2. 정전기학

2.1. 정전기장

2.1.1. 서론

전기역학이 풀고자 하는 근본문제는 이것이다:
원천전하(source charge) $q_1, q_2, q_3, \cdots$가 있을 때 시험전하(test charge) $Q$가 받는 힘은 무엇인가?

이 문제를 풀 때 중첩원리(superposition principle) — 어느 두 전하의 상호작용은 다른 전하의 영향을 전혀 받지 않는다 — 를 사용한다. 먼저 다른 모든 전하는 무시하고 $q_1$이 주는 힘 $\vec{F}_1$을 셈하고, 그 다음 $q_2$가 주는 힘 $\vec{F}_2$를 셈한다. 등등. 그리고 각각의 힘을 모두 더하면 된다. $\sum \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots$.

하나의 원천전하가 시험전하에 주는 힘을 모두 구할 수 있으면 문제풀이는 원리적으로 끝난 셈이다. 하지만 문제는 $q$$Q$에 주는 힘은 두 전하 사이의 거리 $r_{12}$에 따라 달라지고 또 두 전하의 속도원천전하의 가속도에 따라 달라진다. 그것도 원천전하의 "지금의 위치, 속도, 가속도"가 아니다. 전자기적 정보가 전달되는 속도는 빛의 속도로 역시 유한한 속도를 가지기에, 시험전하가 받는 정보가 원천전하에서 출발했을 때의 위치, 속도, 가속도가 중요하다.

본 장에서는 시험전하는 움직일 수 있지만 원천전하는 고정된 정전기학(electrostatics)을 먼저 논한다.

2.1.2. 쿨롱 법칙

고정된 점전하 $q_2$에서 거리 $r_{12}$인 곳에 위치한 시험전하 $q_1$가 받는 힘에 대한 실험적 결론이 쿨롱 법칙(Culomb's law)이다.

(1)
\begin{align} \vec{F} & = {{1} \over {4 \pi \epsilon_0}} \left( {{q_1 q_2 } \over {r_{12}^2}} \right) \hat{r}_{12} \\ & = k \left( {{q_1 q_2 } \over {r_{12}^2}} \right) \hat{r}_{12} \end{align}

상수 $\epsilon_0$진공의 유전율(permittivity of free space)

(2)
\begin{align} \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \quad \mathrm{{C^2} \over {N \cdot m^2}} \end{align}

$\vec{r}_{12} \equiv \vec{r}_1 - \vec{r}_2$로 정의된다. 쿨롱 법칙 식에서 $r_{12}$는 크기, $\hat{r}_{12}$는 방향이다. 힘의 방향은 $q_1$$q_2$를 잇는 직선과 동일선상에 있고, 두 전하의 부호가 같으면 척력, 다르면 인력으로 작용한다.

MKS 단위계에서:

  • 전자의 기본전하량 $q_e = 1.6 \times 10^{-10}\ \mathrm{C},$,
  • 상수 $k = {{1} \over {4 \pi \epsilon}} = 8.89 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2 / C^2 }$

cgs 단위계에서:

  • $k = 1$이고 차원이 없다.
  • $q_e = 4.8 \times 10^{-10}\ \mathrm{esu}$
    • $\mathrm{ esu = m^{1/2} l^{3/2} t^{-1} }$, $1\ \mathrm{C} = 3 \times 10^9\ \mathrm{esu}$

전기장과 자기장 사이의 차원 관계
앙페르의 통찰 - 전류의 고리 = 자기 쌍극

전류 $I$ $\cdot$ 면적 $L^2 \sim$ 자기쌍극의 힘 $P \cdot L$

(3)
\begin{align} \left[ {q \over t} L^2 \right] = \left[ PL \right] \qquad \mathrm{or} \quad \left[ P \right] = \left[ q {L \over t} \right] \\ \therefore\ \left[ P \right] = \left[ q \right] \end{align}
(4)
\begin{align} [B] & = \left[ {{ML} \over {t^2 p}} \right] = \left[ {{M} \over {tq}} \right] \\ [E] & = \left[ {{ML} \over {t^2 q}} \right] \\ \therefore\ [E] & = [B] \times \left[ {L \over t} \right] (\mathrm{velocity}) \longrightarrow 맥스웰 \end{align}

이 관계는 나중에 특수상대론에서 다시 나옴 $c = 1 / \sqrt{ \epsilon_0 \mu_0 } = 299 792 458\ \mathrm{m/s}$ 광속

2.1.3. 전기장

전기장이란: 단위전하당 전기력

(5)
\begin{align} \vec{E} = \lim_{q \rightarrow 0} {{ \vec{F}_q } \over {q}} \end{align}
2-1-3.png
(6)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} q {{(\vec{r} - \vec{r}' } \over {\left\lvert \vec{r} - \vec{r}' \right\rvert^3 }} \end{align}

점전하 $q_2, q_3, \cdots , q_n$이 시험전하 $q_1$로부터 거리 $r_{12}, r_{13}, \cdots , r_{1n}$ 만큼 떨어져 있다면 $q_1$가 받는 알짜힘은 중첩원리에 따라

(7)
\begin{align} \vec{F} & = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + \cdots = {{1} \over {4 \pi \epsilon_0}} \left( {{q_1 q_2} \over {r_{12}}^2} + {{q_1 q_2} \over {r_{13}}^2} + \cdots \right) \\ & = {{Q} \over { 4 \pi \epsilon_0}} \left( {{q_2} \over {r_{12}}^2 } \hat{r}_{12} + {{q_3} \over {r_{13}}^2 } \hat{r}_{13} + \cdots \right). \end{align}

이것을

(8)
\begin{align} \vec{F} = Q \vec{E} \end{align}

라고 쓰면, $\vec{E}$는 원천전하가 만드는 전기장(electric field)으로, 단위전하당 힘이다.

