1. 벡터해석

1.1. 벡터연산

1.1.1. 벡터연산

  • 덧셈
(1)
\begin{align} \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \end{align}
(2)
\begin{align} ( \vec{A} + \vec{B} ) + \vec{C} = \vec{A} + ( \vec{B} + \vec{C} ) \end{align}
  • 상수배
(3)
\begin{align} a( \vec{A} + \vec{B} )= a \vec{A} + a \vec{B} \end{align}
  • 내적
(4)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} \equiv AB \cos \theta \end{align}
­
교환법칙, 결합법칙 성립
(5)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \end{align}
(6)
\begin{align} \vec{A} \cdot ( \vec{B} \cdot \vec{C} ) = ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) \cdot \vec{C} \end{align}
(7)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{A} = A^2 \end{align}
  • 외적
(8)
\begin{align} \vec{A} \times \vec{B} \equiv AB \sin \theta\ \hat{n} \end{align}
­
첫째 벡터에서 둘째 벡터로 손을 말아쥐었을 때 엄지손가락 방향이 $\hat{n}$의 방향
분배법칙, 반교환법칙 성립
(9)
\begin{align} \vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B} ) + ( \vec{A} + \vec{C}) \end{align}
(10)
\begin{align} ( \vec{B} \times \vec{A} ) = - ( \vec{A} \times \vec{B}) \end{align}
­
$\left\lvert \vec{A} \times \vec{B} \right\rvert$$\vec{A}, \vec{B}$가 두 변인 평행사변형의 넓이이다.
두 벡터가 평행하면 외적은 $\vec{0}$이다.
(11)
\begin{align} \vec{A} \times \vec{A} = \vec{0} \end{align}

1.1.2. 벡터대수: 성분형식component form

직교좌표계의 $x, y, z$축과 평행한 단위벡터를 각각 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$로 하고 이들 기저벡터를 사용해 임의의 벡터를 나타낼 수 있다.

(12)
\begin{align} \vec{A} = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} \end{align}

$A_x, A_y, A_z$$\vec{A}$를 각 좌표축에 투영시킨 정사영의 크기와 같다($A_x = \vec{A} \cdot \hat{x}, A_y = \vec{A} \cdot \hat{y}, A_z = \vec{A} \cdot \hat{z}$).

이제 1.1.1.에서 다룬 벡터연산들을 성분형식으로 나타낼 수 있다.

(13)
\begin{align} \vec{A} + \vec{B} & = (A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} ) + ( B_x \hat{x} + B_y \hat{y} + B_z \hat{z} ) \\ & = (A_x + B_x ) \hat{x} + (A_y + B_y ) \hat{y} + (A_z + B_z ) \hat{z} \end{align}
(14)
\begin{align} a \vec{A} = (a A_x) \hat{x} + (a A_y) \hat{y} + (a A_z) \hat{z} \end{align}

$\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$는 서로 수직인 단위벡터이므로 내적하면 다음과 같다.

(15)
\begin{align} \hat{x} \cdot \hat{x} = \hat{y} \cdot \hat{y} = \hat{z} \cdot \hat{z} = 1; \\ \hat{x} \cdot \hat{y} = \hat{x} \cdot \hat{z} = \hat{y} \cdot \hat{z} = 0. \end{align}
(16)
\begin{align} \therefore\ \vec{A} \cdot \vec{B} & = (A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} ) \cdot (B_x \hat{x} + B_y \hat{y} + B_z \hat{z} ) \\ & = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \end{align}
(17)
\begin{align} \vec{A} \cdot \vec{A} = {A_x}^2 + {A_y}^2 + {A_z}^2, \\ \therefore\ A = \left\lvert \vec{A} \right\rvert = \sqrt{ {A_x}^2 + {A_y}^2 + {A_z}^2} \end{align}
(18)
\begin{align} \hat{x} \times \hat{x} & = \hat{y} \times \hat{y} = \hat{z} \times \hat{z} = \vec{0}, \\ \hat{x} \times \hat {y} & = - \hat{y} \times \hat{x} = \hat{z}, \\ \hat{y} \times \hat {z} & = - \hat{z} \times \hat{y} = \hat{x}, \\ \hat{z} \times \hat {x} & = - \hat{x} \times \hat{z} = \hat{y}. \end{align}
(19)
\begin{align} \therefore\ \vec{A} \times \vec{B} & = (A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} ) \times ( B_x \hat{x} + B_y \hat{y} + B_z \hat{z} ) \\ & = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{x} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{y} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{z} \\ & = \operatorname{det} \begin{bmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{bmatrix} \end{align}

1.1.3. 삼중곱

  • 스칼라 삼중곱
    $\left\lvert \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C} ) \right\rvert$는 세 변이 $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$인 평행육면체의 부피이다.
    이때 $\left\lvert \vec{B} \times \vec{C} \right\rvert$는 밑면의 넓이, $\left\lvert \vec{A} \cos \theta \right\rvert$는 높이이다.
(20)
\begin{align} vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C} ) & = \vec{B} \cdot ( \vec{C} \times \vec{A} ) = \vec{C} \times ( \vec{A} \times \vec{B} ), \\ & = \operatorname{det} \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{bmatrix} \end{align}
­
삼중곱에서 $\cdot$$\times$의 위치를 바꿀 수 있다.
(21)
\begin{align} \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C} ) = ( \vec{A} \times \vec{B} ) \cdot \vec{C} \end{align}

벡터 삼중곱
소위 $\vec{B}\vec{A}\vec{C} - \vec{C}\vec{A}\vec{B}$ 규칙

(22)
\begin{align} \vec{A} \times ( \vec{B} \times \vec{C} ) = \vec{B} ( \vec{A} \cdot \vec{C} ) - \vec{C} ( \vec{A} \times \vec{B}) \end{align}
­
증명: $\left. \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) \right\rvert_x = \left. A_y ( \vec{B} \times \vec{C} ) \right\rvert_z - \left. A_z ( \vec{B} \times \vec{C} ) \right\rvert_y \\ = A_y ( B_x C_y - B_y C_x ) - A_z ( B_z C_x - B_x C_z ) \\ = B_x ( A_x C_x + A_y C_y + A_z C_z ) - A_x B_x C_x - C_x (A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z ) + A_x B_x C_x \\ = B_x ( \vec{A} \cdot \vec{C} ) - C_x ( \vec{A} \cdot \vec{B} )$
­
외적은 결합법칙이 성립하지 않는다.
여러 번 거듭된 외적은 식 (22)를 사용하여 외적을 하나씩 줄여나가면 각 항에 외적이 한번씩만 나오게 된다.
(23)
\begin{align} ( \vec{A} \times \vec{B} ) \cdot ( \vec{C} \times \vec{D} ) & = ( \vec{A} \cdot \vec{C} ) ( \vec{B} \cdot \vec{D} ) - ( \vec{A} \cdot \vec{D} )( \vec{B} \cdot \vec{C} ); \\ \vec{A} \times [ \vec{B} \times (\vec{C} \times \vec{D} ) ] & = \vec{B} [ \vec{A} \cdot ( \vec{C} \times \vec{D} )] - (\vec{A} \cdot \vec{B} )( \vec{C} \times \vec{D} ). \end{align}

1.1.4. 위치, 변위, 분리벡터

위치벡터(position vector)
원전 $O$에서 그 점까지의 벡터.
(24)
\begin{align} \vec{r} \equiv x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z} \end{align}
(25)
\begin{align} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{align}
(26)
\begin{align} \hat{r} = {{\vec{r}} \over {r}} = {{x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z}} \over {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \end{align}

$(x, y, z)$에서 $(x + dx, y+dy, z+dz)$까지의 미소변위벡터(infinitesimal displacement vector)는 다음과 같다.

