9. 비선형미분방정식과 안정성

9.1 위상평면: 선형계

제1장과 제2장에서 우리는 일차자율미분방정식

(1)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = f(y) \end{align}

를 배웠다. 이제 다룰 것은 2차원 일차 선형 동차 연립 미분방정식인데:

(2)
\begin{align} d \vec{x} / dt = \vec{A} \vec{x}, \end{align}

$\vec{A} \in \mathsf{M}_{2 \times 2}, \quad \vec{x} \in \mathsf{M}_{2 \times 1}$.
제7장에서 알아낸 바 $\vec{x} = \vec{\xi} \exp [rt]$를 대입하면

(3)
\begin{align} ( \vec{A} - r \vec{I} ) \vec{\xi} = \vec{0} \end{align}

$r, \vec{\xi}$는 각각 계수행렬 $\vec{A}$의 고유값과 그에 대응하는 고유벡터이다.

(4)
\begin{align} \operatorname{det}(\vec{A} - r \vec{I} ) = 0 \end{align}

이상 방정식의 해가 고유값

일차미방 (1)에서 우변이 0이 되는 점은 평형해에 대응하고 그 점을 임계점(critical points)이라 하듯 연립일차미방 (2)에서 $\vec{A} \vec{x} = \vec{0}$가 되는 점에서 연립미방은 평형해를 갖고 역시 이 점을 임계점이라 한다.
$\vec{A}$는 비특이, 또는 $\operatorname{det}(\vec{A}) \ne 0$이라 가정할 것이므로, $\vec{x} = \vec{0}$ 이 유일한 임계점 조건이 된다.

9.2 자율계와 안정성

9.3 국소적 선형계

정리 9.3.1

이차원 선형계

(5)
\begin{align} \vec{x}' = \vec{A} \vec{x}. \end{align}

에서 평형해 $\vec{x} = \vec{0}$

  1. $r_1, r_2$가 실수이며 음수이거나 실수부가 음수인 복소수이면 점근적으로 안정하다
  2. $r_1, r_2$가 순허수이면 안정하지만 점근적으로 안정하지 않다.
  3. $r_1, r_2$가 실수이며 양수이거나 실수부가 양수인 복소수이면 불안정하다.

작은 요동 효과

(6)
\begin{align} \operatorname{det}( \vec{A} -r \vec{I} ) = 0. \end{align}

비선형계의 선형근사

(7)
\begin{align} \vec{x}' = \vec{f} (\vec{x}) \end{align}

원점을 정류점으로 설정($\vec{f} (\vec{x}^0) = \vec{0}$).

(8)
\begin{align} \vec{x}' = \vec{A} \vec{x} + \vec{g} (\vec{x}) \end{align}

이고 $\vec{x}^0 = \vec{0}$고립(isolated)임계점이라고 상정. 이는 원점을 가운데로 다른 임계점이 존재하지 않는 일정한 범위가 있다는 것을 의미한다.
더하여 $\operatorname(\vec{A}) \ne 0$ 으로 상정하면 선형계 $\vec{x}' = \vec{A} \vec{x}$의 고립임계점도 $\vec{x} = \vec{0}$가 된다.

비선형계 ()가 선형계 $\vec{x}' = \vec{A} \vec{x}$에 근사하려면 $\vec{g} ( \vec{x} )$ 가 작아야 한다. "작다"를 보다 엄밀히 말하면

(9)
\begin{align} \vec{x} \longrightarrow \vec{0} \implies {{ \left\lVert \vec{g} (\vec{x}) \right\rVert } \over { \left\lVert \vec{x} \right\rVert }} \longrightarrow 0 \end{align}

$\lVert \vec{g} \rVert$가 원점 근처에서 $\lVert \vec{x} \rVert$ 보다 작다는 것이다. 이러한 계를 임계점 $\vec{x} = \vec{0}$ 부근의 국소적 선형계(locally linear system) 라고 한다.

