3. 정전기학 문제의 해

3.1 라플라스 방정식

3.1.1 서론

(1)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {1 \over \epsilon_0} \rho \end{align}
(2)
\begin{align} \vec{E} = - \vec{\nabla} V, \qquad \mathrm{for\ 순수한\ 정전기장} \end{align}
(3)
\begin{align} \implies \nabla^2 V = - {\rho \over \epsilon_0} \qquad : 푸아송\ 방정식 \end{align}

$\rho = 0$인 영역(다른 곳에 전하가 많이 있지만 이 영역에만 전하가 없음)의 전위를 구할 경우 푸아송 방정식은 라플라스 방정식이 된다.

(4)
\begin{align} \nabla^2 V & = 0 \qquad : 라플라스\ 방정식 \\ {{\partial^2 V} \over {\partial x^2}} + {{\partial^2 V} \over {\partial y^2}} + {{\partial^2 V} \over {\partial z^2}} & = 0 \end{align}

중첩 정리

$V_1, V_2 , \cdots, V_n$이 모두 라플라스 방정식의 해일 때, $V = c_1 V_1 + c_2 V_2 + \cdots + c_n V_n$ 역시 라플라스 방정식의 해이다($c$들은 상수).

(5)
\begin{align} \nabla^2 V = c_1 \nabla^2 V_1 + c_2 \nabla^2 V_2 + \cdots + c_n \nabla^2 V_n = 0 \end{align}

제1유일성 정리

라플라스 방정식의 해 $V$의 값이 어떤 부피영역 $\mathcal{V}$의 경계면 $\mathcal{S}$에서 명시되면 그 영역 속에서의 해는 유일하게 정해진다.

(6)
\begin{align} V & = V_1 - V_2 \\ \nabla^2 V & = \nabla^2 V_1 - \nabla^2 V_2 = 0 \qquad (\nabla 는\ 경계에서) \end{align}
(7)
\begin{align} \int_{\mathcal{V}_0} \vec{\nabla} \cdot ( V \vec{\nabla} V ) d \tau & = \int_{\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2, \cdots \mathcal{S}_n} V \vec{\nabla} V \cdot \hat{n} d a = 0 \\ \vec{\nabla} \cdot (V \vec{\nabla} V ) & = V \nabla^2 V + ( \vec{\nabla} V )^2 \\ \int_{\mathcal{V}_0} ( \vec{\nabla} V )^2 d \tau & = 0 \end{align}

이를 만족시키기 위해서는 $( \vec{\nabla} V )^2 = 0$이어야 한다.

평균값 정리

  • 변함이 없는 어떤 영역에서 잡은 임의의 구의 표면의 전위의 평균값은 그 구의 중심의 전위값과 같다.

증명: 반경 $a$인 구의 표면이 $\mathcal{S}$, 중심에서 표면으로의 radiant vector가 $\vec{r}$이고 그 표면의 평균 전위가 $\bar{V}$일 때

(8)
\begin{align} V(\vec{r}) = \bar{V} = \int_\mathcal{S} V {{dA} \over {4 \pi a^2}} = {1 \over {4 \pi}} \int_\mathcal{S} V d \Omega \end{align}
(9)
\begin{align} {{d \bar{V} } \over {da}} & = {1 \over {4 \pi}} \int_\mathcal{S} {{\partial V} \over {\partial a}} d \Omega = {1 \over {4 \pi }} \int_\mathcal{S} \vec{\nabla} V \cdot \hat{n} d \Omega \\ & = {1 \over {4 \pi a^2}} \int_\mathcal{S} \vec{\nabla} V \cdot \hat{n} dA = {1 \over {4 \pi a^3}} \int_\mathcal{V} \nabla^2 V d \tau = 0 \end{align}

평균 전위를 반경에 대해 미분했더니 0이 되었다 $\implies \bar{V}$는 반경 $a$에 무관하다.

$\implies V_\mathrm{center} = \bar{V} (a=0) = \bar{V} (a)$

언쇼 정리

$V$는 변화가 없는 영역에서 국소적 최대값 또는 최소값을 가질 수 없다.

증명: 국소적 최대값 $V( x)$의 존재를 가정하고, 그 주위로 작은 구를 잡으면 이는 평균값 정리에 위배되므로 모순이다. (귀류)

i.e. 정전기력은 변화가 없는 영역에서 전하를 띤 입자에 대한 안정 평형점을 만들지 못한다.

