3. 이차미분방정식

3.1 상수계수 동차방정식

(1)
\begin{align} {{\partial^2 y} \over {dt^2}} = f(t, y, {{dy} \over {dt}}) \end{align}

선형이차방정식의 경우

(2)
\begin{align} \mathrm{e.g.} \quad & P(t) y'' + Q (t) y' + R (t) y = G(t) \end{align}

$G(t) = 0 \quad ^\forall t \implies$ 이 미방은 동차(homogeneous)이다. 그렇지 않은 경우 비동차(nonhomogeneous)이다. 언제나 그래왔듯 비동차가 동차보다 어렵다.

이 절에서는 방정식의 계수를 함수가 아닌 상수로 한정해서 생각한다.

(3)
\begin{align} ay'' + by' + cy = 0, \quad a, b, c = \mathrm{const.} \end{align}

예제 1

(4)
\begin{equation} y'' - y = 0. \end{equation}

이것은 식 (3)에서 $a= 1, b = 0, c = -1$을 대입한 것과 같다.
초기조건은 $y(0) = 2, \quad y'(0) = -1$

짱구를 굴려보면 $y_1 (t) = c_1 e^t, y_2 (t) = c_2 e^{-t}$ 의 형태를 가진 식은 $c_1, c_2$에 무관하게 방정식의 해가 됨을 알 수 있다. 두 형태를 더한 것도 해가 되므로 일반화하면 다음과 같은 선형결합이 된다.

(5)
\begin{equation} y = c_1 y_1 (t) + c_2 y_2 (t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t} \end{equation}

$t = 0, y = 2$를 대입하면

(6)
\begin{equation} c_1 +c_2 = 2. \end{equation}
(7)
\begin{equation} y'' = c_1 e^t - c_2 e^{-t} = e^{-t} \end{equation}

$t = 0, y' = -1$을 대입하면

(8)
\begin{equation} c_1 - c_2 = -1 \end{equation}

연립방정식을 풀면 $c_1 = 1/2, \quad c_2 = 3/2$

(9)
\begin{align} \therefore\ y = {1 \over 2} e^t + {3 \over 2} e^{-t} \end{align}

예제 1을 일반화하면

$y = \exp \left[ rt \right]$, $r$이 구해야 할 변수

(10)
\begin{align} a(e^{rt})'' + v(e^{rt})' + c e^{rt} = 0 \\ ar^2 e^{rt} + br e^{rt} + c e^{rt} = 0 \\ (ar^2 + br + c) e^{rt} = 0 \end{align}
(11)
\begin{align} ar^2 + br + c = 0 \quad (\because\ e^{rt} \ne 0 ) \end{align}

식 (11)을 미분방정식 (3)의 특성방정식(characteristic equation)이라 한다.

3.2 선형동차방정식의 해; 론스키 행렬식

(12)
\begin{align} L [ y ] := {{d^2 y} \over {d t^2}} +g(t) {{dy} \over {dt}} +r(t) y \end{align}
(13)
\begin{align} L [ cy] & = c \left[ {{d^2 y} \over {d t^2}} +g(t) {{dy} \over {dt}} +r(t) y \right] \\ & = c L[y] \end{align}
(14)
\begin{equation} L [ y_1 + y_2 ] = L [y_1] + L [y_2] \end{equation}
(15)
\begin{equation} L [ c_1 y_1 +c_2 y_2 ] = c_1 L[y_1] +c_2 L[y_2] \end{equation}

정리 3.2.1 - 존재와 유일 정리

(16)
\begin{align} y'' + p(t) y' + q(t) y = g(t), \qquad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0)=y'_0 \end{align}

상기 초기값 문제에서 $p, q, g$$t_0$을 포함한 구간 $I$에서 연속이면 $\implies \exists ! y = \phi(t) \in I$

정리 3.2.2 - 중첩원리

(17)
\begin{equation} L[y] = y'' + p(t) y' + q(t)y = 0 \end{equation}

상기 이차선형동차미분방정식의 두 해 $y_1, y_2$가 주어졌을 때, $y_1, y_2$의 선형결합 $c_1 y_1 + c_2 y_2$$c_1, c_2$ 값과 관계없이 미방의 해이다.

