8. 보존법칙

8.1 전하와 에너지

8.1.1 연속방정식

8.1.2 포인팅 정리

예제 8.1

8-1.png
  • 도선과 평행한 방향 전기장은
(1)
\begin{align} E = {V \over L} \end{align}
  • 도선표면($s=a$)에서 자기장은
(2)
\begin{align} B = {{ \mu_0 I } \over {2 \pi a}} \end{align}
  • 포인팅 벡터; 도선 중심축 방향
(3)
\begin{align} S = {1 \over \mu_0} {V \over L} { { \mu_0 I } \over {2 \pi a}} = {{VI} \over {2 \pi a L }} \end{align}
  • 단위시간에 도선 표면을 향해 들어오는 에너지
(4)
\begin{align} \int \vec{S} \cdot d \vec{a} = S ( 2 \pi a L ) = VI \end{align}

8.2 운동량

8.2.1 전기역학에서의 뉴턴 제3법칙

8-2.png

점전하가 $x$축을 따라 일정한 속력으로 움직일 때; 전하가 움직이고 있으므로 전기장은 쿨롱 법칙을 따르지 않는다. 그러나 전기장 방향은 그 순간 전하가 있는 곳에서 바깥쪽을 향한다. 또 움직이는 점전하는 정상전류를 이루지 못하므로 그것이 만드는 자기장은 비오-사바르 법칙을 따르지 않는다. 그러나 자기장 방향은 오른손 법칙을 따른다.

8-3.png

또다른 전하가 $y$축을 따라 같은 속력으로 움직인다면, 두 전하 사이에 전자기력이 작용해 축에서 벗아나려 할 것이다. 그러나 어찌어찌 해서 방향과 속력을 유지시켰다고 하자.

두 전하가 주고받는 전기력은 척력이다. 그런데 자기력은?

  • $q_1$이 만드는 자기장의 $q_2$의 위치에서 방향은 지면 안쪽 방향
    • $q_2$가 받는 자기력은 오른쪽 방향
  • $q_2$가 만드는 자기장의 $q_1$의 위치에서 방향은 지면 바깥쪽 방향
    • $q_1$이 받는 자기력은 위쪽 방향

즉 두 전하가 주고받는 알짜 전자기력은 크기는 같지만 방향이 반대가 아니다 → 뉴턴 제3법칙이 성립하지 않는다?? → 운동량 보존법칙이 깨진다??

전자기장에 실린 운동량까지 넣으면 전기역학에서도 운동량 보존법칙이 성립한다. 전자기장이 에너지를 가지고 있음을 생각하면 운동량을 갖고 있음도 이상한 일이 아님
입자가 잃은 운동량은 전자기장이 얻는다. 운동량 보존법칙이 성립하려면 입자의 역학적 운동량에 전자기장 운동량을 더해 주어야 한다.

8.2.2 맥스웰 변형력 텐서

부피 $\mathcal{V}$ 속에 든 전하가 받는 전자기력 셈하기

(5)
\begin{align} \vec{F} = \int_\mathcal{V} ( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} ) \rho d \tau = \int_\mathcal{V} ( \rho \vec{E} + \vec{J} \times \vec{B} ) d \tau \end{align}

단위부피 속의 전하가 받는 힘은

(6)
\begin{align} \vec{f} & = \rho \vec{E} + \vec{J} \times \vec{B} \\ & = \epsilon_0 ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E} ) \vec{E} + \left( {1 \over \mu_0 } \vec{\nabla} \times \vec{B} - \epsilon_0 {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \right) \times \vec{B} \end{align}

그런데

(7)
\begin{align} { \partial \over {\partial t}} ( \vec{E} \times \vec{B} ) = \left( {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \times \vec{B} \right) +\left( \vec{E} \times {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \right) \end{align}

이고 페러데이 법칙

(8)
\begin{align} {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} = - \vec{\nabla} \times \vec{E} \end{align}

그러므로

(9)
\begin{align} {{\partial \vec{E}} \over {\partial t}} \times \vec{B} = { \partial \over {\partial t}} ( \vec{E} \times \vec{B} ) +\vec{E} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{E} ) \end{align}

따라서

(10)
\begin{align} \vec{f} = \epsilon_0 [ ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E} ) \vec{E} - \vec{E} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E} ) ] - {1 \over \mu_0 } [ \vec{B } \times ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) ] - \epsilon_0 {\partial \over {\partial t}} ( \vec{E} \times \vec{B} ) \end{align}

식이 더 대칭적으로 보이도록 둘째 괄호 속에 $( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} ) \vec{B}$를 넣자. 자기장 발산은 어차피 빵이니까 대충 처넣어도 됨

그리고 곱셈규칙 4번에서

(11)
\begin{align} \vec{\nabla} (E^2) = 2 (\vec{E} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{E} + 2 \vec{E} \times ( \vec{ \nabla } \times \vec{E} ) \\ \vec{E} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{E} ) = {1 \over 2} \vec{\nabla} ( E^2 ) - ( \vec{E} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{E} \end{align}

그러므로

(12)
\begin{align} \vec{f} = & \epsilon_0 [ ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E} ) \vec{E} +( \vec{E} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{E} ] + {1 \over \mu_0} [ ( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} ) \vec{B} + ( \vec{B} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{B} \\ & - {1 \over 2} \vec{\nabla} \left( \epsilon_0 E^2 + {1 \over \mu_0 } B^2 \right) - \epsilon_0 {\partial \over {\partial t}} ( \vec{E} \times \vec{B} ) \end{align}

너무 복잡하다! [sic]

그래서 식이 단순해지도록 맥스웰 변형력 텐서(Maxwell stress tensor)를 도입한다.

(13)
\begin{align} T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left( E_i E_j - {1 \over 2} \delta_{ij} E^2 \right) + {1 \over \mu_0 } \left( B_i B_j - {1 \over 2} \delta_{ij} B^2 \right) \end{align}
(14)
\begin{align} T_{xx} & = {1 \over 2} \epsilon_0 ( {E_x}^2 - {E_y}^2 - {E_z}^2 ) + {1 \over {2 \mu_0 }} ( {B_x}^2 - {B_y}^2 - {B_z}^2 ) \\ T_{xy} & = \epsilon_0 (E_x E_y ) + {1 \over \mu_0 } ( B_x B_y ) \end{align}

8.3 자기력은 일을 하지 않는다