5. 이차미분방정식의 급수해

5.1 멱급수 복습

1. 멱급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0 )^n$가 점 $x$에서 수렴할 조건: 그 $x에 대하여$

(1)
\begin{align} \exists\ \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^m a_n (x - x_0)^n \end{align}

멱급수는 $x=x_0$ 에서 자명히 수렴한다. 모든 $x$에 대하여 수렴할 수도 있고 어떤 $x$에 대해서는 수렴하지 않을 수도 있다.

2. 멱급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0 )^n$이 점 $x$에서 절대수렴할 조건:

(2)
\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \left\lvert a_n (x - x_0 )^n \right\rvert = \sum_{n=0}^\infty \left\lvert a_n \right\rvert \left\lvert x - x_0 \right\rvert^n \end{align}

이 수렴. 다만 역은 성립하지 않는다.

3. 멱급수의 절대수렴 여부를 시험하기 위한 유용한 방법: 비율판정법. $a_n \ne 0$일 때 고정된 $x$ 값에 대하여

(3)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \left\lvert {{a_{n+1} (x - x_0)^{n+1}} \over {a_n (x - x_0)^n}} \right\rvert = \left\lvert x - x_0 \right\rvert \lim_{n \rightarrow \infty} \left\lvert {{a_{n+1}} \over {a_n}} \right\rvert = \left\lvert x - x_0 \right\rvert L, \end{align}

일 때, 멱급수는 $\left\lvert x - x_0 \right\rvert L < 1$ 이면 절대수렴, $\left\lvert x - x_0 \right\rvert L > 1$ 이면 발산, $\left\lvert x - x_0 \right\rvert L = 1$ 이면 불확실.

4. 멱급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0 )^n$$x = x_1$에서 수렴한다면, $\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \left\lvert x_1 - x_0 \right\rvert$에서 절대수렴한다.
$x = x_1$에서 발산한다면, $\left\lvert x - x_0 \right\rvert > \left\lvert x_1 - x_0 \right\rvert$에서 발산한다.

5. 멱급수는 수렴반경(radius of convergence)을 갖는다. 수렴반경은 양수이며 기호는 $\rho$이다. $\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0 )^n$$\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \rho$에서 절대수렴하고 $\left\lvert x - x_0 \right\rvert > \rho$에서 발산한다. $\left\lvert x - x_0 \right\rvert = \rho$일 때는 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다. 구간 $\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \rho$수렴구간(interval of convergence)이라 한다.
대부분의 중요한 멱급수들은 모든 $x$값에 대하여 수렴한다. 이 경우 수렴반경 $\rho$는 무한하고, 수렴구간은 수직선 전체이다.
$\rho = 0$일 때는 수렴구간이 없다고 한다. 모든 멱급수는 음수가 아닌 수렴반경을 가지며, $\rho > 0$일 때는 $x_0$을 중심으로 한 유한하거나 무한한 수렴구간을 갖는다.

급수 $\sum a_n (x - x_0)^n, \sum b_n (x - x_0 )^n$이 각각 $f(x), g(x)$로 수렴하고 $\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \rho, \rho > 0$이라고 상정하자. 그러면

6. 두 급수는 서로 더하거나 뺄 수 있다.

(4)
\begin{align} f(x) \pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n ) (x - x_0 )^n \end{align}

이때 새로운 급수는 최소한 $\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \rho$에서 수렴한다.

7. 두 급수는 서로 곱할 수 있다.

(5)
\begin{align} f(x)g(x) = \left[ \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n \right] \left[ \sum_{n=0}^\infty b_n (x - x_0)^n \right] = \sum_{n=0}^\infty c_n (x - x_0)^n. \end{align}

이때 $c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0$.
새로운 급수는 최소한 $\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \rho$에서 수렴한다.

$g(x) \ne 0$이면 나눌 수도 있다.

(6)
\begin{align} {{f(x)} \over {g(x)}} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x - x_0 )^n. \end{align}
(7)
\begin{align} \sum_{n=0} a_n (x - x_0)^n & = \left[ \sum_{n=0}^\infty d_n (x - x_0)^n \right] \left[ \sum_{n=0}^\infty b_n (x - x_0)^n \right] \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n d_k b_{n-k} \right) (x - x_0 )^n. \end{align}

나눗셈의 경우 새로운 급수의 수렴반경은 원래 수렴반경 $\rho$보다 작다.

