7. 전기역학

(지난학기 마지막 내용 복습)

7.1 기전력

7.1.1 옴 법칙

전류 = 전하의 흐름

  • 여기서 전하란 금속에서는 자유전자, 반도체에서는 자유전자 또는 양공, 전해질에서는 음양이온, 플라스마에서는 자유전자 및 양이온…

전류밀도

(1)
\begin{align} \vec{J} = nq \vec{v} \end{align}

전류밀도와 전자기장의 관계:

(2)
\begin{align} \vec{J} = \sigma ( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} ) \approx \sigma \vec{E} \end{align}
  • 전하의 속력이 크지 않으므로 둘째 항을 무시.
  • 시그마는 표면전하가 아니고 전도도. (비저항 $\rho$의 역수. 비저항 단위는 옴·미터)
    • 비저항 값에 따라 물체는 도체 - 반도체 - 절연체(유전체)로 나뉨

예제 7.1

e-7-1.png

전도도 $\sigma$, 단면적 $A$, 길이 $L$인 원통 모양 도선의 양끝 전위차가 $V$일 때 흐르는 전류는?

(3)
\begin{align} I = \int_A \vec{J} \cdot d \vec{a} = \int_A \sigma \vec{E} \cdot d \vec{a} = \sigma \int_A \vec{E} \cdot d \vec{a} \end{align}

전기장은 도선 속에 고르게 퍼져 있음, 방향은 도선의 축($z$) 방향. 전기장 크기 $E = V/L$

(4)
\begin{align} \int_A \vec{E} \cdot d \vec{a} = E \int_A da = {V \over L} \cdot A \end{align}
(5)
\begin{align} \therefore\ I = JA = \sigma EA = {{ \sigma A} \over L} V \end{align}

예제 7.2

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속을 파낸 원통, 전도도 $\sigma$, 원통 사이의 전위차 $V$, 내반경 $a$, 외반경 $b$, 길이 $L$.

전류: 전류밀도를 면적분한 값

(6)
\begin{align} I = \int_A \vec{J} \cdot d \vec{a} = \int_A \sigma \vec{E} \cdot d \vec{a} = \sigma \int_A \vec{E} \cdot d \vec{a} = \sigma E_s A_s = \sigma E_s ( 2 \pi s L ) \end{align}

전기장

(7)
\begin{align} E_s = {1 \over {2 \pi \epsilon_0}} { \lambda \over s} \qquad ( \lambda:\ \text{안쪽 원통의 단위길이당 전하}) \end{align}
(8)
\begin{align} \therefore\ I = \sigma \cdot {1 \over {2 \pi \epsilon_0}} {\lambda \over s} \cdot 2 \pi s L = { { \sigma L } \over \epsilon_0 } \cdot \lambda \end{align}

전위차

(9)
\begin{align} V = - \int_b^a \vec{E} \cdot d \vec{l} = {\lambda \over {2 \pi \epsilon_0}} \ln \left( {b \over a} \right) \end{align}
(10)
\begin{align} \therefore\ I = {{2 \pi \sigma L } \over { \ln \left( {b \over a} \right) }} V \end{align}

한쪽 전극(electrode)에서 다른쪽 전극으로 흐르는 전류는 둘 사이 전위차에 비례한다.

(11)
\begin{equation} V = IR \end{equation}

이것이 낯익은 옴 법칙이다. 비례상수 $R$저항(resistance)이다.

전도도가 고른 재료 속을 흐르는 정상 전류에 대하여

(12)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {1 \over \sigma } \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0 \end{align}

예제 7.3: 도선 속의 전기장은 고르다는 명제 증명하기

  • 원통 속에 알짜 전하가 없으므로 $\nabla^2 V = 0$ (라플라스 방정식)
  • 경계조건:
    • 양끝의 전위가 일정 $V_{z=0} = 0, V_{z=L} = V_0$
    • 원통의 옆면으로 전류가 새지 않음 $\vec{J} \cdot \hat{n} = 0 \implies \vec{E} \cdot \hat{n} = 0 \implies \partial V / \partial n = 0$
  • 방정식의 해
(13)
\begin{align} \nabla^2 V = 0 & \implies {{d^2 V } \over {d z^2}}= 0 \implies V(z) = V_0 {z \over L} \\ & \implies \vec{E} = - \vec{\nabla} V = - {V_0 \over L} \hat{z} \quad (균일) \end{align}

7.1.2 기전력

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회로에서 전류를 몰아대는 힘은 둘이다. 전원의 힘과 정전기력.