(9)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \sum_{j=2}^n {{q_{1j}} \over {r_{1j}}^2} \hat{r}_{1j} \end{align}

이와 유사하게, 자기장을 미리 들여다 보자면

(10)
\begin{align} \vec{F} & = k' {{p_1 p_2 } \over {{r_{12}}^2}} \hat{r}_{12} \\ & = P \vec{B} \end{align}
(11)
\begin{align} \vec{B} & = k' \sum_{j=2}^n {{ p_{1j} } \over { {r_{1j} }^2}} \hat{r}_{1j} \\ & \qquad k' = {\begin{cases} {{\mu_0} \over {4 \pi}} = 10^3 & \mathrm{MKS} \\ & \\ 1 & \mathrm{cgs} \end{cases}} \end{align}

2.1.4. 연속 전하분포

앞서 전기장의 원천은 점전하들의 모임이라고 했는데, 전하가 어떤 영역에 연속적으로 존재한다면 덧셈이 적분으로 바뀐다.

(12)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{r} ) = {{1} \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {1 \over {r_{1j}}^2} \hat{r}_{1j} dq \end{align}

선전하의 전기장:

(13)
\begin{align} \vec{E}(\vec{r}) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {{\lambda (\vec{r}')} \over {r_{1j}}^2 } \hat{r}_{1j} dl' \end{align}

면전하의 전기장:

(14)
\begin{align} \vec{E}(\vec{r}) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {{\sigma (\vec{r}')} \over {r_{1j}}^2 } \hat{r}_{1j} da' \end{align}

부피전하의 전기장:(쿨롱 법칙)

2-1-3(2).png
(15)
\begin{align} \vec{E}(\vec{r}) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {{\rho (\vec{r}')} \over {r_{1j}}^2 } \hat{r}_{1j} d \tau ' \end{align}

$\lambda, \sigma, \rho$는 각각 단위길이, 단위면적, 단위부피의 전하량(즉 밀도)이다. $\begin{cases} dq & = \lambda d l' \\ dq & = \sigma da' \\ dq & = \rho d \tau' \end{cases}$

예제 2.2
길이 $2L$인 도선 토막에 전하가 선밀도 $\lambda$로 고르게 퍼져 있을 때 중심에서 위쪽으로 거리 $z$인 곳의 전기장을 구하라.

example-2-2.png
(16)
\begin{align} \vec{r}_1 = z \hat{z}, \qquad \vec{r}_2 = x \hat{x}, \qquad dl' = dx \end{align}
(17)
\begin{align} \vec{r}_{12} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = z \hat{z} - x \hat{x}, \qquad r_{12} = \sqrt{z^2 + x^2}, \qquad \hat{r}_{12} = {\vec{r}_{12} \over {r}_{12}} = {{ z \hat{z} - x \hat{x}} \over {\sqrt{z^2 + x^2}}} \end{align}
(18)
\begin{align} \vec{E} & = k \int_{-L}^L {{ \lambda} \over {z^2 + x^2 }} {{ z \hat{z} - x \hat{x}} \over {\sqrt{z^2 + x^2}}} dx \\ & = k \left[ z \hat{z} \int_{-L}^L {{1} \over {(z^2 + x^2)}^{3/2}} dx - \hat{x} \int_{-L}^L {{x} \over {(z^2 + x^2)}^{3/2}} dx \right] \\ & = k \left[ z \hat{z} \left. \left( {{x} \over {z^2 \sqrt{z^2 \sqrt{z^2 + x^2}}}} \right) \right\rvert_{-L}^L - \hat{x} \left. \left( {{1} \over {\sqrt{z^2 + x^2}}} \right) \right\rvert_{-L}^L \right] \\ & = k {{2 \lambda L} \over {z \sqrt{z^2 + L^2}}} \hat{z} \end{align}

도선에서 아주 먼 곳에서는, 도선 도막이 점전하 $q = 2 \lambda L$처럼 보일 것이다. 그러므로 도선에서 아주 먼 곳$(z \gg L)$에서는

(19)
\begin{align} E \simeq k {{2 \lambda L } \over z^2} \end{align}

한편 도선의 길이가 무한히 길다면$(L \rightarrow \infty )$

(20)
\begin{align} E = k {{2 \lambda} \over {z}} \end{align}

2.2. 정전기장의 발산과 회전

2.2.1. 장선과 가우스 법칙

단일 점전하의 장선을 나타내면

(21)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {q \over r^2} \hat{r} \end{align}
2-12.png

왼쪽 그림은 벡터의 길이로 해당 점에서의 전기장 크기를 나타낸다. 한편 오른쪽처럼 벡터들을 다 이어서 장선을 그렸을 때, 전기장 크기의 정보가 소실된 것 같지만 사실 그렇지 않고 선의 밀도가 전기장의 크기에 해당한다.

$S$를 지나는 전기장선의 수의 지표로서 $\vec{E}$선속(flux)을 다음과 같이 정의한다.

(22)
\begin{align} d \Phi_E & = \vec{E} \cdot d \vec{a} \\ \Phi_E & \equiv \int_S \vec{E} \cdot d \vec{a} \end{align}

가우스 법칙

Gauss1.png

전하 $q$의 위치가 원점일 때 그 전하로 인한 전기장

(23)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{r} ) = {{q} \over {4 \pi \epsilon_0}} { \vec{r} \over {r^3}} \end{align}

폐곡면 $S$를 잡았을 때, 그 면을 지나가는 총 선속

(24)
\begin{align} \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} d a = {{q} \over {4 \pi \epsilon_0}} \oint_S {{ \vec{r} \cdot \hat{n} } \over {r^3}} da \end{align}

이때 ${{ \vec{r} \cdot \hat{n}} \over {r^3}} da$입체각(solid angle) $d \Omega$ 라고 한다.

이때 문제의 폐곡면이 구이면(i.e. 반경이 일정하면 $\vec{r} = \mathrm{const.}$) 방위각의 적분이 $4 \pi$가 된다.