8. $\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \rho$에서 함수 $f$는 연속이고 미분가능하다. 또한 도함수를 다음과 같이 계산할 수 있다.

(8)
\begin{align} f' (x) & = a_1 + 2 a_2 (x - x_0) + \cdots + n a_n (x - x_0 )^{n-1} + \cdots \\ & = \sum_{n=1}^\infty n a_n (x - x_0)^{n-1}, \\ f''(x) & = 2 a_2 + 6 a_3 (x - x_0) + \cdots + n (n-1) a_n (x - x_0)^{n-2} + \cdots \\ & = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n (x-x_0 )^{n-2}, \end{align}

도함수들 역시 $\left\lvert x - x_0 \right\rvert < \rho$에서 완전수렴한다.

9.

(9)
\begin{align} a_n = {{f^{(n)} (x_0)} \over {n!}} \end{align}

이 급수를 $x = x_0$ 함수 $f$에 대한 테일러 급수(Taylor series)라 한다.

10. $x_0$를 중심으로 한 어떤 개구간상의 $x$들에 대하여 $\sum a_n (x - x_0 )^n = \sum b_n (x - x_0 )^n$가 성립할 때, $a_n = b_n, \quad n = 0, 1, 2, 3, \cdots$. 특히 $\sum a_n (x - x_0 )^n = 0$일 경우 $a_0 = a_1 = \cdots = a_n = \cdots = 0.$
$x = x_0$에서 테일러 전개를 갖는 수렴반경 $\rho > 0$인 함수

(10)
\begin{align} f(x) = \sum_{n=0}^\infty {{f^{(n)} (x_0)} \over {n!}} ( x - x_0 )^n . \end{align}

$x = x_0$에서 해석적(analytic)이라고 한다.
예컨대 $y = \exp [ x ]$는 모든 정의역에서 해석적이지만 $y = 1/x$$x = 0$을 제외하고 해석적이다.
$f, g$$x_0$에서 모두 해석적이라면 $f \pm g, fg, f/g (g \ne 0)$는 모두 $x_0$에서 해석적이다.

5.2 비특이점 근처에서의 급수해 1부

(11)
\begin{align} P(x) {{d^2 y} \over {dt^2}} +Q(x) {{dy} \over {dt}} + R(x)y = 0 \end{align}

$P, Q, R$이 다항식이고(물론 나중에 다루겠지만 이것은 함수 일반에 대해서도 적용된다), 이 셋이 모두 공유하는 인자 $(x-c)$가 존재하지 않는다고 가정한다.

$x_0 \quad \mathrm{s.t.} \quad P(x_0) \ne 0$비특이점(ordinary point)이라고 한다.
$P$가 연속함수이기에 $P \ne 0$ 인 구간이 존재하고 그 구간에 대하여 방정식 전체를 $P$로 나누면

(12)
\begin{align} y'' + {Q \over P} y' + {R \over P} y= 0 \end{align}

존재와 유일 정리(정리 3.2.1)에 따라 그 구간 안에는 유일한 해가 존재. 이 절과 이후 절들에서 다룰 미방의 해는 이러한 비특이점 근처의 해임.

한편 $P(x_0) = 0$ 인 점 $x_0$특이점(singular point)라 한다. 이 경우 $Q(x_0), R(x_0)$ 중 최소한 하나는 0이 아니다. 이때는 존재와 유일 정리를 적용할 수 없다.

우리는 비특이점 근처에서 다음과 같은 형식의 해를 찾고자 한다.

(13)
\begin{align} y = a_0 + a_1(x - x_0) + \cdots + a_n (x - x_0)^n + \cdots = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n \end{align}

$a_n$을 알아내는 가장 실용적인 방법은 위 식을 본래 미방에 때려박고 $y, y', y''$를 계산해서 얻어내는 것이다.

예제 2: 에어리 방정식

(14)
\begin{align} y'' - xy = 0, \quad - \infty < x < \infty \end{align}
(15)
\begin{align} y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{align}

이라고 가정,

(16)
\begin{align} y'' = \sum_{n=0}^\infty (n+2) (n+1) a_{a+2} x^n. \end{align}

대입하면

(17)
\begin{align} \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n = x \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{a=0}^n a_n x^{n+1}. \end{align}

$n$$n-1$로 바꿔서 다시 쓰면 급수가 $n=0$이 아닌 $n=1$에서부터 시작한다.