제2유일성 정리

도체로 둘러싸여 있고 전하밀도가 $\rho$인 부피영역 $\mathcal{V}$ 안에서 전기장은 유일하게 결정된다. $\vec{E}_1 = \vec{E}_2$

3.2 영상법

영상법이란: 라플라스 방정식을 풀지 않고 문제를 푸는 것

(10)
\begin{align} \phi ( \vec{r} ) = \phi_1 ( \vec{r} ) + {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int_\mathcal{S} {{ \sigma (\vec{r} ) d a' } \over { \left\lvert \vec{r} - \vec{r} ' \right\rvert }} \end{align}

알 수 없는 값 $\sigma$를 포텐셜 $\phi_2$(영상전하image charge — 도체 속에 있다고 가정하는 가상의 점전하)로 대체.

(11)
\begin{align} \phi ( \vec{r} ) = \phi_1 + \phi_2 \end{align}

$\phi_1$은 real charge 의 포텐셜, $\phi_2$는 image charge의 포텐셜
이 식은 도체의 바깥에서만 유효하다.

영상법의 상세한 내용은 제4장에서 다룬다.

e.g.

접지된 도체 바깥에 움직이지 않는 점전하 $q$가 도체면에서 거리 $d$만큼 떨어져 있을 때(거리 방향이 $z$축)

도체면을 원래 도체면 위치에서 $-d$ 거리 떨어진 영상전하 $- q$로 대체

(12)
\begin{align} \phi (x, y, z) = {q \over {4 \pi \epsilon_0 r_1}} - {q \over {4 \pi \epsilon_0 r_2 }}, \qquad z \ge 0 \end{align}
(13)
\begin{align} r_1 & = \sqrt{(z-d)^2 + y^2 + x^2} \\ r_2 & = \sqrt{(z+d)^2 + y^2 + x^2} \end{align}

$d = 0$이면 $r_1 = r_2$

(14)
\begin{align} \sigma (x, y) & = \epsilon_0 \left. E_z \right\rvert_{z=0} \\ & = \epsilon_0 \left. {{\pqrtial \phi} \over {\partial z }} \right\rvert_{z=0} \\ & = {{qd} \over {2 \pi ( d^2 + x^2 + y^2 )^{3/2) } = {{qd} \over {2 \pi ( d^2 + r^2 )^{3/2) } = \end{align}
(15)
\begin{equation} \end{equation}

3.3 변수 분리법

3.3.1 직교좌표계

$x = 0$에서 접지된 ㄷ자꼴 통 속의 전위 구하기

3-17.png

물체 모양이 $z$와 무관하므로 실제로는 2차원 문제이다. 즉 다음 미방을 풀면 된다.

(16)
\begin{align} {{\partial^2 V} \over {\partial x^2}} + {{\partial^2 V} \over {\partial y^2}} = 0 \end{align}

경계조건은

  1. $V(y=0) = 0$
  2. $V(y=a) = 0$
  3. $V(x = 0) = V_0 (y)$
  4. $V(x \rightarrow \infty) \rightarrow \infty$

변수분리의 골자는 $V(x, y) = X(x) Y(y)$로 분리하고 대입하는 것

(17)
\begin{align} Y {{d^2 X} \over {d x^2}} + X {{d^2 Y } \over {d y^2}} & = 0 \\ {1 \over X} {{d^2 X} \over {d x^2}} + {1 \over Y} {{d^2 Y} \over {d y^2}} & = 0 \end{align}
(18)
\begin{align} X(x) & = A e^{kx} + B e^{-kx} \\ Y(y) & = C \sin ky + D \cos ky \\ V(x, y) & = (Ae^{kx} + Be^{-kx})(C \sin ky + D \cos ky) \end{align}

경계조건 4. 로부터 $A = 0$,
경계조건 1. 로부터 $D = 0$,
경계조건 2. 로부터 $\sin ka = 0, \qquad k = {{n \pi} \over a}, \quad (n = 1, 2, \cdots)$

(19)
\begin{align} V(x, y) = C e^{-kx} \sin ky , \quad k = {{n \pi} \over a}, \quad (n = 1, 2, \cdots) \end{align}

일반해는

(20)
\begin{align} V(x, y) = \sum_{n=1}^\infty C_n e^{-n \pi / a} \sin \left( {{ n \pi } \over a} y \right) \end{align}

경계조건 3. 으로부터

(21)
\begin{align} V(0, y) = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin \left( {{n \pi } \over a} y \right) = V_0 (y) \end{align}
(22)
\begin{align} C_n = {2 \over a} \int_0^a V_0 (y) \sin \left( {{n \pi } \over a} y \right) dy \end{align}

변수분리법이 성공적인 까닭은 변수분리 해가 완비성(completeness)과 직교성(orthogonality)을 갖추었기 때문이다.

