4. 행렬식

4.1 2차 행렬식

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대하여

(1)
\begin{align} \left\vert A \right\vert = \operatorname{det}(A) = ad - bc \\ \operatorname{det}: \mathsf{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R} \end{align}

행렬식은 선형변환이 아니고 그냥 함수

정리 4.1

(2)
\begin{align} \operatorname{det}\begin{pmatrix} a_1 + t a_2 & b_1 + t b_2 \\ c & d \end{pmatrix} & = \operatorname{det} \left[ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t a_2 & t b_2 \\ c & d \end{pmatrix} \right] \\ & = \operatorname{det} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c & d \end{pmatrix} + t \operatorname{det} \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c & d \end{pmatrix} \end{align}

행렬식 전체는 선형이 아니지만 행과 열을 각각 벡터로 보면 행과 열에 대해서는 선형인 성질이 있는 함수이다.

정리 4.2

$A \in \mathsf{M}_{2 \times 2}(F)$

$\left\vert A \right\vert \ne 0 \iff A가\ 가역행렬$

(3)
\begin{align} A^{-1} = {{1} \over {\operatorname{det}(A)}} \begin{pmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{pmatrix} \end{align}
(4)
\begin{align} A가\ 가역이라고\ 가정\ & \\ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} & \longrightarrow \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} - {{A_{12} A_{21}} \over {A_{11}}} \end{pmatrix} \\ & \longrightarrow A_{22} - {{A_{12} A_{21}} \over {A_{11}}} \ne 0 \end{align}

4.2 n차 행렬식

정의: 소행렬(Minor)
$\tilde{A}_{ij}$: $A \in \mathsf{M}_{n \times n}$에서 제$i$행과 제$j$열을 삭제해서 얻은 $(n-1) \times (n-1)$ 행렬
소행렬식(Minor Determinant)
$M_{ij} = \operatorname{det}(\tilde{A}_{ij})$

정의:
$A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$

(5)
\begin{align} \operatorname{det}(A) = \operatorname{det}(A_{11}) = A_{11} \qquad n=1 \end{align}
(6)
\begin{align} \operatorname{det}(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1 + j} A_{1j} \cdot \operatorname{det}(\tilde{A}_{1j}) \equiv \left\vert A \right\vert \qquad n \ge 2 \end{align}
(7)
\begin{align} \operatorname{det} \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} & = (-1)^{1+1} a_{11} \tilde{A}_11 + (-1)^{1+2} a_{12} \tilde{A}_{12} + \cdots + (-1)^{1+n} \tilde{A}_{1n} \\ & = (-1)^{1+1} M_{11} + (-1)^{1+2} M_{12} + \cdots + (-1)^{1+n} M_{1n} \end{align}
정의: 여인수(cofactor)
$c_{ij} = (-1)^{i+j} \operatorname{det}(\tilde{A}_{ij}) = (-1)^{i+j} M_{ij}$

정리 4.3

$n \times n$ 행렬의 행렬식은 각 열이 고정되어 있을 때 각 행에 대한 선형함수이다.

(8)
\begin{align} \operatorname{det}\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u+ kv \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \operatorname{det}\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + k\ \operatorname{det}\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ v \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\ \end{align}

이때 $k$는 스칼라이고, 벡터 $u, v, a_i \in \mathsf{F}^n$

따름정리:
$A \in \mathsf{n \times n} (F)$의 어떤 한 행의 원소가 0으로만 이루어져 있다면 $\implies \operatorname{det}(A) = 0$

부정리:
$B \in \mathsf{M}_{n \times n}(F), \quad n \ge 2$

(9)
\begin{align} B의\ 제i행 = e_k \quad (1 \le k \le n) \implies \operatorname{det}(B) = (-1)^{i + k} \operatorname{det}(\tilde{B}_{ik}) \end{align}

정리 4.4

(10)
\begin{align} \operatorname{det} (A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \cdot \operatorname{det} (\tilde{A}_{ij}) \end{align}

