9. 전자기파

9.1 일차원 파동

9.1.1 파동 방정식

파동의 정의: 무언가가 (1)일정한 꼴을 유지하면서, (2)일정 속도로, (3)퍼져가는

  1. 흡수 무시, 2차원 또는 3차원에서 파동이 퍼지면서 진폭이 감소하는 것 무시
  2. 분산 무시(분산성 매질에서는 진동수가 다른 파동은 진행속도가 다름)
  3. 정상파 무시

이런 세세한 것을 무시한, 모양이 고정되고 속력이 일정한 파동을 상정

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이런 파동을 나타내는 수식은?
오른쪽 그림은 왼쪽 그림을 $vt$만큼 오른쪽으로 이동한 것.
실의 모양이 $g(z) = f(z, 0)$이라면 다음 순간의 모양 $f(z, t)$는 거리 $vt$만큼 왼쪽에 있던 곳 $z-vt$의 과거 $t=0$ 변위와 같다.

(1)
\begin{equation} f(z,t) = f(z-vt,0) = g(z-vt) \end{equation}

파동방정식의 유도

  • 팽팽하게 당긴 줄은 왜 파동운동을 하는가? — 뉴턴 제2법칙
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  • 줄의 장력 $T$, 선밀도 $\mu$, 수직변위 $f$
  • 수직방향의 알짜힘
(2)
\begin{align} \Delta F \cong T ( \tan \theta' - \tan \theta ) = T \left( \left. {{\partial f} \over {\partial z}} \right\rvert_{z + \Delta z} - \left. {{\partial f} \over {\partial z}} \right\rvert_z \right) \cong T {{\partial^2 f} \over {\partial z^2}} \Delta z \end{align}
  • 수직방향의 운동에 대한 뉴턴 운동방정식
(3)
\begin{align} \Delta F = \mu ( \Delta z) {{\partial^2 f} \over {\partial t^2}} \end{align}
  • 따라서 줄의 작은 변형의 운동방정식은 다음과 같은 1차 2계 편미방이 된다.
(4)
\begin{align} {{\partial^2 f} \over {\partial z^2}} = {1 \over v^2}{{\partial^2 f} \over {\partial t^2}} , \quad v = \sqrt{T \over \mu} \end{align}

파동방정식의 일반해의 특성

(5)
\begin{align} {{\partial^2 f} \over {\partial z^2}} - {1 \over v^2} {{\partial^2 f} \over {\partial t^2}} = 0 \end{align}
(6)
\begin{align} \implies & \left( {\partial \over {\partial z}} \pm {1 \over v} {\partial \over {\partial t}} \right) \left( {\partial \over {\partial z}} \mp {1 \over v} {\partial \over {\partial t}} \right) f = 0 \\ \implies & \left( {\partial \over {\partial z}} \mp {1 \over v } {\partial \over {\partial t}} \right) f = 0 \\ \implies & f(z, t) = f(z \pm vt)\ \text{일반해} \end{align}

파동방정식의 가장 일반적인 해는 오른쪽으로 가는 파동과 왼쪽으로 가는 파동의 합

(7)
\begin{equation} f(z, t) = g(z - vt) + h (z + vt) \end{equation}

9.1.2 사인파

(i) 용어
조화파동(사인파)

(8)
\begin{align} f(z,t) = A \cos [ k (z - vt) + \delta ] \end{align}
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  • $A$: 진폭(amplitude) — 평형위치에 대한 최대변위
  • $[k (z -vt) + \delta ]$: 위상(phase) — 코사인 함수의 변수.
    • $\delta$: 위상상수(phase constant) — $\delta / k$는 파동이 "뒤처진" 거리.
  • $k$: 파수(wave number)
    • 파수의 부호만 바꾸면 진폭, 위상상수, 진동수, 파장이 모두 같지만 진행방향이 반대인 파동이 됨
    • 파수와 파장(wavelenght)은 다음 관계가 있음
(9)
\begin{align} \lambda = {{2 \pi } \over k} \end{align}
  • $T$: 주기 — 어느 한 곳 $z$에서 진동이 한 번 순환하는 시간
(10)
\begin{align} T = {\lambda \over v} \end{align}
  • $\nu$: 진동수 — 단위시간 동안 진동하는 회수
(11)
\begin{align} \nu = {1 \over T} = {v \over \lambda} \end{align}
  • $\omega$: 각진동수 — 진동수를 단위 시간에 도는 각도로 바꾸어 나타낸 것
(12)
\begin{align} \omega & = 2 \pi v = kv \\ f (z, t) & = A \cos ( kz - \omega t + \delta ) \end{align}

(ii) 복소수 표기법
오일러 공식

(13)
\begin{align} e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \end{align}

를 쓰면 사인파를 다음과 같이 쓸 수 있다.

(14)
\begin{align} f(z, t) = \Re \left[ A e^{i (kz - \omega t + \delta ) } \right] \end{align}
  • $\Re ( \xi) \equiv$ 복소수 $\xi$의 실수부.

이로부터 도입되는 복소파동함수(complex wave function)는

(15)
\begin{align} \tilde{f} (z, t) \equiv \tilde{A} E^{i (kz - \omega t)} \end{align}

복소진폭 $\tilde{A}$에 위상상수가 포함된다.

(16)
\begin{align} \tilde{A} \equiv A e^{i \delta} \end{align}

실제 파동함수는 복소파동함수의 실수부이다.

(17)
\begin{align} f(z, t) = \Re [ \tilde{f} (z, t) ] \end{align}

지수함수가 사인함수나 코사인함수보다 다루기 쉽기에 복소기호를 사용한다.

(iii) 사인파의 선형중첩

(18)
\begin{align} \tilde{f} (z, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{A} (k) e^{i (kz - \omega t)} dk \end{align}

예제 9.1: 두 사인 파동을 더해서 만드는 새로운 사인파동
파동의 복소표현식에서

(19)
\begin{align} \tilde{f}_1 = \tilde{A}_1 e^{i (kz - \omega t)}; \quad \tilde{A}_1 = A_1 e^{i \delta_1 } \end{align}
(20)
\begin{align} \tilde{f} = \tilde{A}_1 e^{i(kz - \omega t)} + \tilde{A}_2 e^{i (kz - \omega t)} = ( \tilde{A}_1 + \tilde{A}_2 ) e^{i ( kz - \omega t)} = \tilde{A} e^{i (kz - \omega t)} \end{align}
  • : 진동수와 진행방향은 같다.
  • 진폭, 위상은?
(21)
\begin{align} \tilde{A} = \tilde{A}_1 + \tilde{A}_2 \quad \mathrm{or} \quad A e^{i \delta} = A_1 e^{i \delta_1} + A_2 e^{i \delta_2} \end{align}
(22)
\begin{matrix} \begin{cases} A \cos \delta & = A_1 \cos \delta_1 + A_2 \cos \delta_2 \\ A \sin \delta & = A_1 \sin \delta_1 + A_2 \sin \delta_2 \end{cases} & \implies & \begin{cases} A & \sqrt{ {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2 A_1 A_2 \cos ( \delta_1 - \delta_2) } \\ \delta & = \arctan {{A_1 \sin \delta_1 + A_2 \sin \delta_2 } \over {A_1 \cos \delta_1 + A_2 \cos \delta_2 }} \end{cases} \end{matrix}

9.1.3 경계조건: 반사와 투과

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알짜 파동함수

(23)
\begin{align} \tilde{f} (z, t) = \begin{cases} \tilde{A}_{입사} e^{i( k_1 z - \omega t)} + \tilde{A}_{반사} e^{i (-k_1 z - \omega t)} , & z < 0 \\ \tilde{A}_{투과} ㄷ^{i (k_2 z - \omega t)} , \qquad & z > 0 \end{cases} \end{align}

경계조건: $z=0$에서

  • $f(z,t)$가 연속:
(24)
\begin{align} f( 0^- , t) = f ( 0^+ , t) \implies \tilde{A}_{입사} + \tilde{A}_{반사} = \tilde{A}_{투과} \end{align}
  • $f$의 공간도함수도 연속:
(25)
\begin{align} \left. {{\partial f} \over {\partial z}} \right\rvert_{0^-} = \left. {{\partial f} \over {\partial z}} \right\rvert_{0^+} \implies k_1 ( \tilde{A}_{입사} - \tilde{A}_{반사} ) = k_2 \tilde{A}_{투과} \end{align}

반사파 진폭

(26)
\begin{align} \tilde{A}_{반사} = \left( {{ k_1 - k_2 } \over { k_1 + k_2 }} \right) \tilde{A}_{입사} = \left( {{ v_2 - v_1 } \over { v_2 + v_1 }} \right) \tilde{A}_{입사} \end{align}
  • $\mu_2 > \mu_1$이면 반사파는 뒤집어짐 (위상이 반전됨)

투과파 진폭

(27)
\begin{align} \tilde{A}_{투과} = \left( {{ 2 k_1 } \over {k_1 + k_2}} \right) \tilde{A}_{입사} = \left( {{2 v_2} \over {v_2 + v_1 }} \right) \tilde{A}_{입사} \end{align}

9.1.4 편광

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  • 종파(longitudinal wave): 진행방향과 진동방향이 평행한 파동 (e.g. 음파(소리))
  • 횡파(transverse wave): 진행방향과 진동방향이 수직한 파동
    • 진행방향에 수직한 방향은 두 개 이므로 횡파에는 서로 독립적인 편광(polarization) 상태가 둘이다.
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수직편광 i.e. 줄을 위아래로 흔들 때 줄의 변위는

(28)
\begin{align} \tilde{\vec{f}}_\text{수직} (z, t) = \tilde{A}\ \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \hat{x} \end{align}
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수평편광 i.e. 줄을 좌우로 흔들 때 줄의 변위는

(29)
\begin{align} \tilde{\vec{f}}_\text{수평} (z, t) = \tilde{A}\ \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \hat{y} \end{align}
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$x,y$ 평면상의 임의의 방향 $\hat{n}$으로 흔들면 변위는

(30)
\begin{align} \tilde{\vec{f}} (z, t) = \tilde{A}\ \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \hat{n} \end{align}

이때 $\hat{n}$편광벡터로서 진동면을 정의한다. $\hat{n}$은 진행방향과 수직이다.
편광벡터를 편광각 $\theta$를 써서 나타내면 다음과 같다.

