5. 대각화

5.1 고유값과 고유벡터

정의: 대각화 가능(diagonalizable)

  • 유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$가 대각화가능 $\iff \exists$ $\mathsf{V}$의 순서기저 $\beta \quad \mathrm{s.t.}$ $[ \mathsf{T} ]_\beta$가 대각행렬
  • $\mathsf{L}_A$가 대각화 가능하면 정사각행렬 $A$는 대각화 가능하다.

정의: 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)

  • $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$, 어떤 스칼라 $\lambda$, 영이 아닌 벡터 $\vec{v} \in \mathsf{F}^n$
    • $\mathsf{T}(\vec{v}) = \lambda v. \implies \begin{cases} v \in \mathsf{V}: & \mathsf{T}의\ 고유벡터 \\ \lambda: & 고유벡터\ v에\ 대응하는\ 고유값 \end{cases}$
  • 행렬 $A \in \mathsf{M}_{n \times n}(F)$, 어떤 스칼라 $\lambda$, 영이 아닌 벡터 $\vec{v} \in \mathsf{F}^n$
    • $A \vec{v} = \lambda \vec{v} \implies \begin{cases} \vec{v} \in \mathsf{F}^n: & \mathsf{T}의\ 고유벡터 \\ \lambda: & A의\ 고유값 \end{cases}$
    • 위의 정의에서 $\mathsf{T} = \mathsf{L}_A$일 때의 특수경우임.

정리 5.1

  • 유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$가 대각화 가능 $\iff \exists$ $\mathsf{V}의\ 순서기저\ \beta \quad \mathrm{s.t.}\ \\ \beta가\ \mathsf{T}의\ 고유벡터를\ 구성함$
  • $\mathsf{T}$가 대각화 가능 $\implies \beta = \left\{ v_1 , v_2 , \cdots , v_n \right\}$$\mathsf{T}$의 고유벡터들의 순서기저
  • $D = [ \mathsf{T} ]_\beta \implies D$는 대각행렬이고 $D_{jj}$$v_j$에 대응하는 고유값 $\qquad (1 \le j \le n)$

정리 5.2

$A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$

  • $\implies$ 스칼라 $\lambda$$A$의 고유값 $\iff A v = \lambda v \\ \iff (A - \lambda I_n ) (v) = 0 \\ \iff A- \lambda I_n: 비가역 \\ \iff \operatorname{det}(A - \lambda I_n) = 0.$

정의: 특성다항식(characteristic polynomial)
순서기저 $\beta$인 유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$

(1)
\begin{align} 특성다항식\ f(t) = \operatorname{det}(A - t I_n) \end{align}

예제 5:
$\mathsf{P}_2 (\mathbb{R})$에 대한 선형연산 $\mathsf{T} \quad \mathrm{s.t.} \quad \mathsf{T}(f(x)) = f(x) + (x + 1 ) f' (x)$,
$\mathsf{P}_2(\mathbb{R})$의 순서기저 $\beta$, $A = [ \mathsf{T} ]_\beta$이고 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$\mathsf{T}$의 특성다항식은 $\operatorname{det}(A - t I_3)$$= \operatorname{det} {\begin{pmatrix} 1-t & 1 & 0 \\ 0 & 2-t & 2 \\ 0 & 0 & 3-t \end{pmatrix}} \\ = (1 - t)(2 - t)(3 - t) \\ = - (t - 1)(t -2)(t -3).$

$\therefore\ \lambda$$\mathsf{T}(또는\ A)$의 고유값 $\iff \lambda = 1\ 또는\ 2\ 또는\ 3.$

정리 5.3

$A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$

  • $A$의 특성다항식은 선행계수가 $( -1 )^n$$n$차 다항식
  • $A$는 최대 $n$개의 서로 다른 고유값을 가진다.