(18)
\begin{align} 2 \cdot 1 a_2 \sum_{n=1}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n = \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n. \end{align}

이 식이 어떤 간격의 모든 $x$에 대해 성립해야 하므로 $x$의 급수 계수들은 같아야 한다; 그래서 $0 = a_2 = a_5 = a_8 = \cdots$이고 다음 점화식을 얻는다.

(19)
\begin{align} a_{n-1} = (n+2)(n+1) a_{n+2} \\ a_{n+2} = {{a_{n-1}} \over {(n+2)(n+1)}} \end{align}

$n=1$에서 시작해서 3 간격으로

(20)
\begin{align} a_{n+2} & = {{a_{n-1}} \over {(n+2)(n+1)}} \\ a_3 & = {{ a_0 } \over {3 \cdot 2}} \\ a_6 & = {{a_3 } \over { 6 \cdot 5}} = {{1} \over {6 \cdot 5}} \times {{1 } \over {3 \cdot 2}} a_0 \\ a_9 & = \cdots \\ a_{3n} & = {{a_0} \over {2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdots (3n-1)(3n) }}, \quad n \ge 4 \end{align}

$n=2$에서 시작하여 3간격으로

(21)
\begin{align} a_{n+2} & = {{a_{n-1}} \over {(n+2)(n+1)}} \\ a_4 & = {{ a_1 } \over {3 \cdot 4}} \\ a_7 & = {{a_4 } \over { 6 \cdot 7}} = {{1} \over {6 \cdot 7}} \times {{1 } \over {3 \cdot 4}} a_1 \\ a_{10} & = \cdots \\ a_{3n+1} & = {{a_1} \over {3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdots (3n)(3n+1) }}, \quad n \ge 4 \end{align}

그리하여 일반해는

(22)
\begin{align} y = & a_0 \left[ 1 + {{x^3} \over {2 \cdot 3}} + {{x^6} \over {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 }} + \cdots + {{x^{3n}} \over {2 \cdot 3 \cdots (3n-1)(3n)}} + \cdots \right] \\ & + a_1 \left[ x + {{x^4} \over {3 \cdot 4}} + {{x^7} \over {3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 }} + \cdots + {{x^{3n+1}} \over {3 \cdot 4 \cdots (3n)(3n+1)}} + \cdots \right] \end{align}

괄호 안에 들어간 것들을 각각 $y_1, y_2$로 명명하고, $a_0 = 1, a_1 = 0$$a_0=0, a_1=1$을 한 번씩 대입해 보면 $y_1, y_2$는 각각 방정식의 해가 됨을 알 수 있다.

$y_1$의 초기조건은 $y_1 (0) = 1, y'_1 (0) = 0,$ $y_2$의 초기조건은 $y_2 (0) = 0, y'_2 (0) = 1$
$W [ y_1 , y_2 ] = 1 \ne 0 \implies y_1, y_2$는 기본해집합
그러므로 에어리 방정식의 일반해는

(23)
\begin{align} y= a_0 y_1 (x ) + a_1 y_2(x), \quad - \infty < x < \infty \end{align}

5.3 비특이점 근처에서의 급수해 2부

(24)
\begin{equation} P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0 \end{equation}

$P, Q, R$은 다항식인 미분방정식에서, 미방이 해

(25)
\begin{align} y = \phi (x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0 )^n \end{align}

를 갖고, 이 급수해의 수렴반경은 $\lvert x - x_0 \rvert < \rho, \quad rho > 0.$
이 해를 원래 미방에 대입하면 $a_n$을 얻는다.

급수해를 $m$번 미분하면

(26)
\begin{align} m! a_m = \phi^{(m)}(x_0 ). \end{align}

그런고로 $a_n$을 계산할려면 $n = 1, 2, 3, \cdots$에서 $\phi^{(n)} (x_0)$을 결정해야 한다.

정리 5.3.1

(27)
\begin{equation} P(x) = y'' + Q(x) y + R(x) y = 0 \end{equation}

에서 $x_0$이 특이점이 아닐 때, $p = Q/P, q = R/P$$x_0$에서 해석적이라면, 주어진 미방의 일반해는

(28)
\begin{align} y = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0 )^n = a_0 y_1 (x) + a_1 y_2 (x), \end{align}

이때 $a_0, a_1$은 임의의 수이고, $y_1, y_2$$x_0$에서 해석적인 멱급수해 두 개이다.두 멱급수해는 기본해집합을 구성한다. 각 급수해의 수렴반경은 $p, q$에 대한 급수의 반경과 같거나 크다.

