7. 연립일차미분방정식

7.1 서론

7.2 행렬 복습

(1)
\begin{align} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{align}

이런 물건을 $m \times n$ 행렬이라고 한다.

$\mathbf{A} = (a_{ij})$에 대하여

  • 전치행렬(transpose) $\mathbf{A}^T = (a_{ji})$
  • 켤레행렬(conjugate) $\overline{\mathbf{A}} = (\bar{a}_{ij})$
  • 수반행렬(adjoint) $\mathbf{A}^* = {\overline{\mathbf{A}}}^T$

예를 들면

(2)
\begin{align} \mathbf{A} = { \begin{pmatrix} 3 & 2 -i \\ 4 + 3i & -5+2i \end{pmatrix} } & \mathbf{A}^T = { \begin{pmatrix} 3 & 4 + 3i \\ 2-i & -5+2i \end{pmatrix} } \\ \overline{\mathbf{A}} = { \begin{pmatrix} 3 & 2 + i \\ 4 - 3i & -5 -2i \end{pmatrix} } & \mathbf{A}^* = { \begin{pmatrix} 3 & 4 - 3i \\ 2 + i & -5 -2i \end{pmatrix} } \end{align}

행렬의 성질

  1. 동치성: $a_{ij} = b_{ij} \implies \mathbf{A} = \mathbf{B}$
  2. 영행렬: 모든 원소가 0인 행렬 또는 벡터는 $\mathbf{O}, \vec{0}$로 표시
  3. 덧뺄셈: $\mathbf{A} \pm \mathbf{B} = (a_{ij}) \pm (b_{ij}) = ( a_{ij} \pm b_{ij} )$
    • 덧셈에 대하여 교환법칙과 결합법칙 성립.
  4. 상수배: $\alpha \mathbf{A} = \alpha (a_{ij} ) = ( \alpha a_{ij} )$
  5. 성질 3과 4를 합치면 $\alpha ( \mathbf{A} \pm \mathbf{B} ) = \alpha \mathbf{A} \pm \alpha \mathbf{B} \\ (\alpha \pm \beta ) = \alpha \mathbf{A} \pm \beta \mathbf{B}$
  6. 곱셈: $\mathbf{A} \mathbf{B} = \mathbf{C} \\ \implies c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$
    • 결합법칙과 분배법칙은 성립하지만 교환법칙은 성립하지 않음. $\mathbf{A} \mathbf{B} \ne \mathbf{B} \mathbf{A}$
  7. 벡터곱: 벡터를 $1 \times n$ 행렬의 전치행렬로 나타낼 수 있다.
  8. 단위행렬: $\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{A} \mathbf{I} = \mathbf{I} \mathbf{A} = \mathbf{A}$
  9. 역행렬: $\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{I}$
    • 역행렬이 없는 행렬은 특이행렬 또는 비가역행렬이라 한다.
    • $\mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1} \implies b_{ij} = {{ ( -1 )^{i+j} M_{ij} } \over { \operatorname{det} \mathbf{A} } }$
    • $\operatorname{det} \mathbf{A} \ne 0 \iff \exists\ \mathbf{A}^{-1}$

행렬함수

원소가 실변수 $t$에 대한 함수로 나타나는 벡터나 행렬을 생각해야 할 경우가 있다.

(3)
\begin{align} \vec{x} (t) = \begin{pmatrix} x_1 (t) \\ \vdots \\ x_n (t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A} (t) = \begin{pmatrix} a_{11} (t) & \cdots & a_{1n} (t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} (t) & \cdots & a_{mn} (t) \end{pmatrix} \end{align}
(4)
\begin{align} {{d \mathbf{A} } \over {dt}} = \left( {{d a_{ij} } \over {dt}} \right) \end{align}
(5)
\begin{align} \int_a^b \mathbf{A} (t) dt = \left( \int_a^b a_{ij} (t) dt \right) \end{align}