정리 5.4

벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$, $\lambda$$\mathsf{T}$의 고유값

  • 벡터 $v \in \mathsf{V}$$\lambda$에 대응하는 $\mathsf{T}$의 고유벡터 $\iff v \ne 0$ 이고 $v \in \mathsf{N}( \mathsf{T} - \lambda \mathsf{I} )$

예제 7:
$\mathsf{P}_2 (\mathbb{R})$에 대한 선형변환 $\mathsf{T} : \mathsf{T}(f(x)) = f(x) + (x + 1) f'(x)$
$\mathsf{P}_2 (\mathbb{R})$ 의 표준순서깆$\beta$
$A = [ \mathsf{T} ]_\beta = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, $\mathsf{T}$의 고유값 1, 2, 3

$\mathsf{\lambda}_1 = 1$ 으로 잡고,
$\mathsf{L}_A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ 2y + 2z \\ 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
$\implies y = 0, z = 0, x = t \in \mathbb{R}$
$v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , t \in \mathbb{R}$

$\lambda = 1$에 대응하는 고유벡터 $\operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$
$\implies \phi_\beta^{-1} ( t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) = t \phi^{-1} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) = t \mathsf{1} \in \mathsf{P}_2 (\mathbb{R})$ (상수다항식)

5.2 대각화가능성

어떤 연산자 또는 행렬이 대각화될 수 있는지 여부를 알기 위한 간단한 시험

고유벡터들의 기저를 찾는 방법

정리 5.5

벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$,
$\mathsf{T}$의 서로 다른 고유값들 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$

$v_1, v_2, \cdots, v_k$$\lambda_i$들에 대응하는 $\mathsf{T}$의 고유벡터
$\implies \left\{ v_1, v_2, \cdots, v_k \right\}$ 는 선형독립

증명: $k$에 대한 수학적 귀납법
$k = 1$일 때, $\mathsf{T}$의 고유값 $\lambda_1$
$\quad \lambda_1$에 대응하는 고유벡터 $v_1$ $\implies v_1 \ne 0 \cdots \left\{ v_1 \right\}$ 선형독립

$k - 1 \ge 1$ 일 때
$\quad \lambda_1, \cdots, \lambda_{k-1}$에 대응하는 $v_1, \cdots, v_{k-1}$이 선형독립이라고 가정
$\quad \lambda_1, \cdots, \lambda_2$: 서로 다른 $k$개의 고유값이고 $v_1, \cdots, v_k$는 대응하는 고유벡터.
$\quad$ 스칼라 $a_1, \cdots, a_k \quad \mathrm{s.t.} a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0 \longrightarrow \ast$
$\quad (\mathsf{T} - \lambda_k \mathsf{I})$ 을 써서 $(\mathsf{T} - \lambda_k \mathsf{I} ) ( a_1 v_1 + \cdots a_k v_k$$= a_1 (\mathsf{T} - \lambda_k \mathsf{I} ) v_1 + \cdots + a_k (\mathsf{T} - \lambda_k \mathsf{I} ) v_k \\ = a_1 (\mathsf{T} v_1 - \lambda_k \mathsf{I} v_1 ) + \cdots + a_k (\mathsf{T} v_k - \lambda_k \mathsf{I} v_k ) \\ = a_1(\lambda_1 v_1 - \lambda_k v_1) + \cdots + a_k (\lambda_k v_k - \lambda_k - v_k) \\ = a_1 ( \lambda_1 - \lambda_k ) v_1 + \cdots + a_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k ) v_{k-1} \\ = (\mathsf{T} - \lambda_k \mathsf{I} ) \vec{0} = \vec{0}$
$\quad \lambda_1, \cdots, \lambda_k$들이 서로 다른 값이므로, $v_1, \cdots, v_{k-1}$: 선형독립
$\quad a_1(\lambda_1 - \lambda_k ) = \cdots = a_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k ) = 0 \\ \quad \qquad \implies a_1 = \cdots = a_{k-1} = 0$
$\quad a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0 + \cdots + 0 + a_k v_k = 0 \qquad \therefore\ a_k = 0$
$\quad \mathrm{i.e.}\ a_1 = \cdots = a_k = 0$
$\quad \therefore\ v_1, \cdots , v_k$ 선형독립