5.4 오일러 방정식; 정칙특이점

오일러 방정식

오일러 방정식: 특이점을 갖는 상대적으로 단순한 미방의 일종

(29)
\begin{align} L[y] = x^2 y'' + \alpha x y' + \beta y = 0, \quad \mathbb{R} \ni \alpha, \beta = \mathrm{const.} \end{align}

이 경우 $P(x) = x^2$이므로 특이점은 $x= 0$ 하나뿐이고 다른 모든 점은 비특이점이다.

x > 0 인 오일러 방정식

우선 $x > 0$에서, $(x^r)' = r x^{r-1}, (x^r)'' = r (r-1) x^{r-2}.$ 그래서 미방의 해가 $y = x^r$ 형태를 하고 있다고 가정하면

(30)
\begin{align} L[x'] & = x^2 (x^r)'' + \alpha x (x^r)' + \beta x^r \\ & = x^2 r (r-1) x^{r-2} + \alpha x (r x^{r-1} ) + \beta x^r \\ & = x^r [ r(r-1) + \alpha r + \beta ]. \end{align}

$r$이 이차방정식

(31)
\begin{align} F(r) = r(r-1) + \alpha r + \beta = 0 \end{align}

의 해라면 $L [ x^r ] = 0, \quad y = x^r$ 이 미방의 해가 된다. 상술한 이차방정식의 해는

(32)
\begin{align} r_1, r_2 = {{-(\alpha -1) \pm \sqrt{(\alpha -1)^2 - 4 \beta} } \over {2}} \end{align}

이고 $F(r) = (r - r_1 ) (r - r_2 ).$

이제 $r_1, r_2$가 서로 다른 실근인지, 중근인지, 서로 다른 복소근인지에 따라 경우를 나누어 생각한다. 오일러 방정식은 제3장의 상수계수 이차선형미방의 $\exp [rx]$$x^r$로 바꾼 것임에 주목.

서로 다른 실근: $r_1 \ne r_2 \in \mathbb{R}, \quad y_1 (x) = x^{r_1}, y_2 (x) = x^{r_2}$
론스키 행렬식

(33)
\begin{equation} W [ x^{r_1} , x^{r_2} ] = (r_2 - r_1) x^{r_1 + r_2 -1} \end{equation}

$r_1 \ne r_2, x>0$이면 0이 되지 않으므로, 오일러 방정식의 일반해는

(34)
\begin{align} y = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_2}, \quad x>0. \end{align}

$r$이 유리수가 아니면 $x^r := \exp \left[ r \ln (x) \right]$

중근: $r_1 = r_2 \in \mathbb{R}, \quad y_1(x) = x^{r_1}$
$y_2$ 는 차수 소거로 구할 수 있지만, 여기서는 의도적으로 다른 방법을 사용한다.
$F(r) = (r - r_1 )^2$ 일 때 $F(r_1) = 0$이고, 또한 $F'(r_1) = 0$이다.

식 (30)을 $r$에 대하여 미분하면

(35)
\begin{align} {{\partial } \over {\partial r}} L [ x^r ] & = {{\partial } \over {\partial r}} [ x^r F(r) ] = {{\partial } \over {\partial r}} [ x^r (r - r_1 )^2 \\ & = (r - r_1 )^2 x^r\ \ln (x) + 2 (r - r_1) x^r \end{align}

그런 한편

(36)
\begin{align} {{\partial} \over {\partial r}} L [ x^r ] = L \left[ {{\partial } \over {\partial r}} x^r \right] = L \left[ x^r \ln (x) \right]. \end{align}

좌변은 $r = r_1$에서 0이다. 그러므로 $L [x^{r_1} \ln (x) ] = 0$이다. 그러므로

(37)
\begin{align} y_2 (x) = x^{r_1} \ln (x), \quad x>0 \end{align}

이제 찾은 $y_1, y_2$로 론스키 행렬식을 구하면

(38)
\begin{align} W [ x^{r_1} , x^{r_1} \ln (x) ] = x^{2 r_1 -1 }. \end{align}

하여 $x^{r_1}, x^{r_1} \ln (x)$$x > 0$에서 기본해집합을 이루며, 오일러 방정식의 일반해는

(39)
\begin{align} y & = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_1} \ln (x) \\ & = [ c_1 + c_2 \ln (x) ] x^{r_1}, \quad x>0. \end{align}

복소근: $r_1, r_2 = \lambda \pm i \mu, \quad \mu \ne 0.$

(40)
\begin{align} x^r = \exp [ r \ln (x) ], \quad x > 0, r \in \mathbb{R} \end{align}

이를 통해 $r$이 복소수일 때 $x^r$정의할 수 있다.

