은하천문학 과제 - 표면밝기 윤곽

Due: Oct. 2

1. 타원은하에서, 중심표면밝기 $I_0$과 유효표면밝기 $I_e$의 관계 $I_0 \sim 2000\ I_e$ 를 유도하라. 그리고 유효반경 안의 평균표면밝기 $\langle I \rangle _e = 3.61\ I_e$ 임을 보여라.

(1)
\begin{align} I(R) = I_e \cdot \exp \left[ -7.67 \left( \left({R \over R_e} \right)^{1 \over 4} - 1 \right) \right] \end{align}

타원은하이므로 $n=4$, $k=7.67$

(2)
\begin{align} I_0 = I(0) = I_e \cdot \exp \left[ -k (0 - 1) \right] = I_e \cdot \exp (k) = I_e \cdot e^7.67 = 2140\ I_e \approx 2000\ I_e \end{align}

$\langle I \rangle _e = { I_e \over {\pi {R_e}^2}}$이므로

(3)
\begin{align} L = \int_{0}^{\infty} 2\pi R\ I(R) dR = 2 \int_{0}^{R_e} 2\pi R\ I(R) dR = 4\pi \int_{0}^{R_e} R\ I(R) dR \end{align}
(4)
\begin{align} = 4\pi \int_{0}^{R_e} R \left( I_e \cdot \exp \left[ -k \left( {R \over R_e} \right)^{1 \over n} - 1 \right] \right) dR \end{align}
(5)
\begin{align} = 4\pi \cdot e^k \cdot I_e \int_{0}^{R_e} R \cdot \exp \left[ -k \left( {R \over R_e} \right)^{1 \over n} \right] dR \end{align}

이때 $x = -k \left( {R \over R_e} \right)^{1 \over n}$로 치환하면 $R = -R_e \left( {x \over k} \right)^n$, ${dR \over dx} = -R_e\ n\ k^{-n}\ x^{n-1}$

(6)
\begin{align} L = 4\pi \cdot e^k \cdot I_e \int_{0}^{-k} -R_e\ \left( {x \over k} \right)^n \cdot \exp(x) \cdot \left( -R_e\ n\ k^{-n}\ x^{n-1} \right) dx \end{align}
(7)
\begin{align} = 4\pi \cdot e^k \cdot I_e \int_{0}^{-k} n\ {R_e}^2\ k^{-2n}\ x^{2n-1}\ e^x dx \end{align}
(8)
\begin{align} = \left( \pi {R_e}^2 I_e \right) \times \left( 4 \cdot k^{2n}\ e^k\ n \right) \times \int_{0}^{-k} x^{2n-1}\ e^x\ dx \end{align}

$n=4$, $k-7.67$ 대입하면

(9)
\begin{align} L = \left( \pi {R_e}^2 I_e \right) \times \left( 16 \cdot 7.67^{8}\ e^7.67\ \right) \times \int_{0}^{-7.67} x^{7}\ e^x\ dx \end{align}

2. 나선은하에서, 중심표면밝기 $I_0$과 유효표면밝기 $I_e$의 관계를 구하라. 나선은하의 총 광도가 높이척도의 제곱에 비례함 $L \propto h^2$ 을 보여라.

3. 나선은하에서 $h$$R_e$ 사이의 관계를 구하라.

4. 광도가 같은 타원은하와 나선은하를 상정하고, 나선은하의 중심표면밝기와 타원은하의 유효반경에서의 표면밝기 사이의 관계를 구하라.