따름정리:
$n$차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$
$\mathsf{T}$$n$개의 서로 다른 고유값을 가지고 있다 $\implies \mathsf{T}$는 대각화가능

정의: 분할
$\mathsf{P}(F)$에 속한 다항식 $f(t)$$F$분할(splits over)한다
$\iff \exists\ c, a_1, \cdots, a_n \in F \quad \mathrm{s.t.} \quad f(t) = c(t- a_1)(t - a_2)\cdots(t-a_n)$

정리 5.6

대각화가능한 선형연산의 특성다항식은 분할한다. (역은 성립하지 않는다)

증명:
$\mathsf{T}: \mathsf{V} \longrightarrow \mathsf{V}$
$\implies$ 어떤 순서기저 $\beta$에 대하여 $\left[ \mathsf{T} \right]_\beta = D$

어떤 순서기저 $\alpha$에 대하여 $\left[ \mathsf{T} \right]_\alpha = A \implies D = Q^{-1} A Q \quad (Q = \left[ \mathsf{I} \right]_\beta^\alpha$
$\therefore\ A = Q D Q^{-1}$

$A$의 특성다항식 $f(t) = \operatorname{det}(A - tI)$$= \operatorname{det}(QDQ^{-1} - tQIQ^{-1} \\ = \operatorname{det} (Q (D- tI) Q^{-1} ) \\ = \operatorname{det}(Q)\ \operatorname{det}(D-tI)\ \operatorname{det}(Q^{-1}) \\ \operatorname{det}(D-tI)$
$f(t) = \operatorname{det}(D-tI) = \operatorname{det} \begin{pmatrix} \lambda_1 -t & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \lambda_2 -t & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n -t \end{pmatrix}$$= (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n -t) \\ = (-1)^n (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_n)$

정의: 중복도
특성다항식 $f(t)$를 갖는 선형연산자 또는 행렬의 고유값이 $\lambda$일 때 $\lambda$중복도(multiplicity)는 $f(t)$의 인수 $(t - \lambda)^k$에서 가장 큰 양의 정수 $k$이다.

정의: 고유공간
벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$, $\mathsf{T}$의 고유값 $\lambda$
$\mathsf{E}_\lambda \equiv \left\{ x \in \mathsf{V} : \mathsf{T}(x) = \lambda x \right\} = \mathsf{N}(\mathsf{T} - \lambda\ \mathsf{I}_\mathsf{V}.$ 이때 집합 $\mathsf{E}_\lambda$를 고유값 $\lambda$에 대응하는 $\mathsf{T}$고유공간(eigenspace)이라고 한다.

정사각행렬 $A$의 고유공간은 $\mathsf{L}_A$의 고유공간과 같다.

정리 5.7

유한차원 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$
$\lambda$는 중복도 $m$을 가진 $\mathsf{T}$의 고유값일 때
$\iff 1 \le \operatorname{dim}(\mathsf{E}_\lambda) \le m$

