4. 고차미분방정식

$n$차선형미분방정식의 일반이론

(1)
\begin{align} L[y] = {{d^n y} \over {dt^n}} + p_1 (t) {{d^{n-1} y} \over {d t^{n-1}}} +\cdots + p_n y = G(t) \end{align}

정리 4.1.1

$p_1, p_2, \cdots , p_n$이 구간 $I \ni t_0$에서 연속
$\implies \exists !$ $L[y] = G(t)$의 해 $\mathrm{s.t.} \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = y'_0 , \cdots , y^{(n-1)} (t_0) = y^{n-1}_0$


동차방정식

(2)
\begin{align} L [y] = y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} +\cdots +p_{n-1} y' + p_n y = 0, \end{align}
(3)
\begin{align} 0 = L [y_1 ] = \cdots = L [ y_n ]. \end{align}
(4)
\begin{align} c_1 y_1 + \cdots + c_n y_n & = y_0 \\ c_1 y'_1 + \cdots + c_n y'_n & = y'_0 \\ \vdots \\ c_1 y^{(n-1)}_1 + \cdots + c_n y^{(n-1)}_n & = y^{(n-1)}_0 \end{align}
(5)
\begin{align} {\begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_n \\ y'_1 & \cdots & y'_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ y^{(n-1)}_1 & \cdots & y^{(n-1)}_n \end{bmatrix}}_{t= t_0} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ y^{(n-1)}_0 \end{bmatrix} \end{align}
(6)
\begin{align} \operatorname{det} \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_n \\ y'_1 & \cdots & y'_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ y^{(n-1)}_1 & \cdots & y^{(n-1)}_n \end{bmatrix} = W [y_1 , \cdots , y_2] \end{align}

$W [t_0 ] \ne 0 \iff$ 임의의 $y_0, y'_0, \cdots, y^{(n-1)}_0$ 값에 대하여 방정식 (4)의 해가 존재

$W [ y_1, y_2, \cdots , y_n]$ 은 구간 $I$ 상의 임의의 $t$에서 모두 제로거나 절대 제로가 되지 않는다.

정리 4.1.2

함수 $p_1, p_2, \cdots , p_n$ 들이 개구간 $I$에서 연속일 때,
방정식 (2)의 해가 $y_1, y_2, \cdots , y_n \quad (\mathrm{i.e.} \quad L[ y_j ] = 0 \quad ^\forall j )$ 이고
구간 $I$상의 최소한 한 점에서 $W [ y_1 , \cdots , y_n ] \ne 0$이면,

$\implies$ 방정식 (2)의 모든 해는 $y_1, y_2, \cdots y_n$ 들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.


$k_1 f_1 + \cdots + k_n f_n = 0$이 자명한 해가 있을 때, i.e. $k_1 = \cdots = k_n = 0 \implies \left\{ f_1, \cdots , f_n \right\}$ 이 선형독립
그렇지 않을 때 선형종속.

(7)
\begin{align} k_1 f_1 + \cdots + k_n f_n = 0 \\ k_1 f'_1 + \cdots + k_n f'_n = 0 \\ \vdots \\ k_1 f^{(n-1)}_1 + \cdots + k_n f^{(n-1)}_n = 0 \\ \end{align}
(8)
\begin{align} \mathrm{i.e.} \quad {\begin{bmatrix} f_1 & \cdots & f_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f^{(n-1)}_1 & \cdots & f^{(n-1)}_n \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} k_1 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}} \end{align}
(9)
\begin{align} \exists\ t_0 \quad \mathrm{s.t.} \quad W [ f_1, \cdots , f_n ] (t_0) \ne 0 \end{align}

정리 4.1.3

구간 $I$에서 방정식 (2)의 기본해집합이 $y_1(t), \cdots, y_n(t) \iff y_1(t), \cdots , y_n(t)$가 구간 $I$에서 선형독립


