우주팽창
  • $t_0$: 현재 우주의 나이
  • $a$: 크기 인자
  • $R_0$: 현재 우주의 크기
  • $r(t) = a(t) \cdot R_0$
  • Expansion rate $v(t) = {dr(t) \over dt} = {da(t) \over dt}R_0 = \dot a \cdot R_0 = {\dot a \over a} \cdot r(t)$
  • $v(t) = H(t) \cdot r(t)$를 대입하면 $\therefore H(t) = {\dot a \over a}$
  • Equation of motion $M(t) = M(t_0) = {4 \over 3}\pi {R_0}^3 \rho_0$
    • $\rho_0$: $t_0$에서의 밀도
    • $\rho(t) = \rho_0 \cdot a^{-3}(t)$
    • $M(t) = {4 \over 3} \pi {R_0}^3 a^3(t) \rho(t)$
    • acceleration $\ddot r(t) = {{d^2 r} \over {dt^2}} = - {{GM} \over r^2} = -{4 \over 3}\pi G \rho_0 {{{R_0}^3} \over r^2}$
    • $\ddot a(t) = \ddot r(t) / R_0 = -{4 \over 3}\pi G \rho \cdot {{R_0}^2 \over r^2} = - {4 \over 3} \pi G \rho(t) a(t) \left( \because {{R_0}^2 \over r^2} ={1 \over a^2} \right)$
  • Energy conservation
  • ${1 \over 2}mv^2 - {{GMm} \over r} = -{1 \over 2} m k c^2 {R_0}^2$
  • $v^2 - {8 \over 3} \pi G \rho r^2 = -k c^2 {R_0}^2$
    • if $k = 0$, total energy = 0, flat universe
    • $k > 0$, total energy < 0, closed universe (expansion stops)
    • $k < 0$, total energy > 0, open universe
    • $k$값에 따라 그래프가 달라진다
    • 500px-Friedmann_universes_bold.svg.png
    • redshift $a = {1 \over {1+z}}$, $\rho(z) = \rho_0 (1+z)^3$
  • $\dot a(t)$
    • $2 \dot a \ddot a = -{4 \over 3} \pi G \rho a \cdot 2 \dot a = = -{4 \over 3}\pi G \rho_0 {{2 \dot a} \over a^2}$
      • ${{d {\dot a}^2} \over dt} = 2 \dot a \ddot a$, ${{d a^{-1}} \over dt} = {1 \over a^2} \dot a$
    • $\int {{d {\dot a}^2} \over dt} = - \int {{8 \pi G \rho_0} \over 3} {{d a^{-1}} \over dt}$
    • ${\dot a}^2 = {8 \over 3} \pi G \rho_0 {1 \over a} = {8 \over 3} \pi G \rho(t) a^2(t) - k c^2$
    • $\therefore {\dot a}^2 - {8 \over 3} \pi G \rho_0 {1 \over a} = -k c^2$
  • if $k = 0$, $\rho(t) = {3 \over {8 \pi G}} {\left( {{\dot a} \over a} \right)}^2 = {{3 a^2(t)} \over {8 \pi G}}$
  • critical density $\rho_{c, 0} = {{3 {H_0}^2} \over {8 \pi G}}$
  • baryon density $\rho_{b, 0} < \rho_{c, 0}$, dark matter density $\rho_{d, 0} < \rho_{c, 0}$
    • 바리온 밀도에 암흑물질 밀도를 더해도 임계밀도에 미치지 못함 (압력을 고려하지 않았기 때문)
  • $\Omega(t) = {{\rho(t)} \over {\rho_0(t)}} = {{8 \pi G \rho(t)} \over {8 H^2(t)}}$
  • ${\Omega_0 \over \Omega} = {{\rho {H_0}^2} \over {\rho_0 H^2}} = (1 + z)^3 {{H_0}^2 \over H^2}$ ($H = \dot a / a$)
  • $\left( {H^2 - {8 \over 3} \pi G \rho } a^2 \right) = - k c^2$
  • $H^2 \left( r \Omega \right) a^2 = - k c^2$
  • at $t_0$, ${H_0}^2 (1 - \Omega_0) = - k c^2$
    • $\Omega_0 = 1$, $k = 0$ flat
    • $\Omega_0 > 1$, $k > 0$ closed
    • $\Omega_0 < 1$, $k < 0$ open
  • $\Omega H^2 = (1 + z)^3 \Omega_0 {H_0}^2$
  • $H = H_0 (1 + z)^3 ( 1 + \Omega_0)$
  • $\Omega = 1 + {{\Omega_0 - 1} \over {1 + \Omega_0 z}}$
  • ${{t_{flat}(z)} \over t_H} = {2 \over 3}{1 \over {(1 + z)^{3/2}}} \rightarrow t/t_H = {2 \over 3}, t = {2 \over 3}배 \sim 9 \rm{Gyr}$ 잉?(예상값과 다름)
  • pressure를 도입한다면
  • ${du \over dt} = - P {dv \over dt}$
  • 프리드만 방정식
    • $\left( {{\dot a} \over a} \right)^2 = {8 \over 3} \pi G \rho - {{k c^2} \over {a^2}} + {\Lambda \over 3}$
    • ${{\ddot a} \over a} = -{4 \over 3} \pi G \left[ \rho + {3P \over c^2} \right] + {\Lambda \over 3}$
  • 이 세가지를 알면 $\Omega$를 구할 수 있다
    • $\Omega_m \sim 0.3$ (dark matter + baryon)
    • $\Lambda \sim 0.7$
    • $H_0 \sim 70$