증명:
$\begin{array} & & \mathsf{T} & & \\ & \mathsf{V} & \longrightarrow & \mathsf{V} & \\ \phi_\beta & \downarrow & & \downarrow & \phi_\beta \\ & \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n & \\ & & \left[ \mathsf{T} \right]_\beta & & \end{array}$
$\mathsf{E}_\lambda \subset \mathsf{V}$
$\mathsf{E}_\lambda$의 순서기저 $\alpha = \left\{ v_1, \cdots , v_p \right\}, \quad (p \le n)$
$\implies \mathsf{V}$$\alpha$를 확장한 순서기저 $\beta = \left\{ v_1, \cdots, v_p, v_{p+1}, \cdots, v_n \right\}$
$\left[ \mathsf{T} \right]_\beta$$= \left( \left[ \mathsf{T}(v_1) \right]_\beta, \left[ \mathsf{T}(v_2) \right]_\beta, \cdots, \left[ \mathsf{T}(v_n) \right]_\beta \right) \\ = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & & & \\ 0 & \ddots & \vdots & & & \\ & \cdots & \lambda & & & \\ 0 & 0 & & & & \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \lambda I_p & B \\ O & C \end{pmatrix}_{(1 - p) \times (1 - p)}^{p \times (1 - p)}$
$\implies \left[ \mathsf{T} \right]_\beta$의 특성다항식 $f(t)$$= \operatorname{det} ( \left[ \mathsf{T} \right]_\beta - t I_n ) \\ = \operatorname{det} \begin{pmatrix} (\lambda-t) I_p & B \\ P & C - tI_{n-p} \end{pmatrix} = \cdots \\ \operatorname{det}(\lambda -t) I_p \cdot \operatorname{det} ( C - tI_{n-p} ) \\ = (\lambda - t )^p \cdot g(t)$
$\implies (\lambda - t )^p$$f(t)$의 인수
$\implies \lambda$의 중복도는 최소 $p$, 그런데 $\operatorname{dim}(\mathsf{E}_\lambda) = p \implies \operatorname{dim}(\mathsf{E}_\lambda) \le m.$

보조정리:
벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산 $\mathsf{T}$의 서로 다른 고유값들 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$
$v_i \in \mathsf{E}_{\lambda_i} \quad (i = 1, 2, \cdots, k)$
$v_1 + v_2 + \cdots + v_k = 0 \implies ^\forall i,\ v_i = 0$

정리 5.8

고유공간 $\mathsf{E}_\lambda$의 선형독립 유한부분집합 $S_i \quad (i = 1, 2, \cdots, k)$
$\implies S = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_k$$\mathsf{V}$의 선형독립 부분집합

정리 5.9

유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T} \quad \mathrm{s.t.} \quad \mathsf{T}$의 특성다항식이 분할됨.
$\mathsf{T}$의 서로 다른 고유값들: $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ $\implies$

  • $\mathsf{T}$가 대각화가능 $\iff ^\forall i,\ \lambda_i$의 중복도가 $\operatorname{dim}(\mathsf{E}_{\lambda_i})$와 같다
  • $\mathsf{T}$가 대각화가능하고 $\mathsf{E}_{\lambda_i}$의 순서기저가 $\beta_i$ $\implies \beta = \beta_1 \cup \beta_2 \cup \cdots \beta_k$$\mathsf{T}$의 고유벡터들로 이루어진 $\mathsf{V}$의 순서기저²

대각화가능성 시험

$n$차원 벡터공간 $V$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$가 대각화가능 $\iff$ 다음 두 조건을 만족

  1. $\mathsf{T}$의 특성다항식이 분할된다.
  2. $\mathsf{T}$의 각 고유값 $\lambda$에 대하여, $\lambda$의 중복도 $= n - \operatorname{rank}(\mathsf{T} - \lambda \mathsf{I} )$

행렬 $A$의 대각화가능성은 좌곱연산 $\mathsf{L}_A$의 대각화가능성과 동일하므로 이 시험법은 행렬에 대해서도 사용할 수 있다.

$\mathsf{T}$가 대각화가능한 연산자이고 그 고유공간들의 순서기저가 각각 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_k$일 때, $\beta = \beta_1 \cup \beta_2 \cup \cdots \cup \beta_k$$\mathsf{T}$의 고유값들로 이루어진 $\mathsf{V}$의 순서기저이다.

연립미분방정식과 대각화가능성

$\begin{cases} x_1' = & 3x_1 + x_2 + x_3 \\ x_2' = & 2x_1 + 4s_2 + 2x_3 \\ x_3' = & -x_1 - x_2 + x_3 \end{cases} \implies \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \equiv A,$
$\exists\ Q \quad \mathrm{s.t.} \quad Q^{-1} A Q = D$
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$
$\implies Q \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \end{pmatrix} = AQ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$
$\implies \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \end{pmatrix} = ( Q^{-1} A Q ) \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \lambda_2 & \\ O & & \lambda_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$
$\implies \begin{cases} y_1' = \lambda_1 y_1 \\ y_2' = \lambda_2 y_2 \\ y_3' = \lambda_3 y_3 \end{cases} \implies \begin{cases} y_1 = c_1 e^{\lambda_1 t} \\ y_2 = c_2 e^{\lambda_2 t} \\ y_3 = c_3 e^{\lambda_3 t} \end{cases}$
$\implies \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \\ c_2 e^{\lambda_2 t} \\ c_3 e^{\lambda_3 t} \end{pmatrix}$

