3. 기본행렬연산과 선형방정식계

3.1 기본행렬연산과 기본행렬

정의:
$A: m \times n$ 행렬일 때, 다음 세 가지 연산 중 하나를 $A$의 행[또는 열]에 수행한 것을 기본행[렬]연산(elementary row[column] operation)이라 한다.

  1. 두 행[열]의 전체를 교환한다.
  2. 어떤 행[열]에 0이 아닌 스칼라를 곱한다.
  3. 어떤 행[열]에 스칼라를 곱한 것을 다른 행[렬]에 더한다.

상기 세 연산을 기본연산(elementary operation)이라 하고, 시행된 것이 1, 2, 3 중 어느 것이냐에 따라 제1형, 제2형, 제3형(type n)이라 한다.

예제 1:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

제1형 기본행연산의 예 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

제2형 기본열연산의 예 $C = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

제3형 기본행연산의 예 $M = \begin{pmatrix} 17 & 2 & 7 & 12 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

정의:
단위행렬 $I_n$에 기본행[렬]연산을 한 결과를 $n \times n$ 기본행렬(elementary matrix)이라 한다. 수행한 연산이 제1, 2, 3형임에 따라 기본행렬도 제1, 2, 3형 기본행렬이라 한다.

모든 기본행렬은 두 가지 이상의 기본행[렬]연산에 의해 만들어질 수 있다.
e.g.)
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$I_3$의 제1기본열행렬이고 동시에 제1기본행행렬이다.

정리 3.1

$A \in \mathsf{M}_{m \times n}(F)$, $B$$A$의 기본행[렬]행렬연산에서 도출되는 기본행렬
$\implies \exists\ m \times m [n \times n]\ 기본행렬\ E \quad \mathrm{s.t.}\ B = EA\ [B = AE]$

정리 3.2

기본행렬은 가역행렬이며, 기본행렬의 역행렬은 같은 유형의 기본행렬이다.

3.2 행렬의 계수와 행렬의 역

정의:
$A \in \mathsf{M}_{m \times n} (F)$에 대하여 행렬 $A$계수(rank)를 $\operatorname{rank}(A)$로 표기하고 다음과 같이 정의한다.
$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\mathsf{L}_A) \quad \mathrm{s.t.}\ \mathsf{L}_A: \mathsf{F}^n \longrightarrow \mathsf{F}^m$

정리 3.3

$\begin{pmatrix} \mathsf{V, W}가\ 유한차원\ 벡터공간 \\ \mathsf{T}: \mathsf{V} \longrightarrow \mathsf{W}\ 가\ 선형변환 \\ 순서기저\ \beta, \gamma \end{pmatrix} \implies \operatorname{rank}(\mathsf{T}) = \operatorname{rank}( \left[ \mathsf{T} \right]_\beta^\gamma )$

증명:
$\begin{matrix} & & \mathsf{T} & & \\ & \mathsf{V}_\beta & \longrightarrow & \mathsf{W}_\gamma & \\ \phi_\beta & \downarrow & & \downarrow & \phi_\gamma \\ & \mathsf{F}^n & \longrightarrow & \mathsf{F}^m & \\ & & \mathsf{L}_A & & \end{matrix}$

$\begin{matrix} \operatorname{rank}(\phi_\gamma \circ \mathsf{T}) & = & \operatorname{rank}(\mathsf{L}_A \circ \phi_\beta) & = & \operatorname{dim}(\mathsf{R}(\mathsf{L}_A \circ \phi_\beta )) \\ \parallel & & & & \parallel \\ \operatorname{dim}(\mathsf{R}(\phi_\gamma \circ \mathsf{T})) & & & & \operatorname{dim}(\mathsf{L}_A \circ \phi_\beta ) \\ \parallel & & & & \parallel \\ \operatorname{dim}(\phi_\gamma (\mathsf{T}(\mathsf{V}))) & & & & \operatorname{dim}(\mathsf{L}_A \mathsf{F}^N ) \\ \parallel & & & & \parallel \\ \operatorname{dim}(\mathsf{T}(\mathsf{V})) & = & \operatorname{rank}(\mathsf{T}) & = & \operatorname{rank}(\mathsf{L}_A) \end{matrix}$