$\mathbf{A}, \mathbf{B}$는 행렬함수이고 $\mathbf{C}$는 상수행렬일 때

(6)
\begin{align} {{d} \over {dt}} ( \mathbf{C} \mathbf{A} ) = \mathbf{C} {{d \mathbf{A} } \over {dt}} \end{align}
(7)
\begin{align} {{d} \over {dt}} ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = {{d \mathbf{A} } \over {dt}} + {{d \mathbf{B} } \over {dt}} \end{align}
(8)
\begin{align} {{d} \over {dt}} ( \mathbf{A} \mathbf{B} ) = \mathbf{A} {{d \mathbf{B}} \over {dt}} + {{d \mathbf{A} } \over {dt} } \mathbf{B} \end{align}

7.3 연립선형대수방정식; 선형독립; 고유값; 고유벡터

연립선형대수방정식

(9)
\begin{align} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n & = b_1, \\ & \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n & = b_n \end{align}

은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(10)
\begin{align} \mathbf{A} \vec{x} = \vec{b} \end{align}

$\vec{b} = 0$이면 이 연립방정식은 동차(homogeneous)이고 $\vec{b} \ne 0$이면 비동차(nonhomogeneous)이다.

(11)
\begin{align} \operatorname{det}(\mathbf{A}) \ne 0 \implies \exists!\ \vec{x} = \mathbf{A}^{-1} \vec{b}. \end{align}

선형종속과 선형독립

$k$개의 벡터의 집합 $\vec{x}^{(1)}, \cdots , \vec{x}^{(k)}$가 있을 때,

(12)
\begin{align} c_1 \vec{x}^{(1)} + \cdots + c_k \vec{x}^{(k)} = \vec{0} \end{align}

을 만족하는 0이 아닌 상수 $c_i$가 하나라도 있으면 이 집합의 벡터들은 선형종속(linearly dependent)이다. 모든 $c_i = 0$이어야 식 (12)가 만족된다면 선형독립(linearly independent)이다.

(13)
\begin{align} \begin{pmatrix} x_{11} c_1 + \cdots + x_{1n} c_n \\ \vdots \\ x_{n1} c_1 + \cdots + x_{nm} c_n \end{pmatrix} = \vec{0} \end{align}

일 때, 또는 벡터를 행렬로 고쳐써서

(14)
\begin{align} \begin{pmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{nm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 & \cdots & c_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_1 & \cdots & c_n \end{pmatrix} = \vec{0} \end{align}
(15)
\begin{align} \mathbf{X} \vec{c} = \vec{0} \end{align}

이 있을 때, $\operatorname{det}(\mathbf{X}) \ne 0$이면 $\vec{c} = \vec{0}$이 유일한 해이다, 즉 $\operatorname{det}(\mathbf{X}) \ne 0 \iff \vec{x}_1, \cdots \vec{x}_n$이 선형독립

고유값과 고유벡터

(16)
\begin{align} \mathbf{A} \vec{x} = \vec{y} \end{align}

는 주어진 벡터 $\vec{x}$를 새로운 벡터 $\vec{y}$로 바꾸는 선형변환(linear transformation) 또는 선형사상(linear mapping)이다.

어떤 선형변환을 한 뒤에도 원래 벡터의 상수배인, 즉 벡터의 방향이 바뀌지 않는 벡터가 존재할 수 있다.

(17)
\begin{align} \mathbf{A} \vec{x} = \vec{y} = \lambda \vec{x} \end{align}
(18)
\begin{align} \mathbf{A} \vec{x} = \lambda \mathbf{I} \vec{x} \end{align}
(19)
\begin{align} (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} ) \vec{x} = \vec{0} \end{align}
(20)
\begin{align} \operatorname{det}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} ) = 0 \end{align}

식 (20)을 행렬 $\mathbf{A}$로 나타내는 선형변환의 특성방정식(characteristic equation)이라 하고, 그 해 $\lambda$$\mathbf{A}$고유값(eigenvalues)이라 한다. 그리고 어떤 고유값을 사용해 얻어낸 벡터 $\lambda \vec{x} = \vec{y}$를 그 행렬의 그 고유값에 대응하는 고유벡터(eigenvectors)라 한다.

