초대질량 블랙홀

블랙홀 강착과 광도, 질량

어떤 천체에서 잘량분포의 구대칭을 가정하고, 질량 $M$ 광도 $L$이라면, 복사로 인한 외부로 향하는 힘

(1)
\begin{align} F_{rad} = {{L \sigma_T} \over {4 \pi r^2 c} } \end{align}

자체 중력으로 인한 내부로 향하는 힘(중력)

(2)
\begin{align} F_g = {{G M m_p \mu} \over {r^2}} \end{align}

이때 $\mu$는 평균분자량(항성천문학 참조)이고 태양의 경우 $\mu_\odot \sim 1.17$으로 무시 가능.

에딩턴 광도(복사력과 중력이 정역학적 평형을 이룰 수 있는 한계 광도)

(3)
\begin{align} L_{Edd} = {{4 \pi G M m_p c} \over {\sigma_T}} \sim 1.3 \times 10^{38}\ \left( {M \over {M_\odot}} \right)\ \mathrm{erg/s} \end{align}

블랙홀의 강착원반의 광도

(4)
\begin{align} L_{acc} = \eta\ \dot M_{acc}\ c^2 \end{align}

이때 $\eta$는 복사효율이며, 블랙홀의 경우 $\eta \sim 10 \%$

에딩턴 광도와 강착 광도가 같을 때

(5)
\begin{align} L_{Edd} = \eta\ \dot M_{Edd}\ c^2 \end{align}
(6)
\begin{align} \therefore \dot M_{Edd} = {{L_{Edd}} \over {\eta\ c^2}} \end{align}

그리고 실제 $\dot M_{acc}$$\dot M_{Edd}$의 비를 에딩턴 비율 $\dot m$ 이라고 하고

(7)
\begin{align} \dot m = {{\dot M_{acc}} \over {\dot M_{Edd}}} = {{\dot M_{acc}} \over {L_{Edd} / \eta\ c^2}} = {{\dot M_{acc} \eta\ c^2} \over {L_{Edd}}} = {{L_{acc}} \over {L_{Edd}}} \propto {L_{bol} \over M_{BH}} \end{align}

퀘이사는 $\dot m \sim 10-100 \%$, 세이퍼트는 $\dot m \sim 수 \%$

이때 $\dot M_{BH}$는 블랙홀의 질량 변화율인 고로

(8)
\begin{align} \dot M_{BH} = \dot M_{acc} (1 - \eta) = {{1 - \eta} \over \eta}{L_{bol} \over c^2} = \left( {1 \over \eta} - 1 \right){L_{bol} \over c^2} \end{align}

이때 $\dot M_{acc}$은 블랙홀로 떨어지는 질량의 변화율.

(9)
\begin{align} L = \eta\ \dot M_{acc}\ c^2 \end{align}
(10)
\begin{align} L_{Edd} = \eta\ \dot m c^2 \\ 어찌저찌 해서 \\ {{4 \pi G m_p c} \over {\sigma_T}} M_{BH} = \eta\ {dM \over dt} c^2 \\ \end{align}
(11)
\begin{align} dt = {{\eta\ c^2 \sigma_T} \over {4 \pi G m_p c}}{{dM} \over {M_{BH}}} \\ \int_0^T dt = \int_{M_i}^{M^f} {{\eta\ c^2 \sigma_T} \over {4 \pi G m_p c}}{{dM} \over {M_{BH}}} \end{align}

이때 ${{\eta\ c^2 \sigma_T} \over {4 \pi G m_p c}} = X$로 잡으면

(12)
\begin{align} t \bigg|_{0}^{T} = \ln M^X \bigg|_{m_i}^{m^f} \end{align}
(13)
\begin{align} {T \over X} - 0 = \ln {{M_f} \over {M_i}} \end{align}
(14)
\begin{align} M_f = M_i \exp \left[ {T \over X} \right] \end{align}

이때 $X = \tau$는 Salpeter time scale로, 나중 질량 $M_f$가 처음 질량 $M_i$의 자연상수배가 되는 데 걸리는 시간이다.

(15)
\begin{align} \tau = \eta \times 5\ \times 10^8\ \mathrm{yrs} \sim 5 \times 10^7\ \mathrm{yrs} \end{align}

블랙홀의 연속방출

  • $f_{\nu} \propto {\nu}^{-\alpha}$
  • $\nu f_{\nu} \propto {\nu}^{-\alpha + 1}$
  • $\alpha = 1 - 0.7$
acc_disk.png
  • 자외선 - 가시광선 대역: 강착원반의 흑체복사
  • 강착원반은 기하학적으로 thin(두께 무시)하고, 광학적으로는 thick 하다.
  • $L = {{GM \dot M} \over {2r}}$ (비리얼)
  • $L = 2 \pi r^2 \sigma_{\rm{SB}} T^4$ (흑체복사)
    • cf. $L_{\star} = 4 \pi R^2 \sigma_{\rm{SB}} {T_{\rm{eff}}}^4$
    • 별은 구(3차원)라서 표면적이 4πR², 이고, 강착원반은 원반(2차원; 두께 무시)이라서 표면적이 2πR² (윗면 아랫면 해서 2개)
(16)
\begin{align} \therefore T = {\left( {{GM \dot M} \over {4 \pi \sigma_{\rm{SB}} r^3}} \right)}^{1 \over 4} \end{align}