(31)
\begin{align} \hat{n} = \cos \theta \hat{x} + \sin \theta \hat{y} \end{align}

그러므로 임의의 방향으로의 편광 파동은 수평파동과 수직파동을 겹친 것으로 볼 수 있다.

(32)
\begin{align} \tilde{\vec{f}} (z, t) = ( \tilde{A} \cos \theta ) \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \hat{x} + ( \tilde{A} \sin \theta ) \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \hat{y} \end{align}

9.2 진공에서의 전자기파

9.2.1 전기장과 자기장에 대한 파동방정식

전류와 전하가 없는 곳($\rho = \vec{J} = 0$)의 맥스웰 방정식은 다음과 같다.

(33)
\begin{cases} (ⅰ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \\ (ⅱ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ (ⅲ) & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ (ⅳ) & \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \epsilon_0 {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \end{cases}

이것은 전기장과 자기장에 대한 연립 일계 편미분방정식이다.

(34)
\begin{align} \vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{E} ) & = \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E} ) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left( - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \right) \\ & = - {\partial \over {\partial t}} ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) = - \mu_0 \epsilon_0 {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial t^2}} \\ \vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) & = \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) - \nabla^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left( \mu_0 \epsilon_0 {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \right) \\ & = \mu_0 \epsilon_0 {\partial \over {\partial t}} ( \vec{\nabla} \times \vec{E} ) = - \mu_0 \epsilon_0 {{\partial^2 \vec{B} } \over {\partial t}} \end{align}

그런데 전기장과 자기장의 발산은 0이므로 다음 결과를 얻는다.

(35)
\begin{align} \nabla^2 \vec{E} & = \mu_0 \epsilon_0 {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial t^2}} \\ \nabla^2 \vec{B} & = \mu_0 \epsilon_0 {{\partial^2 \vec{B} } \over {\partial t^2}} \end{align}

진공에서는 전기장과 자기장의 직교좌표 성분이 삼차원 파동방정식을 충족시킨다.

(36)
\begin{align} \nabla^2 f = {1 \over v^2} {{\partial^2 f } \over {\partial t^2}} \end{align}

즉 맥스웰 방정식은 진공에서 전자기파가 퍼져나갈 수 있음을 의미하며 그 속도는 다음과 같다.

(37)
\begin{align} v = {1 \over \sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s} \end{align}

그런데 이것은 광속 $c$와 똑같다. 아마 빛은 전자기파의 일종일 것이다. 오늘날에는 상식이지만 맥스웰 당대에는 얼마나 엄청난 계시였을지

9.2.2 단색평면파

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진동수 $\omega$인 사인파동을 단색(monochromatic) 파동이라고 하는데, 전자기파는 진동수가 다르면 빛의 색깔이 달라지기 때문이다. 그리고 파동이 $z$ 방향으로만 진행하고 $x,y$ 방향으로는 변화가 없다고 가정한다. 이런 파동을 평면파(plane wave)라고 한다. 그러면 다음과 같은 꼴의 전자기장을 살펴보아야 한다.

(38)
\begin{align} \tilde{\vec{E}} (z, t) = \tilde{ \vec{E}}_0 \exp \left[ i (kz - \omega t) \right], \quad \tilde{\vec{B}} (z, t) = \tilde{\vec{B}}_0 \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \end{align}

$\tilde{\vec{E}}_0, \tilde{\vec{B}}_0$는 복소진폭이고 $\omega = ck$이다. 물리적 전자기장은 $\tilde{\vec{E}}, \tilde{\vec{B}}$의 실수부이다.

맥스웰 방정식에서 전기장과 자기장의 발산은 0이므로

(39)
\begin{align} ik ( \tilde{E}_0 )_z = 0, \qquad ik ( \tilde{B}_0 )_z = 0 \\ \therefore\ ( \tilde{E}_0 )_z = 0, \qquad ( \tilde{B}_0 )_z = 0 \end{align}

즉 전기장과 자기장은 진행방향에 수직한 횡파이다. 또한 페러데이 법칙에 따라 전기장의 회전은

(40)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{E} & = - \partial \vec{B} / \partial t \\ \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} \hat{z} \\ {\partial \over {\partial x}} & {\partial \over {\partial y}} & {\partial \over {\partial z}} \\ ( \tilde{E}_0 )_x e^{i \omega } & ( \tilde{E}_0 )_y e^{i \omega} & 0 \end{vmatrix} & = - ( -i \omega ) \tilde{B} \exp \left[ i(kz - \omega t) \right] \end{align}
(41)
\begin{align} -k ( \tilde{E}_0 )_y \hat{x} + k ( \tilde{E}_0 )_x \hat{y} & = \omega \left\{ ( \tilde{B}_0 )_x \hat{x} + ( \tilde{B}_0 )_y \hat{y} \right\} \\ \tilde{\vec{B}}_0 = \left[ ( \tilde{B}_0 )_x , ( \tilde{B}_0 )_y , 0 \right] & = {k \over \omega} \left[ - ( \tilde{E}_0 )_y, ( \tilde{E}_0)_x , 0 \right] \\ & = {k \over \omega} \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ 0 & 0 & 1 \\ ( \tilde{E}_0 )_x & ( \tilde{E}_0 )_y & 0 \end{vmatrix} \\ & = {k \over \omega} ( \hat{z} \times \tilde{\vec{E}}_0 \end{align}

전기장과 자기장의 위상은 같고 서로 직교한다. 이들의 실수진폭은 다음과 같은 관계가 있다.

(42)
\begin{align} {E_0 \over B_0 } = c \end{align}

예제 9.2
위 결과에 따라 전기장이 x방향이면 자기장은 y 방향이다.

(43)
\begin{align} \tilde{\vec{E} } (z, t) & = \tilde{E}_0 \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \hat{x}, \\ \tilde{\vec{B} } (z, t) & = {1 \over c} \tilde{E}_0 \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \hat{y} \end{align}

실수부를 잡으면 다음과 같다.

(44)
\begin{align} \vec{E} (z, t) & = E_0 \cos ( kz - \omega t + \delta ) \hat{x}, \\ \vec{B} (z, t) & = {1 \over c} E_0 \cos ( kz - \omega t + \delta ) \hat{y} \end{align}
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이것이 단색 평면파의 기본양식이다. 전자기파의 편광방향은 전기장의 방향에 따라 정하며, 즉 이 파동은 수직편광이다.

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진행방향을 z축이 아닌 임의의 방향으로 일반화하기 위해 진행방향과 평행한 전파벡터 $\vec{k}$를 도입한다. 파동벡터의 크기는 파수 $k$이다. $kz$를 일반화하면 내적 $( \vec{k} \cdot \vec{r} )$이 되므로(위 그림) 일반적인 전자기파는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(45)
\begin{align} \tilde{\vec{E}} ( \vec{r} , t) & = \tilde{E}_0 \exp \left[ i ( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) \right] \hat{n}, \\ \tilde{\vec{B}} ( \vec{r} , t) & = {1 \over c} \tilde{E}_0 \exp \left[ i ( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) \right] ( \hat{k} \times \hat{n} ) = {1 \over c} \hat{k} \times \tilde{\vec{E}} \end{align}

전기장은 횡파이므로 편광벡터와 전파벡터의 내적이 0이다. $\hat{n} \cdot \hat{k} = 0$

전파벡터가 $\vec{k}$, 편광벡터가 $\hat{n}$인 단색평면파의 실제(실수) 전기장과 자기장은 다음과 같다.

