7. 전기역학

7.1 기전력

7.1.1 옴 법치

7.1.2 기전력

7.1.3 운동 기전력

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(1)
\begin{align} \mathcal{E} = \oint \vec{f}_\mathrm{magnet} \cdot d \vec{l} = v B h \end{align}

7.2 전자기 유도

7.2.1 패러데이 법칙

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실험 1: 일정한 자기장 속에서 도선 고리를 오른쪽으로 이동

실험 2: 도선 고리를 고정시킨 채 자석을 왼쪽으로 이동

실험 3: 도선 고리와 자석을 고정시킨 채 자기장 세기(i.e. 전자석 코일에 흐르는 전류)를 변화

모든 실험의 결과는 같다. — 변화하는 전기장은 전기장을 만들어내며 그 기전력은 선속의 변화율과 같다

(2)
\begin{align} \mathcal{E} = - {{d \Phi} \over {dt}} = \oint \vec{E} \cdot d \vec{l} \end{align}
(3)
\begin{align} \oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \int {{\partial \vec{B}} \over {\partial t}} \cdot d \vec{a} \end{align}

이것이 적분꼴 패러데이 법칙이고 여기에 스토크스 정리를 쓰면 미분꼴로 바꿀 수 있다.

(4)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B}} \over {\partial t}} \end{align}

위 세 실험의 경우는 모두 고리를 지나는 선속이 변화할 때 그 원인이 무엇이든 항상 고리에 기전력이 생긴다고 요약할 수 있으며, 그 유도기전력으로 인한 전류의 방향은 선속변화를 방해하는 방향이다. 자연은 선속 변화를 싫어한다(렌츠 법칙)

7.2.2 유도 전기장

패러데이 법칙은 정전기학 규칙 $\vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}$을 시간변화 영역으로 일반화한 것이다. 전기장의 발산은 여전히 가우스 법칙을 따른다.

$\vec{E}$$\rho = 0$이라서 오직 $\vec{B}$의 변화로만 생기는 순수한 패러데이 장이라면 발산과 회전은 다음과 같다.

(5)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0, \qquad \vec{\nabla} \times \vec{E} = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} \end{align}

이는 수학적으로 정자기학 방정식과 같다.

(6)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0, \qquad \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} \end{align}

대칭성이 있으면 패러데이 법칙을 적분꼴로 바꾸고 적분꼴 앙페르 법칙의 기법을 그대로 쓸 수 있다.

(7)
\begin{align} \oint \vec{E} \cdot d \vec{l} & = - {{d \Phi} \over {dt}} \\ \oint \vec{B} \cdot d \vec{l} & = \mu_0 I_\mathrm{internal} \end{align}

7.2.3 유도계수

고리 1에 전류 $I_1$을 흘리면 자기장 $\vec{B}_1$이 생긴다. 그 자기장선 일부가 고리 2를 지나가면서 고리 2에 기전력이 유도될 텐데 어떻게 계산해야 할까?

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고리 1의 미소선벡터를 $d \vec{l}_1$, 고리 2의 미소선벡터를 $d \vec{l}_2$라 하면

(8)
\begin{align} \vec{B}_1 = { \mu_0 \over {4 \pi}} I_1 \oint {{ d \vec{l}_1 \times \vec{\Re}} \over \Re^2 } & \qquad (비오-사바르\ 법칙) \\ \quad (\Re = \left\lvert \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \right\rvert) & \end{align}
(9)
\begin{align} \Phi_2 = \int \vec{B}_1 \cdot d \vec{a}_2 = M_{21} I_1 \end{align}

이때 $M_{21}$은 비례상수로서 두 고리의 상호 유도계수(mutual inductance)라고 한다. 상호 유도계수는 선속을 벡터전위로 나타내고 스토크스 정리를 써서 유도한다.

(10)
\begin{align} \Phi_1 = \int \vec{B}_1 \cdot d \vec{a}_2 = \int ( \vec{\nabla} \times \vec{A}_1 ) \cdot d \vec{a}_2 = \oint \vec{A}_1 \cdot d \vec{l}_2 \end{align}

벡터전위는 제5장에 따르면 다음과 같다.

(11)
\begin{align} \vec{A}_1 = {{ \mu_0 I_1 } \over {4 \pi}} \oint {{d \vec{l}_1 } \over \Re} \end{align}

그러므로 고리 2의 선속은

(12)
\begin{align} \Phi_2 = {{ \mu_0 I_1 } \over {4 \pi}} \oint \left( \oint {{d \vec{l}_1 } \over {\Re}} \right) \cdot d \vec{l}_2 \end{align}

따라서 상호 유도계수는 다음과 같다.

(13)
\begin{align} M_{21} = { \mu_0 \over {4 \pi} } \oint \oint {{ d \vec{l}_1 \cdot d \vec{l}_2 } \over \Re } \end{align}

이것을 노이만 공식이라고 하며, 상호 유도계수의 성질을 보여준다.

  1. 상호유도계수는 순전히 기하학적인 양으로 두 고리의 크기, 모양, 상대적 위치에 따라 정해진다.
  2. 노이만 공식의 적분은 고리 1과 2를 바꾸어도 그 값이 같다. 따라서 $M_{21} = M_{12} = M$

그러나 이 공식은 실제 셈에는 별 쓸모가 없다. 실제 셈에서는 에너지 개념을 이용하게 될 것.

고리 1에 흐르는 전류를 변화시키면 이에 따라 고리 2를 지나느 선속이 변하고, 이 선속변화가 고리 2에 기전력을 만든다.

(14)
\begin{align} \mathcal{E}_2 = - {{ d \Phi_2 } \over {dt}} = - M{{ d I_1 } \over {dt}} \end{align}

즉 어떤 도선 고리의 전류가 변하면 가까이 있는 도선 고리에 기전력이 생길 뿐 아니라 전류가 흐르는 그 도선 자체에도 기전력이 생긴다. 전류 때문에 생기는 자기장과 고리를 지나는 선속 모두 전류에 비례한다.

(15)
\begin{align} \Phi = LI \end{align}

이 비례상수 $L$자체유도계수(self-inductance) 또는 그냥 유도계수(inductance)라고 한다. 마찬가지로 이것은 고리의 기하학적 특성(크기와 모양)이 결정한다.

(16)
\begin{align} \mathcal{E} = - L {{dI} \over {dt}} \end{align}

유도계수의 단위는 헨리(H)이다. 1 H = (1 V · 1 s) / 1 A

유도계수는 언제나 양수이고, 위 식의 (-) 부호는 렌츠 법칙에 따라 기전력 방향이 전류 변화를 막는 쪽이 됨을 의미한다. 그래서 이것을 역기전력(back emf)이라고 한다. 도선의 전류를 변화시키려면 역기전력을 이겨내야 한다. 즉 유도계수가 전기회로에서 하는 구실은 질량이 역학에서 하는 구실과 같다. 질량이 클수록 속도를 바꾸기 어렵듯이 유도계수가 클수록 전류를 바꾸기 어렵다.

7.2.4 자기장 속의 에너지

7.3 맥스웰 방정식

전기장과 자기장의 발산과 회전에 대해 지금까지 나온 법칙은 다음과 같다.

(17)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} & = {1 \over \epsilon_0} \rho & \qquad (가우스\ 법칙) \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} & = 0 & \qquad (자기장\ 가우스\ 법칙) \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} & = - {{\partial \vec{B} } \over {\partial t}} & \qquad (페러데이\ 법칙) \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} & = \mu_0 \vec{J} & \qquad (앙페르\ 법칙) \end{align}