(18)
\begin{align} L(y) = 0, \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = y'_0 \end{align}
(19)
\begin{align} & c_1 y_1 (t_0) + c_2 y_2 (t_0) = y_0 \\ & c_1 y'_1 (t_0) +c_2 y'_2 (t_0) = y'_0 \\ \iff & \begin{bmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y'_1(t_0) & y'_2(t_0) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y'_0 \end{bmatrix} \end{align}
(20)
\begin{align} W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}_{t=t_0} \end{align}

위 행렬식 $W$를 해 $y_1, y_2$에 대한 론스키 행렬식(Wronskian)이라고 한다.

정리 3.2.3

(21)
\begin{align} L[y_1] = 0 = L[ y_2 ], \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = y'_0 \implies \exists\ c_1 , c_2 \quad \mathrm{s.t.} \\ c_1 y_1 + c_2 y_2 \quad \mathrm{is\ the\ unique\ solution\ of\ I.V.P} \\ \iff \quad W = y_1 y'_2 - y' _1 y_2 \ne 0 & \mathrm{at}\ t = t_0 \end{align}

정리 3.2.4

$y_1, y_2$: $L[y] = 0$의 해

(22)
\begin{align} \implies & \left\{ y = c_1 y_1 + c_2 y_2 \right\} \ni \mathrm{EVERY\ solutions} \\ & \iff \exists\ t= t_0 \quad \mathrm{where}\ W(t_0) \ne 0 \end{align}

증명

임의의 해 $\phi$ 설정 $\mathrm{i.e.}\ L[\phi] = 0$
$\phi(t_0) = y_0, \quad \phi' (t_0) = y'_0$
$L[y] = 0, \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0)=y'_0$ 초기값 문제
$c_1 y_1 + c_2 y_2$ 가 상기 초기값 문제의 해로 존재하는지 검사

(23)
\begin{align} \begin{cases} c_1 y_1 (t_0) + c_2 y_2 (t_0) = y_0 \\ c_1 y'_1 (t_0) + c_2 y'_2 (t_0) = y'_0 \end{cases} \iff \begin{bmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y'_0 \end{bmatrix} \end{align}

$\phi$도 초기값 문제의 해이고 $c_1 y_1 + c_2 y_2$ 도 초기값 문제의 해
$\implies \phi = c_1 y_1 + c_2 y_2$ (∵ 정리 3.2.1)

이제 역을 증명

$W [y_1, y_2] = 0$ 라고 가정 (귀류법)

(24)
\begin{align} c_1 y_1 (t) + c_2 y_2 (t) = y_0 \\ c_1 y' _1 (t) + c_2 y' _2 (t) = y'_0 \end{align}

위의 두 식이 좌표평면상에서 평행이면 해가 존재하지 않음 — 모순이 될 것이다


$\exists\ t_0 \quad \mathrm{s.t.} \quad W[y_1, y_2] (t_0) \ne 0 \implies$ (일반해의 존재여부를 판단할 수 있는 테스트)

  • $y_1, y_2$: 기본해집합(fundamental set of solution)
  • $c_1 y_1 + c_2 y_2$: 일반해(general solution)

정리 3.2.5

(25)
\begin{align} L[y] = y'' + p y' + q y = 0, \quad p, q: \mathrm{continuous} \end{align}

$I \ne t_0$ 에 대하여 $y_1, y_2 \quad \mathrm{s.t.} \quad \begin{matrix} y_1 (t_0) = 1, & y'_1 (t_0) = 0 \\ y_2 (t_0) = 0, & y'_2 (t_0) = 1 \end{matrix}$
$\implies y_1, y_2$는 상기 미방의 기본해집합

정리 3.2.6

(26)
\begin{equation} y = u(t) + i v(t) \end{equation}

가 선형동차미분방정식의 복소해일 때, 그 실수부 $u$와 허수부 $v$도 각각 같은 미방의 해이다.