(46)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{r} , t) & = E_0 \cos ( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t + \delta ) \hat{n} \\ \vec{B} ( \vec{r}, t) & = {1 \over c} E_0 \cos ( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t + \delta ) ( \hat{k} \times \hat{n}) \end{align}

9.2.3 전자기파의 에너지와 운동량

$\epsilon_0 = \sqrt{p^2 c^2 + {m_0}^2 c^4}$

  • 에너지 밀도: 단위부피 공간의 전기장과 자기장에 저장된 에너지
(47)
\begin{align} u & = {1 \over 2} \left( \epsilon_0 E^2 + {1 \over \mu_0} B^2 \right) \\ & = {1 \over 2} \left( \epsilon_0 E^2 + {1 \over \mu_0} \cdot \epsilon_0 \mu_0 E^2 \right) \\ & = \epsilon_0 E^2 = \epsilon_0 {E_0}^2 \cos^2 ( kz - \omega t + \delta ) \end{align}
  • 에너지 흐름 밀도 = 포인팅 벡터 — 단위시간당 단위면적을 지나가는 전자기파에 실린 에너지
(48)
\begin{align} \vec{S} & = {1 \over \mu_0 } ( \vec{E} \times \vec{B} ) \\ & = c \epsilon_0 {E_0}^2 \cos^2 ( kz - \omega t + \delta ) \hat{z} \\ & = c \cdot u \hat{z} \end{align}
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  • 면적 $A$인 면을 지나가는 파동이 시간 $\Delta t$동안 가는 거리는 $c \Delta t$,
  • 그 파동에 실려 옮겨지는 에너지는 $uAc \Delta t$
  • 그러므로 단위시간($t = 1$)에 파동에 실려 단위면적($A=1$)을 지나 옮겨지는 에너지는 $uc$
  • 운동량 밀도
(49)
\begin{align} \vec{g} & = {1 \over c^2 } \vec{S} \\ & = {1 \over c} \epsilon_0 {E_0}^2 \cos^2 ( kz - \omega t + \delta ) \hat{z} \\ & = {1 \over c} u \hat{z} \end{align}
  • 시간평균값
    • 빛은 파장이 아주 짧고(~ 5e-7 미터) 주기도 순간적이라(~ 10-15 초) 검지기 반응속도가 따라가지 못해 평균값을 잼
    • 코사인 제곱의 한 주기 평균값은 1/2
      • $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$이고, 한 주기동안 평균값은 사인 제곱이나 코사인 제곱이나 같고, 따라서 $\langle \sin^2 \rangle = \langle \cos^2 \rangle = 1 /2$
(50)
\begin{align} \langle u \rangle & = {1 \over 2 } \epsilon_0 {E_0}^2 \\ \langle \vec{S} \rangle & = {1 \over 2} c \epsilon_0 {E_0}^2 \hat{z} \\ \langle \vec{g} \rangle & = {1 \over {2c}} \epsilon_0 {E_0}^2 \hat{z} \end{align}
  • 세기(intensity): 전자기파가 단위면적당 실어오는 평균 일률
(51)
\begin{align} I \equiv \langle S \rangle = {1 \over 2} c \epsilon_0 {E_0}^2 \end{align}
  • 복사압(radiation pressure): 단위면적의 면이 평균적으로 받는 힘
(52)
\begin{align} P = {1 \over A} {{ \Delta p} \over {\Delta t}} = {1 \over } \epsilon_0 {E_0}^2 = {I \over c} \end{align}

9.3 물질 속에서의 전자기파

9.3.1 선형매질 속에서의 전파

자유전하와 자유전류가 없는, 선형 물질 속에서의 맥스웰 방정식

(1) 선형물질

(53)
\begin{align} \vec{D} = \epsilon \vec{E}, \quad \vec{H} = {1 \over \mu} \vec{B} \end{align}

(2) 자유전하와 자유전류가 없음: $\rho = 0, \quad \vec{J} = 0$

(54)
\begin{cases} (ⅰ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = 0 \\ (ⅱ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ (ⅲ) & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ (ⅳ) & \vec{\nabla} \times \vec{H} = {{\partial \vec{D} } \over {\partial t}} \end{cases}

(1) + (2) 전하와 전류가 없는 선형물질 속에서의 맥스웰 방정식 (진공과 비교하면 $\epsilon_0 \rightarrow \epsilon, \mu_0 \rightarrow \mu$)

(55)
\begin{cases} (ⅰ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_f \\ (ⅱ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ (ⅲ) & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ (ⅳ) & \vec{\nabla} \times \vec{H} = \mu \epsilon {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \end{cases}

물질 속에서의 변화: $\epsilon_0 \rightarrow \epsilon, \mu_0 \rightarrow \mu$

  • 굴절률: 여기서 $\epsilon_{상대}$은 유전상수. 유전상수는 1보다 크므로 빛은 물질 속에서 느리게 간다.
(56)
\begin{align} n \equiv \sqrt{{ \epsilon \mu } \over {\epsilon_0 \mu_0 }} \cong \sqrt{ \epsilon_{상대} } \end{align}
  • 속력:
(57)
\begin{align} v = {1 \over \sqrt{\epsilon \mu}} = {c \over n} \end{align}
  • 에너지 밀도
(58)
\begin{align} u = {1 \over 2} \left( \epsilon E^2 + {1 \over \mu } B^2 \right) \end{align}
  • 포인팅 벡터
(59)
\begin{align} \vec{S} = {1 \over \mu} ( \vec{E} \times \vec{B}) \end{align}
  • 세기
(60)
\begin{align} I = {1 \over 2} \epsilon v {E_0}^2 \end{align}
  • 경계조건
(61)
\begin{cases} (ⅰ) & \epsilon_1 E_1^\perp = \epsilon_2 E_2^\perp \\ (ⅱ) & B_1^\perp = B_2^\perp \\ (ⅲ) & \vec{E}_1^\parallel = \vec{E}_2^\parallel \\ (ⅳ) & {1 \over \mu_1} \vec{B}_1^\parallel = {1 \over \mu_2} \vec{B}_2^\parallel \end{cases}

9.3.2 수직 입사파의 반사와 투과

두 선형매질이 $xy$평면에서 만난다고 하자. 각진동수가 $\omega$이고 $x$쪽으로 편광되어 $z$ 방향으로 가는 평면파가 왼쪽에서 들어온다.

e-9-13.png
(62)
\begin{cases} \tilde{\vec{E}}_{입사} (z, t) & = \tilde{E}_{0, 입사} e^{i (k_1 z - \omega t)} \hat{x} , \\ \tilde{\vec{B}}_{입사} (z, t) & = {1 \over v_1} \tilde{E}_{0, 입사} e^{i (k_1 z - \omega t)} \hat{y}. \end{cases}

이로부터 매질 ①의 왼쪽으로 가는 반사파

(63)
\begin{cases} \tilde{\vec{E}}_{반사} (z, t) & = \tilde{E}_{0, 반사} e^{i (-k_1 z - \omega t)} \hat{x} , \\ \tilde{\vec{B}}_{반사} (z, t) & = - {1 \over v_1} \tilde{E}_{0, 반사} e^{i (- k_1 z - \omega t)} \hat{y}. \end{cases}

와 매질 ②의 오른쪽으로 가는 투과파가 생긴다.

(64)
\begin{cases} \tilde{\vec{E}}_{투과} (z, t) & = \tilde{E}_{0, 투과} e^{i (k_2 z - \omega t)} \hat{x} , \\ \tilde{\vec{B}}_{투과} (z, t) & = {1 \over v_2} \tilde{E}_{0, 투과} e^{i (k_2 z - \omega t)} \hat{y}. \end{cases}

경계조건: $E$$H$의 접선성분이 연속

(65)
\begin{align} E: \quad & \tilde{E}_{0, 입사} + \tilde{E}_{0, 반사} = \tilde{E}_{0, 투과} \\ H: \quad & {1 \over \mu_1 } \left( {1 \over v_1} \tilde{E}_{0, 입사} - {1 \over v_1} \tilde{E}_{0, 반사} \right) = {1 \over \mu_2} \left( {1 \over v_2 } \tilde{E}_{0, 투과} \right) \end{align}
(66)
\begin{align} \implies \tilde{E}_{0, 입사} - \tilde{E}_{0, 반사} = \beta \tilde{E}_{0, 투과} \qquad \beta \equiv {{ \mu_1 v_1} \over {\mu_2 v_2}} = {{\mu_1 n_2 } \over {\mu_2 n_1}} \end{align}

반사파 및 투과파

(67)
\begin{align} \tilde{E}_{0, 반사} & = \left( {{ 1 - \beta } \over {1 + \beta }} \right) \tilde{E}_{0, 입사} = \left( {{ v_2 - v_1 } \over {v_2 + v_1 }} \right) \tilde{E}_{0, 입사} \\ & 실수진폭 E_{0, 반사} = \left\lvert {{n_1 - n_2 } \over {n_1 + n_2}} \right\rvert E_{0, 입사} \tilde{E}_{0, 투과} & = \left( {2 \over {1 + \beta }} \right) \tilde{E}_{0, 입사} = \left( {{2 v_2 } \over { v_2 + v_1}} \right) \tilde{E}_{0, 입사} \\ & 실수진폭 E_{0, 투과} = \left( {{2 n_1} \over {n_1 + n_2 }} \right) E_{0, 입사} \end{align}

반사율(reflectance) 및 투과율(transmittance)

(68)
\begin{align} R & \equiv {I_{반사} \over I_{입사} } = \left( { E_{0, 반사} \over E_{0, 입사} } \right)^2 = \left( {{ n_1 - n_2 } \over {n_1 + n_2}} \right)^2 \\ T & \equiv {I_{투과} \over I_{입사} } = {{ \epsilon_2 v_1 } \over {\epsilon_1 v_1 }} \left( { E_{0, 투과} \over E_{0, 입사} } \right)^2 = {{ 4 n_1 n_2 } \over {( n_1 +n_2 )^2} } \\ 1 & = R + T \qquad (\text{에너지 보존}) \end{align}