정리 3.4

$m \times n$ 행렬 $A$, 가역 $m \times m$ 행렬 $P$, 가역 $n \times n$ 행렬 $Q$

(a) $\operatorname{rank}(AQ) = \operatorname{rank}(A)$
$\because\$ $\mathsf{R}(\mathsf{L}_A) = \mathsf{R}(\mathsf{L}_A \circ \mathsf{L}_Q)$$= \mathsf{L}_A \circ \mathsf{L}_Q (F^n) \\ = \mathsf{L}_A (\mathsf{L}_Q ( \mathsf{F}^n ) = \mathsf{L}_A (\mathsf{F}^n) \qquad (\because\ \mathsf{L}_Q가\ 전사) \\ = \mathsf{R}(\mathsf{L}_A)$
(b) $\operatorname{rank}(PA) = \operatorname{rank}(A)$
(c) $\operatorname{rank}(PAQ) = \operatorname{rank}(A)$

따름정리:
행렬에 대한 기본행 및 기본열 연산은 계수가 보존(rank-preserving)된다.

정리 3.5

행렬의 계수는 선형독립인 열들의 최대 수와 같다. i.e. 행렬의 계수는 행렬의 열들에 의해 생성되는 부분공간의 차원과 같다.

증명:
$^\forall A \in M_{m \times n}(F) \implies A : \mathsf{F}^n \longrightarrow \mathsf{F}^m$
$\operatorname{rank}(A)$ $= \operatorname{rank}(\mathsf{L}_A ) \\ = \operatorname{dim}( \mathsf{R} ( \mathsf{L}_A )) \\ = \operatorname{dim} ( \mathsf{L}_A ( \mathsf{F}^n )) \\ = \operatorname{dim} ( \operatorname{span} ( \mathsf{L}_A(e_1), \cdots, \mathsf{L}_A(e_n) )) \qquad \because\ 정리\ 2.2 \\ = \operatorname{dim} ( \operatorname{span} ( A e_1, \cdots, A e_n )) \\ = \operatorname{dim} ( \operatorname{span} ( A^1, \cdots, A^n )) \qquad \because\ 정리\ 2.13-\mathrm{(b)}$

예제 1:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{dim} \left( \operatorname{span} \left( \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \right) \right) = 2$

정리 3.6

$A$$m \times n$ 행렬, $\operatorname{rank}(A) = r$ $\implies$ $r \le m, r \le n$
$A$는 다음과 같은 행렬 $D$로 변환 가능
$D = \begin{pmatrix} I_r & O_1 \\ O_2 & O_3 \end{pmatrix} \qquad \begin{cases} D_{ii} = 1 & i \le r \\ D_{ij} = 0 & i > r \end{cases}$

따름정리 1:
$A: m \times n\ 행렬, \operatorname{rank}(A) = r$
$\implies \exists\ 가역행렬\ B와\ C, 크기\ 각각\ m \times m, n \times n \quad \mathrm{s.t.}$$D = BAC, 이때 \\ D = \begin{pmatrix} I_r & O_1 \\ O_2 & O_3 \end{pmatrix}는\ m \times n\ 행렬$

따름정리 2:
$A: m \times n\ 행렬\ \implies$

  1. $\operatorname{rank}(A^t) = \operatorname{rank}(A)$
  2. 행렬의 계수는 행렬의 선형독립인 행의 최대 수와 같다. i.e. 행렬의 계수는 행렬의 행으로 생성되는 부분공간의 차원과 같다.
  3. 행렬의 행과 열들은 행렬의 계수와 차원이 같은 부분공간들을 생성한다.

따름정리 3:
모든 가역행렬은 기본행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.