5.3 행렬극한과 마르코프 연쇄

5.4 불변부분공간과 케일리-해밀턴 정리

정의: 불변부분공간
벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$.
$\mathsf{V}$의 부분공간 $\mathsf{W}$$\mathsf{T}$-불변부분공간(invariant subspace) $\iff \mathsf{T}(\mathsf{W}) \subseteq \mathsf{W} \quad \mathsf{i.e.} \quad ^\forall v \in \mathsf{W}, \mathsf{T}(v) \in \mathsf{W}$

정의: 순회부분공간
벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$, 영벡터가 아닌 벡터 $x \in \mathsf{V}$.
부분공간 $\mathsf{W} = \operatorname{span}(\left\{ x, \mathsf{T}(x), \mathsf{T}^2(x), \cdots \right\})$$x$에 의해 생성된 $\mathsf{V}$$\mathsf{T}$-순회부분공간($\mathsf{T}$-cyclic subspace of $\mathsf{V}$ generated by $x$) 이라 한다.

정리 5.21

유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$, $\mathsf{V}$$\mathsf{T}$-불변부분공간 $\mathsf{W}$

$\mathsf{T}_\mathsf{W}$의 특성다항식은 $\mathsf{T}$의 특성다항식의 인수이다.

증명:
$\mathsf{V}$의 불변부분공간 $\mathsf{W}$
$\mathsf{V}$의 순서기저 $\gamma = \left\{ v_1, \cdots, v_k \right\},$ 확장 순서기저 $\beta = \left\{ v_1, \cdots, v_k, v_{k+1}, v_n \right\} \cdots$ 를 선택

Let $[ \mathsf{T} ]_\beta = A, [ \mathsf{T}_\mathsf{W} ]_\gamma = B$

$A = [ \mathsf{T} ]_\beta = ( [ \mathsf{T} ( v_1 ) ]_\beta , \cdots, [ \mathsf{T} ( v_k ) ]_\beta , \cdots, [ \mathsf{T} ( v_n ) ]_\beta )$
$\quad \mathsf{T}(v_1) = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k + \cdots + a_n v_n \in \mathsf{W}$
$v_1 \in \gamma \subset \mathsf{W}$이고, $\mathsf{W}, \mathsf{T}$가 불변부분공간이므로
$\quad \mathsf{T}(v_1) \in \mathsf{W} \implies a_{k+1} = \cdots = a_n = 0$
$\quad [ \mathsf{T} (v_1) ]_\beta = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, [ \mathsf{T} (v_1) ]_\gamma = \begin{pmatrix} a_1 \\ \\ \vdots \\ \\ a_k \end{pmatrix}$

$\therefore\ A = [ \mathsf{T} ]_\beta = \begin{pmatrix} a_1 & \vdots & & & \\ \vdots & & & B_2 & \\ a_k & \vdots & & & \\ 0 & 0 & & & & \\ \vdots & \vdots & & B_3 & \\ 0 & 0 & & & \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & B_2 \\ O & B_3 \end{pmatrix}$
이때 $B_2$$k \times (n-k)$ 행렬이고 $B_3$$(n-k) \times (n-k)$ 행렬

$\implies$ 특성다항식 $f(t) = \operatorname{det}(A - t I_n ) = \operatorname{det} \begin{pmatrix} B - t I_k & B_2 \\ O & B_3 - t I_{n-k} \end{pmatrix} = \operatorname{det}(B - tI_k) \operatorname{det}(B_3 - tI_{n-k})$
$\qquad \qquad \qquad \operatorname{det}(B - tI_k) = B$의 특성다항식 $\mathrm{i.e.} \quad \mathsf{T}_\mathsf{W}$의 특성다항식