9.3.3 비스듬한 입사파의 반사와 투과

e-9-14.png
(69)
\begin{align} \tilde{\vec{E}}_{입사} ( \vec{r} , t) & = \tilde{\vec{E}}_{0, 입사} \exp \left[ i(\hat{k}_{입사} \cdot \vec{r} - \omega t ) \right] , \quad \tilde{\vec{B}}_{입사} ( \vec{r}, t) = {1 \over v_1} \left( \hat{k}_{입사} \times \tilde{\vec{E}}_{입사} \right) \\ \tilde{\vec{E}}_{반사} ( \vec{r} , t) & = \tilde{\vec{E}}_{0, 반사} \exp \left[ i(\hat{k}_{반사} \cdot \vec{r} - \omega t ) \right] , \quad \tilde{\vec{B}}_{입사} ( \vec{r}, t) = {1 \over v_1} \left( \hat{k}_{반사} \times \tilde{\vec{E}}_{반사} \right) \\ \tilde{\vec{E}}_{투과} ( \vec{r} , t) & = \tilde{\vec{E}}_{0, 투과} \exp \left[ i(\hat{k}_{투과} \cdot \vec{r} - \omega t ) \right], \quad \tilde{\vec{B}}_{투과} ( \vec{r}, t) = {1 \over v_2} \left( \hat{k}_{투과} \times \tilde{\vec{E}}_{투과} \right) \end{align}

경계면에서의 연속조건의 공통구조:

(70)
\begin{align} ( \cdots ) \exp \left[ i ( \hat{k}_{입사} \cdot \vec{r} - \omega t) \right] + ( \cdots ) \exp \left[ i ( \hat{k}_{반사} \cdot \vec{r} - \omega t ) \right] = ( \cdots ) \exp \left[ i ( \hat{k}_{투과} \cdot \vec{r} - \omega t ) \right], \quad (z= 0\ 에서) \end{align}

1. 지수함수 비교:

(71)
\begin{align} \exp \left[ i ( \hat{k}_{입사} \cdot \vec{r} - \omega_{입사} t ) \right] + \exp \left[ i ( \hat{k}_{반사} \cdot \vec{r} - \omega_{반사} t ) \right] \propto \exp \left[ i ( \hat{k}_{투과} \cdot \vec{r} - \omega_{투과} t ) \right] \end{align}

1) 시간 인자

(72)
\begin{align} \exp \left[ - i \omega_{입사} t \right] + \exp \left[ - i \omega_{반사} t \right] \propto \exp \left[ - i \omega_{투과} t \right] \\ \qquad \implies \omega_{입사} = \omega_{반사} = \omega_{투과} \end{align}

따름정리: $k = v \omega$ 에서

(73)
\begin{align} { k_{입사} \over v_{입사}} = { k_{반사} \over v_{반사}} = { k_{투과} \over v_{투과}} = \omega = {k_0 \over c} \\ \qquad \implies k_{매질} = n_{매질} k_0 \end{align}

2) 공간 인자: $z=0$ 평면에서

(74)
\begin{align} \exp \left[ i \hat{k}_{입사} \cdot \vec{r} \right] & + \exp \left[ i \hat{k}_{반사} \cdot \vec{r} \right] \propto \exp \left[ i \hat{k}_{투과} \cdot \vec{r} \right] \\ \implies & k_{입사} \sin \theta_{입사} = k_{반사} \sin \theta_{반사} = k_{투과} \sin \theta_{투과} \\ \implies & \begin{cases} \theta_{입사} = \theta_{반사} & (\text{반사 법칙}) \\ n_{입사} \sin \theta_{입사} = n_{투과} \sin \theta_{투과} \quad & (\text{굴절 법칙 aka 스넬 법칙}) \end{cases} \end{align}

2. 진폭벡터 비교: 전기장 벡터가 입사면과 평행할 때(TM 편광) — 식 (61)의 경계조건:

(75)
\begin{cases} (ⅰ) & \epsilon_1 \left( \tilde{\vec{E}}_{0, 입사} + \tilde{\vec{E}}_{0, 반사} \right)_z = \epsilon_2 \left( \tilde{\vec{E}}_{0, 투과} \right)_z \\ (ⅱ) & \left( \tilde{\vec{B}}_{0, 입사} + \tilde{\vec{B}}_{0, 반사} \right)_z = \left( \tilde{\vec{B}}_{0, 투과} \right)_z \\ (ⅲ) & \left( \tilde{\vec{E}}_{0, 입사} + \tilde{\vec{E}}_{0, 반사} \right)_{x, y} = \left( \tilde{\vec{E}}_{0, 투과} \right)_{x, y} \\ (ⅳ) & {1 \over \mu_1} \left( \tilde{\vec{B}}_{0, 입사} + \tilde{\vec{B}}_{0, 반사} \right)_{x, y} = {1 \over \mu_2} \left( \tilde{\vec{B}}_{0, 투과} \right)_{x, y} \\ \end{cases}

(ⅰ), (ⅱ)는 $D, B$의 수직성분이 연속 / (ⅲ), (ⅳ)는 $E, H$의 평행성분이 연속임을 의미

(ⅰ) 로부터

(76)
\begin{align} \epsilon_1 ( - \vec{E}_{0, 입사} \sin \theta_{입사} + \vec{E}_{0, 입사} \sin \theta_{반사} ) = \epsilon_2 ( - \vec{E}_{0, 입사} \sin \theta_{투과} ) \\ \implies \tilde{E}_{0, 입사} - \tilde{E}_{0, 반사} = {\epsilon_2 \over \epsilon_1} \cdot { n_1 \over n_2 } \tilde{E}_{0, 투과} \end{align}

(ⅱ) 는 별 새로운 조건이 없으며 ($0 = 0$)

(ⅲ) 로부터

(77)
\begin{align} \tilde{E}_{0, 입사} \cos \theta_{입사} + \tilde{E}_{0, 반사} \cos \theta_{반사} = \tilde{E}_{0, 투과} \cos \theta_{투과} \\ \implies \tilde{E}_{0, 입사} + \tilde{E}_{0, 반사} = \tilde{E}_{0, 투과} \cdot { { \cos \theta_{투과} } \over { \cos \theta_{입사} }} \end{align}

(ⅳ) 로부터

(78)
\begin{align} {1 \over {\mu_1 v_1}} \left( \vec{E}_{0, 입사} - \vec{E}_{0, 반사} \right) = {1 \over {\mu_2 v_2 }} \vec{E}_{0, 투과} \qquad \left( \tilde{\vec{B}}_0 = {1 \over v} \hat{k} \times \tilde{\vec{E}}_0 \right) \\ \implies \tilde{E}_{0, 입사} - \tilde{E}_{0, 반사} = {{ \mu_1 v_1 } \over {\mu_2 v_2}} \cdot \tilde{E}_{0, 투과} \end{align}

(ⅰ), (ⅳ)의 결론의 좌변이 같으므로 우변도 같다고 놓아

(79)
\begin{align} {{ \mu_1 v_1 } \over { \mu_2 v_2}} = { \mu_1 \over \mu_2 } \cdot \sqrt{{ \epsilon_2 \mu_1 } \over {\epsilon_1 \mu_2}} = { \epsilon_2 \over \epsilon_1 } \cdot \sqrt{{\epsilon_1 \mu_1} \over {\epsilon_2 \mu_2}} = {{ \epsilon_2 v_2 } \over {\epsilon_1 v_1 }} = { \epsilon_2 \over \epsilon_1} \cdot {n_1 \over n_2} \end{align}

(ⅱ), (ⅲ)의 결론을 조합 — 반사 법칙 및 굴절 법칙 사용

(80)
\begin{align} \vec{E}_{0, 입사} - \vec{E}_{0, 반사} = \beta \vec{E}_{0, 투과} \qquad \left( \beta \equiv {{ \mu_1 v_1 } \over {\mu_2 v_2 }} = {{\mu_1 n_2 } \over {\mu_2 n_1 }} \right) \end{align}
(81)
\begin{align} \vec{E}_{0, 입사} + \vec{E}_{0, 반사} = \alpha \vec{E}_{0, 투과} \qquad \left( \alpha \equiv {{ \cos \theta_{투과} } \over {\cos \theta_{입사}} } \right) \end{align}
(82)
\begin{align} \vec{E}_{0, 반사} = \left( {{\alpha - \beta} \over {\alpha + \beta}} \right) \vec{E}_{0, 입사}, \quad \vec{E}_{0, 투과} = \left( {2 \over {\alpha + \beta}} \right) \vec{E}_{0, 입사} \end{align}

이것이 편광방향이 입사면과 평행할 때의 프레넬 방정식(Frenel's equation)이다. 투과파의 위상은 늘 입사파와 같고 반사파의 위상은 $\alpha > \beta$이면 같고 $\alpha < \beta$이면 180˚ 차이난다. 투과파 및 반사파의 진폭은 $\alpha$가 입사각의 함수이므로 입사각에 따라 변한다.