(27)
\begin{align} d \vec{r} = dx \hat{x} + dy \hat{y} + dz \hat{z} \end{align}

전기역학에서는 전하가 위치한 원천점(source point) $\vec{r}'$와 전자기장을 셈하는 관찰점(field point) $\vec{r}$이 다루어진다. 원천점에서 관찰점까지의 벡터를 분리벡터(separation vector)라고 한다.

(28)
\begin{align} \vec{\Re} & \equiv \vec{r} - \vec{r}' \\ & = (x - x') \hat{x} + (y - y') \hat{y} + (z - z') \hat{z} \end{align}
(29)
\begin{align} \Re & = \left\lvert \vec{r} - \vec{r}' \right\rvert \\ & = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2} \end{align}
(30)
\begin{align} \hat{\Re} = { \vec{\Re} \over \vec{\Re} } & = {\vec{r} - \vec{r}'} / { \left\lvert \vec{r} - \vec{r}' \right\rvert } \\ & = {{(x - x') \hat{x} + (y - y') \hat{y} + (z - z') \hat{z}} \over {\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2}}} \end{align}

1.1.5. 벡터 변환규칙

벡터를 “크기와 방향이 있는 양”으로 정의하는 것은 충분하지 않다. “방향”이란 무엇인가?
통 속에 사과 $N_x$개, 배 $N_y$개, 바나나 $N_z$개가 있을 때 $\vec{N} = N_x \hat{x} + N_y \hat {y} + N_z \hat{z}$는 벡터 덧셈규칙을 따른다. 그러나 물리학자가 보기에 이것은 방향성이 없으므로 벡터가 아님은 자명하다. 무엇이 문제일까?

답은 $\vec{N}$이 좌표계를 바꿀 때 적절히 변환되지 않는다는 것이다. 좌표계를 바꾸면 그에 따라 벡터성분도 바뀌는데, 그 변환은 특별한 기하법칙을 따른다.
예컨대 $x, y, z$ 직교좌표계에서 $x$축을 고정시킨 채 각도 $\phi$만큼 회전하여 $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ 좌표계를 만들었다면,

(31)
\begin{align} A_y & = A \cos \theta, \qquad A_z = A \sin \theta \\ \overline{A}_y & = A \cos \overline{\theta} = A \cos (\theta - \phi) = A ( \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi ) \\ & = \cos \phi A_y + \sin \phi A_z, \\ \overline{A}_z & = A \sin \overline{\theta} = A \sin (\theta - \phi) = A ( \sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi ) \\ & = - \sin \phi A_y + \cos \phi A_z. \\ \end{align}
(32)
\begin{align} {\begin{pmatrix} \overline{A}_y \\ \overline{A}_z \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ - \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} A_y \\ A_z \end{pmatrix}} \end{align}

더 일반적으로, 3차원 공간에서 어느 축에 대한 회전에 의한 벡터성분의 변환법칙은 다음과 같다.

(33)
\begin{align} {\begin{pmatrix} \overline{A}_x \\ \overline{A}_y \\ \overline{A}_z \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} R_{xx} & R_{xy} & R_{xz} \\ R_{yx} & R_{yy} & R_{yz} \\ R_{zx} & R_{zy} & R_{zz} \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}} \end{align}

간단히 쓰면

(34)
\begin{align} \overline{A}_i = \sum_{j=1}^3 R_{ij} A_j, \end{align}

여기서 아래첨자 $i, j$는 그 값이 $1, 2, 3$일 때 각각 $x, y, z$를 나타낸다.

그러나 어떤 좌표계를 쓰든 통 속에 들어 있는 과일의 개수는 같고, 어떤 좌표계를 써도 바나나가 배로 바뀌지는 않는다. 그러므로 앞서 예시로 든 $\vec{N}$은 벡터가 아니다. 그러므로, 벡터(vector)란 세 성분을 가진 양으로서 좌표계를 바꿀 때 변위처럼 변환되는 양이다.

텐서(tensor)란 성분이 9개 $T_{xx}, T_{xy}, T_{xz}, T_{yx}, \cdots , T_{zz}$이고 변환할 때 $R$이 두 번 붙는 양이다.

(35)
\begin{align} \overline{T}_{xx} = & R_{xx} (R_{xx} T_{xx} + R_{xy} T_{xy} + R_{xz} T_{xz} ) \\ & + R_{xy} ( R_{xx} T_{yx} + R_{xy} T_{yy} + R_{xz} T_{yz} ) \\ & + R_{xz} ( R_{xx} T_{zx} + R_{xy} T_{zy} + R_{xz} T_{zz} ), \cdots \end{align}
(36)
\begin{align} \overline{T}_{ij} = \sum_{k=1}^3 \sum{l=1}^3 R_{ik} R_{jl} T_{kl} \end{align}

정확히 말하자면 이것은 2계 텐서이다. $n$계 텐서는 아래첨자가 $n$개 즉 성분이 $3^n$개이며, 변환할 때 $R$$n$개 붙는다. 그렇다면 벡터는 1계 텐서, 스칼라는 0계 텐서이다.

1.2. 벡터 미분

1.2.1. 상미분

(37)
\begin{align} df = \left( {{df} \over {dx}} \right) dx \end{align}

도함수 $df/dx$는 변수 $x$가 미소량 $dx$만큼 변할 때 함수 $f(x)$가 얼마나 변하는지를 말해준다.

1.2.2. 기울기

방 안의 온도함수 $T(x, y, z)$가 있다고 할 때, 방의 한 구석이 원점이면 방 속의 한 점에 대한 직교좌표 $(x, y, z)$를 대입한 $T$는 그 지점의 온도를 나타낸다. 도함수 개념을 이러한 삼변수함수에 대해 사용하면

(38)
\begin{align} dT = \left( {{ \partial T} \over {\partial x }} \right) dx + \left( {{ \partial T} \over { \partial y}} \right) dy + \left( {{\partial T } \over {\partial z}} \right) dz. \end{align}

뭐 더 많이 할 거 없고 삼변수면 충분하다.

식 (35)는 내적과 표현이 같다.

(39)
\begin{align} dT = \left( {{ \partial T} \over {\partial x}} \hat{x} + {{\partial T} \over {\partial y}} \hat{y} + {{\partial T} \over {\partial z}} \hat{z} \right) \cdot ( dx \hat{x} + dy \hat{y} + dz \hat{z} ) = ( \vec{\nabla} T) \cdot (d \vec{r}) \end{align}

여기서

(40)
\begin{align} \vec{\nabla} T \equiv {{ \partial T} \over {\partial x}} \hat{x} + {{\partial T} \over {\partial y}} \hat{y} + {{\partial T} \over {\partial z}} \hat{z} \end{align}

$\vec{T}$기울기(gradient)이다. $\vec{\nabla} T$는 성분이 셋인 벡터량으로, 일반화된 도함수이다. 즉 식 (36)는 식 (34)의 삼차원 꼴이다.

기울기의 기하학적 해석: 기울기도 벡터이므로 크기와 방향이 있다.