완비성이란 아무 함수 $f(y)$를 다음과 같은 꼴(선형결합)으로 나타낼 수 있음을 의미한다.

(23)
\begin{align} f(y) = \sum_{n=1}^\infty C_n f_n (y) \end{align}

예컨대 $\sin \left( {{n \pi} \over a} y \right)$$0 \le y \le a$에서 완비되었다.

함수집합의 직교성이란 그 집합의 원소인 두 다른 함수의 곱의 적분이 0이란 것을 의미한다.

(24)
\begin{align} \int_0^a f_n (y) f_{n'} (y) dy = 0, \qquad n \ne n' \end{align}

3.3.2 구좌표계

(25)
\begin{align} V & = V(r, \theta) \\ \nabla^2 V & = {1 \over r^2} {{\partial } \over {\partial r}} \left( r^2 {{\partial V} \over {\partial r}} \right) + {{1} \over {r^2 \sin \theta}} {{\partial } \over {\partial \theta}} \left( \sin \theta {{\partial V} \over {\partial \theta}} \right) + {1 \over {r^2 \sin^2 \theta }} {{\partial^2 V} \over {\partial \phi^2}} = 0 \end{align}

문제에 회전대칭성(azimuthal symmetry)이 있으면 $V$$\phi$와 무관하다. 그래서 위 식의 마지막 항은 0가 된다.

(26)
\begin{align} \nabla^2 V = {1 \over r^2} {{\partial } \over {\partial r}} \left( r^2 {{\partial V} \over {\partial r}} \right) + {{1} \over {r^2 \sin \theta}} {{\partial } \over {\partial \theta}} \left( \sin \theta {{\partial V} \over {\partial \theta}} \right) = 0 \end{align}
(27)
\begin{align} V(r, \theta ) = R(r) \Theta (\theta) \end{align}
(28)
\begin{align} {1 \over r^2} \Theta (\theta) {{d^2 } \over {dr^2}} \left( r^2 {{dR} \over {dr}} \right) + {{ R(r) } \over {r^2 \sin \theta}} {d \over {d \theta}} \left( \sin \theta {{d \Theta } \over {d \theta}} \right) = 0 \end{align}
(29)
\begin{align} {1 \over R} {d \over {dr}} \left( r^2 {{dR} \over {dr}} \right) = - {1 \over {\Theta \sin \theta}} {d \over {d \theta}} \left( \sin \theta {{d \Theta} \over {d \theta}} \right) = k \qquad \mathrm{(const.)} \end{align}

$\theta$-part: 르장드르 방정식

(30)
\begin{align} {1 \over {\sin \theta}} {d \over {d \theta}} \left( \sin \theta {{d \Theta } \over {d \theta }} \right) + k P = 0 \end{align}

$\theta = [0, \pi \$ 범위에서 물리적으로 타당한 해는 $k=n(n+1)$에서만 나온다. ($n \in \mathbb{N}$)

$\Theta (\theta) \longrightarrow P_n (\cos \theta)$: $\cos \theta$에 대한 다항식 (르장드르 다항식)

(31)
\begin{align} P_0 ( \theta) & = 1 \\ P_1 ( \cos \theta) & = \cos \theta \\ P_2 ( \cos \theta) & = {3 \over 2} ( \cos^2 \theta -1) \\ P_3 ( \theta) & = {1 \over 2} \left( 5 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \right) \end{align}
(32)
\begin{align} P_n (x) = {1 \over {2^n n!}} \left( {d \over {dx}} \right)^n (x^2 - 1 )^n \qquad ( x = \cos \theta ) \end{align}
(33)
\begin{align} {d \over {dr}} \left( r^2 {{dR} \over {dr}} \right) = n(n+1) R \\ \longrightarrow R_n = r^n \quad \mathrm{and} \quad r^{n+1} \end{align}
(34)
\begin{align} \therefore V_n (r, \theta) & = R_n (r) P_n ( \theta ) \\ V (r, \theta) & = \sum_{ n=0}^\infty \left( A_n r^n + {{B_n } \over {r^{n+1}}} \right) P_n ( \cos \theta) \end{align}