(83)
\begin{align} \alpha = { \sqrt{1 - \sin^2 \theta_{투과} } \over {\cos \theta_{입사}} } = { \sqrt{ 1 - \left[ \left( { n_1 \over n_2 } \right) \sin \theta_{입사} \right]^2 } \over { \cos \theta_{입사} }} \end{align}
  • 수직입사(입사각 = 0)이면 $\alpha = 1$
  • 경계면에 거의 평행히 입사(입사각 = 90˚)하면 $alpha = \infty \implies$ 전반사.
  • 반사가 전혀 일어나지 않는 각 $\theta_n$이 있는데 브루스터 각(Brewster's angle)이라고 한다. 이 각에서는 반사파가 전혀 없다. 브루스터 각은 $\alpha = \beta$ 또는 다음 조건에서 나타난다.
(84)
\begin{align} \sin^2 \theta_n = {{1 - \beta^2 } \over { \left( { n_1 \over n_2 } \right)^2 - \beta^2 }} \end{align}

$\mu_1 \cong \mu_2$이므로 $\beta \cong n_2 / n_1, \sin^2 \theta_n \cong \beta^2 / ( 1 +\beta^2 )$

(85)
\begin{align} \tan \theta_n \cong { n_2 \over n_1 } \end{align}
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이 그림은 빛이 공기($n_1 = 1$)에서 유리($n_2 = 1.5$)로 입사할 때 투과파 및 반사파의 진폭을 입사각의 함수로 나타낸 것이다(음수는 위상이 180˚ 차이남을 의미한다 — 진폭은 절대값이다).

경계면의 단위 넓이에 들어오는 일률은 $\vec{S} \cdot \hat{z} = S \cos \theta$이므로 입사파, 반사파, 투과파의 세기는 다음과 같다.

(86)
\begin{cases} I_{입사} & = {1 \over 2} \epsilon_1 v_1 {E_{0, 입사}}^2 \cos \theta_{입사} \\ I_{반사} & = {1 \over 2} \epsilon_1 v_1 {E_{0, 반사}}^2 \cos \theta_{입사} \\ I_{투과} & = {1 \over 2} \epsilon_2 v_2 {E_{0, 투과}}^2 \cos \theta_{투과} \end{cases}

입사파의 편광방향이 입사면과 평행할 때의 반사율 및 투과율은

(87)
\begin{align} R & \equiv {I_{반사} \over I_{입사}} = \left( {E_{0, 반사} \over E_{0, 반사}} \right)^2 = \left( {{\alpha - \beta} \over {\alpha + \beta}} \right)^2 \\ T & \equiv {I_{투과} \over I_{입사}} = {{ \epsilon_2 v_2 } \over {\epsilon_1 v_1 }} \left( { E_{0, 투과} \over E_{0, 입사}} \right)^2 {{ \cos \theta_{투과} } \over {\cos \theta_{입사}}} = \alpha \beta \left( {2 \over {\alpha + \beta} } \right)^2 \end{align}
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  • $R, T$는 브루스터 각에서 각각 0, 1이다.
  • $R+T = 1$ (에너지 보존법칙): 표면의 어느 부분에 단위시간에 들어오는 에너지는 빠져나가는 에너지와 같다.

9.4 흡수와 분산

9.4.1 도체 속에서의 전자기파

도체 속의 자유전류밀도는 전기장에 비례한다.

(88)
\begin{align} \vec{J}_f = \sigma \vec{E} \end{align}

이 식을 쓰면 선형매질에서의 맥스웰 방정식은 다음과 같다.

(89)
\begin{matrix} \begin{cases} (ⅰ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_f \\ (ⅱ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ (ⅲ) & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ (ⅳ) & \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J}_f + {{\partial \vec{D} } \over {\partial t}} \end{cases} & \longrightarrow & \begin{cases} (ⅰ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {\rho_f \over \epsilon} \\ (ⅱ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ (ⅲ) & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ (ⅳ) & \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \epsilon {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} +\sigma \mu {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \end{cases} \end{matrix}

자유전하에 관한 연속방정식

(90)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{J}_f = - {{\partial \rho_f } \over {\partial t}} \end{align}

에 옴 법칙과 가우스 법칙(ⅰ) 을 쓰면 고른 선형 매질에서는

(91)
\begin{align} {{\partial \rho_f} \over {\partial t}} = - \sigma ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E} ) = - {\sigma \over \epsilon} \rho_f \end{align}

가 되고 이 미방의 풀이는 다음과 같다.

(92)
\begin{align} \rho_f(t) = \exp \left[ - \left( {\sigma \over \epsilon} \right) t \right] \rho_f (0) \end{align}

즉 자유전하밀도는 초기상태 $\rho_f (0)$에서 고유시간 $\tau \equiv \epsilon / \sigma$가 지나면 흩어진다. 도체에 자유전자를 넣으면 그것이 표면으로 흩어진다는 알려진 사실과 일치하는 이야기.

축적된 자유전자가 흩어질 때까지 기다리면

(93)
\begin{align} \rho_f = 0 \quad (t = \infty) \end{align}
(94)
\begin{matrix} \begin{cases} (ⅰ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {\rho_f \over \epsilon} \\ (ⅱ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ (ⅲ) & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ (ⅳ) & \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu \epsilon {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} +\sigma \mu {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \end{cases} & \longrightarrow & \begin{cases} (ⅰ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \\ (ⅱ) & \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \\ (ⅲ) & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ (ⅳ) & \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu \epsilon {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} +\sigma \mu \vec{E} \end{cases} \end{matrix}

회전 연산자를 적용하여 $\vec{E}, \vec{B}$에 대한 수정된 파동방정식을 얻는다.

(95)
\begin{align} \nabla^2 \vec{E} = \mu \epsilon {{\partial^2 \vec{E} } \over {\partial t^2 }} +\mu \sigma {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}}, \quad \nabla^2 \vec{B} = \mu \epsilon {{ \partial^2 \vec{B} } \over {\partial t^2 }} +\mu \sigma {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \end{align}

이 식의 평면파 해는

(96)
\begin{align} \tilde{\vec{E}} (z, t) = \tilde{\vec{E}}_0 e^{i ( \tilde{k} z - \omega t) } , \quad \tilde{\vec{B}} (z, t) = \tilde{\vec{B}}_0 e^{i ( \tilde{k} z - \omega t) } \end{align}

파수 $\tilde{k}$는 복소수임

(97)
\begin{align} \tilde{k}^2 & = \mu \epsilon \omega^2 +i \mu \sigma \omega \\ \tilde{k} & = k +i \kappa \end{align}
(98)
\begin{align} k \equiv \omega \sqrt{{ \epsilon \mu} \over 2} \left[ \sqrt{ 1 + \left( {\sigma \over {\epsilon \omega}} \right)^2 } + 1 \right]^{1 \over 2} , \quad \kappa \equiv \omega \sqrt{{ \epsilon \mu} \over 2} \left[ \sqrt{ 1 +\left( {\sigma \over {\epsilon \omega}} \right)^2 } - 1 \right]^{1 \over 2} \end{align}

파수의 허수부 때문에 파동은 감쇠된다($z$가 커질수록 진폭이 작아진다)

(99)
\begin{align} \tilde{\vec{E}} (z, t) = \tilde{\vec{E}}_0 e^{- \kappa z} e^{i ( \tilde{k} z - \omega t) } , \quad \tilde{\vec{B}} (z, t) = \tilde{\vec{B}}_0 e^{ - \kappa z} e^{i ( \tilde{k} z - \omega t) } \end{align}

진폭이 $e^{-1} ( \sim 1/3)$으로 줄어드는 거리를 침투 깊이(skin depth)라 한다. 이것은 전자기파가 도체에 스며들 수 있는 깊이의 지표이다.

(100)
\begin{align} d \equiv {1 \over \kappa} \end{align}

감쇠된 평면파는 $\tilde{\vec{E}}_0, \tilde{\vec{B}}_0$이 어떤 값을 가져도 수정된 파동방정식을 만족한다. 맥스웰 방정식에 의한 추가 구속조건을 적용 — 전자기파는 수직파

(101)
\begin{align} \tilde{\vec{E}} (z, t) & = \tilde{E}_0 e^{- \kappa z} e^{i ( kz - \omega t) } \hat{x} \\ \tilde{\vec{B}} (z, t) & = { \tilde{k} \over \omega} \tilde{E}_0 e^{- \kappa z } e^{i ( kz - \omega t) } \hat{y} \end{align}

파수는 복소수이므로 크기와 위상으로 나타낼 수 있다.

(102)
\begin{align} \tilde{k} & = K e^{i \phi} \\ K & \equiv \lvert \tilde{k} \rvert = \sqrt{ k^2 +\kappa^2 } = \omega \sqrt{ \epsilon \mu \sqrt{ 1 +\left( {\sigma \over {\epsilon \omega }} \right)^2 } } \\ \phi & \equiv \tan^{-1} \left( {\kappa \over k} \right) \end{align}

식 (), () 에 따르면 복소진폭 $\tilde{E}_0 = E_0 e^{i \delta_E}, \tilde{B}_0 = B_0 e^{i \delta_B}$은 다음 관계가 있다.