(41)
\begin{align} dT = \vec{\nabla} T \cdot d \vec{r} = \left\lvert \vec{\nabla} T \right\rvert \left\lvert d \vec{r} \right\rvert \cos \theta \end{align}

여기서 $\theta$$\vec{\nabla} T$$d \vec{r}$ 사이의 각이다. 크기 $\left\lvert d \vec{r} \right\rvert$을 고정시키고 방향($\mathrm{i.e.} \quad \theta$)을 변화시키면 $\theta=0$일 때 $\cos \theta = 1$이므로 $dT$가 최대가 된다.
다시 말해, 거리(크기)를 고정시키면 방향이 $\vec{\nabla} T$와 같을 때 $dT$가 최대가 된다.

기울기 $\vec{\nabla} T$의 방향은 함수 $T$의 변화량 $dT$가 최대인 쪽이다.

그 크기 $\left\lvert \vec{\nabla} T \right\rvert$는 그 방향의 기울기(변화율)이다.

비탈길에 서서 주위를 둘러볼 때, 그곳의 기울기 방향은 가장 가파른 쪽이고, 크기는 그 쪽의 물매이다. 기울기가 0이라면, 그곳에서는 어느 쪽으로 움직여도 $dT = 0$이므로 $T$값이 달라지지 않는 정류점(stationary point)이 된다. 극대점(봉우리), 극소점(골짜기), 안장점(고개마루), 어깨점(한쪽으로는 변곡점, 다른 쪽은 봉우리나 골짜기)이 이에 해당한다.

예제 1.3:
위치벡터 크기 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 }$의 기울기를 구하라.

(42)
\begin{align} \vec{\nabla} r & = {{\partial r } \over {\partial x}} \hat{x} + {{\partial r} \over {\partial y}} \hat{y} + {{\partial r} \over {\partial z}} \hat{z} \\ & = {1 \over 2} {{2x} \over {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \hat{x} + {{2y} \over {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \hat{y} + {{2z} \over {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \hat{z} \\ & = {{ x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z} } \over {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} }} = { \vec{r} \over t} = \hat{r} \end{align}

원점까지의 거리는 반지름을 따라갈 때 가장 빨리 늘어나며, 증가율은 1이다.

1.2.3. 델 연산자

스칼라함수 $T$의 기울기

(43)
\begin{align} \vec{\nabla} T = \left( \hat{x} {{\partial } \over {\partial x}} + \hat{y} {{\partial } \over {\partial y}} + \hat{z} {{\partial } \over {\partial z}} \right) T \end{align}

는 마치 벡터 $\vec{\nabla}$에 스칼라 $T$를 곱한 꼴이다. 역삼각형으로 나타내는 $\vec{\nabla}$(del)이라고 읽는다.

(44)
\begin{align} \vec{\nabla} = \hat{x} {{\partial } \over {\partial x}} + \hat{y} {{\partial } \over {\partial y}} + \hat{z} {{\partial } \over {\partial z}} \end{align}

델은 보통 벡터가 아니다. 이것은 연산할 함수를 붙여야 유의미해진다. 더욱이 이것은 실제로 $T$에 곱해지는 것이 아니라, $T$를 미분하라는 의미이다. 그러므로 델은 곱해지는 벡터가 아니라 작용하는 벡터 연산자(vector operator)이다.

어쨌든 델은 거의 모든 면에서 벡터와 같으며, 그냥 벡터처럼 쓰면 수식이 아주 간결해진다.

델과 스칼라의 곱이 기울기이고, 델과 벡터의 내적이 발산이며, 델과 벡터의 외적이 회전이다.

1.2.4. 발산

(45)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{v} & = \left( \hat{x} {{\partial } \over {\partial x}} + \hat{y} {{\partial } \over {\partial y}} + \hat{z} {{\partial } \over {\partial z}} \right) \cdot ( v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z} ) \\ & = {{\partial v_x} \over {\partial x}} + {{\partial v_y} \over {\partial y}} + {{\partial v_z} \over {\partial z}}. \end{align}

벡터함수 $\vec{v}$의 발산 $\vec{\nabla} \cdot \vec{v}$는 내적의 꼴이며, 따라서 스칼라이다.

발산의 기하학적 해석:
발산은 벡터 $\vec{v}$가 그 점에서 얼마나 퍼져나가는가를 가늠하는 지표이다.
물 위에 톱밥을 뿌렸다고 하자. 톱밥들이 퍼져나가면 그 점의 발산은 양이고, 모여든다믄 음이다. 이 경우 벡터함수 $\vec{v}$는 수면의 유속이 될 것이다. 발산이 양성인 곳은 "수도꼭지" 같은 곳이고 발산이 음성인 곳은 "수채구멍" 같은 곳이다.

같은 방향으로 크기가 같은 벡터들이 있을 경우 발산은 0이다.
그러나 같은 방향으로 크기가 다른 벡터, 예컨대 위쪽으로 갈수록 크기가 커지면 발산이 존재한다(발산 방향이 한 방향인 것).

1.2.5. 회전

(46)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{v} & = \operatorname{det} {\begin{bmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {{\partial } \over {\partial x}} & {{\partial } \over {\partial y}} & {{\partial } \over {\partial z}} \\ v_x & v_y & v_z \end{bmatrix}} \\ & = \hat{x} \left( {{\partial v_z } \over {\partial y }} - {{\partial v_y } \over {\partial z}} \right) + \hat{y} \left( {{\partial v_x} \over {\partial z}} - {{\partial v_z} \over {\partial x}} \right) + \hat{z} \left( {{\partial v_y} \over {\partial x}} - {{\partial v_x} \over {\partial y}} \right) \end{align}

회전의 기하학적 해석:
회전은 벡터 $\vec{v}$가 그 점을 중심으로 맴도는 정도를 나타내는 지표이다.
함수의 방향으로 오른손의 네 손가락을 펴면 엄지손가락의 방향이 회전 벡터 $\vec{\nabla} \times \vec{v}$의 방향이다. 예컨대 $x, y, z$ 직교좌표계에서 원점을 중심으로 $xy$ 평면상에 시계방향으로 도는 함수가 있다면, 회전의 방향은 $+z$이다(오른손 법칙).

어떤 점의 발산과 회전과 경계조건이 주어지면 유일한 벡터 $\vec{v}$를 구할 수 있다.

1.2.6. 곱셈규칙

상미분을 할 때 여러 가지 규칙들이 있었다(고등학교 때 배움).

(47)
\begin{align} 덧셈: & {{d} \over {dx}} (f + g) = {{df} \over {dx}} + {{dg } \over {dx}} \\ 상수배: & {{d} \over {dx}}(kf) = k {{df} \over {dx}} \\ 곱셈: & {{d} \over {dx}} (fg) = f {{dg} \over {dx}} + g {{df} \over {dx}} \\ 나눗셈: & {{d} \over {dx}} \left( {f \over g} \right) = {{g {{df} \over {dx}} - f {{df} \over {dx}} } \over {g^2}} \end{align}

벡터미분에도 비슷한 규칙이 있다.

(48)
\begin{align} 스칼라 덧셈: & \vec{\nabla} (f + g) = \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g, \\ 벡터 덧셈: & \vec{\nabla} \cdot ( \vec{A} + \vec{B} ) = ( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} ) + ( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} ), \\ & \vec{\nabla} \times ( \vec{A} + \vec{B} ) = ( \vec{\nabla} \times \vec{A} ) + ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ), \\ 상수배: & \vec{\nabla} (kf) = k \vec{\nabla} f, \qquad \vec{\nabla} \cdot (k \vec{A} ) = k (\vec{\nabla} \cdot \vec{A} ), \qquad \vec{\nabla} \times ( k \vec{A} ) = k ( \vec{\nabla} \times \vec{A} ), \end{align}

그러나 곱셈규칙은 다소 복잡하다. 곱셈규칙은 기울기에 관한 것 두 개, 발산에 관한 것 두 개, 회전에 관한 것 두 개가 있다.

