\begin{align} \vec{\tau} & = {{d \vec{L} } \over {dt}} = {{ d } \over {dt}} I \vec{\omega} \\ & (\vec{\tau} = 회전력;\ \vec{L} = 각운동량;\ \vec{\omega} = 각속도;\ I = 회전관성) \\ \end{align}

고정된 축에 대한 회전에서는 $\vec{L} \parallel \vec{\omega}$이고 $I$는 스칼라이다.

회전축이 고정되어 있지 않으면 각속도의 방향도 고정되지 않는다. 그러나 질량중심에 대한 중력의 회전력(각운동량의 미분)은 0이므로 각운동량은 일정해야 한다. 일정한 각운동량과 일정하지 않은 각속도는 평행하지 않다. 그래서 $\vec{L} = I \vec{\omega}$ 가 성립하려면 $I$가 스칼라일 수가 없다.

$\vec{\omega}$$I$를 곱한 것이 0이 아닌 벡터 $\vec{L}$이므로 몫규칙에 의해 $I$는 이차텐서여야 한다. 그러면 얻어지는 성분형태는

(27)
\begin{align} L_j = I_{jk} \omega_k \end{align}
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관성텐서의 성분 구하기. 꼬리가 원점인 벡터 $\vec{r}$의 끝에 질점 $m$이 존재할 때 원점에 대한 $m$의 각운동량은

(28)
\begin{align} \vec{L} & = m \vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) \\ & = m [ r^2 \vec{\omega} - ( \vec{r} \cdot \vec{\omega} ) \vec{r} ] \\ & = m [ r^2 \vec{\omega} - ( x \omega_x + y \omega_y + z \omega_z ) \vec{r} ] \end{align}

각운동량의 성분을 각속도의 성분으로 쓰면

(29)
\begin{align} L_x & = m [r^2 \omega_x - (x \omega_x + y \omega_y + z \omega_z ) x ] \\ & = m [ ( r^2 - x^2 ) \omega_x - xy \omega_y - xz \omega_z ] \end{align}
(30)
\begin{align} \therefore\ I_{xx} & = m(r^2 - x^2) = m(y^2 + z^z), \\ I_{xy} & = -mxy, \\ I_{xz} & = - mxz \end{align}
(31)
\begin{align} L_y & = m [r^2 \omega_y - (x \omega_x + y \omega_y + z \omega_z ) y ] \\ & = m [ ( r^2 - y^2 ) \omega_y - xy \omega_x - yz \omega_z ] \end{align}
(32)
\begin{align} \therefore\ I_{yx} & = - mxy, \\ I_{yy} & = m(r^2 - y^2) = m(x^2 + z^z), \\ I_{yz} & = - myz \end{align}
(33)
\begin{align} L_z & = m [r^2 \omega_z - (x \omega_x + y \omega_y + z \omega_z ) z ] \\ & = m [ ( r^2 - z^2 ) \omega_z - xz \omega_x - yz \omega_y ] \end{align}
(34)
\begin{align} \therefore\ I_{zx} & = -mxz, \\ I_{zy} & = -myz, \\ I_{zz} & = m(r^2 - z^2) = m(x^2 + y^2) \end{align}
(35)
\begin{align} I = \begin{pmatrix} m (y^2 + z^2) & -mxy & -mxz \\ -mxy & m (x^2 + z^2) & -myz \\ -mzx & -myz & m(x^2 + y^2) \end{pmatrix} \end{align}

한 개의 질점이 아닌 여러 질량의 집합 또는 연속체인 경우 관성텐서의 성분에 대한 표시는 합산이나 적분(질량에 대한)이 된다.

이렇게 구한 관성텐서 행렬은 대칭이고, 직교유사변환으로 대각화할 수 있다(3장 11절).
대각화하여 대각선상에 남은 고유값들을 주된 회전관성이라 하고, 이 고유값들에 해당하는 고유벡터들이 관성의 주축을 향한다고 한다.