(25)
\begin{align} \oint_S {{ \vec{r} \cdot \hat{n}} \over {r^3}} da = 4 \pi \end{align}
(26)
\begin{align} \therefore\ \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} da = {{q} \over {4 \pi \epsilon_0 }} 4 \pi = {q \over \epsilon_0} \end{align}

여기서 중요한 것은 전기장을 나타낼 때 전하의 분포는 상관없이 총 전하 $q$만 알면 된다는 것이다.

전하가 면 바깥에 있을 경우:

Gauss2.png
(27)
\begin{align} \oint_S = \int_{S_1} + \int_{S_2} = 0 \end{align}

이 폐곡면 안팎에도 전기장은 존재하지만, 바깥에 있는 전하에 대해 적분한 선속은 0가 된다. i.e. 폐곡면 안으로 들어가는 전기장선과 밖으로 나오는 전기장선의 수가 같아서 상쇄된다. 즉 곡면 밖에 있는 전하는 총 선속에 아무 영향을 주지 못한다.

(28)
\begin{align} \oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} da = { 1 \over \epsilon_0} \int_\mathcal{V} \rho dV = \int_\mathcal{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} dv \end{align}
(29)
\begin{align} \therefore\ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {1 \over \epsilon_0} \rho \end{align}

2.2.2. 전기장의 발산

(30)
\begin{align} \vec{E} (\vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int_\mathrm{모든\ 공간} { { \vec{r} - \vec{r}' } \over { \left\lvert \vec{r} - \vec{r} ' \right\rvert^2 }} \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' \end{align}
(31)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int \vec{\nabla} \cdot \left( { { \vec{r} - \vec{r}' } \over { \left\lvert \vec{r} - \vec{r} ' \right\rvert^2 }} \right) \rho ( \vec{r} ' ) d \tau ' \end{align}
(32)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \left( { { \vec{r} - \vec{r}' } \over { \left\lvert \vec{r} - \vec{r} ' \right\rvert^2 }} \right) = 4 \pi \delta^3 ( \vec{r} - \vec{r} ' ) \end{align}
(33)
\begin{align} \therefore\ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int 4 \pi \delta^3 ( \vec{r} - \vec{r} ' ) \rho ( \vec{r}') d \tau ' = {1 \over \epsilon_0 } \rho ( \vec{r} ) \end{align}

이것은 미분꼴 가우스 법칙 식 (29)이다.

적분꼴 가우스 법칙은 부피적분을 한 다음 발산정리를 해서 구한다.

(34)
\begin{align} \int_\mathcal{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} d \tau = \oint_\mathcal{S} \vec{E} \cdot d \vec{a} = {1 \over \epsilon_0 } \int_\mathcal{V} \rho d \tau = {1 \over \epsilon_0 } Q_\mathrm{int} \end{align}

2.2.3. 가우스 법칙의 응용

(35)
\begin{align} \rho (\vec{r}) = q \delta ( \vec{r} ) \end{align}
(36)
\begin{align} \delta ( \vec{r} ) = 0 \quad \mathrm{for} \quad \vec{r} = 0 \end{align}
(37)
\begin{align} \int dv' \delta (\vec{r}') = 1 \end{align}

e.g. 긴 직선 도체 주위 원통형 가우스 평면

(38)
\begin{align} \oint_\mathcal{S} \vec{E} \cdot d \vec{a} = 2 \pi r l E_r = {{\lambda l} \over \epsilon_0} \end{align}
(39)
\begin{align} E_r = {{\lambda} \over {2 \pi \epsilon_0 r}} \end{align}

e.g.
도체는 내부 전기장이 0이다

(40)
\begin{align} \oint_\mathcal{S} \vec{E} \cdot d \vec{a} = 0 = q \end{align}

도체의 전하는 모두 표면상에 있다.

예제 2.6
두 개의 도체 평면 사이의 거리가 $d$이고, 왼쪽 평면의 전하가 $Q_1$, 오른쪽 평면의 전하가 $Q_2$, 부호가 반대

왼쪽 평면의 왼쪽 표면으로 들어가는 전하밀도를 $\sigma_{1a}$, 왼쪽 평면의 오른쪽 표면으로 나오는 전하밀도를 $\sigma_{1b}$,
오른쪽 평면의 왼쪽 표면으로 들어가는 전하밀도를 $\sigma_{2a}$, 오른쪽 평면의 오른쪽 표면으로 나오는 전하밀도를 $\sigma_{2b}$,

(41)
\begin{align} \sigma_{1a} + \sigma_{1b} & = {Q_1 \over A} \\ \sigma_{2a} + \sigma_{2b} & = {Q_2 \over A} \end{align}

평면 1 내부 전기장

(42)
\begin{align} \vec{E} = {1 \over {2 \epsilon_0}} ( \sigma_{1a} - \sigma_{1b} - \sigma_{2a} - \sigma_{2b} = 0 \end{align}

평면 2 내부 전기장

(43)
\begin{align} \vec{E}_2 = {1 \over {2 \epsilon_0}} (\sigma_{1a} + \sigma _{1b} + \sigma_{2b} - \sigma_{2b} ) = 0 \end{align}
(44)
\begin{align} \therefore\ \begin{cases} \sigma_{1a} = \sigma_{2b} & = {{Q_1 + Q_2} \over {2A}} \\ \sigma{1b} = -\sigma{2a} & = {{Q_1 - Q_2} \over {2A}} \end{cases} \end{align}

만일 $Q_1 = - Q_2 = Q$ 라면

(45)
\begin{cases} \sigma_{1a} = \sigma_{2b} & = 0\\ \sigma_{1b} = \sigma_{2a} & = {Q \over A} \end{cases}