기울기 곱셈규칙:

  • $\vec{\nabla} (fg) = f \vec{\nabla} g + g \vec{\nabla} f$
  • $\vec{\nabla} ( \vec{A} \cdot \vec{B} ) = \vec{A} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) + \vec{B} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{A} ) + ( \vec{A} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{B} + ( \vec{B} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{A},$
    증명: $\vec{\nabla} ( \vec{A} \cdot \vec{B} )$$= {{\partial } \over {\partial x}} ( A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z ) \\ = A_x {{\partial } \over {\partial x}} B_x + A_y {{\partial } \over {\partial x}} B_y + A_z {{\partial } \over {\partial x}} B_z \\ = A_y \left( {{\partial } \over {\partial x}} B_y - {{\partial } \over {\partial y}} B_x \right) + A_z \left( {{\partial } \over {\partial y}} B_z - {{\partial } \over {\partial z}} B_x \right) + \left( A_x {{\partial } \over {\partial x}} + A_y {{\partial } \over {\partial y}} + A_z {{\partial } \over {\partial z}} \right) B_x \\ = \left. ( \vec{A} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{B} \right\rvert_x - \left. \vec{\nabla} \times \vec{B} \right\rvert_y + \left. \vec{A} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) \right\rvert_x$

발산 곱셈규칙

  • $\vec{\nabla} \cdot ( f \vec{A} ) = f ( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} ) + \vec{A} \cdot ( \vec{\nabla} f),$
  • $\vec{\nabla} \cdot ( \vec{A} \times \vec{B} ) = \vec{B} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{A} ) - \vec{A} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ),$
    증명: $\vec{\nabla} \cdot ( \vec{A} \times \vec{B} )$$= \vec{B} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{A} ) - \vec{A} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{B} ) \\ = {{\partial } \over {\partial x}} ( \vec{A} \times \vec{B} )_x + {{\partial } \over {\partial y}} ( \vec{A} \times \vec{B} )_y + {{\partial } \over {\partial z}} ( A_x B_y - A_y B_x ) \\ = A_y {{\partial } \over {\partial x}} B_z - A_z {{\partial } \over {\partial x}} B_y + A_z {{\partial } \over {\partial y}} B_x - A_x {{\partial } \over {\partial y}} B_y + A_x {{\partial } \over {\partial z}} B_y - A_y {{\partial } \over {\partial z}} B_x \\ = A_x \left( {{\partial } \over {\partial z}} B_y - {{\partial } \over {\partial y}} B_z \right) + A_y \left( {{\partial } \over {\partial x}} B_z - {{\partial } \over {\partial z}} B_x \right) + A_z \left( {{\partial } \over {\partial y}} B_x - {{\partial } \over {\partial x}} B_y \right) \\ = - ( \vec{\nabla} \times \vec{B} )_x - ( \vec{\nabla} \times \vec{B} )_y - ( \vec{\nabla} \times \vec{B} )_z$

회전 곱셈규칙

  • $\vec{\nabla} \times (f \vec{A} ) = f ( \vec{\nabla} \times \vec{A} ) - \vec{A} \times ( \vec{\nabla} f ),$
  • $\vec{\nabla} \times ( \vec{A} \times \vec{B} ) = ( \vec{B} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{A} - ( \vec{A} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{B} + \vec{A} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} ) - \vec{B} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} ).$

나눗셈 규칙은 곱셈 규칙에서 바로 얻을 수 있다.

(49)
\begin{align} \vec{\nabla} \left( {f \over g} \right) & = {{ g \vec{\nabla} f - f \vec{\nabla} g } \over {g^2}}, \\ \vec{\nabla} \cdot \left( {{ \vec{A} } \over {g} } \right) & = {{ g( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} ) - \vec{A} \cdot (\vec{\nabla} g) } \over {g^2}}, \\ \vec{\nabla} \times \left( {\vec{A} \over g} \right) & = {{g(\vec{\nabla} \times \vec{A} + \vec{A} \times ( \vec{\nabla} g)} \over {g^2}}. \end{align}

1.2.7. 이계도함수

$\vec{\nabla}$ 을 써서 만들어내는 기울기, 발산, 회전은 일계도함수이다. 기울기, 발산, 회전을 다시 미분하여 이계도함수를 구한다.

기울기는 벡터이므로 발산과 회전을 얻을 수 있다.

  • 기울기의 발산: $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} T)$$= \left( \hat{x} {{\partial} \over {\partial x}} + \hat{y} {{\partial } \over {\partial y}} + \hat{z} {{\partial } \over {\partial z}} \right) \cdot \left( {{\partial T } \over {\partial x}} \hat{x} + {{\partial T} \over {\partial y}} \hat{y} + {{\partial T} \over {\partial z}} \hat{z} \right) \\ = {{\partial^2 T} \over {\partial x^2}} + {{\partial^2 T } \over {\partial y^2}} + {{\partial^2 T} \over {\partial z^2}}.$
    → 이것을 줄여서 ${\nabla}^2 T$로 쓰며, $T$라플라스 연산(Laplacian)이라고 한다. 스칼라 함수의 라플라스 연산은 스칼라이다.
  • 기울기의 회전: $\vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} T) = \vec{0}$
    기울기의 회전은 늘 0이다. 중요!

발산은 스칼라이므로 기울기만 얻을 수 있다.

  • 발산의 기울기: $\vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{v} )$
    물리학에서 다루어지는 일이 거의 없다. $\nabla^2 \vec{v} = ( \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} ) \vec{v} \ne \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{v} ).$

회전은 벡터이므로 발산과 회전을 셈할 수 있다.

  • 회전의 발산: $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{v} ) = 0$
    회전의 발산은 기울기의 회전과 마찬가지로 늘 0이다.
  • 회전의 회전: $\vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) = \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{v} ) - \nabla^2 \vec{v}$
    첫 항은 발산의 기울기이고 둘째 항은 라플라시안이다.

종합하면, 벡터의 유의미한 이계도함수는 라플라시안과 발산의 기울기 뿐이다.

1.3 벡터 적분

1.3.1. 선적분, 면적분, 부피적분

전기역학에서 가장 중요한 적분은 다음 세 가지이다.