따름정리:
$A \in \mathsf{M}_{n \times n}(F)$의 행 두 개가 같으면 $\implies \operatorname{det}(A) = 0$

정리 4.5

$A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$ 이고 $B$$A$의 행 두 개를 바꾼 것(제1형 기본행연산)일 때

(11)
\begin{align} \operatorname{det}(B) = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_s \\ \vdots \\ a_r \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = - \operatorname{det}(A) = - \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_r \\ \vdots \\ a_s \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \end{align}

정리 4.6

$A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$ 이고 $B$$A$의 한 행의 상수배를 다른 행에 더한 것(제3형 기본행연산)의 결과일때

(12)
\begin{align} \operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(A) \end{align}

따름정리:
$A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$, $\operatorname{rank}(A) < n \implies \operatorname{det}(A) = 0$

이상의 내용:

  1. $B$$A$의 제1형 기본행연산의 결과 $\implies \operatorname{det}(B) = - \operatorname{det}(A)$
  2. $B$$A$의 제2형 기본행연산의 결과 $\implies \operatorname{det}(B) = k \cdot \operatorname{det}(A)$
  3. $B$$A$의 제3형 기본행연산의 결과 $\implies \operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(A)$

예제 5:

(13)
\begin{align} B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -5 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} -2 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} -2 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -10 & -6 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} -2 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 24 \end{pmatrix} \end{align}

$\operatorname{det}(B) = 48$

4.3 행렬식의 성질

기본행렬의 행렬식:

(14)
\begin{align} \operatorname{det}(E) = \begin{cases} -1 & E = 제1형\ 기본행행렬 \\ k & E = 제2형\ 기본행행렬 \\ 1 & E = 제3형\ 기본행행렬 \end{cases} \end{align}

정리 4.7

$A, B \in \mathsf{M}_{n \times n}(F)$

(15)
\begin{align} \operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \end{align}

증명:
$A$가 기본행렬 $E$일 때, $\operatorname{det}(EB)$$= \begin{cases} -\operatorname{det}(B) & \\ k\ \operatorname{det}(B) & \\ 1 \cdot \operatorname{det}(B) & \end{cases} \\ = \begin{cases} \operatorname{det}(E)\operatorname{det}(B) \\ \operatorname{det}(E)\operatorname{det}(B) \\ \operatorname{det}(E)\operatorname{det}(B) \end{cases} \implies \operatorname{det}(EB) = \operatorname{det}(E) \operatorname{det}(B)$

$A \in \mathsf{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$가 임의의 가역행렬일 때,
$\quad A = E_1 \cdots E_m$
  정리 3.6의 따름정리 3을 사용
$\quad \operatorname{det}(AB)$$= \operatorname{det}(E_1 \cdots E_m B) \\ = \operatorname{det}(E_1) \operatorname{det}(E_2 \cdots E_m B) \\ = \cdots = \operatorname{det}(E_1)\operatorname{det}(E_2) \cdots \operatorname{det}(E_m)\operatorname{det}(B) \\ = \operatorname{det}(E_1) \operatorname{det}(E_2) \cdots \operatorname{det}(E_{m-1} E_m) \operatorname{det}(B) \\ = \operatorname{det}(E_1) \cdots \operatorname{det}(E_{m-2} E_{m-2} E_m)\operatorname{det}(B) \\ = \cdots = \operatorname{det}(E_1 \cdots E_m)\operatorname{det}(B) \\ = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$

$A \in \mathsf{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$가 임의의 비가역행렬일 때, $\implies \operatorname{rank}(A) < n \\ \implies \operatorname{det}(A) = 0 \\ \qquad \therefore\ \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) = 0 \\ \mathrm{But,} \operatorname{det}(AB) = 0 \qquad \because\ \operatorname{rank}(AB) < \operatorname{rank}(A) < n \quad (정리\ 3.7) \\ \therefore\ \operatorname{det}(AB) = 0 = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$

따름정리:

  • $A$가 가역행렬 $\implies \operatorname{det}(A^{-1}) = 1 / \operatorname{det}(A)$
  • $A \in \mathsf{M}_{n \times n}(F)$가 가역행렬 $\iff \operatorname{det}(A) \ne 0 \\ \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(A^{-1}) = \operatorname{det}(A A^{-1}) = \operatorname{det}(I_n) = 1$

정리 4.8

(16)
\begin{align} ^\forall A \in \mathsf{M}_{n \times n}(F), \qquad \operatorname{det}(A^t) = \operatorname{det}(A). \end{align}

행에 대한 여인수 전개로 행렬식을 얻을 수 있을 때, 정리 4.8을 이용하면 열에 대한 여인수 전개로도 행렬식을 얻을 수 있다는 결론이 나온다.

증명:
$A$가 비가역, $\operatorname{rank}(A)<n \longrightarrow rank$
  $\operatorname{rank}(A^t) = \operatorname{rank}(A) \qquad 정리\ 3.6의\ 따름정리\ 2 \\ \quad \therefore\ \operatorname{det}(A^t) = 0$

$A$가 가역
  $\implies A = E_m \cdots E_1$
$\qquad A^t$$= (E_m \cdots E_1)^t \\ {E_1}^t \cdots {E_m}^t$
$\quad \operatorname{det}(A^t)$$= \operatorname{det}({E_1}^t \cdots {E_m}^t ) \\ = \operatorname{det}({E_1}^t) \cdots \operatorname{det}({E_m}^t) \\ = \operatorname{det}(E_1) \cdots \operatorname{det}(E_m) \\ = \operatorname{det}(E_m) \cdots \operatorname{det}(E_1) \qquad (\because\ \operatorname{det} \in \mathbb{R}) \\ = \operatorname{det}(E_m \cdots E_1) \\ = \operatorname{det}(A)$

정리 4.9 (크라메르 공식)

미지수 $n$개의 선형방정식계 $Ax = b$, $x = (x_1, \cdots, x_n)^t$

(17)
\begin{align} \operatorname{det}(A) \ne 0 \implies \exists!\ x_k = {{\operatorname{det}(M_k)} \over {\operatorname{det}(A)}}, \end{align}

이때 $M_k$$A$의 제$k$열을 $b$로 대체한 $n \times n$ 행렬이다.

증명:
$\operatorname{det}(A) \ne 0 \implies A가\ 가역$
$Ax = b \implies x$$= A^{-1} b \\ = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ 가 유일한 해
$^\forall k \in \mathbb{Z} \begin{cases} A^k: & A의\ 제k열 \\ X_k: & I_n의\ 제k열을\ x=A^{-1}b로\ 대체한\ 행렬 \end{cases}$
$X_k = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x_1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & x_2 & \cdots & 0 \\ & & \vdots & \cdots & \\ 0 & \cdots & x_k & \cdots & 0 \\ & & \vdots & \cdots & \\ 0 & \cdots & x_n & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

$AX_k$$= A (e_1 , e_2 , \cdots x , \cdots , e_n ) \\ = (A e_1 , A e_2 , \cdots , Ax, \cdots , A e_n ) \qquad (\because\ 정리\ 2.13) \\ = ( A^1 , A^2 , \cdots , Ax , \cdots , A^n ) \\ = (A^1, A^2, \cdots , b, \cdots , A^n ) \\ = M_k$
$\therefore\ AX_k = M_k$ $\implies \operatorname{det}(AX_k) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(X_k) = \operatorname{det}(M_k) \\ \operatorname{det}(A) \ne 0 \implies \operatorname{det}(X_k) = {{\operatorname{det}(M_k)} \over {\operatorname{det}(A)}}$
이때 $\operatorname{det}(X_k) = (-1)^{k+k} \cdot x_k\ \operatorname{det}(I_n) = x_k$

예제 1:
크라메르 공식을 사용해 다음 선형방정식계를 풀어라.
$\begin{cases} x_1 & + 2 x_2 & 3 x_3 & = 2 \\ x_1 & & + x_3 & = 3 \\ x_2 & + x_2 & - x_3 & = 1 \end{cases}$
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\operatorname{det}(A) = 6 \ne 0$, 크라메르 공식 사용 가능.