정리 5.22

유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$, $\mathsf{V}$$\mathsf{T}$-불변부분공간 $\mathsf{W}$

증명:
$\mathsf{W} = \operatorname{span}( \left\{ v_1 , \mathsf{T}(v) , \mathsf{T}^2 (v) , \cdots \right\} )$
a) $v \ne 0 \implies \left\{ v \right\}$가 선형독립
$\quad j$$\beta = \left\{ v, \mathsf{T}(v), \cdots, \mathsf{T}^{-1}(v) \right\}$가 선형독립이게 하는 최대의 정수로 정의
$\quad j \le \operatorname{dim}(\mathsf{V}) \quad \mathrm{i.e.} \quad$는 유한
$\quad Z := \operatorname{span}(\beta)$
$\quad \qquad \longrightarrow \begin{cases} \beta 가\ Z 의\ 기저\ \quad \mathrm{i.e.} \quad \operatorname{dim}(Z) = j \\ \mathsf{T}^j (v) \in \operatorname{span}(\beta) \\ Z 는\ \mathsf{T} 의\ \mathsf{T}-불변부분공간 \end{cases}$

$\because$ $^\forall w \in Z, \exists\ 스칼라\ b_0, \cdots, b_j \quad \mathrm{s.t.}$
$\qquad w = b_0 v + b_1 \mathsf{T} (v) + \cdots + b_{j-1} \mathsf{T}^{j-1}(v)$
$\quad \mathsf{T}(w) = b_0 + \mathsf{T}(v) + b_1 \mathsf{T}^2 (v) + \cdots + b_{j-1} \mathsf{T}^j (v) \in \operatorname{span}(\beta) = Z$
$\qquad \mathsf{T}^j (v)$: $\left\{ v, \cdots, \mathsf{T}^{j-1} (v) \right\}$

$\quad \therefore\ \mathsf{T} (z) \subset Z$
$\quad$명백히 $Z \subseteq \mathsf{W}$ $\qquad \mathsf{W}: \quad v$를 포함하는 가장 작은 $\mathsf{T}-$불변부분공간
$Z$$\mathsf{T}$-불변이고 $v \in Z, \quad \mathsf{W} \subseteq Z$

b) $\beta = \left\{ v, \mathsf{T}(v), \cdots, \mathsf{T}_{k-1}(v) \right\}$
$\quad \beta$: $\mathsf{W} = \operatorname{span} ( \left\{ v, \mathsf{T}(v) , \cdots, \right\} )$ by a)

스칼라 $a_0, a_1, \cdots, a_{k-1} \quad \mathrm{s.t.} \quad$$a_0 v + a_1 \mathsf{T}(v) + \cdots + a_{k-1} \mathsf{T}^{k-1} (v) + \mathsf{T}^k (v) = 0$