  • 선적분(line integral): 점 a에서 점 b까지 정해진 경로 $\mathcal{P}$를 따라 적분한다.
(50)
\begin{align} \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \vec{v} \cdot d \vec{l} \end{align}
­
만일 경로 $\mathcal{P}$가 폐곡선이면(i.e. a = b) 다음과 같이 쓴다.
(51)
\begin{align} \oint \vec{v} \cdot d \vec{l}. \end{align}
­
힘 F를 가해 이동한 물체에 한 일이 가장 익숙한 선적분이다. ($W = \int \vec{F} \cdot d \vec{l}.$)
보통 선적분 값은 경로가 달라짐에 따라 달라진다. 그러나 벡터함수 가운데 적분경로의 양 끝점이 같으면 경로는 무관해지는 특수한 종류가 있다. 이러한 특성을 가진 힘이 보존력(conservative force)이다.
  • 면적분(surface integral)
(52)
\begin{align} \int_S \vec{v} \cdot d \vec{a} \end{align}
­
곡면 $S$에 대하여 적분한다. $d \vec{a}$는 미소면벡터로 그 방향은 면에 수직이다. 만일 면이 폐곡면이면 다음과 같이 쓴다.
(53)
\begin{align} \oint \vec{v} \cdot d \vec{a}. \end{align}
­
$\vec{v}$가 유체의 흐름(단위시간 동안 단위면적을 지나가는 양)이라면, $\int \vec{v} \cdot d \vec{a}$는 단위시간 동안 그 면을 지나가는 총질량이 되며 이를 선속(flux)이라고 한다.
보통 면적분 값은 면이 달라짐에 따라 달라진다. 그러나 벡터함수 가운데 면의 테두리가 같으면 면과 무관하게 적분되는 것이 있다.
  • 부피적분(volume integral)
(54)
\begin{align} \int_\mathcal{V} T\ d \tau \end{align}
­
$T$는 스칼라 함수이고 $d \tau$는 미소부피요소로 $d \tau = dx\ dy\ dz$
$T$가 물질의 밀도라면 부피적분한 결과는 총질량이 될 것이다.
벡터함수의 부피적분은
(55)
\begin{align} \int \vec{v}\ d \tau & = \int (v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z} ) d \tau \\ & = \hat{x} \int v_x d \tau + \hat{y} \int v_y d \tau + \hat{z} \int v_z d \tau \end{align}

1.3.2. 미적분학 기본정리

(56)
\begin{align} \int_a^b \left( {{df} \over {dx}} \right) dx = f(b) - f(a) \end{align}

도함수를 어느 구간에서 적분한 값은 구간의 양끝에서의 모함수의 값으로 결정된다.

벡터함수의 도함수는 기울기, 발산, 회전인데 각가 고유의 기본정리가 있다.

1.3.3. 기울기의 기본정리

스칼라 함수 $T(x, y, z)$가 있고, 점 $\mathbf{a}$에서 출발하여 미소거리 $d \vec{l}_1$만큼 움직인다면 그 변화식은 다음과 같다.

(57)
\begin{align} dT = ( \vec{\nabla} T) \cdot d \vec{l}_1 \end{align}

조금씩 움직여서 점 $\mathbf{b}$에 도달한다. 움직일 때마다 그 지점에서 $T$의 기울기를 셈하고 $d \vec{l}$과 내적을 구하면 변화량을 셈할 수 있다.

(58)
\begin{align} \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} ( \vec{\nabla} T ) \cdot d \vec{l} = T ( \mathbf{b} ) - T ( \mathbf{a} ) \end{align}

기하학적 해석: 행정관에서 윗공대까지 한 걸음 한 걸음 걸어가서 각 걸음 걸음마다 올라간 높이를 모두 더하거나, 윗공대에서 고도를 재고 행정관에서 고도를 재어 그 차를 구하거나 결과는 같다. 기울기의 선적분은 경로에 무관하다

따름정리:

  • $\int_\mathbf{a}^\mathbf{b} ( \vec{\nabla} ) \cdot d \vec{l}$은 경로와 무관하다.
  • $\oint ( \vec{\nabla} T ) \cdot d \vec{l} = 0$: 출발점과 종착점이 같다면 아예 움직이지 않은 것과 같다.

1.3.4. 발산의 기본정리

중요하므로 이름이 세 개는 된다. 가우스 정리(Gauss's theorem), 그린 정리(Green's theorem), 발산정리(divergence theorem).
발산을 부피에 대해 적분하면, 그 값은 경계(부피를 둘러싸는 표면 $\mathcal{S}$)에서의 함수값과 같다. 선의 "경계"는 선의 출발점과 종착점이지만, 부피의 경계는 폐곡면이다.

(59)
\begin{align} \int_\mathcal{V} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{v} ) d \tau = \oint_\mathcal{S} \vec{v} \cdot d \vec{a}. \end{align}

기하학적 해석: $\vec{v}$가 물의 흐름을 나타낸다면, 그 적분은 곧 물의 유량이며, 물의 유량은 단위시간동안 단위면적을 지나간 물의 총량이다. 발산은 한 점에서 벡터가 "퍼지는" 것의 정도이므로, 발산이 큰 곳은 유체를 내보내는 "수도꼭지"와 같다.
수도꼭지가 여러 개 있을 때, 발산정리의 좌변은 각 수도꼭지에서 나오는 발산을 시간에 대하여 적분한 것이고, 우변은 수도꼭지 구멍을 곡면의 경계로 삼고 면적에 대하여 적분한 것이다. 이 둘은 동일하게 "여러 개의 수도꼭지가 내보낸 유량"을 의미한다.

1.3.5. 회전의 기본정리

미적분학 1의 최종보스였던 스토크스 정리(Stokes' theorem)이 회전의 기본정리의 별명이다. 회전을 면적분하면 그 값은 경계(이 경우 면의 모서리 $\mathcal{P}$)에서의 함수값과 같다. 발산정리와 마찬가지로 경계값 자체가 폐곡선에 대한 적분이다.

(60)
\begin{align} \int_\mathcal{S} ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) \cdot d \vec{a} = \oint_\mathcal{P} \vec{v} \cdot d \vec{l}. \end{align}

기하학적 해석: 회전이 큰 곳에는 소용돌이가 있다. 회전을 어떤 면에 대해 적분한 값은 곧 그 면을 지나가는 회전의 선속이고, 그것은 곧 "소용돌이의 총량"일 것이다. 이것은 그 면의 둘레를 따라 도는 흐름이 얼마인가를 알면 구할 수 있다.
면의 둘레를 따라 돌 때 시계방향으로 돌지 반시계방향으로 돌지는 일관성을 지키기만 하면 아무래도 상관없다. 면적분도 면적벡터 $d \vec{a}$의 방향을 자의적으로 정해야 하므로 이것과 그것이 상쇄된다. 선적분 방향을 따라 손가락을 말았을 때 엄지가 가리키는 쪽이 $d \vec{a}$ 방향이다.

따름정리:

  • $\int ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) \cdot d \vec{a}$는 곡면의 둘레를 따라 결정될 뿐, 어떤 곡면에 대해서든 같다.
  • 모든 폐곡면에 대하여 $\oint ( \vec{\nabla} \times \vec{v} ) \cdot d \vec{a} = 0$이다. 풍선 주둥이가 한 점으로 줄어드는 것과 같은 원리이다.

이것은 기울기 정리의 따름정리와 유사하다.

1.3.6. 부분적분

(61)
\begin{align} { d \over {dx}} (fg) = f \left( {{dg} \over {dx}} \right) + g \left( {{df} \over {dx}} \right) \end{align}
(62)
\begin{align} \int_a^b {{d} \over {dx}} (fg) dx = \left. fg \right\rvert_a^b = \int_a^b f \left( {{dg} \over {dx}} \right) dx + \int_a^b g \left( {{df} \over {dx}} \right) dx \end{align}
(63)
\begin{align} \int_a^b f \left( {{dg} \over {dx}} \right) dx = - \int_a^b g \left( {{df} \over {dx}} \right) dx + \left. fg \right\rvert_a^b \end{align}

이것은 고등학교에서 배운 것이다. 부분적분은 벡터 미적분에서도 강력한 도구로 사용할 수 있다.

