2. 일차미분방정식

2.1 적분인자법

(1)
\begin{align} {{dy} \over {dx}} = f(x, y) \end{align}
(2)
\begin{align} \dot{y} & + ay + b = 0 \\ \dot{y} & = -ay -b = f(x,y) = f(y) \\ & \mathrm{where} \quad a, b = \mathrm{const.} \end{align}
(3)
\begin{equation} y' + p(t) y = g(t) \end{equation}
(4)
\begin{align} P(t) y' + Q(t) y + R(t) = 0, & \quad P(t) \ne 0, \\ y' + {Q \over P}y + {R \over P} = 0 \end{align}

예제 1.

(5)
\begin{align} (4 +t^2) {{dy} \over {dt}} +2ty = 4t \end{align}
(6)
\begin{align} {{d} \over {dt}} \left[ (4 + t^2) y \right] = 4t \end{align}

예제 2.

(7)
\begin{align} y' + {1 \over 2} y = {1 \over 2} \exp \left[ {t \over 3} \right], \qquad y(0) = 1 \end{align}
(8)
\begin{align} \mu y' +{1 \over 2} \mu y = {1 \over 2} \mu \exp \left[ {t \over 3} \right] \end{align}
(9)
\begin{align} {{d} \over {dt}} \left[ \mu \right] = \mu y' +\mu' y, \end{align}
(10)
\begin{align} \mu' = {1 \over 2} \mu \end{align}
(11)
\begin{align} \mu(t) = c \cdot \exp \left[ {1 \over 2} t \right] \end{align}
(12)
\begin{align} c \cdot \exp \left[ {t \over 2} \right] y = \int {1 \over 2} c \cdot \exp \left[ {t \over 2} \right] \exp \left[ {t \over 3} \right] dt \end{align}
(13)
\begin{align} \exp \left[ {t \over 2} \right] y = \int {1 \over 2} \exp \left[ {t \over 2} \right] \exp \left[ {t \over 3} \right] dt \end{align}
(14)
\begin{align} y = \exp \left[ - {t \over 2} \right] \left[ {3 \over 5} \exp \left[ {5 \over 6} t \right] + c \right] \end{align}
(15)
\begin{align} y = {3 \over 5} \exp \left[ {t \over 3} \right] +c \cdot \exp \left[ - {t \over 2} \right] \end{align}

예제 2의 일반화:

(16)
\begin{equation} y' + p(t) y = g(t) \end{equation}
(17)
\begin{align} \mu y' + \mu p y = \mu g \\ = {{d} \over {dt}} \left[ \mu y \right] = \mu y' + \mu' y \end{align}
(18)
\begin{align} \mu' = \mu p \implies {{d \mu } \over \mu} = p dt \end{align}
(19)
\begin{align} \ln \mu = \int p dt + C \end{align}
(20)
\begin{align} \therefore\ \mu(t) = \exp \left[ \int p dt \right], \qquad (c = 1) \end{align}
(21)
\begin{align} \mu y = \int \mu g dt + C \end{align}
(22)
\begin{align} y(t) = {1 \over \mu} \left[ \int \mu g dt + C \right]. \end{align}

이때 $\mu \ne 0$ 인지 확인할 것

초기값이 주어질 때,

(23)
\begin{align} \mu(t) = \exp \left[ \int_{t_0}^t p dt \right], \qquad \mu(t_0) = 1 \end{align}
(24)
\begin{align} y(t) = {1 \over {\mu (t)}} \left[ \int_{t_0}^t \mu g dt + C \right] \end{align}
(25)
\begin{align} y(t_0) = {1 \over {\mu (t_0)}} \left[ \int_{t_0}^{t_0} \mu g dt + C \right], \therefore\ C = y(t_0) = y_0 \end{align}

이때 $p(t), g(t)$가 적분가능함수인지 확인할 것


2.2 분리가능방정식

예제 1

(26)
\begin{align} {{dy} \over {dx}} = {{x^2} \over {1 - y^2}} \end{align}
(27)
\begin{equation} (1- y^2) dy = x^2 dx \end{equation}
(28)
\begin{align} \int (1- y^2) dy = \int x^2 dx + C \end{align}

일반화:

(29)
\begin{align} M(x, y) + N(x, y) {{dy} \over {dx}} = 0 \end{align}

상기 미분방정식은 다음 꼴일 때 분리가능(seperable)하다.