정리 3.2.7 - 아벨의 정리

(27)
\begin{align} L[y] = y'' + p y' + q y = 0 \\ L [y_1] = 0 = L[y_2] \end{align}
(28)
\begin{align} y''_1 \qquad & + p y'_1 &+ q y_1 & = 0 \\ y''_2 \qquad & + p y'_2 & + q y_2 & = 0 \\ y_1 y''_2 - y''_1 y_2 & + p(y_1 y'_2 - y'_1 y_2) & & = 0 \end{align}
(29)
\begin{align} W[y_1 , y_2] = \operatorname{det} \begin{bmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} \end{align}
(30)
\begin{align} W[y_1 , y_2]' & = \left( \operatorname{det} \begin{bmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} \right)' \\ & = \operatorname{det} \begin{bmatrix} y'_1 & y'_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} + \operatorname{det} \begin{bmatrix} y_1 & y_2 \\ y''_1 & y''_2 \end{bmatrix} \end{align}
(31)
\begin{align} W = c \exp \left[ \int p(t) dt \right], \quad c \ne 0 \end{align}
(32)
\begin{align} W(t_0) \ne 0 \implies \begin{cases} W \equiv 0 & \mathrm{or} \\ W \ne 0 & ^\forall t \end{cases} \end{align}

3.3 특성방정식의 복소근

(33)
\begin{align} a y'' + b y' + c y = 0, \qquad a, b, c \in \mathbb{R} \end{align}

미방의 해가 $y = \exp [ rt ]$의 꼴이면 $r$은 특성방정식

(34)
\begin{equation} a r^2 + br + c = 0 \end{equation}

의 해가 되어야 함은 3.1절에서 이미 확인했다.

두 해 $r_1, r_2$가 실근이고 서로 다른 근일 때,

(35)
\begin{align} r_1 & = \lambda + i \mu, & (\mu \ne 0, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}) \\ r_2 & = \lambda - i \mu \end{align}
(36)
\begin{align} y_1(t) = \exp [ r_1 t ] = \exp [ ( \lambda + \mu ) t ] & = \exp [ \lambda t ] \exp [ i \mu t ] \\ & = \exp [\lambda t] \left( \cos ( \mu t) + i \sin ( \mu t) \right) \\ & = \exp [\lambda t ] \cos ( \mu t ) + i \exp[ \lambda t] \sin ( \mu t ), \\ y_2(t) = \exp [ r_2 t ] = \exp [ ( \lambda - \mu ) t ] & = \cdots \\ & = \exp [\lambda t] \cos (\mu t) - i \exp [ \lambda t] \sin ( \mu t), \end{align}
(37)
\begin{align} 실근 & u(t) & = \exp [ \lambda t ] \cos ( \mu t) \\ 허근 & v(t) & = \exp [ \lambda t ] \sin ( \mu t) \end{align}
(38)
\begin{align} W(u, v) (t) = \mu \exp [ 2 \lambda t]. \end{align}

$\mu \ne 0$ 이면 $W \ne 0, \implies u, v$는 기본해집합을 형성.

일반해는

(39)
\begin{align} y = c_1 \exp [\lambda t] \cos ( \mu t ) + c_2 \exp [ \lambda t] \sin ( \mu t) \end{align}

3.4 중근; 차수의 소거

(40)
\begin{align} a r^2 + br + c = 0, \\ \end{align}

$b^2 - 4 ac = 0$

$r = {{-b} \over {2a}}$

(41)
\begin{align} \exp [rt] \longrightarrow v(t) \exp [rt], \end{align}
(42)
\begin{align} a \times y & = v(t) \exp [ rt] \\ b \times y' & = v' \exp [ rt] + rv \exp [rt] \\ c \times y'' & = v'' \exp [rt] + r v' \exp [rt] + r v' \exp [rt] + r^2 v \exp [rt] \end{align}