10.5 크로네커 델타와 레비치비타 기호

크로네커 델타의 정의:

(36)
\begin{align} \delta_{ij} \equiv \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{align}

레비치비타 기호의 정의:

(37)
\begin{align} \epsilon_{ijk} \equiv \begin{cases} 1 & (i, j, k) = (1,2,3), (2,3,1), (3, 1, 2) \\ -1 & (i,j,k) = (3, 2, 1), (2,1, 3), (1, 3,2) \\ 0 & \text{(임의의 지표가 반복)} \end{cases} \end{align}

즉 지표가 1 2 3 1 2 3 … 방향으로 읽히면 +1,
3 2 1 3 2 1 방향으로 읽히면 - 1.

레비치비타 기호에서 임의의 두 지표를 바꾸면 부호가 바뀐다.

  • e.g. $\epsilon_{123} = +1 \longrightarrow \epsilon_{321} = -1 \longrightarrow \epsilon_{312} = +1$

즉 123에서 시작해서 홀수 번 자리바꿈을 하면 -1, 짝수 번 자리바꿈을 하면 +1이 된다.

(38)
\begin{align} \epsilon_{ijk} = \begin{cases} 1 & (i, j, k)=(1,2,3)\text{의 짝수 자리바꿈} \\ -1 & (i,j,k)=(1,2,3) \text{의 홀수 자리바꿈} \\ 0 & \text{(임의의 지표가 반복)} \end{cases} \end{align}

레비치비타 기호는 각 지표들의 교환에 의해 부호가 바뀌기 때문에 완전반대칭이라고 한다.

등방텐서

등방텐서: 모든 회전된 좌표계에서 같은 성분을 갖는 텐서. 크로네커 델타와 레비치비타 기호들의 정의는 임의의 좌표계와 무관하므로 등방텐서이다(i.e. $\delta ' = \delta, \epsilon ' = \epsilon$).

크로네커 델타가 2차텐서라는 것을 증명하기:

(39)
\begin{align} \delta_{mn} ' = a_{mi} a_{nj} \delta_{ij} = a_{mj} a_{nj} = \delta_{mn} \end{align}
  • 두 번째에서 세 번째로 넘어가는 이유는 $i = j$가 아니면 크로네커 델타는 0이기 때문이다.
  • 마지막 단계는 회전행렬의 행 $m$$n$의 내적이고, 이것이 크로네커 델타이다.
  • 따라서 크로네커 델타는 2차 등방직각텐서이다.

3×3 행렬의 행렬식을 레비치비타 기호로 쓸 수 있다.

(40)
\begin{align} \operatorname{det} A & = a_{ij} a_{2j} a_{3k} \epsilon_{ijk} \\ \epsilon_{\alpha \beta \gamma} \operatorname{det} A & = a_{\alpha i} a_{\beta j} a_{\gamma k} \epsilon_{ijk} \end{align}

레비치비타 기호가 등방텐서라는 것을 증명하기:

(41)
\begin{align} \epsilon_{\alpha \beta \gamma} ' = a_{\alpha i} a_{\beta j} a_{\gamma k} \epsilon_{ijk} = \epsilon_{\alpha \beta \gamma} \operatorname{det} A = \epsilon_{\alpha \beta \gamma} \end{align}
  • 회전행렬의 행렬식은 1이다(3장 7절).
  • 따라서 레비치비타 기호는 3차 등방직각텐서이다.

등방텐서간의 곱도 등방텐서다.

레비치비타 기호 두 개의 곱은

(42)
\begin{align} \epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km} \end{align}
  • 좌변은 6차텐서가 축약된 4차텐서(합지표 $i$).
  • $j, k, m, n$은 자유지표.

이것을 더 축약하면

(43)
\begin{cases} \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijn} & = 2 \delta_{kn}, \\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} & = 6 \end{cases}

벡터등식

크로네커 델타와 레비치비타 기호를 써서 벡터해석 공식들을 텐서 형태로 쓰기

(44)
\begin{align} ( \vec{B} \times \vec{C} )_i = \epsilon_{ijk} B_j C_k \end{align}

삼중벡터곱에 대한 공식(6장)을 텐서 형태로 유도한 것:

(45)
\begin{align} [ \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C} ) ]_n & = \epsilon_{nip} A_i ( \vec{B} \times \vec{C})_p = \epsilon_{nip} A_i [ \epsilon_{pjk} B_j C_k ] \\ & = \epsilon_{nip} \epsilon_{pjk} A_i B_j C_k = \epsilon_{pni} \epsilon_{pjk} A_i B_j C_k \\ & = ( \delta_{nj} \delta_{ik} - \delta_{nk} \delta_{ij} ) A_i B_j C_k = B_n (A_i C_i ) - C_n (A_i B_i) \\ & = \vec{B} ( \vec{A} \cdot \vec{C} ) - \vec{C} ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) \end{align}

나블라 연산자를 6장에서 벡터처럼 취급했는데 여기서도 이것이 미분연산자임을 기억하면서 일차텐서 취급할 수 있다.