비동차방정식
$y_1, \cdots, y_n$$L[y] = g(t)$의 기본해집합
$c_1 y_1 + \cdots + c_n y_n + Y$

상수계수 동차방정식

(10)
\begin{align} L[y] = a_0 y^n + \cdots + a_n y = 0, \quad a_0, \cdots , a_n: \mathrm{const.} \end{align}
(11)
\begin{align} L [ e^{rt} ] = \exp [rt] \left( a_0 r^n + \cdots + a_n \right) = 0 \end{align}
(12)
\begin{align} Z(r) = a_0 r^n + \cdots + a_n = 0 : \mathrm{특성방정식} \end{align}

$a_0 \ne 0$ 이므로 $Z(r)$$n$차 다항식

(13)
\begin{align} Z(r) = a_0 (r - r_1 ) (r - r_2 ) \cdots ( r - r_n). \end{align}

서로 다른 실근:
특성방정식의 근들이 실근이고 서로 같지 않을 때, 방정식 (10)의 서로 다른 $n$개의 근 $\exp [r_1 t] , \cdots , \exp [r_n t]$ 가 주어진다.
이 함수들이 선형독립이라면 방정식 (10)의 일반해는

(14)
\begin{align} y = c_1 \exp [r_1 t] + \cdots + c_n \exp [ r_n t] \end{align}

$\exp [r_1 t] , \cdots , \exp [r_n t]$의 선형독립 여부를 알기 위해서는 론스키 행렬식을 확인하는 방법이 있다.

복소근:
특성방정식이 복소근을 가지고 있다면, 그 복소근은 서로 켤레관계여야 한다. $r_1 = \lambda + i \mu, \bar{r_1} = \lambda - i \mu.$

(15)
\begin{align} \exp [ (\lambda + i \mu ) t ] = \exp [\lambda t] ( \cos (\mu t) + i \sin (\mu t) ) \end{align}

반복근:
특성방정식의 근들이 구분되지 않을때, i.e. 어떤 근들이 반복될 때, 식 (14)가 식 (10)의 일반해가 될 수 없음은 자명하다.
이차선형방정식 $a_0 y'' + a_1 y' + a_2 y = 0$의 반복근이 $r_1$ 일 때, 선형독립인 두 해는 $\exp [r_1 t], t \exp [r_1 t]$.

미정계수법

(16)
\begin{equation} L[y] = g(t) \end{equation}

변수변형법

(17)
\begin{align} L[y] = y^{(n)} + p_1 y^{(n-1)} + \cdots + p_n y = g(t) \end{align}

$y_1, \cdots , y_n$을 기본해집합이라고 상정

(18)
\begin{align} c_1 y_1 + \cdots + c_n y_n \longrightarrow u_1 y_1 + \cdots + u_n y_n \end{align}
(19)
\begin{align} y & = u_1 y_1 + \cdots + u_n y_n \\ p_{n-1} \times y' & = u_1 y'_1 + \cdots + u_n y'_n + u'_n y_1 + \cdots + u'_n y_n = 0 \\ p_{n-2} \times y'' & = u_1 y''_1 +\cdots + u_n y''_n + u'_1 y'_1 + \cdots + u'_n y'_n =0 \\ \vdots \\ p_1 \times y^{(n-1)} & = u_1 y^{(n-1)}_1 + \cdots + u_n y^{(n-1)}_n + u'_1 y^{(n-2)}_1 + \cdots + u'_n y^{(n-2)}_n = 0 \\ y^{(n)} & = u_1 y^{(n)}_1 + \cdots + u_n y^{(n)}_n + u'_1 y^{(n-1)}_1 + \cdots + u'_n y^{(n-1)}_n = g(t) \end{align}
(20)
\begin{align} {\begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ y^{(n-1)}_1 & \cdots & y^{(n-1)}_n \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} u'_1 \\ \vdots \\ u'_n \end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ g \end{bmatrix}} \end{align}
(21)
\begin{align} u'_1 = {{g W_1} \over {W[y_1 , \cdots , y_n ]}} , \cdots \end{align}

$W_m$$W$의 제$m$열을 열 $(0,0, \cdots , 0,1)$로 대체한 행렬의 행렬식이다.

(22)
\begin{align} u_{m} = \int {{g W_m} \over {W}} \end{align}
(23)
\begin{align} Y(t) = \sum_{m=1}^n y_m (t) \int_{t_0}^{t} {{ g(s) W_m (s) } \over {W(s)}} ds, \end{align}