문제 2.15

2-25.png
(46)
\begin{align} \oint_{\mathcal{S}} \vec{E} \cdot d \vec{A} = {{q_\mathrm{in} } \over {\epsilon_0}} \end{align}
(47)
\begin{align} \vec{E} = \begin{cases} 0 & r<a \\ {{q} \over {4 \pi \epsilon_0 }} {1 \over r^2} {{ {{4 \pi} \over 3} (r^3 - a^3) } \over { {{4 \pi } \over 3} (b^3 - a^3) }} & a< r< b \\ {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{q} \over {r^2}} & r>b \end{cases} \end{align}

2.2.4. 전기장의 회전

점전하가 원점에 있는 경우 전기장은

(48)
\begin{align} \vec{E} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} {q \over r^2} \hat{r} \end{align}

어떤 점 a에서 다른 점 b까지의 전기장의 선적분은

(49)
\begin{align} \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{l} \end{align}

구좌표계에서 $d \vec{l} = dr \hat{r} + r d \theta \hat{\theta} + r \sin \theta d \phi \hat{\phi}$ 이므로

(50)
\begin{align} \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{l} & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int_a^b {q \over r^2 } dr \\ & = {{-1} \over {4 \pi \epsilon_0 }} \left. {q \over r} \right\rvert_{r_a}^{r_b} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \left( {q \over r_a } - {q \over r_b } \right) \end{align}

$r_a, r_b$는 각각 원점에서 점 a, b까지의 거리이다. 이 적분값은 폐곡선($r_a = r_b$일 경우)에 대해 명백히 0이다.

(51)
\begin{align} \oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0 \end{align}

따라서 스토크스 정리를 쓰면

(52)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0} \end{align}

이는 원점에 있는 점전하의 전기장에 대해서만 증명했지만, 중첩 원리에 따라 모든 경우에도 성립한다.

(53)
\begin{align} \vec{E} & = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} & = \vec{\nabla} \times ( \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots ) = ( \vec{\nabla} \times \vec{E}_1 ) + ( \vec{\nabla} \times \vec{E}_2 ) + \cdots = \vec{0} \end{align}

즉 정전기장의 회전은 언제나 0이다.

2.3. 전위

2.3.1. 서론

(54)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0} \longrightarrow \vec{E} = - \vec{\nabla} V \end{align}

회전이 0인 벡터는 어떤 스칼라의 기울기와 같다. 그 스칼라를 전위 $V$라고 하자.

2-30.png

$\vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}$ 이므로 닫힌 고리를 따라 $\vec{E}$를 선적분한 값은 0이다. (스토크스 정리)
$\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$ 이므로 $\vec{E}$를 점 a에서 점 b까지 선적분한 값은 어느 경로에서나 같다. 선적분이 어느 경로에서나 같으므로 다음과 같은 스칼라 함수를 정의한다.

(55)
\begin{align} V ( \vec{r} ) \equiv - \int_\mathcal{O}^r \vec{E} \cdot d \vec{l} \end{align}

$\mathcal{O}$는 미리 정한 기준점이다. 그러면 전위 $V$$\vec{r}$만의 함수가 된다.

전위는 기준점을 어디로 잡느냐에 따라 달라지므로 그 물리량 자체는 무의미하다. 두 점 a와 b 사이의 전위차는 다음과 같다.

(56)
\begin{align} V ( \vec{b} ) - V ( \vec{a} ) & = - \int_\mathcal{O}^b \vec{E} \cdot d \vec{l} + \int_\mathcal{O}^a \vec{E} \cdot d \vec{l} \\ & = - \int_\mathcal{O}^b \vec{E} \cdot d \vec{l} - \int_{a}^\mathcal{O} \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{l} \end{align}

그리고 기울기의 기본정리에 따라

(57)
\begin{align} V (\vec{b} ) - V (\vec{a} ) = \int_a^b ( \vec{\nabla} V ) \cdot d \vec{l} \end{align}
(58)
\begin{align} \therefore\ \int_a^b ( \vec{\nabla} V ) \cdot d \vec{l} = - \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{l} \end{align}

이것은 점 a, b가 어느 점이라도 성립하므로 피적분함수가 같다.

(59)
\begin{align} \vec{E} = - \vec{\nabla} V \end{align}

즉 전기장은 전위의 기울기이다.

2.3.2. 전위에 대한 군말

  • "전위"란 단위 전하의 전기적 위치에너지를 의미한다. 전위가 같은 면을 등전위면(equipotential)이라고 한다.
    • 퍼텐셜 ≠ 퍼텐셜 에너지
  • 하나의 스칼라함수 $V$가 어떻게 벡터 $\vec{E}$의 모든 정보를 다 담을 수 있을까?
    • $\vec{E}$의 세 성분이 독립적이 아니다.
    • 벡터를 스칼라로, 수학적으로 좀더 쉬운 형태로 만들 수 있음
(60)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0} \longrightarrow {{\partial E_x} \over {\partial y}} = {{\partial E_y} \over {\partial X}} \end{align}
  • 기준점 $O = V(\vec{0})$는 마음대로 잡을 수 있지만 $\vec{E}$는 똑같이 나온다.
  • 중첩원리 성립.
    • 본래 중첩원리는 원천전하에 의한 전기력의 합 $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots$
    • 이것을 $Q$로 나누면 전기장에도 중첩원리 적용 $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots$
    • 이것을 $O$에서 $\vec{r}$까지 적분하면 전위도 중첩원리 적용 $V = V_1 + V_2 + \cdots$

예제 2.7

2-31.png

공껍질 안팎의 전위는?