(41)
\begin{align} x^{\lambda + i \mu } = \exp [ ( \lambda + i \mu ) \ln (x) ] & = \exp [ \lambda \ln (x) ] \exp [ i \mu \ln (x) ] = x^\lambda \exp [ i \mu \ln (x) ] \\ & = x^\lambda [ \cos ( \mu \ln (x) ) + i \sin ( \mu \ln (x) ) ], \quad x >0 \end{align}

특성방정식의 해가 복소근인 이차미방을 풀었을 때를 떠올려(정리 3.2.6) $x^{\lambda + i \mu }$의 실수부와 허수부를 각각

(42)
\begin{align} x^\lambda \cos ( \mu \ln (x)) \qquad x^\lambda \sin ( \mu \ln (x) ) \end{align}

으로 취한다. 론스키 행렬식을 계산하면

(43)
\begin{align} W [ x^\lambda \cos ( \mu \ln (x)) , x^\lambda \sin ( \mu \ln (x) ) ] = \mu x^{2 \lambda -1 }. \end{align}

하여 이 해들은 $x>0$에서 기본해집합을 형성하고, 오일러 방정식의 일반해는

(44)
\begin{align} y = c_1 x^\lambda \cos (\mu \ln (x)) + c_2 x^\lambda \sin ( \mu \ln (x)), \quad x>0 \end{align}

x < 0 인 오일러 방정식

다음 변수변형법 사용.

  • $x = - \xi, \quad \xi > 0$
  • $y = u ( \xi )$
(45)
\begin{align} {{dy} \over {dx}} = {{du} \over {d \xi}} {{d \xi } \over {dx}} = - {{du} \over {d \xi}}, \quad {{d^2 y} \over {d x^2}} = {{d} \over {d \xi}} \left( - {{du} \over {d \xi}} \right) {{d \xi } \over { dx}} = {{d^2 u} \over {d \xi^2 }}. \end{align}

그러면 오일러 방정식이 다음과 같이 다시 쓰여진다.

(46)
\begin{align} \xi^2 {{d^2 u} \over {d \xi^2 }} + \alpha \xi {{du} \over {d \xi}} + \beta u = 0, \quad \xi > 0 \end{align}

$x$$\xi$로 바뀐 것만 제외하면 이것은 원래 오일러 방정식과 똑같은 꼴이다. $x > 0$일 때 구했던 실근, 중근, 복소근일 때의 일반해를 여기 적용하면

(47)
\begin{align} u ( \xi ) & = {\begin{cases} c_1 \xi^{r_1} + c_2 \xi^{r_2} \\ (c_1 + c_2 \ln (\xi) ) \xi^{r_1} \\ c_1 \xi^\lambda \cos ( \mu \ln (\xi)) + c_2 \xi^\lambda \sin (\mu \ln (\xi)) \end{cases}} \\ & = {\begin{cases} c_1 (-x)^{r_1} + c_2 (-x)^{r_2} \\ (c_1 + c_2 \ln (-x) ) (-x)^{r_1} \\ c_1 (-x)^\lambda \cos ( \mu \ln (-x)) + c_2 (-x)^\lambda \sin (\mu \ln (-x)) \end{cases}} \end{align}

종합

절대값을 이용해 $x > 0$일 때와 $x < 0$일 때를 때려합쳐 보자. 원점을 제외한 모든 구간에서 오일러 방정식

(48)
\begin{align} x^2 y'' + \alpha x y' + \beta y = 0 \end{align}

의 일반해는

(49)
\begin{align} F(r) = r(r-1) + \alpha r + \beta = 0 \end{align}

의 해 $r_1, r_2$에 의해 정해진다.

