4. 물질 속의 정전기장

4.1 편극밀도

4.1.1 유전체

이상적 유전체: 도체와 달리 자유전하가 없다. → 외부에서 걸어준 전기장을 차폐할 수 없다.
속박 전하가 유전체 안팎에 전기장 형성

$\vec{E}_\mathrm{int} \ne 0 \rightarrow \vec{p}$

미소 수준에서 $\vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}$, $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0$ → 많은 분자에 대한 평균 전기장을 구한다.
$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}_\mathrm{av} = \rho_\mathrm{av} / \epsilon_0$
$\rho_\mathrm{av} = \rho - \vec{\nabla} \cdot \vec{P}$

4.1.2 유도쌍극자

  • 전기적으로 중성인 원자를 전기장 $\vec{E}$ 안에 두면:
  • 원자핵(양전하)은 전기장 방향, 전자구름(음전하)는 반대 방향으로 밀린다.
  • 전기장이 아주 세면 원자핵과 전자가 완전히 분리(전리)되어 이온이 됨
  • 전리될 만큼 전기장이 세지 않으면 평형이 이루어진다.
  • 전자(전자구름의 중심)와 원자핵을 떼어 놓으려는 $\vec{E}$와 그 둘이 서로 잡아끄는 인력의 크기가 같아지면 원자는 양전하와 음전하의 중심이 조금 어긋나 편극(polarized)된다.
  • 편극된 원자는 아주 작은 쌍극자 모멘트 $\vec{p}$를 가진다.
(1)
\begin{align} \vec{p} = \alpha \vec{E} \end{align}
  • 유도 쌍극자 모멘트는 그 방향은 전기장 $\vec{E}$와 같고 그 크기는 전기장에 비례한다.
  • 비례상수 $\alpha$원자 편극성(atomic polarizability)이며 그 값은 원자마다 다르다.
$\alpha / 4 \pi \epsilon_0$ (단위 1e-30 ㎥)
수소 헬륨 리튬 베릴륨 탄소 네온 나트륨 아르곤 칼륨 세슘
0.667 0.205 24.30 5.60 1.67 0.396 24.10 1.64 43.3 59.4

예제 4.1
원자핵이 전자구름의 중심으로부터 거리 $d$만큼 옮겨갔을 때 평형이 이루어졌을 경우, 외부 전기장이 원자핵을 오른쪽으로 미는 힘과 전자구름의 내부 전기장이 원자핵을 왼쪽으로 당기는 힘이 같다: $E = E_{전자}$

전하가 고르게 퍼진 공의 중심에서 $d$만큼 벗어난 곳의 전기장은 제2장에서 살펴본 바

(2)
\begin{align} E_{전자} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{qd} \over a^3} \end{align}

이므로, 평형상태에서 외부 전기장은

(3)
\begin{align} E & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{qd} \over a^3}, \\ p & = qd = (4 \pi \epsilon_0 a^3 ) E \end{align}

그러므로 원자 편극성은

(4)
\begin{align} \alpha = 4 \pi \epsilon_0 a^3 = 3 \epsilon_0 v \end{align}

여기서 $v = 4 \pi a^3 /3$은 원자의 부피이다. 이것은 많은 단순한 원자에 대해 4배 범위 안에서 맞다.

  • 분자는 모양에 따라 편극되는 방향이 있기 때문에 원자보다 복잡
    • e.g. CO₂ 분자의 축과 평행하게 전기장을 걸면 편극성이 4.5e-40 C²·m/N 이지만 수직하게 걸어주면 2.0e-40 C²·m/N
  • 전긱장을 축에 대해 비스듬히 걸면 축과 평행한 성분과 수직한 성분으로 나누고 각 성분에 맞는 편극성을 곱하여 유도 쌍극자 모멘트를 구한다.
(5)
\begin{align} \vec{p} = \alpha_\perp \vec{E}_\perp + \alpha_\parallel \vec{E}_\parallel \end{align}
  • 이 경우 유도 쌍극자 모멘트는 일반적으로 외부 전기장과 평행하지 않다. CO₂ 분자는 모든 원자가 한 줄로 늘어져 있으므로 그나마 단순하지만, 대칭성이 전혀 없는 분자에서는 유도쌍극자 모멘트의 일반적인 꼴이 다음과 같다.
(6)
\begin{cases} p_x & = \alpha_{xx} E_x + \alpha_{xy} E_y + \alpha_{xz} E_z \\ p_y & = \alpha_{yx} E_x + \alpha_{yy} E_y + \alpha_{yz} E_z \\ p_z & = \alpha_{zx} E_x + \alpha_{zy} E_z + \alpha_{zz} E_z \end{cases}
  • 이 식의 9개 상수 $\alpha_{ij}$를 그 분자의 편극성 텐서(polarizability tensor)라고 한다.
    • 상수들의 값은 좌표축 방향에 따라 달라지는데, 좌표축을 잘 잡으면 대각성분 $\alpha_{xx}, \alpha_{yy}, \alpha_{zz}$만 남고 나머지 성분들은 모두 0이 된다.