(18)
\begin{align} x_1 = {{\operatorname{det}(M_1)} \over {\operatorname{det}(A)}} = {{\operatorname{det}({\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}})} \over {\operatorname{det}(A)}} = {{15} \over {6}} = {{5} \over {2}}, \\ x_2 = {{\operatorname{det}(M_2)} \over {\operatorname{det}(A)}} = {{\operatorname{det}({\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}})} \over {\operatorname{det}(A)}} = {{-6} \over {6}} = -1, \\ x_3 = {{\operatorname{det}(M_3)} \over {\operatorname{det}(A)}} = {{\operatorname{det}({\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}})} \over {\operatorname{det}(A)}} = {{3} \over {6}} = {{1} \over {2}}. \\ \therefore\ (x_1, x_2, x_3) = \left( {5 \over 2} , -1, {1 \over 2} \right). \end{align}

크라메르 공식은 이론적으론 좋은데 실제 계산할 때는 좆같음

4.4 행렬식의 중요성

(19)
\begin{align} \operatorname{det} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 4 \\ -4 & 5 & -10 & -6 \\ 3 & -2 & 10 & -1 \end{pmatrix} & = \operatorname{det} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -5 & 2 \\ -4 & 1 & -2 & -2 \\ 3 & 1 & 4 & -4 \end{pmatrix} \\ & = (-1)^{1 + 1} I\ \operatorname{det}\begin{pmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 4 & -4 \end{pmatrix} = 8 + 10 + 8 + 4 + 8 - 20 = 18 \end{align}

4.5 행렬식의 특성화

안 할 거에요
너무 추상적인 내용이라서

정의: n-선형함수
함수 $\delta: \mathsf{M}_{n \times n} (F) \longrightarrow F$$n \times n$ 행렬에서 $n-1$개의 행을 고정하고 나머지 한 행에 대한 함수일 때, 즉 $r = 1, 2, \cdots, n,$에 대하여 다음과 같을 때 n-선형함수(n-linear function)라 한다.

(20)
\begin{align} \delta \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u + kv \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \delta \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ u \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + k \delta \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_{r-1} \\ v \\ a_{r+1} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \end{align}

이때 $k$는 스칼라이고 $u, v, a_i$ 들은 $\mathsf{F}^n$의 벡터이다.

정의: 교대성
n-선형함수 $\delta: \mathsf{M}_{n \times n} (F) \longrightarrow F$교대(alternating)한다 $\iff \quad ^\forall A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$ 에 대하여, $A$의 인접한 행들이 서로 같을 때 $\delta(A) = 0$

정리 4.10

$\delta: \mathsf{M}_{n \times n} (F) \longrightarrow F$가 교대 n-선형함수

  • $A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$, $B$$A$의 두 행의 위치를 바꾸어 얻은 행렬 $\implies \delta(B) = - \delta(A)$
  • $A \in \mathsf{M}_{n \times n} (F)$의 두 행이 서로 같으면 $\implies \delta(A) = 0$

정리 4.11

$\delta: \mathsf{M}_{n \times n} (F) \longrightarrow F$가 교대 n-선형함수, $\delta(I) = 1$

(21)
\begin{align} ^\forall A, B \in \mathsf{M}_{n \times n} (F), \qquad \delta(AB) = \delta(A) \cdot \delta(B) \end{align}

정리 4.12

$\delta: \mathsf{M}_{n \times n} (F) \longrightarrow F$가 교대 n-선형함수, $\delta(I) = 1$ $\implies \delta(A) = \operatorname{det}(A) \quad ^\forall A \in \mathsf{M}_{n \times n}(F)$: 행렬식의 또다른 정의