(103)
\begin{align} \tilde{B}_0 = B_0 e^{i \delta_B} & = {1 \over \tilde{v}} \tilde{E}_0 = { \tilde{k} \over \omega } \tilde{E}_0 \\ & = {{ K e^{i \phi}} \over \omega } E_0 e^{i \delta_E} \\ & = {K \over \omega} E_0 e^{i ( \delta_E +\phi)} \end{align}

전기장과 자기장의 위상은 더이상 같지 않다. $\phi$만큼 차이가 나게 된다. 전기장과 자기장의 진폭, 위상의 관계는

(104)
\begin{align} {B_0 \over E_0 } = {K \over \omega}, \quad \delta_B - \delta_E = \phi \end{align}

그래서 실수 전기장과 자기장은 다음과 같다.

(105)
\begin{cases} \vec{E} (z, t) & = E_0 e^{- \kappa z} \cos ( kz - \omega t +\delta_E ) \hat{x}, \\ \vec{B} (z, t) & = E_0 e^{- \kappa z} \cos ( kz - \omega t + \delta_E + \phi ) \hat{y} \end{cases}
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9.4.2 도체 표면에서의 반사

  • for an interface of two dielectrics
(106)
\begin{cases} (ⅰ) & \epsilon_1 E_1^\perp = \epsilon_2 E_2^\perp \\ (ⅱ) & B_1^\perp = B_2^\perp \\ (ⅲ) & \vec{E}_1^\parallel = \vec{E}_2^\parallel \\ (ⅳ) & {1 \over \mu_1 } \vec{B}_1^\parallel = {1 \over \mu_2} \vec{B}_2^\parallel \\ \end{cases}
  • for an interface involved by a conductor
(107)
\begin{cases} (ⅰ) & \epsilon_1 E_1^\perp - \epsilon_2 E_2^\perp = \sigma_f \\ (ⅱ) & B_1^\perp - B_2^\perp = 0 \\ (ⅲ) & \vec{E}_1^\parallel - \vec{E}_2^\parallel = 0 \\ (ⅳ) & {1 \over \mu_1 } \vec{B}_1^\parallel - {1 \over \mu_2} \vec{B}_2^\parallel = \vec{K}_f \times \hat{n} \end{cases}

$\sigma_f$는 자유 면전하, $\vec{K}_f$는 자유 면전류, $\hat{n}$은 경계면에 대한 단위 법선벡터(매질 2 → 매질 1)

경계에서의 단색평면파

(108)
\begin{align} \tilde{\vec{E}}_{입사} (z, t) = \tilde{E}_{0, 입사} e^{i ( k_1 z - \omega t) } \hat{x}, & \quad \tilde{\vec{B}}_{입사} (z, t) = {1 \over v_1} \tilde{E}_{0, 입사} e^{i (k_1 z - \omega t )} \hat{y} \\ \tilde{\vec{E}}_{반사} (z, t) = \tilde{E}_{0, 반사} e^{i ( - k_1 z - \omega t) } \hat{x}, & \quad \tilde{\vec{B}}_{반사} (z, t) = - {1 \over v_1} \tilde{E}_{0, 반사} e^{i ( - k_1 z - \omega t )} \hat{y} \\ \tilde{\vec{E}}_{투과} (z, t) = \tilde{E}_{0, 투과} e^{i ( k_2 z - \omega t) } \hat{x}, & \quad \tilde{\vec{B}}_{투과} (z, t) = { \tilde{k}_2 \over \omega} \tilde{E}_{0, 투과} e^{i (k_2 z - \omega t )} \hat{y} \end{align}

경게조건을 적용

(109)
\begin{cases} (ⅰ) & \sigma_f = 0 \\ (ⅱ) & 0 = 0 \\ (ⅲ) & \tilde{E}_{0, 투과} = \tilde{E}_{0, 입사} +\tilde{E}_{0, 반사} \\ (ⅳ) & {1 \over {\mu_1 v_1}} ( \tilde{E}_{0, 입사} - \tilde{E}_{0, 반사} - { \tilde{k}_2 \over {\mu_2 \omega }} \tilde{E}_{0, 투과} = 0 \\ 또는 & \tilde{E}_{0, 입사} - \tilde{E}_{0, 반사} = \tilde{\beta} \tilde{E}_{0, 투과}, \qquad \tilde{\beta} \equiv {{\mu_1 v_2} \over {\mu_2 \omega}} \tilde{k}_2 \end{cases}

따라서 다음 결과를 얻는다.

(110)
\begin{align} \tilde{E}_{0, 반사} & = \left( {{ 1 - \tilde{\beta} } \over {1 + \tilde{\beta}} } \right) \tilde{E}_{0, 입사} \\ \tilde{E}_{0, 투과} & = \left( {2 \over {1 + \tilde{\beta}}} \right) \tilde{E}_{0, 입사} \end{align}

완전 도체($\sigma = \infty$)라면 $k_2 = \infty, \implies \tilde{\beta} = \infty$

(111)
\begin{align} \tilde{E}_{0, 반사} = - \tilde{E}_{0, 입사}, \quad \tilde{E}_{0, 투과} = 0 \end{align}

이때 전자기파는 위상이 180˚ 바뀌면서 완전히 반사된다.

이것이 의미하는 바: 전도율이 좋은 도체 = 반사율이 좋은 거울 (e.g. 은 — 전도율 반사율 킹왕짱. 거울을 만들 때 유리는 은의 변색을 막아주는 기능일 뿐 반사를 수행하는 것은 은막이다)

9.4.3 유전율의 진동수에 대한 변화

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파장이 짧을수록 굴절률이 커진다 → 분산

진동이 아닌 이상 모든 유전체 안에서는 분산이 발생한다(공기 중에서도!)

(112)
\begin{align} {\omega \over k} = c \longrightarrow v = {c \over {n(\lambda)}} \end{align}

전달속도는 파장의 함수인 굴절률에 의해 결정된다 — 파장에 따라 전달속도가 달라진다. 이것을 위상속도(phase velocity)라고 한다.

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파동뭉치는 전파함에 따라 분산한다. 파동뭉치 전체의 속도를 군속도(group velocity)라고 한다.

(113)
\begin{align} v_g = {{d \omega} \over {dk}} \end{align}
littlewavepackets.gif

유전체 속의 전자는 분자에 속박되어 있다. 전자기파의 진행경로상에 분자가 존재하고 거기에 속박된 전자를 용수철에 매달린 질량이라고 생각해 보자.

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이때 전자가 받는 힘은 분자에 속박된 결합력, 용수철의 감쇠력, 전자기파의 구동력으로 나뉜다.

(114)
\begin{align} m{{d^2 x} \over {dt^2}} & = \sum F = F_{결합} + F_{감쇠} + F_{구동} \\ & = -m {\omega_0}^2 x - m \gamma {{dx} \over {dt}} + q E_0 \cos ( \omega t) \end{align}

이 모형은 전자의 운동을 진동수 $\omega$인 힘을 받는 감쇠조화진동으로 기술한다.

(115)
\begin{align} {{d^2 \tilde{x}} \over {dt^2}} + \gamma {{d \tilde{x}} \over {dt}} + {\omega_0}^2 \tilde{x} = {q \over m} E_0 e^{- i \omega t} \end{align}

정상상태에서 이 계는 결합력의 진동수가 아닌 구동력의 진동수로 진동한다.

(116)
\begin{align} \tilde{x} (t) = \tilde{x}_0 e^{i \omega t} \end{align}
(117)
\begin{align} - \omega^2 \tilde{x}_0 - i \gamma \omega \tilde{x}_0 + {\omega_0}^2 \tilde{x}_0 = {q \over m} E_0 \end{align}
(118)
\begin{align} \therefore\ \tilde{x} = {{q/m} \over {{\omega_0}^2 - \omega^2 - i \gamma \omega}} E_0 \end{align}

전자의 진동으로 생기는 쌍극자 모멘트는 다음의 실수부이다.

(119)
\begin{align} \tilde{p}(t) & = q \tilde{x}(t) = {{q^2/m} \over { {\omega_0}^2 - \omega^2 - i \gamma \omega}} E_0 e^{-i \omega t} \\ & = {{ ({\omega_0}^2 - \omega^2 ) + i \gamma \omega } \over {( {\omega_0}^2 - \omega^2 )^2 + (\gamma \omega)^2 }} {q^2 \over m} E_0 e^{- i \omega t} \end{align}

단위부피당 분자수가 $N$이면
편극밀도 = 단위부피당 쌍극자의 수는

(120)
\begin{align} \tilde{\vec{P}} = {{Nq^2 } \over m} \left( \sum_j {{f_j} \over {{\omega_j}^2 - \omega^2 - i \gamma_j \omega}} \right) \tilde{\vec{E}} \end{align}

복소 감수율 $\tilde{\chi}$의 정의

(121)
\begin{align} \tilde{\vec{P}} = \epsilon_0 \tilde{\chi}_E \tilde{\vec{E}} \end{align}

물리적 전기장이 $\tilde{\vec{E}}$의 실수부이듯 물리적 편극밀도는 $\tilde{vec{P}}$의 실수부

$\tilde{\vec{D}}, \tilde{\vec{E}}$ 사이의 비례상수는 복소 유전율 $\tilde{\epsilon} = \epsilon_0 ( 1 + \tilde{\chi}_E$

복소 유전상수

(122)
\begin{align} \tilde{\epsilon}_{상대} = {{\tilde{\epsilon} } \over {\epsilon_0}} = 1 + {{N q^2 } \over {m \epsilon_0}} \sum_j {{ f_j} \over { {\omega_j}^2 - \omega^2 - i \gamma_j \omega }} \end{align}

분산매질에서의 파동방정식

(123)
\begin{align} \nabla^2 \tilde{\vec{E}} = \tilde{\epsilon} \mu_0 {{\partial^2 \tilde{\vec{E}} } \over {\partial t^2}} \end{align}

에 대한 정해진 진동수의 평면파 해는

(124)
\begin{align} \tilde{\vec{E}} (z, t) = \tilde{\vec{E}}_0 e^{i ( \tilde{k} z - \omega t)} \end{align}

복소파수

(125)
\begin{align} \tilde{k} \equiv \sqrt{\tilde{\epsilon} \mu_0} \omega = k +i \kappa \end{align}
(126)
\begin{align} \tilde{\vec{E}} (z, t) = \tilde{\vec{E}}_0 e^{- \kappa z} e^{i ( kz - \omega t)} \end{align}

이 파동은 갈수록 진폭이 줄어든다. 세기는 $E^2$에 비례 i.e. $e^{-2 \kappa z}$에 비례하므로 $\alpha \equiv 2 \kappa$흡수계수라고 정의한다.