증명:
$A: n \times n\ 행렬 \implies 따름정리\ 1의\ D = I_n$
$\exists\ 가역행렬\ B, C \quad \mathrm{s.t.}\ I_n = BAC$
$B = E_p E_{p-1} \cdots E_1, C = G_1 G_2 \cdots G_q$, 이때 $E_i, G_i$ 들은 기본행렬들이다.
$A = B^{-1} I_n C^{-1} = B^{-1} C^{-1}$
$\therefore\ A = {E_1}^{-1} {E_2}^{-1} \cdots {E_p}^{-1} {G_q}^{-1} {G_{q-1}}^{-1} \cdots {G_1}^{-1}$
기본행렬의 역행렬도 기본행렬이다. 때문에 A는 기본행렬들의 곱으로 나타내졌다.

정리 3.7

$\mathsf{T}: \mathsf{V} \longrightarrow \mathsf{W}, \mathsf{U}: \mathsf{W} \longrightarrow \mathsf{Z}$ 가 유한차원 벡터공간 $\mathsf{V, W, Z}$에 대한 선형변환이고, $A, B$는 행렬곱 $AB$를 정의할 수 있는 행렬들일 때
$\implies \begin{cases}\mathrm{(a)} & \operatorname{rank}(\mathsf{U \circ T}) \le \operatorname{rank}(\mathsf{U}) \\ \mathrm{(b)} & \operatorname{rank}(\mathsf{U \circ T}) \le \operatorname{rank}(\mathsf{T}) \\ \mathrm{(c)} & \operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(A) \\ \mathrm{(d)} & \operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(B) \end{cases}$

정의:
$A, B$가 각각 $m \times n$, $m \times p$ 행렬일 때,
확대행렬(augmented matrix) $(A | B)$$m \times ( n + p )$ 행렬이며 처음 $n$개 열은 $A$의 열, 나중 $p$개 열은 $B$의 열이다.

e.g.
$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad (A|I) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

3.3 선형방정식계의 이론적 측면

방정식계 $(S) = \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{matrix}$

정의:
$Ax = b$$b = 0$이면 동차(homogeneous)이고 그렇지 않으면 비동차(nonhomogeneous)이다.
동차계는 적어도 하나의 해를 갖는다.

정리 3.8

선형방정식 $m$개, 미지수 $n$개로 이루어진 동차계 $Ax = 0$의 모든 해의 집합 $\mathsf{K}$ $implies \mathsf{K} = \mathsf{N}(\mathsf{L}_A)$

$\mathsf{K}$$\mathsf{F}^n$의 부분공간, $\operatorname{dim}(\mathsf{K}) = n = \operatorname{rank}(\mathsf{L}_A) = n - \operatorname{rank}(A)$
$\mathsf{K} = \left\{ s \in \mathsf{F}^n : As = 0 \right\} \mathsf{N}(\mathsf{L}_A)$

따름정리:
$m < n$이면 $Ax = 0$는 0이 아닌 해를 갖는다.

정리 3.9

$K$$Ax = b$의 해집합
$\mathsf{K}_\mathsf{H}$$Ax = 0$ 의 해
$^\forall Ax = b$의 해 $s$, $K = \left\{ s \right\} + \mathsf{K}_\mathsf{H} = \left\{ s + k : k \in \mathsf{K}_\mathsf{H} \right\}$

$Ax = 0$$Ax = b$대응하는 동차계(homogeneous system corresponding)라 한다.

예제 3:
$\begin{cases} x_1 + 2 x_2 + x_3 = & 7 \\ x_1 - x_2 - x_3 = & -4 \end{cases}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 7 \\ 1 & -1 & -1 & -4 \end{array}\right) \overset{\underset{ -1 A_1 \rightarrow A_2}{}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 7 \\ 0 & -3 & -2 & -11 \end{array}\right) \overset{\underset{- 1/3 A_2}{}} {\longrightarrow} \\ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -{1 \over 3} & - {1 \over 3} \\ 0 & 1 & {2 \over 3} & {11 \over 3} \end{array}\right) \overset{\underset{-2 A_2 \rightarrow A_1}{}}{\longrightarrow} \begin{cases} x_1 - {1 \over 3} x_3 = -{1 \over 3} \\ x_2 + {2 \over 3} x_3 = {11 \over 3} \end{cases}$
$x_2 = t \in F$ 라면
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1 \over 3}t - {1 \over 3} \\ - {2 \over 3} t + {11 \over 3} \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1 \over 3} \\ - {2 \over 3} \\ 1 \end{pmatrix} t + \begin{pmatrix} -{11 \over 3} \\ {11 \over 3} \\ 0 \end{pmatrix}$