(30)
\begin{align} & M(x) + N(y) {{dy} \over {dx}} = 0 \\ \iff & M(x) dx + M(y) dy = 0 \end{align}
(31)
\begin{align} {{d} \over {dx}} H_1(t) + {{d H_2 (y)} \over {dy}} {{dy} \over {dx}} \end{align}
(32)
\begin{align} {{d} \over {dx}} \left[ H_1 (x) + H_2 (y) \right] = 0 \end{align}
(33)
\begin{align} H_1 (x)+ H_2 (y) = \mathrm{const.} = H_1(x_0) + H_2(y_0) \end{align}
(34)
\begin{align} \left( H_1 (x) - H_1 (x_0) \right) + \left( H_2 (y) - H_2 (y_0) \right) = 0 \end{align}
(35)
\begin{align} \int_{x_0}^x {{d H_1 (x)} \over {dx}} dx + \int_{y_0}^y {{d H_2(y)} \over {dy}} dy = 0 \end{align}
(36)
\begin{align} \int_{x_0}^x M(x) dx + \int_{y_0}^y N(y) dy = 0 \end{align}

2.3 일차미방을 이용한 모형화

예제 2

은행에 맥겨놓은 돈의 이자율 $r$, 잔고 변화율 $dS / dt$

(37)
\begin{align} {{dS} \over {dt}} = rS, \quad S(0) = S_0 \end{align}
(38)
\begin{align} S(t) = S_0 \exp [ rt]. \end{align}
(39)
\begin{equation} S(t) = S_0 (1 + r)^t \end{equation}

이자가 1년에 두 번, 즉 반년에 한번 계산된다면 6개월째의 $S_0 [1 + (r/2) ]$, 1년째의 이자율은 $S_0 [1 + (r/2) ]^2$. 고로 $t$년 동안 가질 돈은

(40)
\begin{align} S(t) = S_0 \left( 1 + {r \over 2} \right)^{2t} \end{align}

일반화하여 1년에 $m$번 이자가 계산될 때 $t$년 동안 가질 돈은

(41)
\begin{align} S(t) = S_0 \left( 1 + {r \over m} \right)^{2t} \end{align}

상기 예시는 처음 입금을 한 뒤 내버려뒀을 때의 경우이고, 실제로 그런 일은 거의 일어나지 않는다. 이자가 붙는 한편 동시에 매달 $k$만큼 적금을 부을 경우

(42)
\begin{align} {{dS} \over {dt}} &= rS + k \\ & r \left( S + {k \over r} \right) \end{align}
(43)
\begin{align} {{ds} \over {S + k/r}} = rdt \end{align}
(44)
\begin{align} S(t) = c \exp [rt] - {k \over r} \end{align}
(45)
\begin{align} S(t) = S_0 \exp [rt] + {k \over r} \left( exp[rt] - 1 \right). \end{align}

2.4 선형방정식과 비선형방정식의 차이

정리 2.4.1

(46)
\begin{equation} y' +p(t) y = g(t) \end{equation}

($p, q$$I=(\alpha, \beta)$ 범위에서 연속)
꼴을 갖는 일차선형미방은 항상 해 $y = \phi(t)$를 갖는다.
그리고 초기조건이 주어지면 그 해는 유일하다.

정리 2.4.2

(47)
\begin{align} y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0 \end{align}

($f, {{\partial f} \over {\partial y}}$는 어떤 직사각형 $R \ni (t_0 , y_0)$ 범위에서 연속)
($R: \alpha < t < \beta, \gamma < y < \delta \subset ( \alpha, \beta )$)

꼴을 갖는 비선형 미방은 범위 $t_0 - h < t < t_0 +h$에서 해 $y = \phi(t)$를 갖는다.
그리고 초기조건이 주어지면 그 해는 유일하다.
이 해는 직사각형 $R$ 안에서만 유효하며, 그 밖에서는 유효할지 어떨지 알 수 없다.


예제 4

(48)
\begin{align} y' = y^2, \qquad y(0) = 1, \end{align}
(49)
\begin{align} y & = - {1 \over {t + C}}, \\ y_0 & = - {1 \over C} \end{align}

초기조건을 만족하는 $C$ 값은 $C = -1$

(50)
\begin{align} \therefore\ y = {1 \over {1 - t}} \end{align}

일차미방의 초기값 문제는 선형인지 비선형인지 관계없이 어떤 구간에서 해를 갖는다.

  • 선형미방에서는 일반해를 구하고 초기값을 대입하면 모든 특수해를 구할 수 있지만, 비선형미방에서는 그것이 성립하지 않는다.
    • 선형미방은 공식이 존재할 수 있지만 비선형미방은 그렇지 않다.
  • 해가 존재할 구간을 선형미방에서는 원래 미방만 보고도 알 수 있지만 비선형미방은 그렇지 않다.
  • 비선형미방은 국소적이지만 조건을 만족하는 범위 안에 해가 존재한다.