(14)
\begin{align} \vec{f} = \vec{f}_{전원} + \vec{E} \end{align}

$\vec{f}_{전원}$은 화학력(건전지), 온도차, 빛(광전지) 따위 다양한 원인에 의해 생성됨. 원인이 무엇이건 간에 그 효과(기전력 — motive force; emf)는 힘을 회로에 대해 적분한 것으로 결정된다.

(15)
\begin{align} \mathcal{\epsilon} \equiv \oint \vec{f} \cdot d \vec{l} = \oint \vec{f}_{전원} \cdot d \vec{l} \qquad \left(\because\ \oint \vec{E} \cdot d \ve{l} = 0 \right) \end{align}
(16)
\begin{align} V = - \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{l} = \int_a^b \vec{f}_{전원} \cdot d \vec{l} = \oint \vec{f}_{전원} \cdot d \vec{l} = \mathcal{\epsilon} \end{align}

7.1.3 운동 기전력

전지는 화학에너지로 기전력 유지, 발전기는 운동에너지로 기전력 유지.

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$ab$가 받는 힘 = 수직방향 자기력 $q v B$
기전력

(17)
\begin{align} \mathcal{\epsilon} = \oint \vec{f}_{자기} \cdot d \vec{l} = vBh \end{align}

움직이는 고리에 생기는 기전력의 표현.

고리를 지나가는 자기장 $\vec{B}$의 선속

(18)
\begin{align} \Phi \equiv \int \vec{B} \cdot d \vec{a} = Bhx \end{align}

고리가 움직임에 따른 선속 변화

(19)
\begin{align} {{d \Phi } \over {dt}} = Bh {{dx} \over {dt}} = - Bhv = - \mathcal{\epsilon} \end{align}
(20)
\begin{align} \therefore\ \mathcal{\epsilon} = - {{ d \Phi } \over {dt}} \quad (선속규칙) \end{align}

이 선속규칙은 고르지 않은 자기장 속에서 모양이 불규칙한 고리가 아무 쪽으로 움직여도 쓸 수 있다. 고리의 모양이 변할 때도 쓸 수 있다.

증명:

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(21)
\begin{align} d \Phi = \Phi (t + dt) - \Phi (t) = \Phi_{띠} = \int_{띠} \vec{B} \cdot d \vec{a} \end{align}

띠의 미소 면적요소

(22)
\begin{align} d \vec{a} & = ( \vec{v} \times d \vec{l} ) dt \\ & \implies {{d \Phi} \over {dt}} = \oint \vec{B} \cdot ( v \times d \vec{l} ) \end{align}

$\vec{w} = \vec{v} + \vec{u}$이고 $\vec{u} \parallel d \vec{l}$이므로

(23)
\begin{align} {{d \Phi } \over {dt}} & = \oint \vec{B} \cdot ( \vec{w} \times d \vec{l} ) = - \oint ( \vec{w} \times \vec{B} ) \cdot d \vec{l} \\ & = - \oint \vec{f}_{자기} \cdot d \vec{l} \end{align}

이고 $\vec{f}_{자기}$의 적분이 기전력

(24)
\begin{align} \mathcal{\epsilon} = - {{d \Phi } \over {dt}} \end{align}

7.2 전자기유도

7.3 맥스웰 방정식

(25)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} & = { \rho \over \epsilon_0} \qquad \qquad (가우스법칙) \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} & = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \qquad \qquad (패러데이법칙) \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} & = \mu_0 \vec{J} + \epsilon_0 \mu_0 {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \qquad \qquad (앙페르법칙) \end{align}
(26)
\begin{align} \oint \vec{B} \cdot d \vec{l} & = \mu_0 \int_\mathcal{S} \vec{J} \cdot d \vec{a} + \epsilon_0 \mu_0 \int_\mathcal{S} \left( {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \right) \cdot d \vec{a} \\ & = \mu_0 I \\ & \because\ \begin{cases} \qquad E & = { \sigma \over \epsilon_0 } = {Q \over {\epsilon_0 A}}, \\ \qquad {{\partial E} \over {\partial t}} & = {{1} \over {\epsilon_0 A}} I, \\ \epsilon_0 \mu_0 {I \over {\epsilon_0 A}} A & = \mu_0 I \end{cases} \end{align}

이상 맥스웰 방정식과 로런츠 힘 법칙

(27)
\begin{align} \vec{F} = q ( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} ) \end{align}

는 고전 전기역학의 모든 내용을 요약한 것이다.