(46)
\begin{align} ( \vec{\nabla} \times \vec{V} )_i = \epsilon_{ijk} {\partial \over {\partial x_j}} V_k \end{align}
(47)
\begin{align} [ \operatorname{curl}\ \operatorname{curl} \vec{V} ]_n = [ \vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{V} ) ]_n & = \epsilon_{nip} {\partial \over {\partial x_i}} ( \vec{\nabla} \times \vec{V} )_p \\ & = \epsilon_{nip} {\partial \over {\partial x_i}} \left[ \epsilon_{pjk} {\partial \over {\partial x_j}} V_k \right] \\ & = \epsilon_{pni} \epsilon_{pjk} {\partial \over {\partial x_i}} {\partial \over {\partial x_j}} V_k \\ & = ( \delta_{nj} \delta_{ik} - \delta_{nk} \delta_{ij} ) {\partial \over {\partial x_i}} {\partial \over {\partial x_j}} V_k \\ & = {\partial \over {\partial x_n}} \left( {\partial \over {\partial x_i }} V_i \right) - {\partial \over {\partial x_i}} {\partial \over {\partial x_i}} V_n \\ & = [ \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} ) - \nabla^2 \vec{V} ]_n \end{align}

이중텐서

2차 반대칭텐서 $T_ij$(i.e. $T_{ij} = - T_{ji}$)의 성분을 행렬로 표현하면

(48)
\begin{align} \mathsf{T} = \begin{pmatrix} 0 & T_{12} & - T_{31} \\ - T_{12} & 0 & T_{23} \\ T_{31} & - T_{23} & 0 \end{pmatrix} \end{align}

0이 아닌 서로 독립적인 요소가 3개 있고 이것은 벡터의 성분이 되기에 충분하다.

(49)
\begin{align} v_i = {1 \over 2} \epsilon_{ijk} T_{jk} \end{align}

를 정의하면

(50)
\begin{align} V_1 = T_{23}, \quad V_2 = T_{31}, \quad V_3 = T_{12} \end{align}

$V_i$는 텐서인 레비치비타 기호와 텐서의 직접곱을 축약시킨 것이므로 1차텐서, 즉 벡터이다.

식 (15)의 세 양은 반대칭 이차텐서 $T_{ij}$의 독립적인 성분들로 생각할 수도 있고 또는 $T_{ij}$이중쌍이라고 한다. 또 역으로 벡터에서 텐서를 정의할 수도 있다.

(51)
\begin{align} T_{ij} = \epsilon_{ijk} V_k \end{align}

$A_j, B_k$가 벡터라면 $T_{jk} = A_j B_k - A_k B_j$는 이차 반대칭텐서이고 $T_{jk}$의 독립적인 세 성분들은 $\vec{A} \times \vec{B}$의 성분이다. 따라서 외적은 벡터 또는 이차 반대칭텐서로 생각할 수 있다.

10.6 유사벡터와 유사텐서

지금까지는 직교좌표계의 회전만을 고려했다. 이제 텐서가 반전에 대해 어떻게 변화하는지 살펴본다.

  • 직교행렬의 행렬식은 회전에 대해서는 +1, 반전이 포함되면 -1임 상기

변위벡터 $\vec{U}, \vec{V}$가 있을 때 $z$축이 뒤집히면 i.e. $(x,y)$ 평면에 대한 반전이 일어나면 $\vec{U}, \vec{V}$$z$ 성분들은 부호가 바뀐다. 이것은 모든 벡터가 만족해야 하는 성질이다. 그런데 $\vec{U} \times \vec{V}$$z$성분 $U_x V_y - U_y V_x$ 은 부호가 바뀌지 않는다. 따라서 반전에 대해 $\vec{U} \times \vec{V}$는 벡터가 아니다. 이러한 벡터 $\vec{U} \times \vec{V}$유사벡터 또는 축성벡터라고 하고 $\vec{U}, \vec{V}$참벡터 또는 극성벡터라고 한다.

