11. 고속 푸리에 변환

푸리에 변환 - 정의

푸리에 변환(Fourier transform): 어떤 함수를 그 함수의 진동수 성분으로 연속적 스펙트럼으로 분해하는 것. 그리고 진동수 성분의 스펙트럼에서 함수를 합성하는 역변환

  • 대부분의 연속주기함수(주기 $= L$)는 사인함수와 코사인함수의 무한합으로 표현할 수 있다.
(1)
\begin{align} f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \left( {{2 \pi n x} \over {L}} \right) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin \left( {{2 \pi n x} \over {L}} \right) \end{align}
(2)
\begin{align} a_0 & = {1 \over L} \int_{-L/2}^{L/2} f(x) dx \\ a_n & = {2 \over L} \int_{-L/2}^{L/2} \cos \left( {{2 \pi n x} \over {L}} \right) dx \\ b_n & = {2 \over L} \int_{-L/2}^{L/2} \sin \left( {{2 \pi n x} \over {L}} \right) dx \\ \end{align}
  • $a_0$: 범위 $(0, L)$에서 $f(x)$의 평균
  • $a_n$: 사인함수의 상관계수($f(x)$의 짝부분)
    • $f(x)$가 홀함수 $\implies a_k = 0.$
  • $b_n$: 코사인함수의 상관계수($f(x)$의 홀부분)
    • $f(x)$가 짝함수 $\implies b_k = 0.$

복소수 표현
오일러 등식 $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta,$를 이용하면 푸리에 급수는 다음과 같은 복소수 식으로 표현할 수 있다.

(3)
\begin{align} f(x) = \sum_{- \infty}^{\infty} F_n \exp \left[ {{i2 \pi nx} \over {L}} \right] \end{align}
(4)
\begin{align} F_n = {1 \over 2} (a_n - i b_n) = {1 \over L} \int_{-L/2}^{L/2} f(x) \exp \left[ - {{i 2 \pi nx} \over {L}} \right] dx \end{align}
  • 실수부: 코사인파의 진폭
  • 허수부: 사인파의 (음)진폭
  • $n = 0$이면 $F_0$은 한 주기 동안의 $f(x)$의 평균값

푸리에 변환 - 상세

시간에 대한 데이터 함수 $h(x)$에 대해

(5)
\begin{align} H(f) & \equiv \int_{-\infty}^\infty h(t) e^{-2 \pi i ft} dt & : \mathrm{FT} \\ h(f) & \equiv \int_{-\infty}^\infty H(t) e^{2 \pi i ft} df & : \mathrm{역FT} \\ \end{align}

FT의 성질

  1. $h(t)$가 실수면, $H(-f) = H(f)^*$$\implies H(f)와\ H(-f)$는 켤레대칭
  2. $h(at) \iff {1 \over { \left\lvert a \right\rvert }} H \left( {f \over a} \right)$ : "time scaling"
  3. $h(t - t_0 ) \iff H(f) e^{2 \pi i ft_0 }$ : "time shifting"
  4. 상승정리(Convolution theorem): $g * t \iff G(f) H(f)$, 이때 $g * h \equiv \int_{- \infty}^\infty g( \tau) h( \tau -t) d \tau$
  5. 상관정리(Correlation theorem): $\operatorname{Corr} (g, h) \iff G(f) H^* (f)$, 이때 $\operatorname{Corr} (g, h) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} g( \tau + t ) h( \tau ) d \tau$.
    • 특수 케이스: $\operatorname{Corr} (g, g) \iff \left\lvert G(f) \right\rvert^2$ "autocorrelation"