(50)
\begin{align} y = {\begin{cases} c_1 {\lvert x \rvert}^{r_1} + c_2 {\lvert x \rvert}^{r_2} & \quad r_1 \ne r_2 \in \mathbb{R} \\ (c_1 + c_2 \ln \lvert x \rvert ) {\lvert x \rvert}^{r_1} & \quad r_1 = r_2 \in \mathbb{R} \\ {\lvert x \rvert}^\lambda \left[ c_1 \cos (\mu \ln {\lvert x \rvert}) + c_2 \sin ( \mu \ln {\lvert x \rvert} ) \right] & \quad r_1, r_2 = \lambda \pm i \mu \end{cases}} \end{align}

(51)
\begin{align} (x - x_0)^2 y'' + \alpha (x - x_0 ) y' + \beta y = 0 \end{align}

의 경우에도 비슷하다. $y = (x - x_0 )^r$로 보거나 $t = x - x_0$으로 치환하면

(52)
\begin{align} y = {\begin{cases} c_1 {\lvert x - x_0 \rvert}^{r_1} + c_2 {\lvert x - x_0 \rvert}^{r_2} & \quad r_1 \ne r_2 \in \mathbb{R} \\ (c_1 + c_2 \ln \lvert x - x_0 \rvert ) {\lvert x - x_0 \rvert}^{r_1} & \quad r_1 = r_2 \in \mathbb{R} \\ {\lvert x - x_0 \rvert}^\lambda \left[ c_1 \cos (\mu \ln {\lvert x - x_0 \rvert}) + c_2 \sin ( \mu \ln {\lvert x - x_0 \rvert} ) \right] & \quad r_1, r_2 = \lambda \pm i \mu \end{cases}} \end{align}

정칙특이점

(53)
\begin{align} P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0 \\ y'' + {{Q(x)} \over {P(x)}} y' + {{R(x)} \over {P(x)}} y = 0 \end{align}

에서 $x_0$이 특이점(i.e. $P(x_0) = 0$)이고 $Q(x_0), R(x_0)$ 중 최소 한 개는 0이 아닐 때,

(54)
\begin{cases} \lim_{x \rightarrow x_0 } (x - x_0 ) {{Q(x) } \over {P(x)}} & = \infty \\ \lim_{x \rightarrow x_0 } (x - x_0 )^2 {{R(x) } \over {P(x)}} & = \infty \end{cases}

가 만족되면, $x_0$정칙특이점(regular singular point)이다. 한편

(55)
\begin{cases} (x - x_0 ) {{Q(x) } \over {P(x)}} & < \infty \\ (x - x_0 )^2 {{R(x) } \over {P(x)}} & < \infty \end{cases}

라면 $x_0$비정칙특이점(irregular singular point)이다.

5.5 정칙특이점 근처에서의 급수해 1부

(56)
\begin{align} P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0 \\ \implies y'' + {{Q } \over {P}} y' + {{R} \over {P}} y = 0 \end{align}

위 식에서 $x=0$이 정칙특이점이라고 가정하면, $xQ/P = xp(x), x^2 R/P = x^2 q$$x \longrightarrow 0$에서 유한하고 $x=0$에서 해석적이다.

(57)
\begin{align} xp(x) = \sum_{n=0}^\infty p_n x^n, \quad x^2 q(x) = \sum_{n=0}^\infty q_n x^n \end{align}
(58)
\begin{equation} x^2 y'' + x [xp (x) ] y' + [ x^2 q(x) ] y = 0 \end{equation}
(59)
\begin{align} x^2 y'' + x \sum_{n=0}^\infty p_n x^n y' + \sum_{n=0}^\infty q_n x^n y = 0 \end{align}

예제 1

(60)
\begin{equation} 2 x^2 y'' - x y'' + (1 + x) y = 0 \end{equation}
(61)
\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot {{-x} \over {2x^2}} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( - {1 \over 2} + 0 - \cdots \right) = - {1 \over 2} \\ \lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cdot {{1 + x} \over {2 x^2}} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( {1 \over 2} + {1 \over 2} x + \cdots \right) = {1 \over 2} \end{align}

