1. 서론

1.1 수학적 모형; 방향장

미분방정식(differential equation): 미분을 포함하고 있는 방정식

  • 미분방정식을 세우는 이유: 어떤 물리적 과정의 수학적 모형(mathematical model)을 세우기 위함이다.

방향장(direction field): 일차미분방정식의 해를 좌표평면에 대충 나타낸 것

  • 미분방정식 자체에서 직접 얻을 수 있는 정보
  • 방향장에서 시간과 무관하게 같은 속도값이 나왔을 때: 평형해(equilibrium solution)
(1)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = f(t,y), \end{align}

라는 미방이 주어졌을 때, $f$는 변수 $t, y$에 대한 함수이며, 이를 비율함수(rate function)이라 한다.

어떤 지역에 쥐들이 사는데 그 개체수를 $p$라 하면, 천적이 없을 때 쥐의 개체수는 현재 개체수에 비례하여 늘어난다.

(2)
\begin{align} {{dp } \over {dt}} = rp, \end{align}

비례인수 $r$비율상수(rate constant) 또는 성장률(growth rate)라 한다. 이 지역에 올빼미 몇 마리가 살고 있다손 치면

(3)
\begin{align} {{dp} \over {dt}} = rp - k, \end{align}

$k$는 포식률(predation rate)이고, 이때 평형해는 $p(t) = k/r$.

1.2 미분방정식의 해

(4)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = ay - b. \end{align}

라는 미방이 주어졌다.

(5)
\begin{align} {{dy} \over {dt}} = a \left( y - \left. {{b} \over {a}} \right. \right) \end{align}
(6)
\begin{align} {{dy} \over {y - \left. {{b} \over {a}} \right. }} = a\ dt \end{align}
(7)
\begin{align} \int {{dy} \over {y - \left. {{b} \over {a}} \right. }} = \int a\ dt \end{align}
(8)
\begin{align} \ln \left\lvert y - {b \over a} \right\rvert = at + C \end{align}
(9)
\begin{align} \left\lvert y - {b \over a} \right\rvert = C \cdot \exp \left[ at \right] \end{align}

이렇게 해서 구한 해를 일반해(general solution)라고 하고, 일반해를 좌표평면상에 그리면 무한 개의 곡선들의 집합인 적분곡선(integral curves)이 된다. 적분곡선은 방향장을 선으로 이어본 것과 같다.

(10)
\begin{equation} y(0) = y_0 \end{equation}

라는 초기조건(initial contidion)이 주어지면 일반해에서 미정으로 남은 적분상수 $C$를 구할 수 있다. 이것은 곧 적분곡선들 중 초기조건에 해당하는 점 하나를 지나가는 곡선을 찾는 것이다.

미분방정식과 초기조건이 함께 주어진 문제를 초기값 문제(initial value problem)이라 한다. 이차미분방정식의 초기값 문제에서는 초기조건이 두 개 필요하고, 그 이상 고차에서도 차수의 수만큼 조건이 필요하다.

1.3 미분방정식의 분류

상미방 vs. 편미방

  • 상미분방정식(ordinary differential equation; ODE): 방정식의 미분이 상미분만 있을 때
(11)
\begin{align} L{{d^2 Q(t)} \over {dt^2}} + R {{d Q(t) } \over {dt}} +{1 \over C} Q(t) = E(t). \end{align}

상미분방정식의 예: 축전기 방정식. $C$는 전기용량, $R$은 전기저항, $L$은 유도계수.

  • 편미분방정식(partial differential equation; PDE): 방정식에 편미분이 포함되어 있을 때
(12)
\begin{align} \alpha^2 {{\partial^2 u(x,t)} \over {\partial x^2}} = {{\partial u(x,t)} \over {\partial t}} \end{align}

편미분방정식의 예: 열전도 방정식.

연립미분방정식 또는 미분방정식계(systems of differential equations):

(13)
\begin{align} {{dx} \over {dt}} & = ax - \alpha xy \\ {{dy} \over {dt}} & = -cy + \gamma xy, \end{align}

연립미분방정식의 예: 로트카-볼테라 방정식(a.k.a. 포식자-피식자 방정식).

미분방정식의 차수(order)는 방정식에서 가장 높은 미분차수와 같다.

(14)
\begin{align} F[ x, y, y', \cdots, y^{(n)} ] = 0 \end{align}

$n$차 상미분방적식이다.

선형미분방정식 vs. 비선형미분방정식: 위의 방정식 (14)에서 $F$$y, y', \cdots, y^{(n)}$에 대하여 선형인 함수라면 (14)는 선형미분방정식(linear differential equations)이고 나머지 경우에는 비선형미분방정식(nonlinear differential equations)이다. 중력에 대한 진자를 예로 들어보면

  1. 이 계를 지배하는 법칙을 찾는다.
    • 그 법칙은 뉴턴의 운동법칙 $\sum F = ma$ 이다.
  2. 가속도 $a$를 찾는다.
    1. 진자가 운동하는 길이 $r = L \theta$
    2. 이때 시간 $t$에 종속적인 변수는 $\theta$이고 $L$은 상수
    3. 가속도 $a = {{d^2 (L \theta) } \over {dt^2}}$
  3. $F$를 찾는다.
    1. 진자에 작용하는 힘은 중력 $mg$
    2. 알짜힘의 작용방향은 진자 궤도의 접선방향.
    3. $mg$의 접선방향 성분은 $\sum F = - mg \sin \theta$
  4. 종합하여
(15)
\begin{align} mL {{d^2 \theta} \over {dt^2}} & + mg \sin \theta & = 0 \\ {{d^2 \theta} \over {dt^2}} & + {g \over L} \sin \theta & = 0 \end{align}

이렇게 얻은 진자운동의 미분방정식은 $\sin \theta$ 때문에 비선형미분방정식이다.
당연하게도, 비선형미방이 선형미방보다 어렵다. 때문에 비선형미방을 선형미방으로 근사하는 선형화(linearization)가 이루어진다.
$\theta$가 매우 작을 때 $\sin \theta \approxeq \theta$임을 아므로($\because$ 테일러 전개)

(16)
\begin{align} {{d^2 \theta} \over {dt^2}} & + {g \over L} \theta & = 0 \end{align}

로 방정식이 근사되고, 이것은 선형미분방정식이다.

1.4 역사적 맥락