정리 3.10

선형방정식계 $Ax = b$
$A$가 가역이면 계는 정확히 하나의 해 $A^{-1}b$ 를 갖는다.
역으로 계가 하나의 해를 가지고 있으면 $A$는 가역이다.

증명:
유일한 해 $s$ 를 상정
$K = \left\{ s \right\} + K_H$, 이때 $K_H$는 대응하는 동차계 $Ax = 0$의 해
$\implies K_H = \left\{ 0 \right\} \implies \mathsf{N}(\mathsf{L}_A) = \left\{ 0 \right\} \implies \mathsf{L}_A$ 가 가역, i. e. $A$가 가역

예제 4: 쓸데없으니까 하지 마세요

정리 3.11

선형방정식계 $Ax = b$는 해가 있다 $\iff \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A|b)$

예제 5:

예제 6:
$\mathsf{T}: \mathsf{R}^3 \longrightarrow \mathsf{R}^3$, $\mathsf{T} (a_1 , a_2 , a_3 ) = ( a_1 + a_2 + a_3 , a_1 - a_2 + a_3 , a_1 + a_3$
$( 3, 3, 2) \in \mathsf{R}(\mathsf{T})$은 참인가 거짓인가

$\begin{cases} x_1 & + x_2 & + x_3 & = 3 \\ x_1 & - x_2 & + x_3 & = 3 \\ x_1 & & + x_3 & = 2 \end{cases}$
$\mathsf{T} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ ??
$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \overset{\underset{ -1 A_1 \rightarrow A_2, -1 A_1 \rightarrow A_3 }{}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \overset{\underset{ -1/2 \times A_1 , -1 \times A_3 }{}}{\longrightarrow} \\ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \overset{\underset{ -1 A_2 \rightarrow A_3}{}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

해가 없다 $( 3, 3, 2 ) \notin \mathsf{R}(\mathsf{T})$

정리 3.12

3.4 선형방적식계의 계산적 측면

정의:
두 선형방정식계의 해집합이 같으면 두 계는 동치(equivalent)이다.

정리 3.13

미지수 $n$개에 선형방정식 $m$개인 선형방정식계 $Ax = b$$m \times m$ 가역행렬 $C$가 있을 때, $(CA)x = Cb$ 계는 $Ax = b$ 계와 동치이다.

따름정리:
미지수 $n$개에 선형방정식 $m$개인 선형방정식계 $Ax = b$
$(A|b)$를 유한 번 기본행연산하여 $(A' | b' )$를 얻었을 때, $A' x = b'$는 원래의 선형방정식계 $Ax = b$와 동치이다.

정의:
다음 조건을 만족하는 행렬을 기약행 사다리꼴 행렬(reduced row echelon form)이라고 한다.

  • 0이 아닌 원소를 포함한 모든 행들은 모든 성분이 0인 행들보다 위에 있어야 한다.
  • 각 행의 0이 아닌 첫 번째 원소는 1이며 그 위에 위치한 행의 0이 아닌 첫 번째 원소(=1)보다 오른쪽에 있어야 한다.
  • 각 행의 0이 아닌 첫 번째 원소(=1)는 그 원소가 포함된 열의 유일한 0이 아닌 성분이어야 한다.

e.g.
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 은 기약행 사다리꼴 행렬

선형방정식계에서 방정식이 하나만 남을 때까지 기본행연산을 반복하는 것을 가우스 소거법(Gaussian elimination)이라고 한다.
e.g.
$\begin{cases} x_1 & + 3 x_2 & + x_3 & = 9 \\ x_1 & + x_2 & - x_3 & = 1 \\ 3x_1 & + 11 x_2 & + 5 x_3 & = 35 \end{cases}$
$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 11 & 5 & 35 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

정리 3.14

가우스 소거법은 어떤 행렬을 그 행렬의 기약행 사다리꼴 행렬로 변환시킨다.

