12. 전자기학과 상대론

12.1 특수상대론

12.1.1 아인슈타인 가설

12.1.2 상대론의 기하학

12.1.3 로런츠 변환식

12.1.4 시공간의 구조

12.2 상대론적 역학

12.2.1 고유시간과 고유속도

우리가 세계선을 따라 움직이면 우리 시계는 천천히 간다. 남의 시계가 $dt$갈 동안 우리 시계는 고유시간(proper time) $d \tau$ 간다.

$\vec{u}$는 특정 물체(여기서는 우리)의 속도를, $\vec{v}$는 두 관성계의 상대속도.

(1)
\begin{align} \vec{\eta} \equiv {{d \vec{l} } \over { d \tau}} \qquad \vec{u} = {{ d \vec{l} } \over { d t}} \end{align}
(2)
\begin{align} d \tau = \sqrt{1 - u^2 / c^2} dt \end{align}
(3)
\begin{align} \vec{\eta} = {1 \over \sqrt{1 - {u^2 / c^2} }}, \quad \vec{ \eta} = \gamma \vec{u} \end{align}

$\vec{\eta}$고유속도(proper velocity)라고 하고, $\vec{u}$보통속도(ordinary velocity)라고 한다.

(4)
\begin{align} \eta^\mu \equiv {{ d x^\mu } \over {d \tau}} \end{align}
(5)
\begin{align} \eta^0 = {{dx^0} \over {d \tau}} = c {{dt } \over {d \tau}} = {c \over \sqrt{1 - {u^2 / c^2}}} = \gamma c \end{align}

보통 속도가 광속보다 훨씬 작으면($u \ll c$) 고유속도와 보통속도는 거의 같다($\eta \cong u$).

(6)
\begin{align} \bar{\eta}^\mu = \Lambda_\nu^\mu \eta^\mu \end{align}
(7)
\begin{pmatrix} \gamma & - \gamma \beta & 0 & 0 \\ - \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(8)
\begin{cases} \bar{\eta}^0 & = \gamma ( \eta^0 - \beta \eta^1 ) \\ \bar{\eta}^1 & = \gamma ( \eta^1 - \beta \eta^0 ) \\ \bar{\eta}^2 & = \eta^2 \\ \bar{\eta}^3 = \eta^3 \end{cases}
(9)
\begin{cases} \bar{u}_x & = {{d \bar{x}} \over {d \bar{t}}} = {{ u_x - v} \over {( 1- v u_x / c^2 ) }} \\ \bar{u}_y & = {{d \bar{y}} \over {d \bar{t}}} = {{ u_y - v} \over {( 1- v u_x / c^2 ) }} \\ \bar{u}_z & = {{d \bar{z}} \over {d \bar{t}}} = {{ u_z - v} \over {( 1- v u_x / c^2 ) }} \end{cases}

12.2.2 상대론적 에너지와 운동량

상대성 원리와 운동량 보존 법칙을 조화시키기

상대론적 운동량의 정의:

(10)
\begin{align} \vec{p} \equiv m \vec{\eta} = {{m \vec{u}} \over \sqrt{1 - u^2 / c^2}} = \gamma m \vec{u} \end{align}

상대론적 운동량은 다음 4-벡터의 공간부분이다.

(11)
\begin{align} p^\mu \equiv m \eta^\mu \end{align}

시간 성분은 다음과 같이 나오는데 이게 뭘까?

(12)
\begin{align} p^0 = m \eta^0 = {{ mc} \over \sqrt{1 - u^2 / c^2}} = \gamma m c \end{align}

아인슈타인은 $p^0 c$상대론적 에너지임을 확인했다.

(13)
\begin{align} E \equiv {{ mc} \over \sqrt{1 - u^2 / c^2}} \end{align}

입자의 속도 $u = 0$으로 하면

(14)
\begin{equation} E_{나머지} = m c^2 \end{equation}

속도가 없는데 에너지가 있네? → 질량 자체에 에너지가 있네?