consider $[ \mathsf{T}_\mathsf{W} ]_\beta$$= ( [\mathsf{T}_\mathsf{W}(v)]_\beta, [\mathsf{T}_\mathsf{W} ( \mathsf{T} (v) ) ]_\beta, \cdots, [ \mathsf{T}_\mathsf{W} (\mathsf{T}^{k-1} (v)) ]_beta ) \\ ( [ \mathsf{T}(v) ]_\beta , [ \mathsf{T}(\mathsf{T}(v)) ]_\beta, \cdots , [ \mathsf{T}^k (\mathsf{T}^{k-1} (v)) ]_\beta ) \\ \quad \mathsf{T}(v) = 0v + 1 \mathsf{T}(v) + 0 \mathsf{T}^2 (v) + \cdots + 0 \mathsf{T}^{k-1}(v) \\ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & & 0 & -a_1 \\ \vdots & 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & & 1 & -a_{k-1} \end{pmatrix}$
$\qquad \implies \mathsf{T}_\mathsf{W}$의 특성다항식 $\qquad \quad f(t)$$= \operatorname{det} \begin{pmatrix} -t & 0 & & 0 & -a_0 \\ 1 & -t & & 0 & -a_1 \\ \vdots & 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & -t \\ 0 & 0 & & 1 & -a_{k-1} - t \end{pmatrix} \\ = (-t) (-1)^{1+} \operatorname{det} \begin{pmatrix} -t & 0 & 0 & -a_1 \\ 1 & & \vdots & \vdots \\ \vdots & & -t & \vdots \\ 0 & & 1 & -a_{k-1} - t \end{pmatrix} + (-a_0) (-1)^{1+k} \operatorname{det} \begin{pmatrix} -1 & -t & & 0 \\ 0 & 1 & & \vdots \\ \vdots & 0 & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & -t \\ 0 & 0 & & & 1 \end{pmatrix} \\ = -t \operatorname{det} \begin{pmatrix} -t & 0 & 0 & -a_1 \\ 1 & & \vdots & \vdots \\ \vdots & & -t & \vdots \\ 0 & & 1 & -a_{k-1} - t \end{pmatrix} + (-1)^k a_0 \operatorname{det} \begin{pmatrix} -t & 0 & 0 & -a_1 \\ 1 & & \vdots & \vdots \\ \vdots & & -t & \vdots \\ 0 & & 1 & -a_{k-1} - t \end{pmatrix} \\ \cdots \implies f(t) = (-1)^k (a_0 + a_1 t + \cdots + a_{k-1} t^{k-1} + t^k$

정리 5.23 (케일리-해밀턴 정리)

유한벡터공간 $\mathsf{V}$에 대한 선형연산자 $\mathsf{T}$,
$\mathsf{T}$의 특성다항식 $f(x)$

$f(\mathsf{T}) = \mathsf{T}_0$ 즉 영변환 $\implies \mathsf{T}$는 그 특성다항식을 “만족”시킨다

증명: $f(\mathsf{T})(v) = 0 \quad ^\forall v \in \mathsf{V}$ 를 보이시오.

$f(t) = t^2 + t + 2$
$f(\mathsf{T})$$= \mathsf{T}^2 + \mathsf{T} + 2 \mathsf{I} \\ = \mathsf{T} \circ \mathsf{T}(v) + \mathsf{T}(v) + 2 \mathsf{I}(v)$

$v = 0, \quad f(\mathsf{T})(0) = 0$
$v \ne 0, \quad \mathsf{W} := \operatorname{span}( \left\{ v, \mathsf{T}(v), \mathsf{T}^2 (v) , \cdots , \mathsf{T}^{k-1}(v) \right\}$

$\mathsf{T}^k (v) \in \mathsf{W}$에 대하여 $\exists\ 스칼라\ a_0, \cdots , a_{k-1} \quad \mathrm{s.t.} \\ a_0 v + a_1 \mathsf{T}(v) + \cdots + \mathsf{T}^k(v) = 0 \\ (\because\ \mathsf{T}^k(v)는\ 선형조합$

그리고 $g(t) = (-1)^k (a_0 + a_t + \cdots + a_{k-1} t^{k-1} + t^{k} )$$\mathsf{T}_\mathsf{W}$의 특성다항식 (정리 5.22)
$g(\mathsf{T}(v) = (-1)^k (a_0 \mathsf{I} +a_1 \mathsf{T} + \cdots + a_{k-1} \mathsf{T}^{k-1} + \mathsf{T}^{k} )(v) = 0$

$g(t)$$f(t)$를 분할 (정리 5.21)
$\therefore\ \exists\ 다항식\ q(t) \quad \mathrm{s.t.} \quad f(t) = q(t) \circ g(t)$
$f(\mathsf{T})(v)$ $= \left\{ q(\mathsf{T}) \circ g(\mathsf{T}) \right\} (v) \\ = q(\mathsf{T}) \circ (g(\mathsf(T)(v)) \\ = q(\mathsf{T})(0) = 0$