$\therefore\ x=0$은 정칙특이점

(62)
\begin{align} \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r}, & \quad (a_0 \ne 0) \\ \sum_{n=0}^\infty (n+r) a_n x^{n+r-1} & \\ \sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1) a_n x^{n+r-2} \end{align}
(63)
\begin{align} \sum_{n=0}^\infty 2 (n+r) (n + r -1) a_n x^{n+r} - \sum_{n=0}^\infty (n+r) a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r+1} = 0 \end{align}
(64)
\begin{align} \left( 2r (r-1) a_0 - r a_0 + a_0 \right) x^r + \sum_{n=1}^\infty \left[ \left\{ 2(n+r)(r+n-1) -(r+n)+1 \right\} a_n + a_{n-1} \right] x^{n+r} = 0 \end{align}
(65)
\begin{align} \left( 2r(r-1) 0r + 1 \right) a_0 = (2r^2 -3r + 1 ) a_0 = (2r - 1) (r -1) = 0 \end{align}

$\implies r = 1, {1 \over 2}$

(66)
\begin{align} a_n = - {{a_{n-1}} \over { \left[ (r + n) -1 \right] \left[ 2 (r + n) -1 \right] }} \quad (n \ge 1) \end{align}

점화식을 얻을 수 있다.

$r = 1$일 때

(67)
\begin{align} a_n = - {{a_{n-1}} \over {n (2n+1)}}. \\ a_1 = - {{a_0} \over {1 \cdot 3}}, \\ a_2 = - {{a_1} \over {2 \cdot 5}} = (-1)^2 {{a_0} \over {1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5}}, \vdots \\ a_n = (-1)^n {{2^n} \over {(2n+1)!}} a_0 \end{align}

수렴반경을 구하기 위해 비율판정법을 하면

(68)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \left\lvert {{ a_{n+1} x^{n+1} } \over {a_n x^n}} \right\rvert = \lim_{n \rightarrow \infty} {{2 \left\lvert x \right\rvert} \over {(2n + 2) ( 2n+3)}} = 0 \quad ^\forall x \end{align}

고로 급수는 모든 $x$에서 수렴한다.

(69)
\begin{align} y_1 (x ) = x \left[ 1 + \sum_{n=1}^\infty {{(-1)^n 2^n} \over {(2n+1)!}} x^n \right], \quad x>0 \end{align}

$r = 1$일 때 (생략)

5.6 정칙특이점 근처에서의 급수해 2부

(70)
\begin{equation} L[y] = x^2 y'' + x [ x p(x) ]y' + x^2 q(x) y = 0 \end{equation}
(71)
\begin{align} x p(x) = \sum_{n=0}^\infty p_n x^n, \quad x^2 q(x) = \sum_{n=0}^\infty q_n x^n \end{align}
(72)
\begin{align} y = x^r \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \quad (a_0 \ne 0) \end{align}
(73)
\begin{align} \sum a_n (r + n ) (r + n-1) x^{r + n} + \sum p_n x^n \cdot \sum a_n (r + n) x^{r+n} + \sum q_n x^n \cdot \sum a_n x^{r + n} = 0 \end{align}
(74)
\begin{equation} F(r) = r(r-1) + p_0 r + q_0 \end{equation}
(75)
\begin{align} a_0 F(1) x^r + [ a_1 F(r+1) + a_0 (p_1 r + q_1) ] x^{r+1} + \cdots \\ \quad = a_0 F(r) x^r + \sum_{n=1}^\infty \left\{ F(r+n) a_n +\sum_{k=0}^{n-1} a_k [ (r + k) p_{n-k} + q_{n-k} ] \right\} x^{r+n} = 0 \end{align}
(76)
\begin{align} a_0 F(r) = 0 \implies F(r) = 0 \end{align}
(77)
\begin{align} F(r+n) a_n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k \left[ (r+k) p_{n-k} + q_{n-k} \right] = 0, \quad n \ge 1. \end{align}
(78)
\begin{align} F(r) = r(r-1) + p_0 r + q_0 = 0 \longrightarrow r_1 \ge r_2 \end{align}
(79)
\begin{cases} y_1 (x) & = x^{r_1} \sum_{n=0}^\infty {a_n}(r_1) x^n \\ y_2 (x) & = x^{r_2} \sum_{n=0}^\infty {a_n}(r_2) x^n \end{cases}

5.7 베셀 방정식

(80)
\begin{align} x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2 ) y = 0, \quad \nu = \mathrm{const.} \end{align}

$x=0$은 정칙특이점

(81)
\begin{align} p_0 & = \lim_{x \rightarrow 0} x {{x} \over {x^2}} = 1, \\ q_0 & = \lim_{x \rightarrow 0} x^2 {{x^2 - \nu^2} \over {x^2}} = - \nu^2 \end{align}
(82)
\begin{align} F(r) = r(r-1) + p_0 r + q_0 = r(r-1) + r - \nu^2 = r^2 - \nu^2 = 0 \end{align}

해는 $r = \pm \nu$이다. $\nu = 0, \nu = 1/2, \nu = 1$의 세 경우를 생각할 수 있다.