(61)
\begin{cases} r > R & \vec{E} & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {q \over r^2} \hat{r} \qquad (가우스\ 법칙) \\ & V(r) & = - \int_\infty^r \vec{E} \cdot d \vec{l} = {{q} \over {4 \pi \epsilon_0}} {1 \over r} \\ r < R & V(r) & = - {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int_\infty^R {q \over r^2} dr' - \int_R^r 0\ dr' = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {q \over R} \end{cases}

2.3.3. 푸아송 방정식과 라플라스 방정식

(62)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = {\rho \over \epsilon_0}, & \quad \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0} \\ \vec{E} = \vec{\nabla} V, & \quad \longrightarrow \nabla^2 V = - {\rho \over \epsilon_0} \quad : 푸아송\ 방정식 \end{align}
(63)
\begin{align} \mathrm{if}\ \rho = 0, \quad \nabla^2 V = 0 \quad : 라플라스\ 방정식 \end{align}

2.3.4. 국소 전하분포에 대한 전위

2-32-a.png
(64)
\begin{align} V(\vec{r}) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} { q \over {r- r'}} \end{align}
2-32-b.png
(65)
\begin{align} V(\vec{r}) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \sum_{i=1}^n {{q_i} \over {r - r'}_i} \end{align}
2-32-c.png
(66)
\begin{align} V (\vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {1 \over {r - r'}} dq \end{align}
(67)
\begin{align} V ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {{ \rho(\vec{r}')} \over {r - r'}} d \tau' \end{align}

예제 2.8

2-33.png

반경 $R$인 공껍질이 만드는 전위 구하기

(68)
\begin{align} V ( \vec{r} ) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {{ \sigma da'} \over {r - r'}} \end{align}
(69)
\begin{align} (r - r')^2 & = R^2 + z^2 - 2Rz \cos \theta' \\ da' & = R^21 \sin \theta' d \theta' d \phi' \end{align}
(70)
\begin{align} 4 \pi \epsilon_0 V(z) & = \sigma \int {{ R^2 \sin \theta' d \theta' d \phi' } \over \sqrt{R^2 + z^2 - 2Rz \cos \theta' }} \\ & = 2 \pi R^2 \sigma \int_{-1}^{1} {{dt} \over \sqrt{R^2 + z^2 - 2Rzt}} \\ & = 2 \pi R^2 \sigma {1 \over {Rz}} \left[ \left\lvert R + z \right\rvert - \left\lvert R - z \right\rvert \right] \end{align}
(71)
\begin{align} \therefore\ V =\begin{cases} z > R; r \ge R & {{R^2 \sigma} \over {\epsilon_0 z}} & = {{1} \over {4 \pi \epsilon_0}} {q \over z} \\ z < R; r \le R & {{R \sigma} \over {\epsilon_0}} & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {q \over R} \end{cases} \end{align}

2.3.5. 요약: 정전기학의 경계조건

정전기학의 기본량은 $\rho, \vec{E}, V$이고 이것들을 이어주는 여섯 개의 공식은 다음과 같다. 이 모든 공식은 중첩원리와 쿨롱법칙으로부터 나온 것이다.

$\rho$ $\vec{E}$ $V$
$\rho$ $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0$; $\vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}$ $\nabla^2 V = - \rho / \epsilon_0$
$\vec{E}$ $\vec{E} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int {{\vec{r} - \vec{r} '} \over {\left\lvert \vec{r} - \vec{r} ' \right\rvert^2}} \rho d \tau$ $\vec{E} = - \vec{\nabla} V$
$V$ $V = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int {\rho \over { \vec{r} - \vec{r} ' }} d \tau$ $V = - \int \vec{E} \cdot d \vec{l}$

전기장은 면전하 $\sigma$를 지날 때 불연속이 된다. 그러한 경계에서 $\vec{E}$가 얼마나 변하는가.

2-36.png

얇은 통 모양 가우스 곡면을 경계면 양쪽으로 겨우 올라올 정도로 그리자. 가우스 법칙에 따르면 통 뚜껑 넓이가 $A$일 때

(72)
\begin{align} \oint_\mathcal{S} \vec{E} \cdot d \vec{a} = {1 \over \epsilon_0 } Q_\mathrm{int} = {1 \over \epsilon_0 } \sigma A \end{align}

통의 두께 $\epsilon$이 0에 가까워지면 통 옆면의 선속은 0가 되므로 다음 결과를 얻는다.

(73)
\begin{align} E_위^\perp - E_{아래}^\perp = {1 \over \epsilon_0 } \sigma \end{align}

이때 $E_위^\perp, E_{아래}^\perp$는 각각 경계면 위쪽과 아래쪽에 있는 $\vec{E}$의 경계면에 대한 수직성분이다. 즉 전기장의 수직성분은 경계면 어디에서나 $\sigma / \epsilon_0$ 만큼 불연속적이다. 특히 전하가 고르게 퍼진 속이 찬 공의 사례처럼 면전하가 없으면 $E^\perp$는 연속적이다.

2-37.png

한편 전기장의 평행성분은 늘 연속적이다. 폐곡선의 전기장 선적분은 언제나 0

(74)
\begin{align} \oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0 \end{align}

임을 가느다란 직사각형 고리에 적용하면 양쪽 끝에서의 적분값은 0이고, 양변에서의 적분값은 $(E_위^\parallel l - E_{아래}^\parallel l)$이므로

(75)
\begin{align} \vec{E}_위^\parallel = \vec{E}_{아래}^\parallel \end{align}

식 (73)과 식 (75)를 하나로 묶으면 전기장의 경계조건은

(76)
\begin{align} \vec{E}_위 - \vec{E}_{아래} = {\sigma \over \epsilon_0 } \hat{n} \end{align}

여기서 $\hat{n}$은 경계면 아래에서 위로 향하는 단위법선벡터이다.

2-38.png

한편, 전위는 어느 경계면에서나 연속이다. 왜냐하면

(77)
\begin{align} V_위 - V_{아래} = \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{l} \end{align}

이므로 경로길이가 줄어들면 적분값도 따라서 줄어든다.