원기둥 좌표계

(35)
\begin{align} V = V(r, \theta), \qquad z-\mathrm{ind.} \end{align}

라플라스 방정식은

(36)
\begin{align} {1 \over r} { \partial \over {\partial r}} \left( r {{\partial V} \over {\partial r}} \right) + {1 \over r^2} {{\partial^2 V } \over {\partial \theta^2}} = 0 \end{align}
(37)
\begin{align} V = Y(r) S(\theta) \end{align}
(38)
\begin{align} {r \over Y} {d \over {dr}} \left( r {{dY} \over {dr}} \right) = - {1 \over S} {{d^2 S} \over {d \theta^2}} = k \end{align}

$\theta$-part: $\cos \sqrt{k} \theta, \quad \sin \sqrt{k} \theta$

(39)
\begin{align} \sqrt{k} & = n, \\ k & = n^2 \end{align}

$r$-part:

(40)
\begin{align} Y (r) = r^n \quad \mathrm{or} \quad r^{-n} \qquad (n \ne 0) \end{align}
(41)
\begin{align} n = 0 \longrightarrow Y(r) = \ln r \quad \mathrm{or} \quad \mathrm{cosnt.} \end{align}
(42)
\begin{align} \therefore \begin{cases} 1 & \ln r \\ r^n \cos n \theta & r^{-n} \cos n \theta \\ r^n \sin n \theta & r^{-n} \sin n \theta \end{cases} \end{align}

3.4 다중극 전개

3.4.1 먼 곳의 전위

어느 곳에 모여 있는 전하분포를 아주 멀리서 보면 마치 점전하처럼 보여 총 전하량이 $Q$이면 전위는 얼추

(43)
\begin{align} V \approx {1 \over { 4 \pi \epsilon_0 }} {Q \over r} \end{align}

로 잡아도 잘 맞는다.

예제 3.10:
물리적 전기쌍극자(electric dipole) 란 크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 $\pm q$가 거리 $d$만큼 떨어져 있는 것이다. 쌍극자에서 멀리 있는 곳의 전위의 어림값을 구하라.

3-26.png

$-q$까지의 거리를 $\Re_-$, $+q$까지의 거리를 $\Re_+$라고 하면

(44)
\begin{align} V (\vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \left( {q \over \Re_- } - {q \over \Re_+ } \right) \end{align}

코사인 법칙을 쓰면 분리 거리는

(45)
\begin{align} {\Re_\pm}^2 = r^2 + \left( {d \over 2 } \right)^2 \mp rd \cos \theta = r^2 \left( 1 \mp {d \over r} \cos \theta + {{d^2} \over {4r^2}} \right) \end{align}

$r \gg d$인 영역의 전위를 구하려 하므로 셋째 항 $d^2 / 4r^2$은 무시할 수 있고, 이항전개를 하면

(46)
\begin{align} {1 \over {\Re_\pm} } \cong {1 \over r} \left( 1 \mp {d \over r} \cos \theta \right)^{- 1 \over 2} \cong {1 \over r} \left( 1 \pm {d \over {2r}} \cos \theta \right) \end{align}
(47)
\begin{align} \therefore\ {1 \over \Re_+} - {1 \over \Re_-} \cong {d \over r^2} \cos \theta \end{align}
(48)
\begin{align} V ( \vec{r} ) \cong {1 \over {4 \pi \epsilon_0} } {{qd \cos \theta } \over r^2} \end{align}
  • 점전하, 홀극의 전위는 $r^{-1}$에 비례
  • 쌍극자의 전위는 $r^{-2}$에 비례
  • 사중극자(quodrupole)의 전위는 $r^{-3}$에 비례
  • 팔중극자(octopole)의 전위는 $r^{-4}$에 비례

이제 연속적 전하분포에 의한 전위를 $1/r$의 급수로 전개해 보자.

3-28.png
(49)
\begin{align} V ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int {1 \over \Re} \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' \end{align}

코사인 법칙을 쓰면 분리거리를 다음과 같이 전개할 수 있다.

