8. 수치계산법

8.1 오일러법 또는 접선법

초기값 문제가 주어졌다.

(1)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0. \end{align}

함수 $f, f_k$$t-y$ 평면상의 어느 직사각형($\ni (t_0, y_0)$) 안에서 연속이면 정리 2.4.2에 의해 유일한 해 $y = \phi (t)$가 존재한다.

이걸 조금 고쳐 쓰면

(2)
\begin{align} {{d \phi} \over {dt}} (t_n ) = f [ t_n, \phi (t_n ) ]. \end{align}
(3)
\begin{align} {{\phi (t_{n+1} ) - \phi ( t_0 ) } \over { t_{n+1} - t_n }} \approxeq f [ t_n, \phi (t_n ) ]. \end{align}

$\phi ( t_{n+1} ), \phi ( t_n )$을 근사값 $y_{n+1}, y_n$으로 대체하고 정리하면

(4)
\begin{align} y_{n+1} = y_n + f(t_n , y_n ) ( t_{n+1} - t_n ), \quad n = 0, 1, 2, \cdots \end{align}

스텝 사이즈 $t_{n+1} - t_n = h$가 일정하면

(5)
\begin{align} y_{n+1} = y_n + h f_n, \quad n = 0, 1, 2, \cdots \end{align}

식 (4) 또는 (5)를 반복하는 것이 오일러법이다. 그러면 변수 $t_0, t_1, \cdots, t_n$에서의 $\phi (t)$ 값의 근사값인 $y_0, y_1, \cdots, y_n$을 얻는다.

8.2 오일러법의 개선

8.3 룽에-쿠타법

8.4 다단법

8.5 일차연립미분방정식

8.6 오차에 관하여; 안정성