(15)
\begin{align} E_{운동} = E - mc^2 & = mc^2 \left( {1 \over \sqrt{1 - u^2 / c^2}} - 1 \right) \\ & = {1 \over 2 } m u^2 + {3 \over 8} {{m u^4} \over c^2} + \cdots \end{align}

이 식의 첫 항이 고전역학의 운동에너지이다.

운동량의 자체 내적은

(16)
\begin{align} p^\mu p_\mu & = - (p^0 )^2 + ( \vec{p} \cdot \vec{p} ) \\ & = m^2 \left[ - ( \eta^0 )^2 +( \vec{\eta} \cdot \vec{eta} ) \right] \\ & = m^2 \left[ - ( \gamma c)^2 + ( \gamma u)^2 \right] \\ & = m^2 {{ - c^2 +u^2 } \over {1 - u^2/c^2 }} \\ & = - m^2 c^2 \\ - \left( {E \over c} \right)^2 & + p^2 = - m^2 c^2 \\ \therefore\ E^2 & = p^2 c^2 +m^2 c^4 \end{align}

→ (상대론적) 에너지-운동량 관계.
이 결과는 물체의 속도를 알지 못해도 운동량을 알면 에너지를 셈할 수 있고 반대로 에너지를 알면 운동량을 셈할 수 있으므로 쓸모가 있다.

12.2.3 상대론적 운동학

에너지와 운동량의 보존:

  • 실험적 사실 — 닫힌 계에서 에너지와 운동량은 보존된다.
    • 불변(invariant): 좌표계를 변환해도 변하지 않는 것을 의미
    • 보존(conserved): 보존이라 함은 어떤 변화가 있고 그 전후로 양이 변하지 않는 것을 의미
불변 보존
질량 $m$ (질량은 에너지로
바뀔 수 있다)
에너지 $E$
운동량 $p$
(에너지는 로런츠
변환으로 바뀐다)
전하 $q$
속도 $u$

예제 12.7:

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  • 총 운동량이 보존됨은 명백하다.
  • 에너지 보존으로부터
(17)
\begin{align} {{mc^2 } \over \sqrt{ 1 - (3/5)^2 }} = {5 \over 4} mc^2 \end{align}
(18)
\begin{align} {5 \over 4} mc^2 + {5 \over 4} mc^2 = Mc^2 \quad \implies M = {5 \over 2} m \end{align}
  • 질량이 늘어났다?!
    • 운동에너지가 정지에너지 — 질량으로 바뀌었다.
    • 고전역학에서는 충돌시 "열"이 발생해서 총 에너지가 감소했다고 한다.
    • 상대론에서는 그 "열" = 물체의 "내부 에너지" = 질량이라고 보는 것.
      • 뜨거운 감자가 찬 감자보다 무겁고 압축된 용수철이 이완된 용수철보다 무겁다… 그러나 그 차이는 미미하여 거시 세계에서는 포착되지 않는다. (는 것이 상대론의 해석)
    • 부딪힌 두 물체가 기본입자라면 온도라는 개념을 말할 수가 없음 → 입자의 질량이 진짜 변화, 핵분열/핵융합이 일어나는 것

예제 12.8: 붕괴

e-12-27.png
(19)
\begin{align} E_i = m_\pi c^2, \qquad & \vec{p}_i = 0, \\ E_f = E_\mu + E_\nu, & \vec{p}_f = \vec{p}_\mu +\vec{p}_\nu \end{align}

운동량이 보존되므로 $\vec{p}_\nu = - \vec{p}_\mu$

(20)
\begin{align} E_\mu + E_\nu & = m_\pi c^2 \\ E_\mu + \sqrt{{E_\mu}^2 - {m_\mu}^2 c^4 } & = m_\pi c_2 \end{align}
(21)
\begin{align} \therefore\ E_\mu = {{({m_\pi}^2 + {m_\mu}^2 ) c^2} \over {2 m_\pi}} \end{align}

예제 12.9: 콤프턴 산란

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12.2.4 상대론적 동역학

12.3 상대론적 전자기학