(50)
\begin{align} \Re^2 & = r^2 + (r')^2 - 2 r r' \cos \alpha \\ & = r^2 \left[ 1 + \left( {{r'} \over r} \right)^2 - 2 \left( {{r' } \over r} \right) \cos \alpha \right] \\ \Re & = r \sqrt{1 + \epsilon}, \qquad \qquad \epsilon \equiv \left( {{r' } \over r} \right) \left( {{r' } \over r} - 2 \cos \alpha \right) \end{align}

전하분포가 아주 먼 곳($r \rightarrow \infty$)에서는 $\epsilon \ll 1$이고, 다음과 같이 이항전개할 수 있다.

(51)
\begin{align} {1 \over \Re} = {1 \over r} {1 \over \sqrt{1 + \epsilon} } & = {1 \over r} \left( 1 - {1 \over 2 } \epsilon + {3 \over 8} \epsilon^2 - {5 \over 16} \epsilon^3 + \cdots \right) \\ & = {1 \over r} \left[ 1 - {1 \over 2} \left( {{r'} \over r} \right) \left( {{r'} \over r} - 2 \cos \alpha \right) + {3 \over 8} \left( {{r'} \over r} \right)^2 \left( {{r'} \over r} - 2 \cos \alpha \right)^2 \right. \\ & \qquad \left. - {5 \over 16} \left( {{r'} \over r} \right)^3 \left( {{r'} \over r} - 2 \cos \alpha \right)^3 + \cdots \right] \\ & = {1 \over r} \left[ 1 + \left( {{r' } \over r} \right) ( \cos \alpha ) + \left( {{r'} \over r} \right)^2 \left( {{3 \cos^2 \alpha -1 } \over 2} \right) \right. \\ & \qquad \left. + \left( {{r' } \over r} \right)^3 \left( {{5 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha } \over 2 } \right) + \cdots \right] \end{align}

마지막 줄은 $r'/r$의 급수로 정리한 것인데, 급수의 계수들이 르장드르 다항식이다. 즉

(52)
\begin{align} {1 \over \Re} = {1 \over r} \sum_{n=0}^\infty \left( {{r'} \over r} \right)^n P_n ( \cos \alpha ) \end{align}

이것을 전위식에 대입하면

(53)
\begin{align} V (\vec{r} ) & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \sum_{n=0}^\infty {1 \over r^{(n+1)} } \int (r')^n P_n ( \cos \alpha ) \rho ( \vec{r}') d \tau ' \\ & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \left[ {1 \over r} \int \rho (\vec{r}') d \tau ' + {1 \over r^2} \int r' \cos \alpha \rho ( \vec{r}') d \tau ' \right. \\ & \qquad \left. + {1 \over 3 } \int ( r' )^2 \left( {3 \over 2} \cos^2 \alpha - {1 \over 2} \right) \rho ( \vec{r}') d \tau ' + \cdots \right] \end{align}

이 식이 바로 전위를 거리의 역수의 급수로 전개한 다중극 전개식(multipole expansion)이다. 제1항($n=0$)은 홀극에 의한 전위($\propto r^{-1}$), 제2항($n=1$)은 쌍극자에 의한 전위($\propto r^{-2}$), 제3항($n=2$)은 사중극자에 의한 전위($\propto r^{-3}$), 제4항($n=3$)은 팔중극자에 의한 전위($\propto r^{-4}$), ……

3.4.2 홀극항과 쌍극자항

보통 다중극 전개는 홀극항이 가장 크다.

(54)
\begin{align} V_\mathrm{monopole} ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} {Q \over r} \end{align}

이때 $Q = \int \rho d \tau$는 전하배열의 총 전하량.
원점에 점전하 $Q$만 있다면 고차항이 모두 0이 되므로 이 식은 근사식이 아니고 정확한 식이 된다.

총 전하가 0이면 전위에서 가장 큰 항은 쌍극자항이 된다(물론 쌍극자항이 0이 아닐 때).