(78)
\begin{equation} V_위 = V_{아래} \end{equation}

하지만 전기장이 전위의 기울기의 음수이므로 전위의 기울기는 전기장의 불연속성을 넘겨받는다. 식 (76)을 다시 쓰면

(79)
\begin{align} \vec{\nabla} V_위 - \vec{\nabla} V_{아래} = - {\sigma \over \epsilon_0 } \hat{n} \end{align}
(80)
\begin{align} {{\partial V_위 } \over {\partial n}} - {{\partial V_{아래} } \over {\partial n}} = - {\sigma \over \epsilon_0} \end{align}

여기에서

(81)
\begin{align} {{\partial V} \over {\partial n}} = \vec{\nabla} V \cdot \hat{n} \end{align}

$V$의 법선도함수(normal derivative) — 경계면에 수직 방향의 변화율이다.

2.4. 정전기의 일과 에너지

2.4.1. 전하를 옮기느라 한 일

원천전하들이 고정되어 있는데 시험전하 $Q$를 점 a에서 점 b까지 옮길 때 들어가는 에너지는?

$Q$는 경로 어디서나 전기력 $\vec{F} = Q \vec{E}$를 받는다. 시험전하를 옮기려면 이 힘에 거슬러 $- Q \vec{E}$의 힘을 주어야 한다. 그러므로 해야 하는 일은

(82)
\begin{align} W = \int_a^b \vec{F} \cdot d \vec{l} = - Q \int_a^b \vec{E} \cdot d \vec{l} = Q \left[ V ( \vec{b} ) - V ( \vec{a} ) \right] \end{align}

이 값은 a에서 b까지의 경로에 무관하다(보존력).

(83)
\begin{align} V ( \vec{b} ) - V ( \vec{a} ) = {W \over Q} \end{align}

즉 a와 b의 전위차는 단위전하를 a에서 b로 옮기며 하는 일과 같다. 특히 전하 $Q$를 아주 먼 곳에서 $\vec{r}$까지 갖다 놓는 데 드는 일은

(84)
\begin{align} W & = Q \left[ V ( \vec{r} - V ( \infty ) \right] \\ & = Q V ( \vec{r} ) \end{align}

이러한 뜻에서 전위는 단위전하의 전기적 위치에너지이다. 전기장이 단위전하가 받는 전기력인 것과 같다.

2.4.2. 점전하 분포의 에너지

전하를 아주 먼 곳에서 하나씩 가져오는 상황

2-40.png

첫 전하 $q_1$을 가져오기 전에는 아무런 전기장이 없으므로 일이 들지 않는다. $W_1 = 0$

두 번째 전하 $q_2$$\vec{r}_2$ 위치에 가져오는 데 드는 일은 식 (84)에 따르면

(85)
\begin{align} W_2 & = q_2 V_1 ( \vec{r}_2 ) \\ & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} q_2 \left( {q_1 \over r_{12} } \right) \end{align}

$V_1 ( \vec{r}_2 )$$q_1$이 만드는 전위의 $\vec{r}_2$에서의 값이고, $r_{12}$$q_1, q_2$가 자리잡은 뒤 둘의 거리이다.

세 번째 전하 $q_3$를 가져올 때는 $q_3 V_{1,2} ( \vec{r}_3 )$의 일이 필요하다. $V_{1, 2}$는 전하 $q_1, q_2$가 만드는 전위로서 $(1/4 \pi \epsilon_0) (q_1/r_{13} + q_2/r_{23})$이다. 따라서

(86)
\begin{align} W_3 = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} q_3 \left( { q_1 \over r_{13} } + {q_2 \over r_{23} } \right) \end{align}

네 번째 전하 $q_4$를 가져올 때 드는 일은

(87)
\begin{align} W_4 = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} q_4 \left( {q_1 \over r_{14} } + {q_2 \over r_{24} } + {q_3 \over r_{34}} \right) \end{align}

그러므로 네 개의 전하를 모으는 데 드는 일의 총량은

(88)
\begin{align} W & = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 \\ & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \left( {{q_1 q_2} \over r_{12}} + {{q_1 q_3 } \over r_{13}} + {{q_1 q_4 } \over r_{14}} + {{q_2 q_3} \over r_{23} } + {{q_2 q_4} \over r_{24}} + {{q_3 q_4} \over r_{34} } \right) \end{align}

이것을 일반화하면 모든 전하짝에 대해 전하를 곱한 다음 거리로 나누고 이 모두를 더한다고 요약된다.

(89)
\begin{align} W & = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \sum_{i=1}^n \sum_{j>i}^n {{q_i q_j } \over r_{ij} } \qquad (중복된\ 전하짝\ 세지\ 않기) \\ & = {1 \over {8 \pi \epsilon_0 }} \sum_{i=1}^n \sum_{j \ne i}^n {{q_i q_j} \over r_{ij} } \qquad (중복된\ 전하짝\ 세고\ 2로\ 나눔) \\ & = {1 \over 2} \sum_{i=1}^n q_i \left( \sum_{j \ne i }^n {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} {q_i \over r_{ij} } \right) \qquad (괄호\ 속\ 합은\ q_i\ 위치인\ \vec{r}_i에\ 나머지\ 전하들이\ 만드는\ 전위) \\ & = {1 \over 2} \sum_{i=1}^n q_i V ( \vec{r}_i ) \end{align}

문제 2.31:

2-41.png

2.4.3. 연속 전하 분포의 에너지

(90)
\begin{align} W = {1 \over 2} \int \rho V d \tau \end{align}
(91)
\begin{align} \rho & = \epsilon_0 \vec{\nabla} \vec{E} \end{align}
(92)
\begin{align} W & = {{\epsilon_0} \over 2} \int ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E} V\ d \tau \\ & = { \epsilon_0 \over 2} \left[ - \int_\mathcal{V} \vec{E} \cdot ( \vec{\nabla} \cdot V ) d \tau + \oint V \vec{E} \cdot d \vec{a} \right] \\ & = {\epsilon_0 \over 2} \left[ \int_\mathcal{V} E^2 d \tau + \oint_\mathcal{S} V \vec{E} \cdot d \vec{a} \right] \\ & = {\epsilon_0 \over 2} \int_\mathrm{all\ space} E^2 d \tau \end{align}