2.5 자려방정식과 인구역학

독립변수가 없는 미방을 자려방정식(Autonomous Equations)이라고 한다. 자려방정식은 다음과 같은 꼴을 갖는다.

(51)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = f(y). \end{align}

주어진 시간 $t$의 인구수 $y = \phi(t)$ 를 설정. $y$의 변화율이 현재의 $y$값에 대하여 지수적이라고 가정한다.

(52)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = ry, \qquad y(0) = y_0 \end{align}
(53)
\begin{align} y(t) = y_0 \exp [ rt ] \end{align}

상수 $r$을 함수 $h$로 대체

(54)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = h(y) y, \end{align}

$y$가 작을 때 $h \approxeq r > 0$이고,
$y$가 늘어나면 $h$는 줄어들고,
$y$가 충분히 크면 $h < 0$ 인 함수 $h$가 필요하다.

(55)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} & = (r - ay) y \\ & = \left( 1 - {y \over K} \right) y = f(y), \quad \mathrm{where}\ K = {r \over a} \end{align}
figure-2-5-2.png

$f(y)$$y=K/2$에서 최대이고 $f(y=K)=0$

이계도함수는

(56)
\begin{align} {{d^2 y} \over {d t^2}} = {d \over {dt}} {{dy} \over {dt}} = {{d} \over {dt}} f(y) = f'(y) {{dy} \over {dt}} = f'(y) f(y) \end{align}

구간 $(0, K/2), (K/2, K), (K, \infty)$에서 이계도함수의 부호를 살핌으로써 방향장을 그려볼 수 있다.

figure-2-5-3.png
  • 독립변수 $t$를 제거해 버리면, 독립변수가 없는 위상공간(phase space)이 된다.
    • 이 경우 남은 $y$ 축을 위상직선(phase line)이라 할 수 있다.
  • 도함수 $dy / dt = f(y) = 0$이 되는 점, 이 경우에는 $y=0, K$평형점(equilibrium)이라고 한다.
    • 해들이 멀어지는 평형점을 불안정 평형점(unstable equilibrium),
    • 해들이 모여드는 평형점을 안정 평형점(stable equilibrium)이라 한다.
    • 이 경우 $y=0$은 불안정하고 $y=K$는 안정하다.

2.6 완전방정식과 적분인수

(57)
\begin{align} M(x) + N(y) {{dy} \over {dx}} = 0 \end{align}

위와 같은 형태의 미방을 완전미분방정식(exact differential equation)이라 한다.

(58)
\begin{equation} M dx + N dy = 0 \end{equation}
(59)
\begin{align} \implies M + N y' & = {{\partial \psi } \over {\psi x}} + {{\partial \psi } \over {\partial y}} {{dy} \over {dx}} \\ & = {{\partial \psi} \over {\partial x}} (x, y(x)) + {{\partial \psi} \over {\partial y}} (x, y(x)) {{dy} \over {dx}} \\ & = {{d} \over {dx}} \psi (x, y(x)) = 0 \\ & \qquad \psi (x, y(x)) = \mathrm{const.} \end{align}

정리 2.6.1

(60)
\begin{align} \exists\ \psi (x, y) \quad \mathrm{s.t.} \quad {{\partial \psi} \over {\partial x}} = M, {{\partial \psi} \over {\partial y}} = N \iff {{\partial M} \over {\partial y}} = {{\partial N } \over {\partial x}} \end{align}

예제 2

(61)
\begin{align} (y \cos x + 2 x e^y ) + (\sin x + x^2 e^y - 1) y' = 0 \end{align}
(62)
\begin{align} M_y (x, y) & = {{\partial M} \over {\partial y}} = \cos x + 2 x e^y \\ N_x (x, y) & = {{\partial N} \over {\partial y}} = \cos x + 2 x e^y = M_y (x, y). \end{align}
(63)
\begin{align} \psi_x (x, y) & = y \cos x + 2 x e^y, \\ \psi_y (x, y) & = \sin x + x^2 e^y -1. \end{align}

매번 이렇게 $M, N$이 잘 나오면 좋겠지만 물론 그렇지 않다.
그래서 적분인수를 사용

(64)
\begin{align} M(x, y) +N(x, y) {{dy } \over {dx}} = 0 \end{align}
(65)
\begin{align} \mu M + \mu N {{dy } \over {dx}} = 0 \end{align}
(66)
\begin{align} {{\partial (\mu M) } \over {\partial y}} = {{\partial ( \mu N) } \over {\partial x}} \end{align}
(67)
\begin{align} \mu_y M + \mu M_y = \mu_x N + \mu N_x \end{align}
(68)
\begin{align} \mu_y M - \mu_x N + \mu ( M_y - N_x ) = 0 \end{align}