식 (40)에 대입

(43)
\begin{align} & a v'' \exp [rt] + ar v' \exp [rt] + arv' \exp [rt] + ar^2 v \exp [rt] \\ + & b v' \exp [rt] + brv \exp [rt] + c v \exp [rt] = 0 \end{align}
(44)
\begin{equation} a v'' + (2 ar + b) v' + (ar^2 + br + c) v = 0 \end{equation}
(45)
\begin{align} \therefore v'' = 0, \quad v(t) = c_1 +c_2 t \end{align}
(46)
\begin{equation} L[y] = y'' + p y' + qy = 0 \end{equation}
(47)
\begin{align} q \times y & = v y_1 \\ p \times y' & = v' y_1 + v y'_1 \\ y'' & = v'' y_1 + v' y'_1 + v' y'_1 + v y''_1 \end{align}
(48)
\begin{equation} v'' y_1 + 2 v' y'_1 + v y''_1 + v' py_1 + v p y'_1 + q v y_1 = 0 \end{equation}
(49)
\begin{equation} v' y_1 + (2 y'_1 + py_1 ) v' + (y''_1 + p y'_1 q y_1 )v = 0 \end{equation}
(50)
\begin{align} v' = u, \quad y_1 u' + ( 2 y'_1 + py_1 ) u = 0 \end{align}

결과: 이차미분방정식이 일차미분방정식으로 차수가 깎였다.

3.5 비동차방정식; 미정계수법

(51)
\begin{equation} L [y] = y'' + p y' + q y = g(t) \end{equation}

정리 3.5.1

(52)
\begin{align} L [ Y_1] = g(t) = L[Y_2] \implies L [Y_1 - Y_2 ] = 0 \end{align}

(∵ $L$이 선형)

정리 3.5.2

비동차미방의 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(53)
\begin{align} \phi(t) = c_1 y_1 (t) + c_2 y_2 (t) + Y(t), \end{align}

이때 $y_1, y_2$는 대응하는 동차방정식의 기본해집합이고 $Y$는 비동차방정식의 어떤 특수해

증명

$L [\phi - Y] = 0$ by 정리 3.5.1
$\implies \phi - Y$ 가 동차방정식의 해가 된다.

(54)
\begin{align} \therefore\ \phi - Y = c_1 y_1 + c_2 y_2 \end{align}

미정계수법(method of undertermined coefficients)
비동차미방에서 초등함수(다항식, 삼각함수, 지수함수)인 우항의 형태를 유지하고 거기 곱해지는 계수를 구하는 것. 좌항의 계수들이 상수일 때 유용하고 함수일 때는 효율이 좋지 않다.

예제 1

(55)
\begin{align} y'' - 3 y' - 4y = 3 \exp [2t] \end{align}
(56)
\begin{align} Y(t) = A \exp [2t], \end{align}
(57)
\begin{align} Y'(t) = 2A \exp [2t], \quad Y''(t) = 4A \exp [2t] \end{align}
(58)
\begin{align} 4A \exp [2t] - 6A \exp [2t] - 4A \exp [2t] = 3 \exp [2t] \end{align}
(59)
\begin{align} -6A \exp [2t] = 3 \exp [2t], \quad A = - {1 \over 2} \end{align}

예제 5

(60)
\begin{align} y'' - 3 y' - 4y = 2 \exp [-t] \end{align}
(61)
\begin{align} Y(t) = A \exp [-t], \end{align}
(62)
\begin{align} Y'(t) = -A \exp [-t], \quad Y''(t) = A \exp [-t], \end{align}
(63)
\begin{align} A \exp [-t] + 3 A \exp [-t] - 4 A \exp [-t] = 2 \exp [-t] \end{align}
(64)
\begin{align} 0 = 2 \exp [-t], \longleftarrow ??? \end{align}

(65)
\begin{align} y' + y = 2 \exp [-t]. \end{align}

$\exp [-t]$ 는 동차방정식 $y' + y = 0$ 의 해이기 때문에 미정계수법이 실패할 것이다.