(52)
\begin{align} 극성벡터 \times 극성벡터 & = 유사벡터 \\ 유사벡터 \times 유사벡터 & = 유사벡터 \\ 극성벡터 \times 유사벡터 & = 극성벡터 \\ 유사벡터 \times 극성벡터 & = 극성벡터 \end{align}

[[/math]]

레비치비타 기호의 경우:

(53)
\begin{align} \epsilon_{\alpha \beta \gamma} ' = \operatorname{det} A\ a_{\alpha i} a_{\beta j} a_{\gamma k} \epsilon_{ijk} = \epsilon_{\alpha \beta \gamma} \end{align}

그런데 회전행렬에 대해서는 $\operatorname{det} A= 1$이지만 반전행렬에 대해서는 $\operatorname{det} A = -1$이므로 텐서 변환식을 만족시키지 않는다. 때문에 레비치비타 기호를 3차 유사텐서라고 한다.

유사벡터-유사텐서는 회전에 대해서는 변환식을 만족하지만 반전이 포함된 변환의 경우에는 변환식에 $-1$이 더 붙어있게 된다.

두 개의 유사텐서의 직접곱은 텐서이다. 두 개의 $\operatorname{det} A$가 제곱되어 $(\operatorname{det} A )^2 = 1$이 되기 대문이다.

외적

위에서 외적은 반전에 대해 벡터 변환식을 만족하지 않음을 보았다. 벡터곱이 일반적인 직교변환에 대해 정확히 어떻게 변환하는가

(54)
\begin{align} ( \vec{U} \times \vec{V} )_i = \epsilon_{ijk} U_j V_k \end{align}
(55)
\begin{align} (\vec{U} ' \times \vec{V} ' )_\alpha & = \epsilon_{\alpha \beta \gamma} ' U_\beta ' V_\gamma ' \\ & = (\operatorname{det} A) a_{\alpha i} a_{\beta j} a_{\gamma k} \epsilon_{ijk} a_{\beta m} U_m a_{\gamma p} V_p \\ & = (\operatorname{det} A) a_{\alpha i} \delta_{jm} \delta_{kp} \epsilon_{ijk} U_m V_p \\ & = (\operatorname{det} A) a_{\alpha i} ( \epsilon_{ijk} U_j V_k ) \\ & = (\operatorname{det} A) a_{\alpha i} ( \vec{U} \times \vec{V} )_i \end{align}
  • $\operatorname{det} A = 1 \longrightarrow$ 반전은 없고 회전만 있음. 벡터에 대한 변환식.
  • $\operatorname{det} A = -1 \longrightarrow$ 반전. 변환 앞에 -1이 붙음.

10.7 다른 응용

변형력 텐서(식 (1))의 아홉 개의 양 $P_{ij}$가 2차텐서의 성분이라는 것 증명하기.

(56)
\begin{align} P_{\alpha \beta} ' = a_{\alpha i} a_{\beta j} P_{ij} \end{align}

를 증명해야 한다.

m-10-7-1.png

위 그림과 같이 $x_\alpha '$ 축에 수직인 경사면(을 $\alpha$면이라고 하자)을 그리고, 경사면과 $xyz$ 좌표평면들로 이루어진 부피요소 $dV$에 작용하는 힘을 고려.

압력은 단위면적당 힘 → 면에 작용하는 힘은 압력 곱하기 넓이.

경사면의 넓이를 $dS$라고 하면 $x_i$축에 수직인 면(을 $i$면이라고 하자)의 넓이는 $a_{\alpha i} dS$ 여기서 $a_{\alpha i}$$x_\alpha$$x_i$축 사이의 각도의 코사인 값.

$i$면에 작용하는 압력은 $P_{ij}\hat{e}_j$이다. 이것을 넓이에 곱하고 $i$에 대해 합하면 프라임이 없는 $xyz$ 좌표평면에서 세 면을 통해 부피요소 $dV$ 안에 있는 물체에 작용하는 전체 힘은

(57)
\begin{align} \sum F = (P_{ij} \hat{e}_j) a_{\alpha i} dS \end{align}

평형상태에서 이 세 힘의 합은 $\alpha$면을 통해 작용하는 힘과 같아야 한다.