보다 엄밀하게 계산하면,

(17)
\begin{align} T(r) = {\left[ {{3GM \dot M} \over {8 \pi \sigma_{\rm{SB}} r^3}} {\left( 1 - {\left( {R_{\rm{in}} \over r} \right)}^{1 \over 2} \right)} \right]}^{1 \over 4} = {\left[ {{3 c^6 \dot M} \over {64 \pi \sigma_{\rm{SB}} r^3 }} \right]}^{1 \over 4} {\left( {r \over R_{\rm{S}}} \right)}^{- 3 \over 4} \end{align}

이때 $\dot M = \left( {{\dot M} \over {\dot M_{\rm{Edd}}}} \right) \cdot \dot M_{\rm{Edd}}$ 를 대입하면

(18)
\begin{align} T(r) = {\left[ {{3 c^6} \over {64 \pi \sigma_{\rm{SB}} G^2 M^2 }} \right]}^{1 \over 4} {\left( {\dot M} \over {\dot M_{\rm{Edd}}} \right)}^{1 \over 4} \cdot {\left( r \over {R_{\rm{S}} } \right)}^{- {3 \over 4}} \propto {\dot M}^{1 \over 4} M^{- {1 \over 2}} \end{align}
  • 예컨대, 블랙홀이 에딩턴 광도에서 질량이 $M_{\rm{BH}} \sim 10^8 M_{\odot}$일 경우
    • $\nu_{\rm{max}} \sim 3.6 \times 10^{16} \rm{Hz}$
    • $\lambda_{\rm{max}} \sim 100 Å \rightarrow 0.1 \rm{keV}$
  • $M_{\rm{BH}} \sim 1 M_{\odot}$일 경우
    • $\nu_{\rm{max}} \sim 10^{18} \rm{Hz}$
  • 엑스선: hot corona의 역콤프턴 효과
    • 다른 광원의 광자가 상대론적으로 운동하는 전자와 충돌해 더 높은 에너지로 산란(= 콤프턴 효과의 반대)
    • 이론적으로 엑스선 대역에서 $f_\nu \propto \nu^{-0.7}$이나 실제 관측값은 불일치
    • bh_graph.png
    • 코로나의 입자가 강착원반에 충돌해 반사되는 reflection model 로 설명
    • reflection_model.png
  • 전파: 싱크로트론
  • 적외선: dust 토러스

블랙홀의 방출선

넓은선 영역(BLR)

  • $n_e \sim 10^{9 - 10} \rm{/cm^3}$ : not easy to measure
  • 고밀도, hige $n^e$ → 금지선 없음
  • velocity FWHM > 1000 km/s: 은하의 중력 포텐셜보다 훨씬 크다.
    • ${{\Delta \lambda} \over \lambda} = {{v_{\rm{FWHM}}} \over c}$
    • $\lambda$는 선의 가운데, $\Delta \lambda$는 선폭
  • 선속 $f_{\lambda} = A \cdot \exp \left[ {{(\lambda - \lambda_0)^2} \over {2 \sigma^2}} \right]$
    • $\sigma = {{\rm {FWHM}} \over 2.355}$
    • 실제속도 $v_\sigma = {1 \over 2} v_{\rm{FWHM}}$
  • 온도 $T_e \sim 10^4 \rm{K}$
  • 반경 $R \sim \rm{a few ld - ly}$

좁은선 영역(NLR)

  • $n_e \sim 10^{3 - 4} \rm{/cm^3}$ : 전리수소영역과 유사
    • 금지선(e.g. 산소선 4363; 4959; 5007, 유황선 6717; 6731
    • 재결합선(e.g. H α, H β, …)
  • 온도 $T_e \sim 10^7 \rm{K}$
    • ${{f_{6716}} \over {f_{6731}}} \propto {{n_e} \over {{n_e}^2}} \propto {n_e}^{-1}$
    • ${{f_{4959+5007}} \over {f_{4363}}} \sim {{7.3\ \exp \left[ 3 \times 10^4 / T_e \right] } \over {1 + 4.5 \times 10^{-4} n_e {T_e}^{-1/2} } }$
  • 반경 $R \sim 100 \rm{pc} - 1 \rm{kpc}$

블랙홀 질량측정

  • 공간분해법: 우리 은하 근처의 은하들만 가능.
  • 시간분해법(AGN only): $M_{BH} = f R_{BLR} V^2 / G$
  • 간접적(AGN only): $M_{BH} = f {L_{opt}}^{0.5} V^2 / G$

빛의 메아리

  • 방출선은 강착원반의 UV 광자에 의해 들뜨는 것.
  • 방출선이 나오고 나서 방출선이 나올 때까지 시간이 걸린다.
  • AGN이 변광할 때, 연속방출이 변광하고 방출선이 변광할 때를 시간비교

간접적 질량측정

  • Size-luminosity relation: $R_{BLR} \sim {L_{opt}}^{0.5}$
  • BLR이 isotropic 하다고 가정하면 $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_x$
  • $\sigma = \sqrt{{\sigma_x}^2 + {\sigma_y}^2 + {\sigma_z}^2} = \sqrt {3 \sigma_x}$
  • 비리얼 정리에서 $R_{BLR} \sim V^{-2}$이고
  • S-L relation에서 $R_{BLR} \sim {L_{opt}}^{0.5}$
  • $\therefore {L_{opt}}^{0.5} \sim V^{-2}$