예제 2.9:
총 전하 $q$가 고르게 퍼져 있는 반경 $R$인 공껍질의 에너지:

  • 풀이 1:
(93)
\begin{align} W & = {1 \over 2 } \int \sigma V da \\ & = {1 \over {q \pi \epsilon_0}} {q \over R} \int \sigma da = {1 \over {q \pi \epsilon_0}} {{q^2} \over R} \end{align}
  • 풀이 2:

공 안에서는 $\vec{E} = 0$이고 밖에서는 $\vec{E} = (1 / 4 \pi \epsilon_0 ) (q / r^2 ) \hat{r}$

(94)
\begin{align} W & = { \epsilon_0 \over 2} \int E^2 d \tau \\ & = {\epsilon_0 \over 2} {1 \over {(4 \pi \epsilon_0 )^2 }} \int_{r>R} \left( {q^2 \over r^4} \right) r^2 \sin \theta dr d \theta d \phi \\ & = {1 \over {q \pi \epsilon_0}} {q^2 \over R} \end{align}

2.4.4. 정전기 에너지에 대한 군말

(i) 황당한 모순

(95)
\begin{align} \begin{cases} W = {\epsilon_0 \over 2} \int E^2 d \tau & > 0 \\ W = {1 \over 2} \sum_i q_i V (\vec{r}_i )& < 0 \end{cases} \longrightarrow !? \end{align}

위 식에는 자기 자신이 만든 전위까지 포함되어 있고 아래 식에는 자기 자신이 만든 전위는 포함되어 있지 않다. 자기 자신에 의한 전위는 매우 클 수밖에 없고(거리가 제로 ㅡ> 전위가 무한) 이것이 포함된 위 식이 더 큰 것은 모순이 아님

(ii) 에너지는 어디 있는가?

전기장 안에 저장되어 있다. 축전기도 그 사이의 전기장에 에너지가 저장되어 있는 것. 정전기에서는 전하가 에너지를 가질 수도 있지만 대개의 경우 장이 에너지를 갖는다.

(iii) 중첩 원리

(96)
\begin{align} W_\mathrm{total} & = {\epsilon_0 \over 2} \int \vec{E}^2 d \tau \\ & = { \epsilon_0 \over 2} \int ( \vec{E}_1 + \vec{E}_2 )^2 d \tau \\ & = W_1 + W_2 + \epsilon_0 \int \vec{E}_1 \cdot \vec{E}_2 d \tau \end{align}

제곱해서 더하는 것이 아니고 더하고 제곱을 해야 하는.

문제 2.34: 전하가 고르게 퍼진 공의 에너지를 구하는 세 가지 방법

(97)
\begin{align} W & = {1 \over 2} \int \rho V d \tau \\ \vec{E} = & \begin{cases} {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {q \over r^2} \hat{r} & r>R \\ {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {q \over R^3} \hat{r} & r<R \end{cases} \\ V(r) & = - \int_\infty^r \vec{E} \cdot d \vec{l} \\ = & \int_\infty^R - \int_R^r = {{q} \over {4 \epsilon_0}} {1 \over {2R}} \left( 3 - {r^4 \over R^2} \right) \\ W& = {1 \over 2} \int \rho V \cdot d \tau = {1 \over {4 \pi \epsilon_0 }} \left( {3 \over 5} {q^2 \over R} \right) \end{align}
(98)
\begin{align} W & = {\epsilon_0 \over 2 } \int_\mathrm{all\ space} E^2 d \tau \\ & = {\epsilon_0 \over 2} {q^2 \over {( 4 \pi \epsilon_0)^2 }} \left[ \int_R^\infty {1 \over r^4} \end{align}
(99)
\begin{equation} \end{equation}

[[/math]]

2.5. 도체

2.5.1. 도체의 기본성질

  1. 도체 속에서 $\vec{E} = 0$
    • 외부 전기장이 존재할 때, 도체 내부의 자유전자(음전하)가 인력 또는 척력에 따라 움직이고, 그 결과 만들어진 유도전하의 전기장이 외부 전기장을 상쇄한다.
  2. 도체 속에서 $\rho = 0$
    • 가우스 법칙에서 $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon$ 이므로.
    • 단, 도체 속에 전하가 없는 게 아니고, 도체 내부의 양전하와 음전하의 양이 같아서 서로 상쇄되는 것이다.
  3. 알짜 전하는 표면에만 있다.
  4. 도체는 등전위면이다 i.e. 도체 속에서는 전위가 똑같다.
    • 점 a, b가 도체 속 또는 표면의 두 점이라면 $V( \mathbf{b} ) - V ( \mathbf{a} ) = - \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0 \implies V( \mathbf{b} ) = V ( \mathbf{a} )$
  5. 도체 바로 밖의 전기장은 표면에 수직이다.

2.5.2. 유도전하

전하를 띠지 않은 도체 가까이 전하 $+ q$를 두면 서로 끌어당긴다. 이것은 $+q$가 도체 내부의 음전하를 끌어당기고 양전하를 밀쳐내기 때문이다. 이것은 도체 속의 전하가 움직여서 $+q$가 만든 전기장을 상쇄한 것이라고 볼 수도 있다.

도체 속에 구멍이 있다면, 도체는 구멍과 바깥 세상을 전기적으로 완전히 차단한다. 바깥의 전하가 만드는 전기장은 도체의 바깥 표면에 유도된 전하에 의해 상쇄되고, 구멍 안쪽에 있는 전하가 만드는 전기장은 도체의 안쪽 표면에 유도된 전하에 의해 상쇄된다. 구멍의 바깥쪽 표면에 남은 전하와 부호가 반대인 전하가 도체에 둘러싸여 있다는 것만 알 수 있다.

구멍의 안쪽 표면에 유도된 총 전하는 구멍 속의 전하와 크기는 같고 부호는 반대이다. 구멍을 감싸는 가우스 곡면을 도체 속에 잡으면 $\oint \vec{E} \cdot d \vec{a} = 0$ 이기 때문이다.