(64)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot ( f \vec{A} ) = f ( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} ) + \vec{A} \cdot ( \vec{\nabla} f ) \end{align}
(65)
\begin{align} \int_\mathcal{V} f( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} ) d \tau = - \int_\mathcal{V} \vec{A} \cdot ( \vec{\nabla} f ) d \tau + \oint_\mathcal{S} f \vec{A} \cdot d \vec{a} \end{align}
(66)
\begin{align} \int \vec{\nabla} \cdot ( f \vec{A} ) d \tau = \int f ( \vec{\nabla} \cdot \vec{A} ) d \tau + \int \vec{A} \cdot ( \vec{\nabla} f ) d \tau = \oint f \vec{A} \cdot d \vec{a} \end{align}

피적분함수 $\vec{\nabla} \cdot ( f \vec{A} )$는 어떤 함수 $f$와 다른 함수 $\vec{A}$의 도함수(이 경우 발산)의 곱이며, 부분적분을 하면 도함수를 $\vec{A}$에서 $f$로 옮기면서($\mathrm{i.e.} \quad \vec{A}$의 발산이 $f$의 기울기가 된다), 부호가 바뀌고 경계의 값(이 경우 표면적분)이 더해진다.

1.4. 곡선좌표계

1.4.1. 구좌표계

구좌표계의 성분: 위치벡터의 크기 $r = [ 0, \infty ]$, 극각 $\theta = [0, \pi ]$, 방위각 $\phi = [0, 2 \pi ]$

(67)
\begin{align} x = r \sin \theta \cos \phi, \qquad y = r \sin \theta \sin \phi , \qquad z = r \cos \theta \end{align}
(68)
\begin{align} \hat{r} & = \sin \theta \cos \phi \hat{x} + \sin \theta \sin \phi \hat{y} + \cos \theta \hat{z}, \\ \hat{\theta} & = \cos \theta \cos \phi \hat{x} + \cos \theta \sin \phi \hat{y} - \sin \theta \hat{z}, \\ \hat{\phi} & = - \sin \phi \hat{x} + \cos \phi \hat{y}. \end{align}

주의: $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\theta}$의 방향은 위치에 따라 달라진다. 구좌표로 나타낸 벡터 $\vec{A} = (1, \pi /2 , \pi /2 )$$\vec{B} = (1, \pi /2 , 3 \pi /2 )$를 더하면 $\vec{0}$이지 $2 \hat{r}$이 아니다.

각 단위벡터 방향의 미소길이요소는 다음과 같다.

(69)
\begin{align} dl_r & = dr \\ dl_\theta & = r d \theta \\ dl_\phi & = r \sin \theta d \phi \end{align}

길이요소벡터는

(70)
\begin{align} d \vec{l} = dr \hat{r} + r d \theta \hat{\theta} + r \sin \theta d \phi \hat{\phi} \end{align}

부피요소는

(71)
\begin{align} d \tau & = d l_r d l_\theta d l_\phi \\ & = r^2 \sin \theta dr d \theta d \phi \end{align}

구좌표계의 벡터 도함수:

(72)
\begin{align} \vec{\nabla} T & = {{\partial T} \over {\partial r}} \hat{r} + {1 \over r} {{\partial T} \over {\partial \theta}} \hat{\theta} + {1 \over {r \sin \theta}} {{\partial T} \over {\partial \phi}} \hat{\phi} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{v} & = {1 \over r^2} {{\partial } \over {\partial r}} ( r^2 v_r ) + {1 \over {r \sin \theta}} {{\partial } \over { \partial \theta}} (\sin \theta v_\theta ) + {{1} \over {r \sin \theta}} {{\partial v_\phi} \over {\partial \phi}} \\ \vec{\nabla} \times \vec{v} & = {1 \over {r \sin \theta}} \left[ {{\partial } \over {\partial \theta}} ( \sin \theta v_\phi ) - {{\partial v_\theta} \over {\partial \phi}} \right] \hat{r} + {1 \over r} \left[ {1 \over {\sin \theta}} {{\partial v_r} \over {\partial \phi}} - {{\partial } \over {\partial r}} ( r v_\phi ) \right] \hat{\theta} \\ & \quad + {1 \over r} \left[ {{\partial } \over {\partial r}} (r v_\theta) - {{\partial v_r} \over {\partial \theta}} \right] \hat{\phi} \\ \nabla^2 T & = {1 \over r^2} {{\partial } \over {\partial r}} \left( r^2 {{\partial T} \over {\partial r}} \right) + {{1} \over {r^2 \sin \theta}} {{\partial } \over {\partial \theta}} \left( \sin \theta {{\partial T } \over {\partial \theta}} \right) + {{1} \over { r^2 \sin^2 \theta}} {{ \partial^2 T } \over {\partial \phi^2}} \end{align}

1.4.2. 원통좌표계

원통좌표계의 성분: $z$축에서 점까지의 거리 $s = [0, \infty]$, 방위각 $\phi = [0, 2 \pi ]$, 높이 $z = [ - \infty , infty]$

(73)
\begin{align} x = s \cos \phi, \qquad y = s \sin \phi, \qquad z= z \end{align}

단위벡터:

(74)
\begin{align} \hat{s} & = \cos \phi \hat{x} + \sin \phi \hat{y}, \\ \hat{\phi } & = - \sin \phi \hat{x} + \cos \phi \hat{y}, \\ \hat{z} & = \hat{z}. \end{align}

길이요소:

(75)
\begin{align} dl_s = ds, \qquad dl_\phi = s d \phi , \qquad dl_z = dz \end{align}

길이요소벡터:

(76)
\begin{align} d \vec{l} = ds \hat{s} + s d \phi \hat{\phi} + dz \hat{z} \end{align}

부피요소:

(77)
\begin{align} d \tau = s ds d \phi d z \end{align}

벡터도함수:

(78)
\begin{align} \vec{\nabla} T & = {{\partial T} \over {\partial s}} \hat{s} + {1 \over s} {{\partial T} \over {\partial \phi}} \hat{\phi} + {{\partial T} \over {\partial z}} \hat{z} \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{v} & = {1 \over s} {{\partial } \over {\partial s}} ( s v_s ) + {1 \over {s}} {{\partial v_\phi } \over { \partial \phi}} + {{\partial v_z} \over {\partial z}} \\ \vec{\nabla} \times \vec{v} & = \left( {1 \over {s}} {{\partial v_z } \over {\partial \phi}} - {{\partial v_\phi } \over {dz}} \right) \hat{s} + \left( {{\partial v_s} \over {\partial z}} - {{\partial v_z} \over {\partial s}} \right) \hat{\phi} + { 1 \over s} \left[ {{\partial } \over {\partial s}} ( s v_\phi ) - {{\partial v_s } \over {\partial \phi }} \right] \hat{z} \\ \nabla^2 T & = {1 \over s} {{\partial } \over {\partial s}} \left( s {{\partial T} \over {\partial s}} \right) + {{1} \over {s^2}} {{\partial^2 T } \over {\partial \phi^2}} + {{\partial^2 T } \over {\partial z^2}} \end{align}

1.5. 디랙 델타함수

1.5.1. $\hat{r} / r^2$의 발산

다음 벡터함수를 보자.