$Ax = b$ $\iff \mathsf{L}_A : \mathsf{F}^n \longrightarrow \mathsf{F} \\ ^\forall Ax = b \iff \mathsf{L}_A(x) = b$

la-3-thm-9.png

$Ax = b$의 임의의 해
$s - s_0 + t_1 u_1 + t_2 u_2 + \cdots + t_{n-r} u_{n-r}$$Ax = b$ 방정식계의 일반해(general solution)라고 한다.

정리 3.15

미지수 $n$ 개에 0이 아닌 방정식 $r$ 개로 이루어진 선형방정식계 $Ax = b$
$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A|b)$, $(A|b)$는 기약행 사다리꼴 행렬
$\implies \begin{cases} \operatorname{rank}(A) = r \\ 일반해\ s = s_0 + t_1 u_1 + \cdots + t_{n-r} u_{n-r}\ \implies \begin{cases} \left\{ u_1, \cdots, u_{n-r} \right\}은\ 대응하는\ 동차계의\ 해집합의\ 기저 \\ s_0은\ 원래\ 계의\ 해 \end{cases} \end{cases}$

정리 3.16

$\begin{matrix} m \times n\ 행렬 A의\ 계수가\ r>0 \\ B는\ A의\ 기약행\ 사다리꼴\ 행렬 \end{matrix} \implies$
(a) $B$의 영행렬이 아닌 행의 개수는 $r$
(b) $\exists\ B의\ 열\ b_j \quad \mathrm{s.t.}\ b_{j_i} = e_i$
(c) $A의\ 열\ j_1, j_2, \cdots, j_r\ 들은\ 선형독립$
(d) $k = 1, 2, \cdots, n \quad B의\ k열들이\ d_1 e_1 + d_2 e_2 + \cdots + d_r e_r \implies A의\ k열들은\ d_1 a_{j_1} + d_2 a_{j_2} + \cdots + d_r a_{j_r}$

따름정리:
행렬의 기약행 사다리꼴 행렬은 유일하다.

예제 2:
$A_4 = 4 A_1 + (-1) A^3$

예제 3:
$S = \left\{ 2 + x + 2 x^2 + 3 x^3 , 4 + 2 x + 4 x^2 + 6 x^3 , 6 + 3x + 8x^2 + 7 x^3 , 2 + x + 5x^3, 4 + x + 9 x^3 \right\}$$\mathsf{V}$의 부분공간 $\mathsf{P}_3 (\mathbb{R})$ 을 생성한다.
$\mathsf{V}$의 기저가 되는 $S$의 부분공간을 찾으시오.

$\phi_\beta : \mathsf{P}_3 (\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^4 . \qquad \beta = \left\{ 1, x, x^2, x^3 \right\}$

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 7 & 5 & 9 \end{pmatrix} \overset{\underset{ -1/2 A_2, 1/2 A_3}{}}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 7 & 5 & 9 \end{pmatrix} \longrightarrow \cdots \longrightarrow$

유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$의 선형독립인 부분공간 $S$$\mathsf{V}$의 기저로 확장하는 방법
예제 4:

$x_1 = -7 x_2 -5 x_3 +4 x_4 - 2 x_5$
$x_2 = t_1, x_3 = t_2, x_4 = t_3, x_5 = t_4 \Longleftarrow$ 임의의 실수
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 t_1 -5 t_2 +4 t_3 - 2 t_4 \\ t_1 \\ t_2 \\ t_3 \\ t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} t_1 + \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} t_2 + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} t_3 + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} t_4$