(55)
\begin{align} V_\mathrm{dipole} ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} {1 \over r^2} \int r' \cos \alpha \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' \end{align}

$\alpha$$\vec{r}, \vec{r}'$의 사이각이므로

(56)
\begin{align} r ' \cos \alpha = \hat{r} \cdot \vec{r} ' \end{align}
(57)
\begin{align} \therefore\ V_\mathrm{dipole} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {1 \over r^2 } \hat{r} \cdot \int \vec{r} ' \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} {{ \vec{p} \cdot \hat{r} } \over r^2} \end{align}

이때 적분은 $\vec{r}$에 무관하며, 전하분포의 쌍극자 모멘트(dipole moment)라고 한다.

(58)
\begin{align} \vec{p} \equiv \int \vec{r} ' \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' \end{align}

쌍극자 모멘트는 점전하, 선전하, 면전하의 경우에 따라 적절히 바꿔 쓸 수 있다.

점전하가 뭉쳐서 만드는 쌍극자 모멘트는

(59)
\begin{align} \vec{p} = \sum_{i=1}^n q_i \vec{r}_i ' \end{align}

물리적 쌍극자의 쌍극자 모멘트는

(60)
\begin{align} \vec{p} = q \vec{r}_+ ' - q \vec{r}_- ' = q ( \vec{r}_+ ' - \vec{r}_- ' ) = q \vec{d} \end{align}

쌍극자 모멘틑는 벡터이므로 더할 수 있다. 두 쌍극자 $\vec{p}_1, \vec{p}_2$가 있으면 전체 쌍극자 모멘트는 $\vec{p}_1 + \vec{p}_2$이다.

3.4.3 다중극 전개에서 좌표계의 원점

점전하가 원점에 잇어야 "순수한" 홀극이 된다. 그렇지 않으면 쌍극자 모멘트 $\vec{p} = q d \hat{y}$가 존재하고, 전위에 이에 대응하는 항이 있다. 따라서 원점을 옮기면(또는 전하를 옮기면) 다중극 전개가 전혀 달라진다. 총 전하는 좌표계와 무관함이 자명하므로 홀극 모멘트 $Q$는 바뀌지 않는다.

  • 예외: 총 전하가 0이면 쌍극자 모멘트의 값은 원점을 어디에 두든 같다.

원점을 벡터 $\vec{a}$만큼 옮겼을 때 새로운 쌍극자 모멘트는

(61)
\begin{align} \bar{\vec{p}} & = \int \bar{ \vec{r}}' \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' = \int ( \vec{r}' - \vec{a} ) \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' \\ & = \int \vec{r} ' \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' - \vec{a} \int \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' = \vec{p} - Q \vec{a} \end{align}

전하량 $Q = 0$이면 $\bar{\vec{p}} = \vec{p}$이다.

3.4.4 쌍극자가 만드는 전기장

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점쌍극자 $\vec{p}$가 원점에 있고 z축과 나란하도록 좌표계를 잡으면 $(r, \theta)$의 전위는 다음과 같다.

(62)
\begin{align} V_\mathrm{dipole} ( r , \theta ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} {{\vec{p} \cdot \hat{r} } \over r^2 } = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} {{p \cos \theta } \over r^2 } \end{align}

전기장은 전하의 음수 기울기이므로

(63)
\begin{align} E_r & = - {{\partial V} \over {\partial r}} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{2p \cos \theta} \over r^3} \\ E_\theta & = - {1 \over r} {{\partial V} \over {\partial \theta}} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{p \sin \theta } \over r^3} \\ E_\phi & = - {1 \over {r \sin \theta}} {{\partial V} \over {\partial \phi }} = 0 \\ \therefore \vec{E}_\mathrm{dipole} (r, \theta ) & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} { p \over r^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta} ) \end{align}

이는 원점에 있는 z축 방향의 $\vec{p}$가 만드는 전기장을 구좌표계로 나타낸 것이다. 이 식은 $r \gg d$인 곳에서만 잘 들어맞는다. 이를 위해서는 $r$이 크거나 $d$가 아주 작아야(두 전하가 매우 가까워야)한다.

쌍극자 전기장은 $r^{-3}$에 비례함에 주목. 홀극 전기장은 점전하 전기장과 마찬가지로

(64)
\begin{align} \vec{E}_\mathrm{monopole} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {Q \over r^2} \hat{r} \end{align}

$r^{-2}$에 비례한다.
마찬가지로 사중극자 전기장은 $r^{-4}$, 팔중극자 전기장은 $r^{-5}$에 비례한다.
이는 전기장이 전위의 음의 기울기 — 즉 미분이라는 것을 생각하면 자명하다.