4.1.3 극성분자의 정렬

§4.1.2에서 말한 중성원자는 원래는 쌍극자 모멘트가 없었는데 전기장을 걸어 주어서 생겨났다.

어떤 분자는 영구 쌍극자 모멘트가 저절로 생기며, 이를 극성분자(polar molecule)라고 한다.

  • e.g. 물 분자 속에서 전자들은 산소원자 주위에 모이고 반대쪽 수소 원자 쪽에 알짜 양전하가 남는다.

전기장이 고를 때:
양전하가 모인 끝이 받는 힘 $\vec{F}_+ = q \vec{E}$는 음전하가 모인 끝이 받는 힘 $\vec{F}_- = - q \vec{E}$와 맞비겨 합력은 0이다. 하지만 회전력은 0이 아니다.

(7)
\begin{align} \vec{N} & = ( \vec{r}_+ \times \vec{F}_+ ) + ( \vec{r}_- \times \vec{F}_- ) \\ & = \left[ \left( { \vec{d} \over 2} \right) \times ( q \vec{E} ) \right] + \left[ \left( - { \vec{d} \over 2} \right) \times ( - q \vec{E} ) \right] \\ & = q \vec{d} \times \vec{E} \\ & = \vec{p} \times \vec{E} \end{align}

이 회전력을 받은 극성분자는 자유로이 돌 수 있으면 돌아서 외부 전기장과 평행하게 늘어선다.

전기장이 고르지 않을 때:
$\vec{F}_+, \vec{F}_-$가 상쇄되지 않으므로 쌍극자는 회전력과 함께 합력도 받게 된다.

(8)
\begin{align} \vec{F} = \vec{F}_+ + \vec{F}_- = q ( \vec{E}_+ - \vec{E}_- ) = q ( \Delta \vec{E} ) \end{align}

이때 $\Delta \vec{E}$ 는 양전하와 음전하가 있는 끝에서 전기장의 차이.

쌍극자의 길이가 아주 짧으면

(9)
\begin{align} \Delta E_x & = ( \vec{\nabla} E_x ) \cdot \vec{d} \\ \Delta E_y & = ( \vec{\nabla} E_y ) \cdot \vec{d} \\ \Delta E_z & = ( \vec{\nabla} E_z ) \cdot \vec{d} \\ \iff \Delta \vec{E} & = ( \vec{d} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{E} \end{align}

길이가 무한소로 가는 점쌍극자에서는 전기장이 고르지 않아도 식 (7)을 그대로 쓸 수 있다. 다른 점에 대한 회전력은 다음과 같다.

(10)
\begin{align} \vec{N} = ( \vec{p} \times \vec{E} ) + ( \vec{r} \times \vec{F} ) \end{align}

4.1.4 편극밀도

앞 두 절에서는 외부 전기장이 입자 하나에 미치는 효과를 살펴보았다.
유전체 한 조각을 전기장 속에 놓아두면 어떻게 되는가에 대한 정성적 해답:

  • 유전체가 중성원자 또는 비극성 분자로 이루어져 있으면 전기장은 각 원자 또는 분자에서 자신과 평행한 작은 쌍극자를 유도한다.
  • 유전체가 극성분자로 이루어져 있으면 영구 쌍극자마다 전기장으로 인한 회전력이 가해져 전기장과 평행하게 정렬되려고 한다(무질서 열운동이 방해하므로 분자는 결코 완벽하게 정렬되지 못한다).
  • 위 두 과정에서 생기는효과는 본질적으로 같다. 아주 많은 작은 쌍극자들이 전기장과 평행하게 늘어선다. 이를 유전체가 편극된다고 한다.
  • 유전체의 편극을 가늠하는 양을 편극밀도(polarization) $\vec{P}$라 하고 이는 단위부피 속에 든 쌍극자 모멘트로 정의된다.

4.2 편극된 물체가 만드는 전기장

4.2.1 속박전하

4.2.2 속박전하에 관한 물리적 해석

4.2.3 유전체 속의 전기장

4.3 대체 전기장

4.3.1 유전체가 있을 때의 가우스 법칙

4.3.2 잘못 알기 쉬운 비슷함

4.3.3 경계조건

4.4 선형 유전체

4.4.1 감수율, 유전율, 유전상수

4.4.2 선형 유전체가 있는 경계값 문제

4.4.3 유전체계의 에너지

4.4.4 유전체가 받는 힘