이것을 스칼라에 대한 식으로 고쳐보자. 우선 $\vec{x}^T = (x, y), \lVert \vec{x} \rVert = (x^2 + y^2)^{1/2} = r.$이고 $\vec{g}^T ( \vec{x} ) = (g_1 (x, y), g_2 (x, y)), \lVert \vec{g(x)} \rVert = [ {g_1}^2 (x, y) + {g_2}^2 (x, y) ]^{1/2}$. 그럼

(10)
\begin{align} r \longrightarrow 0 \implies \begin{cases} {{g_1 (x, y) } \over {r}} & \longrightarrow 0 \\ {{g_2 (x, y)} \over {r}} & \longrightarrow 0 \end{cases} \end{align}

예제 1

(11)
\begin{align} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}' = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} + {\begin{pmatrix} -x^2 -xy \\ -0.75 xy - 0.25 y^2 \end{pmatrix}} \end{align}

$(0, 0)$은 임계점이고, $\operatorname{det} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}} \ne 0$이다. 다른 임계점들이 $(0, 2), (1, 0), (0.5, 0.5)$임을 보이기는 어렵지 않다.

편의상 극좌표를 도입. $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta.$

(12)
\begin{align} {{g_1 (x, y)} \over {r}} & = {{- x^2 - xy } \over {r}} = {{-r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin \theta \cos \theta } \over {r}} \\ & = - r ( \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta ). \end{align}

$r \longrightarrow 0$일 때 $- r ( \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta ) \longrightarrow 0$.
비슷한 방법으로 $r \longrightarrow 0$일 때 $g_2 (x, y) / r \longrightarrow 0$임을 알 수 있다. 그러므로 이 계는 원점 근처에서 국소적으로 선형이다.

예제 2

예제 3

정리 9.3.2

$r_1, r_2$가 국소선형계에 대응하는 선형계의 고유값이면, 선형계와 국소선형계의 임계점 $(0, 0)$의 유형과 안정성은 다음과 같다.

선형계 국소선형계
$r_1, r_2$ 유형 안정성 유형 안정성
$r_1 > r_2 > 0$ N 불안정 N 불안정
$r_1 < r_2 < 0$ N 점근 안정 N 점근 안정
$r_2 < 0 < r_1$ SP 불안정 SP 불안정
$r_1 = r_2 > 0$ PN 또는 IN 불안정 N 또는 SpP 불안정
$r_1 = r_2 < 0$ PN 또는 IN 점근 안정 N 또는 SpP 점근 안정
$r_1, r_2 = \gamma \pm i \mu$
$\gamma > 0$ SpP 불안정 SpP 불안정
$\gamma < 0$ SpP 점근 안정 SpP 점근 안정
$r_1 = i \mu, r_2 = - i \mu$ C 안정 C 또는 SpP 불특정
비고: N, 마디점; IN, 비고유 마디점; PN, 고유 마디점; SP, 안장점; SpP, 나선점; C, 중심점

9.4 생물종의 경쟁

두 종 $x, y$의 개체수 변화가 서로 무관할 때,

(13)
\begin{align} {{dx} \over {dt}} = x ( \epsilon_1 - \sigma_1 x), \\ {{dy} \over {dt}} = y ( \epsilon_2 - \sigma_2 y). \end{align}

이 두 종을 같이 붙여놓으면 경쟁이 발생할 것이다.

(14)
\begin{align} {{dx} \over {dt}} & = x ( \epsilon_1 - \sigma_1 x) - \alpha_1 xy \\ & = x ( \epsilon_1 - \sigma_1 x - \alpha_1 y ) \\ {{dy} \over {dt}} & = y ( \epsilon_2 - \sigma_2 y) - \alpha_2 xy \\ & = y ( \epsilon_2 - \sigma_2 y - \alpha_2 x) \end{align}

대충 고쳐쓰면

(15)
\begin{align} x' = \alpha ( x, y) x, \quad y' = \beta(x, y) y. \end{align}

두 종이 협력관계인지 경쟁관계인지 알아보려면?

(16)
\begin{align} {{\partial \alpha} \over {\partial y}} \ge 0, \quad {{\partial \beta}\over {\partial x}} \ge 0 & : 협력 \\ {{\partial \alpha} \over {\partial y}} \le 0, \quad {{\partial \beta}\over {\partial x}} \le 0 & : 경쟁 \end{align}

예제 1

(17)
\begin{align} x' = x(1-x-y), \\ y' = y(0.75 - y - 0.5 x) \end{align}

9.5 포식자-피식자 방정식

9.6 랴푸노프 제2방법

9.7 주기해와 한계순환

9.8 혼돈과 기묘한 끌개: 로렌츠 방정식