적분인수 $\mu$$x$에만 종속되도록 $M, N$의 조건을 정한다. $\mu_y = 0 \quad ( \mu_x = 0)$

(69)
\begin{align} \mu ( M_y - N_x) = N {{d \mu } \over {dx}} \end{align}

2.7 수치적 게산

2.8 존재와 유일 정리

정리 2.8.1

(70)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = f(t, y), \qquad y(t_0 )= y_0 \end{align}

$f, {{\partial f} \over {\partial y}}$$R: \lvert t \rvert \le a, \lvert y \rvert \le b$ 에서 연속이면

(71)
\begin{align} \implies \exists ! y = \phi (t) \in ( \lvert t \rvert \le h \le a) \end{align}

(72)
\begin{align} y = \phi (t) = \int_{0}^t f [ s, \phi (s) ] ds \end{align}

가장 간단한 초기조건 $\phi(0) = 0$을 선택. 상기 방정식은 알 수 없는 함수 $\phi$에 대한 적분방정식(integral equation)

(73)
\begin{align} \phi_0 (t) & = 0; \\ \phi_1 (t) & = \int_0^t f[s, \phi_0 (s) ] ds , \\ \phi_2 (t) & = \int_0^t f[s, \phi_1 (s) ] dx, \\ & \cdots \\ \phi_{n+1}(t) & = \int_0^t f [ s , \phi_n (s) ] ds. \end{align}
(74)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \phi_{n+1} (t) = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^t f [ s, \phi_n (s) ] ds \end{align}

예제 1

(75)
\begin{align} y' = 2t(1 + y), \quad y(0) = 0 \end{align}
(76)
\begin{align} \phi(t) = \int_0^t 2s [ 1 + \phi(s) ] ds \end{align}

초기조건 $\phi_0 (t) = 0$,

(77)
\begin{align} \phi_1 (t) = \int_0^t 2s ds = \left. s^2 \right\rvert_0^t t^2 \end{align}
(78)
\begin{align} \phi_2 (t) = \int_0^t 2s (1 + s^2 ) ds = \left. s^2 +{1 \over 2} s^4 \right\rvert_0^t = t^2 + {{t^4} \over {2}} \end{align}

이 지랄을 반복하면

(79)
\begin{align} \phi_n (t) = t^2 +{{t^4} \over {2!}} + {{t^6} \over {3!}} + \cdots + {{t^{2n}} \over {n!}} \end{align}
(80)
\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \phi_n (t) & = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k=1}^\infty {{(t^2)^k} \over {k!}} \right) \\ &= \sum_{k=0}^\infty {{(t^2)^k} \over {k!}} -1 = \exp \left[ t^2 \right] -1 \end{align}

하여 존재는 증명, 다음은 유일을 증명할 차례

(81)
\begin{align} \phi \quad \mathrm{s.t.} & \phi (t) = \int_0^t f [s, \phi(s) ] ds,\\ & \psi (t) = \int_0^t f [s, \psi(s) ] ds, \end{align}

$\psi$의 존재를 가정

(82)
\begin{align} (\phi - \psi)(t) = \int_0^t f [s, \phi(s) ] - f [s, \psi(s) ] ds \end{align}
(83)
\begin{align} \left\lvert \phi - \psi \right\rvert \le \int_0^t \left\lvert f [s, \phi(s) ] - f [s, \psi(s) ] \right\rvert ds \end{align}

$0 < t < A$ 로 바운드 지정,

(84)
\begin{align} \left\lvert \phi - \psi \right\rvert & \le \int_0^t A \left\lvert \phi - \psi \right\rvert ds \\ & = A \int_0^t \left\lvert \phi - \psi \right\rvert ds \end{align}
(85)
\begin{align} U'(t) \le A U(t), \\ U' - AU = 0 \end{align}
(86)
\begin{align} \left( \mu U \right)' = \mu' U + \mu U' = \mu U' - \mu AU \end{align}
(87)
\begin{align} \mu' = - \mu A, \\ \mu = \exp \left[ - At \right] \end{align}
(88)
\begin{align} e^{-At} U' - A e^{-At} U \le 0 \end{align}
(89)
\begin{align} \left[ e^{- At} U \right]' \le 0 \end{align}
(90)
\begin{align} e^{-AT} U \le \int 0 dt = 0, \quad U(t) \le 0 \\ U(t) = \left\lvert \phi - \psi \right\rvert \ge 0 \\ \therefore\ 0 \le U(t) \le 0 \implies U(t) = 0 \end{align}
(91)
\begin{align} U(t) = \left\lvert \phi - \psi \right\rvert = 0, \quad \therefore\ \phi = \psi \\ \end{align}

2.9 일차미분방정식