또한 위상속도는 $\omega / k$이므로 굴절률은 $n = {ck} / \omega$

복소파수의 제곱근을 이항전개식의 일차어림식으로 바꾸면 $\sqrt{1 + \epsilon} \cong 1 + \epsilon /2$

(127)
\begin{align} \tilde{k} = {\omega \over c} \sqrt{\tilde{\epsilon}_{상대}} \cong {\omega \over c} \left[ 1 + {{N q^2 } \over {2m \epsilon_0 }} \sum_j { {f_j} \over { {\omega_j}^2 - \omega^2 - i \gamma_j \omega }} \right] \end{align}
(128)
\begin{align} n={{ck} \over \omega } \cong 1 + {{N q^2} \over {2 m \epsilon_0}} \sum_j {{ f_j \left( {\omega_j}^2 - \omega^2 \right) } \over { \left( {\omega_j}^2 - \omega^2 \right)^2 + {\gamma_j}^2 \omega^2}} \end{align}
(129)
\begin{align} \alpha = 2 \kappa \cong {{N q^2 \omega^2} \over {m \epsilon_0 c }} \sum_j {{ f_j \gamma_j} \over { \left( {\omega_j}^2 - \omega^2 \right)^2 + {\gamma_j}^2 \omega^2 }} \end{align}

이 복잡해 보이는 식을 공명 진동수 가까운 좁은 영역에서 러프하게 플롯해 보면

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  • 진동수가 커지면 굴절률도 대개 커지는데, 공명진동수 근처에서는 굴절률이 급격히 떨어진다. 이런 영역은 전체 진동수 영역에 비해 매우 좁으므로 비정상 분산(anomalous dispersion)이라고 한다. 그림에서 비정상 분산 영역은 $\omega_1 < \omega < \omega_2$이고 최대 흡수영역과 같다. 이 영역에서는 물질이 불투명해진다(공명진동수 → 전자 진폭이 커짐 → 감쇠로 흩어지는 에너지 많아짐).
  • 실수부 $n$은 공명진동수보다 더 큰 진동수에서는 1보다 작은데 이것은 파동의 속력이 광속 $c$보다 큼을 의미한다. 에너지의 이동 속도는 위상속도가 아닌 군속도이기 때문에 이상할 것 없다.
  • 한편 허수부 $\alpha$는 고유진동수 $\omega_j$ 근처에서 최대값을 가진다.

공명 진동수에서 멀어지면 감쇠를 무시할 수 있으므로

(130)
\begin{align} n = 1 + {{N q^2 } \over {2m \epsilon_0}} \sum_j { f_j \over { {\omega_j}^2 - \omega^2}} \end{align}

대부분의 물질에는 고유진동수 $\omega_j$가 모든 진동수 영역에 마구 퍼져있다. 그러나 투명한 물질은 가장 가까운 주요 공명진동수가 자외선 영역에 있으므로 $\omega < \omega_j$

(131)
\begin{align} {1 \over {{\omega_j}^2 - \omega^2 }} = {1 \over {\omega_j}^2 } \left( 1 - { \omega^2 \over {\omega_j}^2 } \right)^{-1} \cong {1 \over {\omega_j}^2 } \left( 1 + { \omega^2 \over {\omega_j}^2 } \right) \end{align}
(132)
\begin{align} \therefore\ n = 1 + {{N q^2 } \over {2 m \epsilon_0}} \sum_j { f_j \over {\omega_j}^2 } \left( 1 +{ \omega^2 \over {\omega_j}^2 } \right) \end{align}

이것을 진공에서의 파장($\lambda = 2 \pi c / \omega$)으로 나타내면

(133)
\begin{align} n=1 + A \left( 1 + {B \over \lambda^2} \right) \end{align}

이것이 코시 공식(Cauchy's formula)이다. 여기서 $A$굴절계수(coefficient of refraction), $B$분산계수(coefficient of dispersion)이다. 코시 공식은 가시광 영역에서 대부분의 기체에 대해 잘 맞는다.

9.5 도파

9.5.1 도파관

속이 빈 도파관(wave guide) 속에 갇힌 전자기파 살펴보기

9-2-23.png

도파관이 완전 도체라고 가정하면 관 속에서 $\vec{E} = \vec{B} = \vec{0}$이므로 안쪽 벽에서의 경계조건은

(134)
\begin{cases} \vec{E}^\parallel & = \vec{0}, \\ B^\perp & = 0. \end{cases}

도파관을 따라가는 단색광을 살펴보면 전기장과 자기장의 일반꼴은

(135)
\begin{cases} \tilde{\vec{E}} (x, y, z, t) = \tilde{\vec{E}}_0 (x, y) \exp \left[ i ( kz - \omega t ) \right] \\ \tilde{ \vec{B}} (x, y, z, t) = \tilde{\vec{B}}_0 (x, y) \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \end{cases}

물론 도파관 안에서도 맥스웰 방정식은 충족되어야 한다.

(136)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 \qquad \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \qquad \vec{\nabla} \times \vec{B} = {1 \over c^2} {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \end{align}

이제 문제는 맥스웰 미방과 도파관 안쪽 벽에서의 경계조건에 맞는 $k, \tilde{\vec{E}}_0 , \tilde{\vec{B}}_0$ 찾기

좁은 곳에 갇힌 전자기파는 횡파가 아니다(전자기파는 무한공간에서 횡파). 그래서 경게조건을 맞추려면 진행방향에 평행한(즉 $z$ 방향) 성분도 넣어야

(137)
\begin{cases} \tilde{\vec{E}}_0 & = E_x \hat{x} + E_y \hat{y} + E_z \hat{z}, \\ \tilde{\vec{B}}_0 & = B_x \hat{x} + B_y \hat{y} + B_z \hat{z}. \end{cases}

이것들을 맥스웰 방정식의 외적식에 넣으면 다음을 얻는다.

(138)
\begin{cases} (ⅰ) & {{\partial E_y} \over {\partial x}} - {{\partial E_x} \over {\partial y}} = i \omega B_z, (ⅱ) & {{\partial E_z} \over {\partial y}} - i k E_y = i \omega B_x, \\ (ⅲ) & ikE_x - {{\partial E_z } \over {\partial x}} = i \omega B_y, \\ (ⅳ) & {{\partial B_y} \over {\partial x}} - {{\partial B_x} \over {\partial y}} = - {{i \omega } \over c^2 } E^z, \\ (ⅴ) & {{\partial B_z } \over {\partial y}} - ikB_y = - {{i \omega } \over c^2 } E_x, \\ (ⅵ) & ikB_x - {{\partial B_z } \over {\partial x}} = - {{i \omega } \over c^2 } E_y. \end{cases}

(ⅱ), (ⅲ), (ⅴ), (ⅵ)을 $E_x, E_y, B_x, B_y$에 대해 풀면

(139)
\begin{cases} E_x & = {i \over { \left( {\omega \over c} \right)^2 - k^2 }} \left( k {{\partial E_z} \over {\partial x}} + \omega {{\partial B_z} \over {\partial y}} \right), \\ E_y & = {i \over { \left( {\omega \over c} \right)^2 - k^2 }} \left( k {{\partial E_z} \over {\partial y}} + \omega {{\partial B_z} \over {\partial x}} \right), \\ B_x & = {i \over { \left( {\omega \over c} \right)^2 - k^2 }} \left( k {{\partial B_z} \over {\partial x}} + {\omega \over c^2} {{\partial E_z} \over {\partial y}} \right), \\ B_y & = {i \over { \left( {\omega \over c} \right)^2 - k^2 }} \left( k {{\partial B_z} \over {\partial y}} + {\omega \over c^2} {{\partial E_z} \over {\partial x}} \right). \end{cases}

이 결과를 맥스웰 방정식의 내적식들에 넣으면 $E_z, B_z$가 분리된다.