2.5.3. 도체 위의 면전하

전기장이 있을 때 면전하가 힘을 받는데, 단위면적이 받는 힘 $\vec{f} = \sigma \vec{E}$다. 그런데 면전하가 있는 곳에서는 전기장이 불연속적이다. 이때 써야 하는 전기장은 면전하 위와 아래의 전기장의 평균값이다.

(100)
\begin{align} \vec{f} = \sigma \vec{E}_\mathrm{average} = {1 \over 2} \sigma ( \vec{E}_\mathrm{above} + \vec{E}_\mathrm{bottom} \end{align}
(101)
\begin{align} \vec{E}_\mathrm{above} & = \vec{E}_\mathrm{other} + {\sigma \over {2 \epsilon_0}} \hat{n} \\ \vec{E}_\mathrm{bottom} & = \vec{E}_\mathrm{other} + {\sigma \over {2 \epsilon_0}} \hat{n} \\ \therefore\ \vec{E}_\mathrm{other} & = {1 \over 2} ( \vec{E}_\mathrm{above} + \vec{E}_\mathrm{bottom} ) = \vec{E}_\mathrm{average} \end{align}
(102)
\begin{align} \vec{E}_\mathrm{bottom} & \vec{E}_\mathrm{internal} = \vec{0} \\ \vec{E}_\mathrm{above} & = { \sigma \over \epsilon_0 } \hat{n} \\ \therefore\ \vec{E}_\mathrm{average} & = { \sigma \over {2 \epsilon_0 }} \hat{n} \end{align}
(103)
\begin{align} \therefore\ \vec{f} & = \sigma \vec{E}_\mathrm{average} \\ & = {1 \over {2 \epsilon_0}} \sigma^2 \hat{n} \end{align}

$\vec{f}$가 표면 밖으로 밀어내는 정전기 압력(electrostatic pressure)이며, 도체는 $\sigma$ 부호에 관계 없이(제곱되므로) 전기장 쪽으로 끌린다. 정전기 압력을 도체 표면 바로 밖의 전기장으로 나타내면 다음과 같다.

(104)
\begin{align} P = { \epsilon_0 \over 2 } E^2 \end{align}

2.5.4. 축전기

도체 두 개를 마련해 각각 전하 $+Q, -Q$를 대전시킨다. 도체에서는 $V$가 일정하므로 전위차를 명확히 말할 수 있다.

(105)
\begin{align} V = V_+ - V_- = - \int_{(-)}^{(+)} \vec{E} \cdot d \vec{l} \end{align}

도체의 모양이 복잡하면 전하의 분포를 모르고, 전기장을 셈하는 것이 힘들다.
하지만 전기장이 쿨롱 법칙에 따라 정해지기에 전기장이 전하량에 비례함은 확실히 안다.

(106)
\begin{align} \vec{E} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \int {{ \vec{r} - \vec{r}' } \over { \left\lvert \vec{r} - \vec{r}' \right\rvert^2 }} \rho d \tau \end{align}

따라서 전하밀도가 2배가 되면 전기장도 2배가 된다.

전기장이 전하량에 비례하므로 전위도 마찬가지다. 전위와 전하량의 비례상수를 전기용량(capacitance)이라고 한다.

(107)
\begin{align} C \equiv {Q \over V} \end{align}

전기용량은 두 도체의 크기, 모양, 간격에 따라 결정되며, 단위는 패럿(F)이다. 1 패럿은 1볼트당 1 쿨롱이다.

예제 2.11
면적 $A$인 금속판 두 장을 간격 $d$로 나란히 두어 만든 평행판 축전기(parallel-plate capacitor)의 전기용량 구하기

2-52.png

위쪽 판의 면전하밀도 $\sigma = Q / A$, 전기장은 $(1 / \epsilon_0 ) Q /A$. 그러므로 두 판의 전위차는

(108)
\begin{align} V = {Q \over {A \epsilon_0 }} d \end{align}

전기용량은

(109)
\begin{align} C = {Q \over V} = {{A \epsilon_0 } \over d} \end{align}

예컨대 금속판이 한 변이 1 cm인 정사각형이고 간격이 1 mm라면 전기용량은 9e-13 F이다.

예제 2.12:
반지름이 $a, b$인 두 공심 도체 공껍질의 전기용량 구하기

안쪽 공껍질에 $+Q$를, 바깥쪽 공껍질에 $-Q$를 채우면 두 공껍질 사이의 전기장은

(110)
\begin{align} \vec{E} = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {Q \over r^2} \hat{r} \end{align}

전위차는

(111)
\begin{align} V = - \int_b^a \vec{E} \cdot d \vec{l} = - {Q \over {4 \pi \epsilon_0} } \int_b^a {1 \over r^2 } dr = {Q \over {4 \pi \epsilon_0 }} \left( {1 \over a} - {1 \over b} \right) \end{align}

과연 전위는 전하량에 비례하고, 전기용량은 다음과 같다.

(112)
\begin{align} C = {Q \over V} = 4 \pi \epsilon_0 {{ab} \over {b-a}} \end{align}

축전기에 전하를 채우려면 양극판에서 전자를 밀어내 음극판으로 옮ㅁ겨야 한다. 축전기에 전하를 $Q$만큼 채우려면 일을 얼마나 해야 할까?
충전 과정의 중간 단계에서 양극판의 전하가 $q$라면 전위차는 $q/C$가 된다. 이 상태에서 전하를 $dq$만큼 옮기는 데 드는 일은

(113)
\begin{align} dW = \left( {q \over C} \right) dq \end{align}

따라서 $q=0$에서 $q=Q$인 상태까지 전하를 옮기느라 한 일은

(114)
\begin{align} W = \int_0^Q \left( {q \over C} \right) dq & = {1 \over 2} {Q^2 \over C} \\ & = {1 \over 2} C V^2 \qquad (\because\ Q = CV) \end{align}