예제 4

(21)
\begin{align} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \end{align}

에 대하여 $( \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \vec{x} = \vec{0}$을 만족하는 고유값과 고유벡터를 찾으라.

(22)
\begin{align} {\begin{pmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 4 & -2 - \lambda \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \end{align}

우선 고유값은 다음 방정식의 근과 같다.

(23)
\begin{align} \operatorname{det} \begin{pmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 4 & -2 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \lambda -2 = (\lambda - 2 ) ( \lambda +1 ) = 0 \end{align}

하여 고유값은 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1$

$\lambda_1 = 2$에 대한 고유벡터는 다음 방정식의 해이다.

(24)
\begin{align} {\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} } \end{align}

$x_1 - x_2 = 0, 4 x_1 - 4 x_2 = 0$으로, $x_1 = x_2$이지만 값은 하나로 정해지지 않는다. 하여

(25)
\begin{align} \vec{x}^{(1)} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c \ne 0 \end{align}

근데 $c$가 거슬리니까 그냥 $c = 1$을 대입해서 없애 버리자. 어차피 중요한 건 벡터의 방향이지 크기가 아니다.

(26)
\begin{align} \vec{x}^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}

$\lambda_2 = -1$에 대한 고유벡터는 다음 방정식의 해이다.

(27)
\begin{align} {\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} } \end{align}

$4 x_1 - x_2 = 0$ 이라는 조건을 얻는다. 하여

(28)
\begin{align} \vec{x}${(2)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align}

$n \times n$행렬 $\mathbf{A}$에 대한 특성방정식 (20)은 $\lambda$에 대한 $n$차방정식이며, 집합의 고유값 $\lambda_1, \cdots , \lambda_n$ 중 몇몇은 값이 서로 같을 수도 있다. 어떤 고유값이 $m$번 반복되었을 때 그 고유값의 대수적 중복도(algebraic multiplicity)가 $m$이라고 말한다.
각각의 고유값은 최소 한 개의 고유벡터를 가지고 있으며, 대수적 중복도 $m$인 고유값은 서로 선형독립인 고유벡터 $q$개를 가진다. 이때 $q$를 고유값의 기하적 중복도(geometric multiplicity)라 하며,

(29)
\begin{align} 1 \le q \le m \end{align}

이다. 어떤 고유값의 대수적 중복도가 1이면 단순(simple)하다고 하며, 각 고유값의 기하적 중복도도 1이다.

$\mathbf{A}^* = \mathbf{A}, \quad \mathrm{i.e.} \quad \bar{a}_{ji} = a_{ij}$인 행렬을 자기수반행렬(self-adjoint) 또는 에르미트 행렬(Hermitian)이라고 한다.
자기수반행렬은 $\mathbf{A}^T = \mathbf{A}$를 만족하는 실수대칭행렬(real symmetric)의 일종이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

  1. 모든 고유값이 실수이다.
  2. 선형독립인 고유벡터 $n$개가 항상 존재한다.
  3. $( \vec{x}^{(1)} , \vec{x}^{(2)} ) = 0$. 그러므로 만약 모든 고유값이 단순하다면 대응하는 고유벡터들은 벡터의 직교집합을 형성한다.
  4. 대수중복도가 $m$인 고유값에 대하여, 상호 직교하는 $m$개의 고유벡터들을 선택할 수 있다. 하여 $n$개의 고유벡터들의 총 집합은 항상 직교하며 선형독립이다.

7.4 연립일차선형방정식의 기본 이론

7.5 상수계수 연립동차선형방정식

7.6 복소 고유값

7.7 기본행렬

7.8 중복 고유값

7.9 연립비동차선형방정식