(140)
\begin{cases} \left[ {\partial^2 \over {\partial x^2}} + {\partial^2 \over {\partial y^2}} + \left( {\omega \over c} \right)^2 - k^2 \right] E_z & = 0 \\ \left[ {\partial^2 \over {\partial x^2 }} + {\partial^2 \over {\partial y^2}} + \left( { \omega \over c} \right)^2 - k^2 \right] B_z & = 0. \end{cases}
  • $E_z = 0 \implies$ TE(transverse electric; 횡전기장)파
  • $B_z = 0 \implies$ TM(transverse magnetic; 횡자기장)파
  • $E_z = B_z = 0 \implies$ TEM(transverse electric-magnetic; 횡전자기장)파 라고 함

9.5.2 네모꼴 도파관에서의 TE파

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TE파의 조건: $E_z = 0, B_z = 0$

파동방정식:

(141)
\begin{align} \left( {\partial_x}^2 + {\partial_y}^2 + {\omega^2 \over c^2} - k^2 \right) B_z = 0 \end{align}

경계조건: 도파관 표면에서 $\vec{E}^\parallel = \vec{B}^\perp = \vec{0}$

(142)
\begin{align} x = 0, a에서 \quad E_y = 0, B_x = 0 \\ y = 0, b에서 \quad E_x = 0, B_y = 0 \end{align}

풀이: 변수분리법 $B_z (x, y) = X(x) Y(y)$

(143)
\begin{align} {{d^2 X} \over {dx^2}} & Y(y) + X(x) {{d^2 Y} \over {dy^2}} + \left[ \left( { \omega \over c} \right)^2 - k^2 \right] X(x) Y(y) = 0 \\ \implies & {1 \over {X(x)}} {{d^2 X(x) } \over {dx^2}} = - {k_x}^2 , \quad {1 \over {Y(y)}} {{d^2 Y(y) } \over {dy^2}} = - {k_y}^2, \\ & ( {k_x}^2 + {k_y}^2 + k^2 = {\omega^2 \over c^2} \end{align}

일반해

(144)
\begin{align} X(x) & = A \cos ( k_x x) + B \sin ( k_x x) \\ Y(y) & = C \cos (k_y y) + D \sin (k_y y) \end{align}

경계조건 적용

(1) $x = 0, a에서 \quad E_y = 0, B_x = 0$

(145)
\begin{matrix} \begin{cases} E_y & = + i { \omega \over {k^2 - {\omega^2 \over c^2} }} \partial_x B_z, \\ B_x & = - i {k \over {k^2 - { \omega^2 \over c^2}}} \partial_x B_z \end{cases} & \implies \left. \partial_x B_z \right\rvert_{x = 0, a} = 0 \end{matrix}
(146)
\begin{matrix} \left. \partial_x B_z \right\rvert_{x = 0} = 0 & \implies \left. {{dX} \over {dx}} \right\rvert_{x=0} = 0 \implies - k_x A \sin ( k_x 0 ) + k_x B \cos ( k_x 0) = 0 \implies B = 0 \\ \left. \partial_x B_z \right\rvert_{x = a} = 0 & \implies \left. {{dX} \over {dx}} \right\rvert_{x=a} = 0 \implies - k_x A \sin (k_x a) = 0 \implies k_x = {\pi \over a } m \quad (m = 0, 1, 2, \cdots ) \end{matrix}

(2) $y = 0, b에서 \quad E_x = 0, B_y = 0$

(147)
\begin{matrix} \begin{cases} E_x & = - i { \omega \over {k^2 - {\omega^2 \over c^2} }} \partial_y B_z, \\ B_y & = + i {k \over {k^2 - { \omega^2 \over c^2}}} \partial_y B_z \end{cases} & \implies \left. \partial_y B_z \right\rvert_{y = 0, b} = 0 \end{matrix}
(148)
\begin{matrix} \left. \partial_y B_z \right\rvert_{y = 0} = 0 & \implies \left. {{dY} \over {dy}} \right\rvert_{y=0} = 0 \implies - k_y C \sin ( k_y 0 ) + k_y D \cos ( k_y 0) = 0 \implies D = 0 \\ \left. \partial_y B_z \right\rvert_{y = b} = 0 & \implies \left. {{dY} \over {dy}} \right\rvert_{y=b} = 0 \implies - k_y C \sin (k_y b) = 0 \implies k_y = {\pi \over b} n \quad (n = 0, 1, 2, \cdots ) \end{matrix}

해: 이 해를 TEmn 모드(mode)라고 한다.

(149)
\begin{align} B_z = B_0 \cos \left( m {\pi \over a} x \right) \cos \left( n {\pi \over b} y \right) \end{align}

파수

(150)
\begin{align} k = \sqrt{ \left( { \omega \over c} \right)^2 - \pi^2 \left[ \left( {m \over a} \right)^2 + \left( { n \over b} \right)^2 \right] } \end{align}

만약 아래 조건이 맞으면

(151)
\begin{align} \omega < c \pi \sqrt{ \left( { m \over a} \right)^2 + \left( {n \over b} \right)^2 } \equiv \omega_{mn} \end{align}

파수가 허수가 되므로 파동이 지수함수꼴로 감쇠되어 나아가지 못한다. 그래서 $\omega_{mn}$을 TEmn 모드의 차단진동수(cutoff frequency)라고 한다.

전파속도는

(152)
\begin{cases} 위상속도\ v_p & = {\omega \over k} = {c \over \sqrt{1 - \left( { \omega_{mn} \over \omega } \right)^2 } } > c \\ 군속도\ v_g & = {1 \over {{ dk} \over {d \omega }} } = c \sqrt{1 - \left( { \omega_{mn} \over \omega } \right)^2 } < c \end{cases}

그림으로 이 결과를 이해하면,

e-9-25.png

평면파가 $z$축에 대해 각도 $\theta$로 가다가 도체면에서 전반사되고, 여러 번 반사된 파는 간섭하여 $x$$y$ 방향으로 정상파를 만들며, 각 마디 사이 간격은 각각 $\lambda_x = 2a / m, \lambda_y = 2b / n$이다. 따라서 파수는 $k_x = 2 \pi / \lambda_x = \pi m / a, k_y = 2 \pi / \lambda_y = n \pi / b$
한편 $z$방향으로는 진행파이고 파수는 $k_z = k$. 그러므로 "애초의" 평면파의 전파벡터는

(153)
\begin{align} \vec{k}' = { {\pi m } \over a} \hat{x} + {{\pi n } \over b} \hat{y} + k \hat{z} \end{align}

각진동수는

(154)
\begin{align} \omega = c \lvert \vec{k}' \rvert = c \sqrt{k^2 + \pi^2 \left[ \left( {m \over a} \right)^2 + \left( {n \over b} \right)^2 \right] } = \sqrt{ (ck)^2 + ( \omega_{mn})^2} \end{align}

정상파가 생기는 각도는

(155)
\begin{align} \cos \theta = {k \over { \lvert \vec{k}' \rvert }} = \sqrt{ 1 - \left( { \omega_{mn} \over \omega } \right)^2} \end{align}

평면파의 속력은 $c$지만 $z$축에 대하여 $\theta$ 각도로 가므로 알짜 진행속도는

(156)
\begin{align} v_g = c \cos \theta = c \sqrt{1 - \left( { \omega_{mn} \over \omega } \right)^2 } \end{align}

한편 파면(위 그림의 $A$)이 관을 따라가는 파동속도는 다음과 같다. 파면은 파동 자체보다 빨리 움직일 수 있다.

(157)
\begin{align} v = {c \over {\cos \theta}} = {c \over \sqrt{1 - \left( { \omega_{mn} \over \omega } \right)^2 }} \end{align}

9.5.3 동축 전도선

속이 빈 도파관에서는 TEM 모드가 생기지 않는다. 그러나 동축 전도선, 즉 반지름 $a$인 도선을 반지름 $b$인 도체관으로 둘러싼 도선에서는 $E_z = 0, B_z = 0$인 모드가 있다.

e-9-26.png

경계조건: 도파관 표면에서 $E^\perallel = 0, B^\perp = 0$

(158)
\begin{align} \vec{E} & = E_0 \exp \left[ i (kz - \omega t ) \right] = \hat{s} E_{0s} (s, \phi ) \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \qquad \vec{E} = (E_s, 0, 0) \\ \vec{B} & = B_0 \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] = \hat{\phi} B_{0 \phi} (s, \phi ) \exp \left[ i (kz - \omega t) \right] \qquad \vec{B} = (0, B_\phi , 0) \end{align}

맥스웰 방정식

(159)
\begin{cases} {{\partial E_x} \over {\partial x}} + {{\partial E_y} \over {\partial y}} & = 0 \\ {{\partial E_y } \over {\partial x}} - {{\partial E_x} \over {\partial y}} & = 0 \\ {{\partial B_x} \over {\partial x}} + {{\partial B_y} \over {\partial y}} & = 0 \\ {{\partial B_y} \over {\partial x}} - {{\partial B_x} \over {\partial y}} & = 0 \end{cases} \end{cases}
(160)
\begin{align} \vec{E}_0 (s, \phi ) = {A \over s} \hat{s}, \quad \vec{B}_0 ( s, \phi ) = {A \over {cs}} \hat{\phi} \end{align}
(161)
\begin{cases} \vec{E} (s, \phi , z ,t) & = {{A \cos (kz - \omega t) } \over s} \hat{s}, \\ \vec{B} (s, \phi , z ,t ) & = {{A \cos (kz - \omega t) \over {cs}} \hat{\phi}. \end{cases}