(66)
\begin{align} \mu y' + \mu y = 2 \mu \exp [-t] \end{align}
(67)
\begin{align} [ \mu y ]' = \mu y' +\mu' y, \quad & \mu = \mu' \\ & \mu = \exp [t] \end{align}
(68)
\begin{align} \therefore\ y(t) & = \exp [-t] (2t +c) \\ & = c \exp [-t] + 2 t \exp [-t] \end{align}

이것은 동차방정식 $y' + y = 0$의 일반해. $\exp [-t]$에 인자 $t$를 곱해보면

(69)
\begin{align} Y(t) = A t \exp [-t], \end{align}
(70)
\begin{align} Y'(t) = A \exp [-t] - At \exp [-t] , \quad Y''(t) = -2 \exp [-t] + A t \exp [-t] \end{align}
(71)
\begin{align} (-2A -3A) \exp [-t] + (A + 3A - 4A) t \exp [-t] = 2 \exp [-t] \end{align}
(72)
\begin{align} -5A \exp [-t] = 2 \exp [-t], \quad A = -2/5 \end{align}
(73)
\begin{align} \therefore\ Y(t) = -{2 \over 5} t \exp [-t] \end{align}

미정계수법의 증명

$g(t) = P_n(t) = a_0 t^n + a_1 t^{n-1} + \cdots + a_n$ 의 형태일 때

(74)
\begin{align} Y(t) = A_0 t^n + A_1 t^{n-1} + \cdots + A_n \end{align}
(75)
\begin{align} Y'(t) = n A_0 t^{n-1} + (n-1) A_1 t^{n-2} + \cdots + A_{n-1} \end{align}
(76)
\begin{align} Y''(t) = n(n-1) A_0 t^{n-2} + (n-1)(n-2) A_1 t^{n-3} + \cdots + A_{n-2} \end{align}
(77)
\begin{align} a & [ n(n-1) A_0 t^{n-2} + (n-1)(n-2) A_1 t^{n-3} + \cdots + A_{n-2} ] + \\ & \quad b [ n A_0 t^{n-1} + (n-1) A_1 t^{n-2} + \cdots + A_{n-1} ] + \\ & \quad c [ A_0 t^n + A_1 t^{n-1} + \cdots + A_n ] \\ = & a_0 t^n + a_1 t^{n-1} + \cdots + a_n. \end{align}
(78)
\begin{align} c A_0 & = a_0, \\ c A_1 + nb A_0 & = a_1, \\ \vdots \\ c A_n + b A_{n-1} + 2a A_{n-2} & = a_n. \end{align}

$g(t) = \exp [\alpha t] P_n (t)$의 형태일 때

(79)
\begin{align} Y(t) = \exp [ \alpha t] u(t); \end{align}
(80)
\begin{align} Y'(t) = \exp [\alpha t] \times [ u'(t) + \alpha u(t) ], \quad Y''(t) = \exp [\alpha t] \times [ u''(t) + 2 \alpha u'(t) + \alpha^2 u(t) ]. \end{align}
(81)
\begin{align} au''(t) + )2 a \alpha + b) u'(t) + (a \alpha^2 + b \alpha + c) u(t) = P_n (t) \end{align}
(82)
\begin{align} Y(t) = \exp [ \alpha t ] \times (A_0 t^n + A_1 A^{n-1} +\cdots + A_n) \end{align}

3.6 변수의 변형

(83)
\begin{align} L [y] = 0 \longrightarrow y_1, y_2 : \mathrm{기본해집합} \end{align}
(84)
\begin{align} c_1 y_1 + c_2 y_2 \longrightarrow & u_1 y_1 + u_2 y_2 = Y \\ & u'_1 y_1 + u_1 y'_1 + u'_2 y_2 + u_2 y'_2 = u_1 y'_1 + u_2 y'_2 \end{align}
(85)
\begin{equation} u'_1 y_1 + u'_2 y_2 = 0 \end{equation}
(86)
\begin{cases} u'_1 y_1 + u'_2 y_2 = 0 \\ u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 = g(t) \end{cases}
(87)
\begin{bmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u'_1 \\ u'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ g \end{bmatrix}
(88)
\begin{align} u'_ = {{-g y_2} \over {W[y_1, y_2]}}, & u'_2 {{g y_1 } \over {W [y_1, y_2 ]}} \\ u_1 = - \int {{g y_2 } \over {W}}, & u_2 = \int {{g y_1} \over {W}} \end{align}