(58)
\begin{align} F_\alpha = P_{\alpha \beta} ' \hat{e}_\beta ' dS \end{align}
(59)
\begin{align} (P_{ij} \hat{e}_j) a_{\alpha i} dS & = P_{\alpha \beta} ' \hat{e}_\beta ' dS \\ \left[ (P_{ij} \hat{e}_j) a_{\alpha i} dS \right] \cdot \hat{e}_\beta ' & = \left[ P_{\alpha \beta} ' \hat{e}_\beta ' dS \right] \cdot \hat{e}_\beta ' \\ P_{ij} a_{\alpha i} a_{\alpha j} & = P_{\alpha \beta}' \end{align}

따라서 변형력 $P_{ij}$는 이차텐서이다.

변형력텐서를 행렬로 나타냈을 때, 예컨대

(60)
\begin{align} \mathsf{P} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

변형력텐서의 행렬은 대칭행렬이고, 직교변환에 의해 대각화할 수 있다.

(61)
\begin{align} \begin{vmatrix} 1-\lambda & 3 & 0 \\ 3 & -2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} & = 0 = - \lambda^3 + 13 \lambda - 12 \\ & = - (\lambda -1) (\lambda + 4) ( \lambda -3) \end{align}

고유값은 $\lambda = 1, \quad \lambda= -4, \quad \lambda = 3$이다. 주축을 따라서만 변형력의 성분이 있는 변형력텐서

(62)
\begin{align} \mathsf{P}' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{align}

를 얻게 된다. 양의 고유값은 장력이고 음의 고유값은 압축이다.

변형과 변형력; 훅의 법칙

2차원에서 변형(단위길이당 길이 변화)과 변형력(단위단면적당 힘)은 비례한다(훅의 법칙). 그러나 3차원에서 변형력은 위에서 본 것과 같이 이차텐서이고 변형 또한 이차텐서이다. 변형력 $\mathsf{P}$의 성분이 변형 $\mathsf{S}$ 성분의 선형결합이라면

(63)
\begin{equation} P_{ij} = C_{ijkm} S_{km} \end{equation}

몫규칙에 의해 $C_{ijkm}$은 사차텐서이다. $C_{ijkm}$의 성분은 변형력을 받는 물체의 성질에 의존적이다. 이것이 바로 탄성상수다.

관성텐서 다시보기

(64)
\begin{align} \vec{L} & = m \vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r} ) \\ L_n & = m [ \vec{r} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r} ) ]_n = m ( \delta_{nj} \delta_{ik} - \delta_{nk} \delta_{ij} ) x_i \omega_j x_k. \\ L_n & = m( \delta_{nj} r^2 - x_n x_j ) \omega_j \\ & \quad \left( \because\ \begin{cases} \delta_{nj} \delta_{ik} x_i x_k & = \delta_{nj} x_k x_k = \delta_{nj}^2 \\ \delta_{nk} \delta_{ij} x_i x_k & = x_j x_n \end{cases} \right) \end{align}

$\omega_j$의 계수는 관성텐서 $I_{nj}$의 성분이다.

(65)
\begin{align} I_{nj} = m ( \delta_{nj} r^2 - x_n x_j \end{align}

$n, j$에 숫자를 대입해 보면 4절에서 구한 것과 같음을 확인할 수 있다.

(66)
\begin{align} I_{11} = m(r^2 - {x_1}^2 ), \quad I_{12} = - m x_1 x_2, \quad I_{13} = - mx_1 x_3 \end{align}

텐서장

  • 스칼라장: 각 점에서 한 개의 숫자 (e.g. 온도) — 단일 함수 $f(x, y, z)$
  • 벡터장: 각 점에서 세 숫자의 집합 (e.g. 전기장) — 세 함수 $V_i (x, y, z)$의 집합
  • 이차텐서장: 각 점에서 0개의 숫자의 집합 (e.g. 변형력) — 아홉 함수 $T_{ij} (x, y, z)$의 집합

10.8 곡선좌표계

10.9 직교곡선좌표계에서의 벡터 연산자

10.10 직각이 아닌 텐서