영차베셀방정식

영차베셀방정식(Bessel Equation of Order Zero): $\nu = 0$

(83)
\begin{align} L[ x^r \sum a_n x^n (a_0 \ne 0) ] = a_0 [ r (r-1) +1] x^r + a_1 [ (r + 1) r -+ (r+1) ] x^{r+1} \\ \qquad + \sum_{n=2}^\infty \left\{ a_n [(r+n)(r+n-1)+(r+n)] + a_{n-2} \right\} x^{r+n} \end{align}
(84)
\begin{align} a_n = - {{a_{n-2}} \over {(r+n)^2 }}, \quad n \ge 2. \end{align}
(85)
\begin{align} a_1 = 0 = a_3 = a_5 = \cdots \\ a_2m = {{(-1)^m a_0} \over {2^{2m} (m!)^2 }}, \quad m = 1, 2, 3, \cdots \end{align}
(86)
\begin{align} y_1 (x) = a_0 \left[ 1 + \sum_{m=1}^\infty {{(-1)^m x^{2m}} \over {2^{2m} (m!)^2 }} \right] , \quad x > 0. \end{align}

$y_2(x)$를 알기 위해 $a'_n (0)$를 계산해야 한다.

(87)
\begin{align} a_{2m}(r) = - {{- a_{2m-2} (r)} \over {(r + 2m)^2 }}, \quad m = 1, 2, 3, \cdots \end{align}
(88)
\begin{align} a_2(r) = - {{a_0} \over {(r + 2)^2}} , \quad a_4 (r) = {{a_0} \over {(r+2)^2 (r+4)^2}}, \end{align}
(89)
\begin{align} a_{2m}(r) = {{(-1)^m a_0} \over {(r+2)^2 \cdots (r + 2m)^2}}, \quad m \ge 3. \end{align}
(90)
\begin{align} f(x) = (x - \alpha_1)^{\beta_1} (x - \alpha_2)^{\beta_2} (x - \alpha_3)^{\beta_3} \cdots (x - \alpha_n)^{\beta_n} \end{align}

$x \ne \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$이면

(91)
\begin{align} {{f' (x) } \over {f(x)}} = {{ \beta_1 } \over {x - \alpha_1}} + {{\beta_2 } \over {x - \alpha_2}} + \cdots + {{ \beta_n} \over { x - \alpha_n}}. \end{align}
(92)
\begin{align} {{a'_{2m} (r) } \over {a_{2m} (r)}} = -2 \left[ {1 \over {r+2}} + {1 \over {r + 4}} + \cdots + {1 \over {r + 2m}} \right], \end{align}
(93)
\begin{align} a'_{2m}(0) & = -2 \left[ {1 \over 2} + {1 \over 4} + \cdots + {{1} \over {2m}} \right] a_{2m}(0) \\ & = - \left[ 1 + {1 \over 2} + \cdots + {1 \over m} \right] a_{2m} (0) \\ & = - H_m a_{2m} (0) \end{align}
(94)
\begin{align} y_2(x) = J_0 (x) \ln x + \sum_{m=1}^\sum {{(-1)^{m+1} H_m} \over {2^{2m} (m!)^2}} x^{2m}, \quad x > 0. \end{align}
(95)
\begin{align} Y_0 (x) = {2 \over \pi} \left[ \left( \gamma + \ln ({x \over 2}) \right) J_0 (x) + \sum_{m=1}^\infty {{ (-1)^{m+1} H_m } \over { 2^{2m} (m!)^2 }} x^{2m} \right] \end{align}
(96)
\begin{align} x \longrightarrow 0 \quad & J_0 (x) \longrightarrow 1 \quad & Y_0 (x) \approx \ln (x) \end{align}
(97)
\begin{align} x \longrightarrow \infty \quad & x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2 ) y = 0 \\ & y'' + {1 \over x} y' + \left( 1 - {{\nu^2} \over {x^2}} \right) y = 0 \\ & \simeq y'' + y = 0 \end{align}

이분지일차베셀방정식

일차베셀방정식