(79)
\begin{align} \vec{v} = { \hat{r} \over {r^2}} \end{align}

$\vec{v}$$r$의 값이 무엇이든 원점에서 멀어지는 방향을 향한다. 발산이 아주 큰 함수가 있다면 바로 이 함수이다. 그런데 발산을 실제로 셈해 보면

(80)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = {1 \over {r^2}} {{\partial } \over {\partial r}} \left( r^2 {1 \over r^2} \right) = {1 \over r^2} {{\partial } \over {\partial r}} (1) = 0 \end{align}

??? 발산정리를 써 보면 문제는 더 심각해진다. 중심이 원점에 있는 반지름 $R$인 공을 면적분하면

(81)
\begin{align} \oint \vec{v} \cdot d \vec{a} & = \int \left( {1 \over R^2} \hat{r} \right) \cdot ( R^2 \sin \theta d \theta d \phi \hat{r} ) \\ & = \left( \int_0^\pi \sin \theta d \theta \right) \left( \int_0^{2 \pi} d \phi \right) = 4 \pi \end{align}

그런데 식 77이 참이라면 부피적분 $\int \vec{\nabla} \cdot \vec{v} d \tau = 0$ 이 되어야 한다. 무엇이 문제인가??

문제의 근원은 $r = 0$, 즉 원점인 곳으로, 이곳에서는 $\vec{v}$ 값이 무한대가 된다. 때문에 식 77은 0으로 나누는 셈을 하여 틀린 식이 된 것이다. 원점이 아닌 곳에서는 $\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$이 성립한다.

식 78에서 행한 면적분 결과가 $R$과 무관하다는 것을 유의하자. 발산정리는 옳으므로 공의 크기에 관계없이 원점에 중심을 둔 공의 적분 결과는 $4 \pi$가 맞다. 즉, $\vec{\nabla} \cdot \vec{v}$는 원점을 제외한 모든 곳에서 0이지만, 그 적분값은 0이 아닌 젓이다. 그러므로 적분값은 $r=0$에서 모두 유래한 것이 된다!

보통의 함수는 이러한 성질을 가지고 있지 않다. 사례를 들어보자면, "점질량"이 이에 해당할 것이다. 질점이 있는 곳을 제외하면 어디나 밀도가 0이지만 적분값 즉 질량은 유한하다. 이러한 함수가 바로 디랙 델타 함수(Dirac delta function)이다.

1.5.2. 1차원 디랙 델타함수

(82)
\begin{align} \delta(x) = \begin{cases} 0, & x \ne 0 \\ \infty, & x = 0 \end{cases} \end{align}

그리고

(83)
\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \delta (x) dx = 1 \end{align}

디랙 델타 함수는 $x = 0$에서 값이 무한이 되어버리므로 기술적으로는 함수가 아니고, 수학적으로는 분포(digital distribution)라고 부른다.

어떤 함수 $f(x)$가 델타함수가 아닌 보통 연속함수라면, $f(x) \delta (x)$는 원점을 제외한 모든 곳에서 0이다. 그러므로

(84)
\begin{align} f (x) \delta (x) = f(0 ) \delta(x) \end{align}

이 식은 델타함수의 특성 중 가장 중요한 것이다.

적분을 하면 델타함수는 $f(x=0)$ 값을 뽑아낸다.

(85)
\begin{align} \int_{- \infty}^\infty f(x) \delta (x) dx = f(0) \int_{-\infty}^\infty \delta (x) dx = f(0) \end{align}

델타함수의 봉우리를 원점이 아닌 임의의 점으로 옮길 수도 있다.

(86)
\begin{align} \delta (x-a) = \begin{cases} 0, & x \ne a \\ \infty, & x= a \end{cases} \end{align}
(87)
\begin{align} \int_{- \infty}^\infty \delta (x - a) dx = 1 \end{align}

그러면 식 81 및 식 82를 다음과 같이 일반화할 수 있다.

(88)
\begin{align} f(x) \delta (x -a) = f(a) \delta (x - a) \end{align}
(89)
\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta (x -a) dx = f(a) \end{align}

(90)
\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x) D_1 (x) dx = \int_{-\infty}^\infty f(x) D_2 (x) dx \iff D_1 (x) = D_2 (x) \end{align}

1.5.3. 3차원 델타함수

델타함수를 3차원으로 확장하면

(91)
\begin{align} \delta^3 ( \vec{r} ) = \delta (x) \delta (y) \delta (z) \qquad (\vec{r} \equiv x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z} \end{align}

3차원 델타함수의 값은 원점 $(0, 0, 0)$이 아닌 모든 곳에서 0이고 원점에서 발산한다. 그 부피 적분값은 1이다.

(92)
\begin{align} \int_{모든\ 공간} \delta^3 (\vec{r}) d \tau = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \delta (y) \delta (z) dx\ dy\ dz = 1 \end{align}

식 86을 3차원에 대해 일반화시키면

(93)
\begin{align} \int_{모든\ 공간} f( \vec{r} ) \delta^2 ( \vec{r} - \vec{a} ) d \tau = f( \vec{a} ) \end{align}

이제 §1.5.1의 역설을 풀어보자.

(94)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \left( { \hat{r} \over {r^2}} \right) = 4 \pi \delta^3 ( \vec{r}) \end{align}

일반화하면

(95)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \left( { \hat{ \vec{r} - \vec{r}' } \over {(\vec{r} - \vec{r}')^2}} \right) = 4 \pi \delta^3 ( \vec{r} - \vec{r}' ), \end{align}
(96)
\begin{align} \vec{\nabla} \left( {1 \over { \sqrt{(\vec{r} - \vec{r}')^2} }} \right) = - { \hat{\vec{r} - \vec{r}'} \over {(\vec{r} - \vec{r}')^2}} \end{align}
(97)
\begin{align} \therefore' \nabla^2 {1 \over \sqrt{(\vec{r} - \vec{r}')^2}} = - 4 \pi \delta^3 ( \vec{r} - \vec{r}') \end{align}

$\vec{r} - \vec{r}'$는 분리벡터를 의미한다. 이것은 $\vec{\Re} \equiv \vec{r} - \vec{r}'$로 쓸 수 있다.

(98)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \left( {{ \vec{ \Re } } \over { \Re^2 }} \right) = - 4 \pi \delta^{(3)} ( \vec{\Re} ) \end{align}

1.6. 벡터장 이론

페러데이 이후 전자기법칙은 전기장 $\vec{E}$자기장 $\vec{B}$로 서술되었다. 물리학법칙이 으레 그렇듯 이것도 미분방정식으로 나타낼 수 있다. $\vec{E}, \vec{B}$가 벡터이므로 미방도 벡터 도함수, 즉 발산과 회전으로 표현된다. 실제로 전자기 이론 전체를 $\vec{E}, \vec{B}$의 발산과 회전을 이용한 단 4개의 방정식으로 정리했으니 그것이 유명한 맥스웰 방정식이다.

1.6.1. 헬름홀츠 정리

맥스웰 방정식의 의문: 벡터함수의 발산과 회전을 알면 그 함수를 완전히 결정할 수 있는가?
어떤 벡터함수 $\vec{F}$의 발산이 $\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = D$, 회전이 $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{C}$라고 하자. 논리의 일관성을 위해 $\vec{C}$의 발산은 0이다(회전의 발산은 늘 0).

하지만 함수 $\vec{F}$를 구할 수 있는 것은 아니다. 미방을 풀려면 적절한 경계조건(boundary condition)이 있어야 한다. 전기역학에서는 "모든 전하에서 아주 먼"곳의 전자기장이 0이라고 그 조건을 설정한다. 그러면 전기장 및 자기장이 발산과 회전에 의해 유일하게 결정된다. 그것이 헬름홀츠 정리(Helmholtz theorem)이다.