맥스웰 방정식은 source 가 어떻게 전자기장을 만드느냐, 로런츠 힘 법칙은 전자기장이 전하에 어떻게 영향(힘)을 주느냐를 서술하는 것

7.3.4 자하

맥스웰 방정식 대칭성 죽이는데 왜 자기장의 내적만 0이야 찜찜하게
So What if

(28)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} & = { \rho_e \over \epsilon_0} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = \mu_0 \rho_m \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} & = - \mu_0 \vec{J}_m - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} & = \mu_0 \vec{J}_e + \epsilon_0 \mu_0 {{\partial \vec{E} } \over {\partial t}} \end{align}

($\rho_m$는 자하밀도, $\vec{J}_m$은 자기선속)
이렇게 맥스웰 방정식이 자하의 존재를 요구하는 것 같다. 그런데 자하는 실험적으로 발견된 적이 없다. 현재까지 언제나 $\rho_m = 0$이고 때문에 $\vec{J}_m =0$ 이다.

7.3.5 물질 속의 맥스웰 방정식

진공이 아닌 물질 속에는 자유전하가 외에 자유전하로 인해 발생하는 extra charge가 새로운 term으로 있는데 법칙을 적용할 때는 모든 전하를 count 해야 하고 매번 우변을 새로 계산하기는 복잡하므로 새로운 form이 필요

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편극된 물질 속에서 전기편극밀도 $\vec{P}$는 속박전하를 만들어낸다

(29)
\begin{align} \rho_b = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \end{align}

(b는 bound를 의미) 마찬가지로 자기편극밀도 $\vec{M}$은 속박전류를 만들어낸다.

(30)
\begin{align} \vec{J}_b = \vec{\nabla} \times \vec{M} \end{align}

정전기는 시간에 대한 변수가 없다. 그런데 위 그림에서 전기편극밀도가 시간에 따라 변한다면, 취해진 원기둥의 왼쪽 밑면과 오른쪽 밑면의 속박전하밀도 $\sigma_b = \vec{P} \cdot \hat{n}$

(31)
\begin{align} dI = {{\partial \sigma_b} \over {\partial t}} d a_\perp = {{\partial P} \over {\partial t}} d a_\perp \end{align}

와 같은 알짜 전류가 생겨나고 전류밀도는

(32)
\begin{align} \vec{J}_p = {{\partial \vec{P} } \over {\partial t}} \end{align}

이것을 편극전류(polarizatio current)라고 한다.

그러면 총 전하밀도는 두 부분으로, 전류밀도는 세 부분으로 나눌 수 있다.

(33)
\begin{align} \rho & = \rho_f + \rho_b = \rho_f - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \\ \vec{J} & = \vec{J}_f + \vec{J}_b + \vec{J}_p = \vec{J}_f + \vec{\nabla} \times \vec{M} + {{\partial \vec{P} } \over {\partial t}} \end{align}

그러면 맥스웰 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
가우스 법칙:

(34)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} & = {1 \over \epsilon_0} ( \rho_f - \vec{\nabla} \cdot \vec{P} ) , \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} & = \rho_f \qquad (\vec{D} \equiv \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} ) \end{align}

앙페르 법칙:

(35)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{B} & = \mu_0 \left( \vec{J}_f + \vec{\nabla} \times \vec{M} + {{\partial \vec{P} } \over {\partial t}} \right) + \mu_0 \epsilon_0 {{\partial \vec{E}} \over {\partial t}} \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} & = \vec{J}_f + {{\partial \vec{D} } \over {\partial t}} \qquad \left( \vec{H} \equiv {1 \over \mu_0} \vec{B} - \vec{M} \right) \end{align}

패러데이 법칙과 자기장 가우스 법칙은 전하밀도 및 전기선속과 관련이 없으므로 전하와 전류를 자유-속박으로 나누어도 모양이 바뀌지 않는다. 그러므로

(36)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{D} & = \rho_f, \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} & = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \\ \vec{\nabla} \times \vec{H} & = \vec{J}_f + {{\partial \vec{D} } \over {\partial t}} \qquad \qquad \end{align}