(99)
\begin{align} \vec{F} ( \vec{r} ) = \vec{\nabla} \left( {{-1} \over {4 \pi }} \int {{\vec{\nabla}' \cdot \vec{F} ( \vec{r}' ) } \over {\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}')^2}}} d \tau' \right) + \vec{\nabla} \times \left( {{1 } \over { 2 \pi}} \int {{\vec{\nabla}' \times \vec{F}(\vec{r}')} \over {\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}')^2}}} d \tau' \right) \end{align}

예:
정전기학에서 $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0, \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{0}$이므로

(100)
\begin{align} \vec{E} ( \vec{r} ) = - \vec{\nabla} \left( {{1} \over {4 \pi \epsilon_0 }} \int {{\rho(\vec{r}') } \over {\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}')^2}}} d \tau' \right) = - \vec{\nabla} V \end{align}

정자기학에서 $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0, \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$이므로

(101)
\begin{align} \vec{B} ( \vec{r} ) = \vec{\nabla} \times \left( {{ \mu_0 } \over { 4 \pi}} \int {{ \vec{J} ( \vec{r}')} \over {\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}')^2}}} d \tau' \right) = \vec{\nabla} \times \vec{A} \end{align}

1.6.2. 전위(전기적 위치에너지)

어떤 벡터장 $\vec{F}$의 회전이 모든 곳에서 0이면, $\vec{F}$스칼라 전위(scalar potential) $V$ 의 기울기로 나타낼 수 있다.

(102)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{0} \iff \vec{F} = - \vec{\nabla} V \end{align}

정리 1: 비회전장(curl-less field, irrotational field)을 의미하는 다음 조건들은 모두 동치

  • 모든 곳에서 $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{0}$
  • $\int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \vec{F} \cdot d \vec{l}$의 값은 적분의 시작점과 끝점이 정해지면 경로에 무관하다.
  • 폐곡선에 대해서는 늘 $\oint \vec{F} \cdot d \vec{l} = 0$이다.
  • $\vec{F}$는 어떤 스칼라 함수의 기울기이다. $\vec{F} = - \vec{\nabla} V$

어떤 벡터장 $\vec{F}$의 발산이 모든 곳에서 0이면, $\vec{F}$벡터 전위(scalar potential) $A$ 의 회전으로 나타낼 수 있다.

정리 2: 비발산장(divergence free field, solenoidal field)을 의미하는 다음 조건들은 모두 동치

  • 모든 곳에서 $\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \vec{0}$
  • 테두리가 같은 모든 면에 대한 면적분 $\int \vec{F} \cdot d \vec{a}$의 값은 같다.
  • 폐곡면에 대해서는 늘 $\oint \vec{F} \cdot d \vec{a} = 0$이다.
  • $\vec{F}$는 어떤 벡터의 회전이다. $\vec{F} = - \vec{\nabla} \times \vec{A}$

모든 경우에 (회전과 발산이 어떤 값이든) 벡터장 $\vec{F}$는 스칼라 함수의 기울기와 벡터함수의 회전의 합으로 나타낼 수 있다.

(103)
\begin{align} \vec{F} = - \vec{\nabla} V + \vec{\nabla} \times \vec{A} \end{align}

부록 A: 곡선좌표계에서의 벡터미적분

공간상의 어떤 점 $(q_1, q_2, q_3)$에 대하여

(104)
\begin{align} d \vec{r} & = dx \hat{e}_x + dy \hat{e}_y + dz \hat{e}_z \qquad (x, y, z) \\ d \vec{r} & = h_1 d q_1 \hat{e}_1 + h_2 d q_2 \hat{e}_2 + h_3 d q_3 \hat{e}_3 \\ & = (d \tau = h_1 h_2 h_3 d q_1 d q_2 d q_3 ) \\ d \vec{r} & = {{\partial \vec{r}} \over {\partial q_1 }} d q_1 + {{\partial \vec{r} } \over { \partial q_2} } d q_2 + {{\partial \vec{r}} \over {\partial q_3 }} d q_3 \\ & = h_1 d q_1 \hat{e}_1 + h_2 dq_2 \hat{e}_2 + h_3 dq_3 \hat{e}_3 \qquad h_i = \left\lvert {{\partial \vec{r}} \over {\partial q_i}} \right\rvert, \quad i = 1, 2, 3 \end{align}
직교좌표계 구좌표계 원통좌표계
$(h_1, h_2, h_3)$ $(1, 1, 1)$ $(1, r, r \sin \theta )$

A.3. 기울기 연산자

(105)
\begin{align} dT & = \vec{\nabla} T \cdot d \vec{r} \\ & = (\vec{\nabla} T )_{e_1} h_1 d q_1 + (\vec{\nabla} T )_{e_2} h_2 d q_2 + (\vec{\nabla} T )_{e_3} h_3 d q_3 \end{align}
(106)
\begin{align} (\vec{\nabla} T )_{e_1} & = {{1} \over {h_1}} {{\partial T} \over {\partial q_1}} \\ (\vec{\nabla} T )_{e_2} & = {{1} \over {h_2}} {{\partial T} \over {\partial q_2}} \\ (\vec{\nabla} T )_{e_3} & = {{1} \over {h_3}} {{\partial T} \over {\partial q_3}} \end{align}
(107)
\begin{align} \therefore\ \vec{\nabla} T \equiv {1 \over h_1} {{\partial T} \over {\partial q_1}} \hat{e}_1 + {1 \over h_2} {{\partial T} \over {\partial q_2}} \hat{e}_2 + {1 \over h_3} {{\partial T} \over {\partial q_3}} \hat{e}_3 \end{align}

A.4. 발산 연산자

$\vec{A} = A_1 \hat{e}_1 + A_2 \hat{e}_2 + A_3 \hat{e}_3$에 대하여 발산은

(108)
\begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = {1 \over {h_1 h_2 h_3}} \left[ {{\partial} \over {\partial q_1}} ( h_2 h_3 A_1 ) +{{\partial } \over {\partial q_2}} (h_3 h_1 A_2) + {{\partial } \over {\partial q_3}} ( h_1 h_2 A_3) \right] \end{align}

A.5. 회전 연산자

(109)
\begin{align} \vec{\nabla} \times \vec{A} = {{1} \over {h_1 h_2 h_3}} \operatorname{det} \begin{bmatrix} h_1 \hat{e}_1 & h_2 \hat{e}_2 & h_3 \hat{e}_3 \\ {{\partial } \over {\partial q_1}} & {{\partial } \over {\partial q_2}} & {{\partial } \over {\partial q_3}} \\ h_1 A_1 & h_2 & h_3 A_3 \end{bmatrix} \end{align}

A.6. 라플라스 연산자

(110)
\begin{align} \nabla^2 T = {1 \over {h_1 h_2 h_3} } \left[ {\partial \over {\partial q_1}} \left( {{h_2 h_3 } \over {h_1}} {{\partial T} \over {\partial q_1}} \right) + {\partial \over {\partial q_2}} \left( {{h_3 h_1 } \over {h_2}} {{\partial T} \over {\partial q_2}} \right) + {\partial \over {\partial q_3}} \left( {{h_1 h_2 } \over {h_3}} {{\partial T} \over {\partial q_3}} \right) \right] \end{align}